Hotuba ya 6. Nafasi ya vekta.

Maswali kuu.

1. Nafasi ya mstari wa Vector.

2. Msingi na mwelekeo wa nafasi.

3. Mwelekeo wa nafasi.

4. Kutengana kwa vector kwa msingi.

5. Vector kuratibu.

1. Nafasi ya mstari wa Vector.

Seti inayojumuisha vitu vya asili yoyote ambayo shughuli za mstari hufafanuliwa: nyongeza ya vitu viwili na kuzidisha kwa nambari kwa nambari huitwa. nafasi, na mambo yao ni vekta nafasi hii na inaonyeshwa kwa njia sawa na wingi wa vector katika jiometri:. Vekta Nafasi kama hizo za kawaida, kama sheria, hazina uhusiano wowote na veta za kijiometri za kawaida. Vipengele vya nafasi za abstract vinaweza kuwa kazi, mfumo wa namba, matrices, nk, na katika hali fulani, vectors ya kawaida. Kwa hivyo, nafasi kama hizo kawaida huitwa nafasi za vector .

Nafasi za Vector ni, Kwa mfano, seti ya vekta za collinear, iliyoashiria V1 , seti ya vekta za coplanar V2 , seti ya vekta za kawaida (nafasi halisi) V3 .

Kwa kesi hii, tunaweza kutoa ufafanuzi ufuatao wa nafasi ya vekta.

Ufafanuzi 1. Seti ya vekta inaitwa nafasi ya vekta, ikiwa mchanganyiko wa mstari wa vekta yoyote ya seti pia ni vekta ya seti hii. Vectors wenyewe huitwa vipengele nafasi ya vekta.

Muhimu zaidi, kinadharia na kutumiwa, ni dhana ya jumla (ya kufikirika) ya nafasi ya vekta.

Ufafanuzi 2. Kundi la R vipengele, ambapo jumla imebainishwa kwa vipengele vyovyote viwili na kwa kipengele chochote https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> inayoitwa vekta(au mstari) nafasi, na vipengele vyake ni vekta, ikiwa shughuli za kuongeza vekta na kuzidisha vekta kwa nambari zinakidhi masharti yafuatayo ( axioms) :

1) nyongeza ni ya kubadilisha, yaani.gif" width="184" height="25">;

3) kuna kipengele kama hicho (vekta sifuri) ambacho kwa https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) kwa vekta yoyote na na nambari yoyote λ usawa unashikilia;

6) kwa vekta yoyote na nambari zozote λ Na µ usawa ni kweli: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> na nambari zozote λ Na µ haki ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Axioms rahisi zaidi zinazofafanua nafasi ya vekta hufuata: matokeo :

1. Katika nafasi ya vector kuna sifuri moja tu - kipengele - vector sifuri.

2. Katika nafasi ya vekta, kila vekta ina vector moja kinyume.

3. Kwa kila kipengele usawa unaridhika.

4. Kwa nambari yoyote halisi λ na vekta ya sifuri https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> ni vekta inayokidhi usawa https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Kwa hiyo, kwa hakika, seti ya vectors zote za kijiometri ni nafasi ya mstari (vector), kwa kuwa kwa vipengele vya seti hii vitendo vya kuongeza na kuzidisha kwa idadi vinafafanuliwa ambavyo vinakidhi axioms iliyoundwa.

2. Msingi na mwelekeo wa nafasi.

Dhana muhimu za nafasi ya vekta ni dhana ya msingi na mwelekeo.

Ufafanuzi. Seti ya vekta huru za mstari, zilizochukuliwa kwa mpangilio fulani, kupitia ambayo vekta yoyote ya nafasi inaweza kuonyeshwa kwa mstari, inaitwa. msingi nafasi hii. Vekta. Vipengele vya msingi wa nafasi huitwa msingi .

Msingi wa seti ya vekta iko kwenye mstari wa kiholela inaweza kuchukuliwa kuwa vector moja ya collinear kwenye mstari huu.

Msingi kwenye ndege hebu tuite vekta mbili zisizo za collinear kwenye ndege hii, zilizochukuliwa kwa utaratibu fulani https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ikiwa vectors msingi ni pairwise perpendicular (orthogonal), basi msingi unaitwa ya orthogonal, na ikiwa veta hizi zina urefu sawa na moja, basi msingi unaitwa ya kawaida .

