Utendaji Inverse, mali zao na grafu ni mifano. Dhana ya kitendakazi kinyume. Mfano: kazi za mraba na mizizi

Kwa kuwa kazi za trigonometric ni za mara kwa mara, utendakazi wao wa kinyume sio wa kipekee. Kwa hivyo, equation y = dhambi x, kwa kupewa , ina mizizi mingi sana. Hakika, kwa sababu ya upimaji wa sine, ikiwa x ni mzizi kama huo, basi ni hivyo x + 2pn(ambapo n ni nambari kamili) pia itakuwa mzizi wa mlinganyo. Hivyo, vitendaji kinyume vya trigonometriki vinathaminiwa sana. Ili iwe rahisi kufanya kazi nao, dhana ya maana zao kuu huletwa. Fikiria, kwa mfano, sine: y = dhambi x. Ikiwa tutaweka kikomo kwa hoja x kwa muda, basi juu yake kazi y = dhambi x huongeza monotonically. Kwa hiyo, ina kazi ya kipekee ya inverse, ambayo inaitwa arcsine: x = arcsin y.

Isipokuwa imeelezwa vinginevyo, kwa vitendaji kinyume vya trigonometriki tunamaanisha thamani zao kuu, ambazo hubainishwa na ufafanuzi ufuatao.

Arcsine ( y= arcsin x) ni kazi kinyume cha sine ( x = dhambi

Arc cosine ( y= arccos x) ni kazi kinyume cha cosine ( x = kwani y), kuwa na kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili.

Arctangent ( y= arctan x) ni kazi kinyume cha tangent ( x = tg y), kuwa na kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili.

Arccotangent ( y= arcctg x) ni kazi kinyume cha kotangent ( x = ctg y), kuwa na kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili.

Grafu za utendakazi kinyume cha trigonometriki

Grafu za kazi za trigonometric inverse zinapatikana kutoka kwa grafu za kazi za trigonometric kwa kutafakari kioo kwa heshima ya mstari wa moja kwa moja y = x. Tazama sehemu za Sine, kosine, Tangent, cotangent.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctan x

y= arcctg x

Kanuni za msingi

Hapa unapaswa kulipa kipaumbele maalum kwa vipindi ambavyo fomula ni halali.

arcsin(dhambi x) = x katika
dhambi(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x katika
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x katika
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x katika
ctg(arcctg x) = x

Fomula zinazohusiana na vitendaji kinyume vya trigonometric

Jumla na tofauti formula

saa au

saa na

saa na

saa au

saa na

saa na

katika

katika

katika

katika

katika

katika

katika

katika

katika

katika

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.

Je, utendaji wa kinyume ni nini? Jinsi ya kupata inverse ya kazi fulani?

Ufafanuzi.

Acha kazi y=f(x) ifafanuliwe kwenye seti D, na E iwe seti ya maadili yake. Kitendaji cha kinyume kwa heshima na function y=f(x) ni chaguo la kukokotoa x=g(y), ambalo linafafanuliwa kwenye seti E na kugawia kila y∈E thamani x∈D kiasi kwamba f(x)=y.

Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa y=f(x) ni kikoa cha maadili ya utendakazi wake kinyume, na kikoa cha maadili y=f(x) ni kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la kinyume.

Ili kupata kitendakazi kinyume cha chaguo la kukokotoa y=f(x), unahitaji :

1) Katika fomula ya kukokotoa, badilisha x badala ya y, na y badala ya x:

2) Kutoka kwa usawa unaotokana, eleza y kupitia x:

Tafuta kitendakazi kinyume cha chaguo za kukokotoa y=2x-6.

Chaguo za kukokotoa y=2x-6 na y=0.5x+3 ni kinyume.

Grafu za vitendakazi vya moja kwa moja na kinyume vina ulinganifu kwa kuzingatia mstari wa moja kwa moja y=x(vijisekta vya sehemu za I na III za kuratibu).

y=2x-6 na y=0.5x+3 - . Grafu ya kitendakazi cha mstari ni . Ili kuunda mstari wa moja kwa moja, chukua pointi mbili.

Inawezekana kueleza y bila utata katika suala la x katika kesi wakati equation x=f(y) ina suluhu la kipekee. Hii inaweza kufanywa ikiwa kazi y=f(x) inachukua kila moja ya thamani zake katika hatua moja katika kikoa chake cha ufafanuzi (kazi kama hiyo inaitwa inayoweza kugeuzwa).

Nadharia (hali ya lazima na ya kutosha kwa kutobadilika kwa kazi)

Ikiwa kazi y=f(x) imefafanuliwa na inaendelea kwa muda wa nambari, basi ili chaguo za kukokotoa ziweze kugeuzwa ni muhimu na inatosha kwamba f(x) iwe monotonic kabisa.

Zaidi ya hayo, ikiwa y=f(x) itaongezeka kwa muda, basi kazi kinyume chake pia huongezeka kwa muda huu; ikiwa y=f(x) itapungua, basi kazi ya inverse inapungua.

Iwapo hali ya urejeshaji haijaridhishwa katika kikoa kizima cha ufafanuzi, unaweza kuchagua muda ambapo chaguo za kukokotoa huongezeka tu au hupungua tu, na kwa muda huu pata chaguo za kukokotoa kinyume na kilichotolewa.

Mfano wa classic ni. Katikati)