Nambari kubwa zaidi ya vekta huru za mstari kwenye nafasi inaitwa mwelekeo ya nafasi hii, i.e. mwelekeo wa nafasi unalingana na idadi ya vekta za msingi za nafasi hii.

Kwa hivyo, kulingana na ufafanuzi huu:

1. Nafasi ya mwelekeo mmoja V1 ni mstari ulionyooka, na msingi unajumuisha colinear moja vekta https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Nafasi ya kawaida ni nafasi tatu-dimensional V3 , ambayo msingi wake ni tatu zisizo za coplanar vekta

Kuanzia hapa tunaona kwamba idadi ya vekta za msingi kwenye mstari, kwenye ndege, katika nafasi halisi inafanana na kile katika jiometri kawaida huitwa idadi ya vipimo (kipimo) cha mstari, ndege, nafasi. Kwa hiyo, ni kawaida kuanzisha ufafanuzi wa jumla zaidi.

Ufafanuzi. Nafasi ya Vector R kuitwa n- dimensional ikiwa hakuna zaidi ya n vekta zinazojitegemea zenye mstari na imeashiriwa R n. Nambari n kuitwa mwelekeo nafasi.

Kwa mujibu wa mwelekeo wa nafasi imegawanywa katika yenye ukomo Na usio na kipimo. Kipimo cha nafasi isiyofaa inachukuliwa kuwa sawa na sifuri kwa ufafanuzi.

Kumbuka 1. Katika kila nafasi unaweza kutaja besi nyingi kama unavyopenda, lakini besi zote za nafasi fulani zinajumuisha idadi sawa ya vekta.

Kumbuka 2. KATIKA n- katika nafasi ya vekta ya dimensional, msingi ni mkusanyiko wowote ulioagizwa n vekta zinazojitegemea zenye mstari.

3. Mwelekeo wa nafasi.

Acha veta za msingi kwenye nafasi V3 kuwa na mwanzo wa jumla Na kuamuru, yaani inaonyeshwa ambayo vector inachukuliwa kuwa ya kwanza, ambayo inachukuliwa kuwa ya pili na ambayo inachukuliwa kuwa ya tatu. Kwa mfano, kwa msingi vectors ni amri kulingana na indexation.

Kwa hilo ili kuelekeza nafasi, ni muhimu kuweka msingi fulani na kuitangaza chanya .

Inaweza kuonyeshwa kuwa seti ya besi zote za nafasi huanguka katika madarasa mawili, yaani, katika sehemu ndogo mbili zisizounganishwa.

a) besi zote za kitengo kidogo (darasa) zina sawa mwelekeo (misingi ya jina moja);

b) misingi yoyote miwili ya mbalimbali subsets (madarasa), kuwa kinyume chake mwelekeo, ( majina tofauti misingi).

Ikiwa moja ya madarasa mawili ya besi ya nafasi imetangazwa kuwa chanya na nyingine hasi, basi inasemekana kuwa nafasi hii. iliyoelekezwa .

Mara nyingi, wakati wa kuelekeza nafasi, besi zingine huitwa haki, na wengine - kushoto .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> zinaitwa haki, ikiwa, wakati wa kutazama kutoka mwisho wa vekta ya tatu, mzunguko mfupi zaidi wa vekta ya kwanza https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > inatekelezwa kinyume na saa(Mchoro 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Mchele. 1.8. Msingi wa kulia (a) na msingi wa kushoto (b)

Kawaida msingi sahihi wa nafasi hutangazwa kuwa msingi mzuri

Msingi wa kulia (kushoto) wa nafasi pia unaweza kuamua kwa kutumia kanuni ya "kulia" ("kushoto") screw au gimlet.

Kwa kulinganisha na hili, dhana ya kulia na kushoto imeanzishwa watatu vectors zisizo za coplanar ambazo zinapaswa kuagizwa (Mchoro 1.8).

Kwa hivyo, katika hali ya jumla, triplets mbili zilizoamuru za vekta zisizo za coplanar zina mwelekeo sawa (jina moja) katika nafasi. V3 ikiwa wote wawili ni wa kulia au wa kushoto, na - mwelekeo kinyume (kinyume) ikiwa mmoja wao ni wa kulia na mwingine amesalia.

Vile vile hufanyika katika kesi ya nafasi V2 (ndege).

4. Kutengana kwa vector kwa msingi.

Kwa unyenyekevu wa hoja, hebu tuzingatie swali hili kwa kutumia mfano wa nafasi ya vekta yenye pande tatu R3 .

Ruhusu https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> iwe vekta kiholela ya nafasi hii.

4.3.1 Ufafanuzi wa nafasi ya mstari

Hebu ā , , - vipengele vya seti fulani ā , , Ardhi λ , μ - nambari halisi, λ , μ R..

Seti ya L inaitwamstari aunafasi ya vekta, ikiwa shughuli mbili zimefafanuliwa:

1 0 . Nyongeza. Kila jozi ya vipengele vya seti hii inahusishwa na kipengele cha seti sawa, inayoitwa jumla yao

ā + =

2°.Kuzidisha kwa nambari. Nambari yoyote halisi λ na kipengele ā L inalingana na kipengele cha seti sawa λ ā L na sifa zifuatazo zimeridhika:

1.a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. ipo kipengele cha sifuri
, vile vile ā +=ā ;

4. ipo kipengele kinyume -
vile vile ā +(-ā )=.

Kama λ , μ - nambari halisi, basi:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Vipengele vya nafasi ya mstari ā, , ... huitwa vekta.

Zoezi. Jionyeshe kuwa seti hizi huunda nafasi za mstari:

1) Seti ya vectors za kijiometri kwenye ndege;

2) Vectors nyingi za kijiometri katika nafasi tatu-dimensional;

3) Seti ya polynomials ya shahada fulani;

4) Seti ya matrices ya mwelekeo sawa.

4.3.2 Vekta zinazotegemea mstari na zinazojitegemea. Vipimo na msingi wa nafasi

Mchanganyiko wa mstari vekta ā 1 , ā 2 , …, ā n Linaitwa vekta ya nafasi sawa ya fomu:

,

Wapi λ mimi ni nambari za kweli.

Vekta ā 1 , .. , ā n zinaitwakujitegemea kwa mstari, ikiwa mchanganyiko wao wa mstari ni vekta sifuri ikiwa na tu ikiwa yote $ \ lambda i ni sawa na sifuri, hiyo ni

λ mimi =0

Ikiwa mchanganyiko wa mstari ni vector ya sifuri na angalau moja ya λ i ni tofauti na sifuri, basi vekta hizi huitwa tegemezi kwa mstari. Mwisho unamaanisha kuwa angalau moja ya vekta inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zingine. Kwa kweli, hata kama, kwa mfano,
. Kisha,
, Wapi

.

Mfumo wa kiwango cha juu wa mpangilio huru wa vekta unaitwa msingi nafasi L. Idadi ya veta za msingi inaitwa mwelekeo nafasi.

Hebu tuchukulie kuwa kuna n linearly kujitegemea vectors, basi nafasi inaitwa n-enye mwelekeo. Vekta zingine za nafasi zinaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari n vekta za msingi. Kwa msingi n- nafasi ya dimensional inaweza kuchukuliwa yoyote n vekta zinazojitegemea za nafasi hii.

Mfano 17. Tafuta msingi na ukubwa wa nafasi hizi za mstari:

a) seti ya vekta zilizolala kwenye mstari (colinear kwa mstari fulani)

b) seti ya vekta za ndege

c) seti ya vectors ya nafasi tatu-dimensional

d) seti ya polynomials ya shahada si zaidi ya mbili.

Suluhisho.

A) Vekta zozote mbili zilizo kwenye mstari ulionyooka zitakuwa tegemezi kwa mstari, kwani vekta ni collinear.
, Hiyo
, λ - scalar. Kwa hivyo, msingi wa nafasi fulani ni vekta moja tu (yoyote) tofauti na sifuri.

Kawaida nafasi hii imeteuliwa R, kipimo chake ni 1.

b) vekta zozote mbili zisizo za collinear
itakuwa huru kimstari, na vekta zozote tatu kwenye ndege zitakuwa huru kimstari. Kwa vector yoyote , kuna nambari  Na  vile vile
. Nafasi inaitwa mbili-dimensional, iliyoonyeshwa na R 2 .

Msingi wa nafasi mbili-dimensional huundwa na vectors mbili zisizo za collinear.

V) Vekta zozote tatu zisizo za coplanar zitakuwa huru kwa mstari, zinaunda msingi wa nafasi ya pande tatu. R 3 .

G) Kama msingi wa nafasi ya polynomials ya digrii isiyo ya juu kuliko mbili, tunaweza kuchagua vekta tatu zifuatazo: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 ni polynomial sawa na moja). Nafasi hii itakuwa tatu-dimensional.

SURA YA 8. NAFASI ZA MISTARI § 1. Ufafanuzi wa nafasi ya mstari

Kujumuisha dhana ya vector, inayojulikana kutoka kwa jiometri ya shule, tutafafanua miundo ya algebraic (nafasi za mstari) ambayo inawezekana kujenga jiometri ya n-dimensional, kesi maalum ambayo itakuwa jiometri ya uchambuzi.

Ufafanuzi 1. Kwa kuzingatia seti L=(a,b,c,…) na sehemu P=( ,…). Wacha operesheni ya kialjebra ya nyongeza ifafanuliwe katika L na kuzidisha kwa vipengee kutoka kwa L kwa vipengee vya sehemu ya P kufafanuliwe:

Seti ya L inaitwa nafasi ya mstari juu ya uwanja P, ikiwa mahitaji yafuatayo yametimizwa (axioms ya nafasi ya mstari):

1. Kikundi cha mabadiliko kuhusiana na kuongeza;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L usawa ufuatao ni kweli: 1 a=a (ambapo 1 ni sehemu ya sehemu P).

Vipengele vya nafasi ya mstari L huitwa vectors (tunaona tena kwamba wataonyeshwa na barua za Kilatini a, b, c,...), na vipengele vya shamba P huitwa namba (tutaashiria. kwa herufi za Kigiriki α,

Kumbuka 1. Tunaona kwamba sifa zinazojulikana za vekta za "kijiometri" zinachukuliwa kama axioms ya nafasi ya mstari.

Rekea 2. Baadhi ya vitabu vya kiada vya aljebra vinavyojulikana sana hutumia nukuu tofauti kwa nambari na vekta.

Mifano ya msingi ya nafasi za mstari

1. R 1 ni seti ya vekta zote kwenye mstari fulani.

KATIKA kwa kile kinachofuata tutaita vekta kama hizovekta za sehemu kwenye mstari wa moja kwa moja. Ikiwa tutachukua R kama P, basi ni wazi R1 ni nafasi ya mstari juu ya uwanja R.

2. R 2, R3 - vectors ya sehemu kwenye ndege na katika nafasi ya tatu-dimensional. Ni rahisi kuona kuwa R2 na R3 ni nafasi za mstari juu ya R.

3. Acha P iwe uwanja wa kiholela. Fikiria seti ya P(n) seti zote za n vipengele vilivyopangwa vya uga P:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .

Seti a=(α1,α2,…,αn) itaitwa n-dimensional vekta ya safu. Nambari nitaitwa vipengele

vekta a.

Kwa vekta kutoka P(n) , kwa mlinganisho na jiometri, kwa kawaida tunatanguliza utendakazi wa kujumlisha na kuzidisha kwa nambari, tukichukulia yoyote (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) na (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1,α2,…,αn)= (α1, α2,…, αn) R.

Kutoka kwa ufafanuzi wa kuongeza vectors ya safu ni wazi kwamba inafanywa kwa sehemu. Ni rahisi kuangalia kuwa P(n) ni nafasi ya mstari juu ya P.

Vekta 0=(0,…,0) ni vekta sifuri (a+0=a a P(n)), na vekta -a=(-α1,-α2,…,-αn) ni kinyume cha (kwani a+(-a)=0).

Nafasi ya mstari P(n) inaitwa nafasi ya n-dimensional ya vekta za safu mlalo, au nafasi ya hesabu ya n-dimensional.

Kumbuka 3. Wakati mwingine pia tutaashiria kwa P (n) nafasi ya hesabu ya n-dimensional ya vekta za safu, ambayo inatofautiana na P (n) tu kwa njia ya maandishi ya vekta.

4. Fikiria seti ya M n (P) ya matriki yote ya mpangilio wa nth na vipengele kutoka kwa sehemu ya P. Hii ni nafasi ya mstari juu ya P, ambapo matrix ya sifuri ni matrix ambayo vipengele vyote ni sifuri.

5. Zingatia seti ya P[x] ya polimanomia zote katika kigezo cha x kilicho na vipatanishi kutoka sehemu ya P. Ni rahisi kuthibitisha kuwa P[x] ni nafasi ya mstari juu ya P. Hebu tuiitenafasi ya polynomials.

6. Acha P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) seti ya polima zote za shahada zisizo juu zaidi ya n pamoja na

0. Ni nafasi ya mstari juu ya uwanja P.P n [x] tutaita nafasi ya polynomials ya shahada angalau n.

7. Wacha tuonyeshe kwa Ф seti ya kazi zote za kutofautisha halisi na kikoa sawa cha ufafanuzi. Kisha Ф ni nafasi ya mstari juu ya R.

KATIKA Katika nafasi hii mtu anaweza kupata nafasi nyingine za mstari, kwa mfano nafasi ya kazi za mstari, kazi zinazoweza kutofautishwa, kazi zinazoendelea, nk.

8. Kila uwanja ni nafasi ya mstari juu yenyewe.

Baadhi ya mfululizo kutoka kwa axioms ya nafasi ya mstari

Muhimu 1. Acha L iwe nafasi ya mstari juu ya uwanja P. L ina kipengele cha sifuri 0 na L (-a) L (kwani L ni kikundi cha nyongeza).

KATIKA Katika kile kinachofuata, kipengele cha sifuri cha shamba P na nafasi ya mstari L itaonyeshwa sawa na.

0. Hii kwa kawaida haina kusababisha kuchanganyikiwa.

Corollary 2. 0 a=0 a L (0 P upande wa kushoto, 0 L upande wa kulia).

Ushahidi. Hebu tuzingatie α a, ambapo α ni nambari yoyote kutoka kwa P. Tuna: α a=(α+0)a=α a+0 a, kutoka wapi 0 a= α a +(-α a)=0.

Muhimu 3. α 0=0 α P.

Ushahidi. Zingatia α a=α(a+0)=α a+α 0; kwa hivyo α 0=0. Muhimu 4. α a=0 ikiwa na iwapo tu ama α=0 au a=0.

Ushahidi. Utoshelevu imethibitishwa katika Corollaries 2 na 3.

Hebu kuthibitisha umuhimu. Acha α a=0 (2). Wacha tuchukue kuwa α 0. Halafu, kwa kuwa α P, basi kuna α-1 P. Kuzidisha (2) kwa α-1, tunapata:

α-1 (α a)=α-1 0. Na Corollary 2 α-1 0=0, i.e. α-1 (α a)=0. (3)

Kwa upande mwingine, kwa kutumia axioms 2 na 5 ya nafasi ya mstari, tuna: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

Kutoka (3) na (4) inafuata kwamba a=0. Uchunguzi umethibitishwa.

Tunawasilisha taarifa zifuatazo bila uthibitisho (uhalali wao unathibitishwa kwa urahisi).

Corollary 5. (-α) a=-α a α P, a L. Corollary 6. α (-a)=-α a α P, a L. Corollary 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.

§ 2. Utegemezi wa mstari wa vekta

Acha L iwe nafasi ya mstari juu ya uwanja P na a1 ,a2 ,…kama (1) iwe seti fulani ya vidhibiti kutoka L.

Seti a1 ,a2 ,…kama itaitwa mfumo wa vekta.

Ikiwa b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs kama , (αi P), basi wanasema kwamba vekta b walionyesha linearly kupitia mfumo (1), au ni mchanganyiko wa mstari vekta za mfumo (1).

Kama ilivyo katika jiometri ya uchanganuzi, katika nafasi ya mstari mtu anaweza kuanzisha dhana za mifumo tegemezi ya mstari na huru ya mstari ya vekta. Hebu tufanye hivi kwa njia mbili.

Ufafanuzi I. Mfumo wa mwisho wa vectors (1) kwa s 2 inaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa angalau moja ya vekta zake ni mchanganyiko wa mstari wa wengine. Vinginevyo (yaani wakati hakuna vekta yake ni mchanganyiko wa mstari wa wengine), inaitwa kujitegemea linearly.

Ufafanuzi II. Mfumo wa mwisho wa vekta (1) unaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna seti ya nambari α1 ,α2 ,…,αs , αi P, angalau moja ambayo si sawa na 0 (seti kama hiyo inaitwa zisizo sifuri), basi usawa unashikilia: α1 a1 +…+ αs kama =0 (2).

Kutoka kwa Ufafanuzi II tunaweza kupata ufafanuzi kadhaa sawa wa mfumo huru wa mstari:

Ufafanuzi 2.

a) mfumo (1) kujitegemea linearly, ikiwa kutoka (2) inafuata kwamba α1 =…=αs =0.

b) mfumo (1) kujitegemea linearly, ikiwa usawa (2) utaridhika kwa wote tu αi =0 (i=1,…,s).

c) mfumo (1) kujitegemea linearly, ikiwa mchanganyiko wowote usio na maana wa mstari wa vectors wa mfumo huu ni tofauti na 0, i.e. ikiwa β1 , ...,βs ni nambari zozote zisizo sifuri, basi β1 a1 +…βs kama 0.

Nadharia 1. Kwa s 2, ufafanuzi wa utegemezi wa mstari I na II ni sawa.

Ushahidi.

I) Acha (1) itegemee kimstari kwa ufafanuzi I. Kisha tunaweza kudhani, bila kupoteza jumla, kwamba kama =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Wacha tuongeze vekta (-as) kwa pande zote mbili za usawa huu. Tunapata:

0= α1 a1 +…+αs-1 kama-1 +(-1) kama (3) (tangu kwa Corollary 5

(–as ) =(-1) kama). Katika usawa (3) mgawo (-1) ni 0, na kwa hivyo mfumo (1) hutegemea kimstari na kwa ufafanuzi.

II) Acha mfumo (1) uwe tegemezi kwa mstari kwa ufafanuzi II, i.e. kuna seti isiyo ya sifuri α1 ,…,αs, ambayo inatosheleza (2). Bila kupoteza jumla, tunaweza kudhani kuwa αs 0. Katika (2) tunaongeza (-αs as) kwa pande zote mbili. Tunapata:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs kama - αs kama = -αs kama , inatoka wapi α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs kama .

Kwa sababu αs 0, kisha kuna αs -1 P. Wacha tuzidishe pande zote mbili za usawa (4) kwa (-αs -1 ) na tutumie axioms za nafasi ya mstari. Tunapata:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), ambayo ifuatavyo: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 kama-1 = kama.

Hebu tuanzishe nukuu β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Kisha usawa uliopatikana hapo juu utaandikwa tena kama:

kama = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Tangu s 2, kutakuwa na angalau vekta ai moja upande wa kulia. Tuligundua kuwa mfumo (1) unategemeana kwa Ufafanuzi wa I.

Nadharia imethibitishwa.

Kwa mujibu wa Nadharia ya 1, ikiwa ni lazima, kwa kifungu cha 2 tunaweza kutumia ufafanuzi wowote hapo juu wa utegemezi wa mstari.

Kumbuka 1. Ikiwa mfumo una vekta moja tu a1, basi ufafanuzi pekee ndio unaotumika kwake

Acha a1 =0; kisha 1a1 =0. Kwa sababu 1 0, kisha a1 =0 ni mfumo tegemezi wa mstari.

Acha a10; kisha α1 a1 ≠0, kwa α1 0 yoyote. Hii ina maana kwamba vekta isiyo ya sifuri a1 inajitegemea kimstari.

Kuna miunganisho muhimu kati ya utegemezi wa mstari wa mfumo wa vekta na mifumo yake ndogo.

Nadharia ya 2. Ikiwa mfumo mdogo (yaani sehemu) wa mfumo wa kikomo wa vekta hutegemea mstari, basi mfumo mzima hutegemea kimstari.

Uthibitisho wa nadharia hii sio ngumu kufanya peke yako. Inaweza kupatikana katika aljebra yoyote au kitabu cha jiometri cha uchambuzi.

Muhimu 1. Mifumo midogo yote ya mfumo unaojitegemea kimstari inajitegemea kimstari. Imepatikana kutoka kwa nadharia ya 2 kwa kupingana.

Rekea 2. Ni rahisi kuona kwamba mifumo tegemezi kimstari inaweza kuwa na mifumo ndogo kama mstari

Muhimu 2. Ikiwa mfumo una vekta 0 au mbili za sawia (sawa), basi hutegemea mstari (kwani mfumo mdogo wa vekta 0 au mbili za uwiano hutegemea mstari).

§ 3. Upeo wa mifumo midogo inayojitegemea ya mstari

Ufafanuzi 3. Hebu a1, a2,…,ak,…. (1) ni mfumo usio na kikomo au usio na kikomo wa vekta za nafasi ya mstari L. Mfumo wake mdogo wa kikomo ai1, ai2, …, hewa (2) unaitwa msingi wa mfumo (1) au mfumo mdogo wa kiwango cha juu unaojitegemea mfumo huu ikiwa masharti mawili yafuatayo yametimizwa:

1) mfumo mdogo (2) unajitegemea kimstari;

2) ikiwa vekta aj yoyote ya mfumo (1) imepewa mfumo mdogo (2), basi tunapata tegemezi la mstari.

mfumo ai1, ai2, …, hewa, aj (3).

Mfano 1. Katika nafasi Pn [x], zingatia mfumo wa polima 1,x1 , …, xn (4). Hebu tuthibitishe kwamba (4) ni huru kimstari. Acha α0, α1,…, αn ziwe nambari kutoka kwa P hivi kwamba α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Kisha, kwa ufafanuzi wa usawa wa polimanomia, α0 =α1 =…=αn =0. Hii ina maana kwamba mfumo wa polynomials (4) ni linearly huru.

Hebu sasa tuthibitishe kwamba mfumo (4) ni msingi wa nafasi ya mstari Pn [x].

Kwa f(x) Pn [x] yoyote tunayo: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; kwa hivyo, f(x) ni mchanganyiko wa mstari wa vekta (4); basi mfumo 1,x1 , …, xn ,f(x) unategemea mstari (kwa ufafanuzi I). Kwa hivyo, (4) ni msingi wa nafasi ya mstari Pn [x].

Mfano 2. Katika Mtini. 1 a1, a3 na a2, a3 - misingi ya mfumo wa vectors a1,a2,a3.

Nadharia ya 3. Mfumo mdogo wa (2) ai1 ,…, hewa ya mfumo wenye kikomo au usio na kikomo (1) a1 , a2 ,…,kama ,… ni mfumo mdogo unaojitegemea wa kimstari (msingi) wa mfumo (1) ikiwa na tu iwapo

a) (2) huru kimstari; b) vekta yoyote kutoka (1) imeonyeshwa kwa mstari kupitia (2).

Umuhimu. Hebu (2) iwe mfumo mdogo wa mfumo unaojitegemea kwa kiwango cha juu zaidi (1). Kisha masharti mawili kutoka kwa Ufafanuzi wa 3 yanatimizwa:

1) (2) huru kwa mstari.

2) Kwa vekta yoyote a j kutoka (1) mfumo ai1 ,…, ais ,aj (5) inategemea kimstari. Ni muhimu kuthibitisha kwamba kauli a) na b) ni kweli.

Hali a) sanjari na 1); kwa hivyo, a) imeridhika.

Zaidi ya hayo, kwa mujibu wa 2) kuna seti isiyo ya sufuri α1 ,...,αr ,β P (6) hivi kwamba α1 ai1 +…+αr hewa +βaj =0 (7). Hebu tuthibitishe kuwa β 0 (8). Wacha tuchukue kuwa β=0 (9). Kisha kutoka (7) tunapata: α1 ai1 +…+αr hewa =0 (10). Kutoka kwa ukweli kwamba seti (6) sio sifuri na β=0 inafuata kwamba α1 ,...,αr ni seti isiyo ya sifuri. Na kisha kutoka (10) inafuata kwamba (2) inategemea mstari, ambayo inapingana na sharti a). Hii inathibitisha (8).

Kwa kuongeza vekta (-βaj) kwa pande zote mbili za usawa (7), tunapata: -βaj = α1 ai1 +…+αr hewa. Tangu β 0, basi

kuna β-1 P; zidisha pande zote mbili za usawa wa mwisho kwa β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Hebu tujulishe

nukuu: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; kwa hivyo, tulipata: 1 ai1 +…+ r hewa =aj ; kwa hiyo, kutosheka kwa sharti b) kumethibitishwa.

Haja imethibitishwa.

Utoshelevu. Wacha masharti a) na b) kutoka kwa nadharia ya 3 yatimizwe.

Kwa kuwa hali a) inaambatana na sharti 1), basi 1) imeridhika.

Wacha tuthibitishe kuwa 2) inashikilia. Kwa hali b), vekta yoyote aj (1) imeonyeshwa kwa mstari kupitia (2). Kwa hivyo, (5) inategemea mstari (kwa ufafanuzi 1), i.e. 2) imetimia.

Nadharia imethibitishwa.

Maoni. Sio kila nafasi ya mstari ina msingi. Kwa mfano, hakuna msingi katika nafasi P[x] (vinginevyo, digrii za polima zote katika P[x] zingekuwa, kama ifuatavyo kutoka kwa aya ya b) ya Nadharia ya 3, iliyofungwa kwa pamoja).

§ 4. Nadharia kuu kuhusu utegemezi wa mstari. Matokeo yake

Ufafanuzi 4. Ruhusu mifumo miwili yenye kikomo ya vekta za nafasi ya mstari L:a1 ,a2 ,…,al (1) na

b1 ,b2 ,…,bs (2).

Ikiwa kila vekta ya mfumo (1) imeonyeshwa kwa mstari kupitia (2), basi tutasema mfumo huo (1)

imeonyeshwa kwa mstari kupitia (2). Mifano:

1. Mfumo wowote mdogo wa mfumo 1 ,…,ai ,…,ak inaonyeshwa kwa mstari kupitia mfumo mzima, kwa sababu

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Mfumo wowote wa vekta za sehemu kutoka kwa R2 unaonyeshwa kwa mstari kupitia mfumo unaojumuisha vekta mbili za ndege zisizo za collinear.

Ufafanuzi 5. Ikiwa mifumo miwili ya mwisho ya vectors imeonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja, basi huitwa sawa.

Kumbuka 1. Idadi ya vekta katika mifumo miwili inayolingana inaweza kuwa tofauti, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mifano ifuatayo.

3. Kila mfumo ni sawa na msingi wake (hii inafuata kutoka kwa Theorem 3 na Mfano 1).

4. Mifumo yoyote miwili vekta za sehemu kutoka kwa R2, ambayo kila moja ina vekta mbili zisizo za collinear, ni sawa.

Nadharia ifuatayo ni mojawapo ya kauli muhimu katika nadharia ya nafasi za mstari. Nadharia ya msingi kuhusu utegemezi wa mstari. Acha katika nafasi ya mstari L juu ya shamba P ipewe mbili

mifumo ya vekta:

a1 ,a2 ,…,al (1) na b1 ,b2 ,…,bs (2), na (1) inajitegemea kimstari na inaonyeshwa kwa mstari kupitia (2). Kisha l s (3). Ushahidi. Tunahitaji kuthibitisha ukosefu wa usawa (3). Wacha tuchukue kinyume chake, hebu l>s (4).

Kwa hali, kila vekta ai kutoka (1) inaonyeshwa kwa mstari kupitia mfumo (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Wacha tufanye mlingano ufuatao: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), ambapo xi ni zisizojulikana zinazochukua maadili kutoka kwa sehemu ya P (i=1,…,s).

Hebu tuzidishe kila moja ya usawa (5), mtawalia, kwa x1,x2,…,xl, badala ya (6) na kuweka pamoja masharti yenye b1, kisha b2 na, hatimaye, bs. Tunapata:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.
Hebu jaribu kutafuta ufumbuzi usio na sifuri	mlinganyo (6). Ili kufanya hivyo, hebu tulinganishe na sifuri wote
mgawo wa bi (i=1, 2,…,s) na utunge mfumo ufuatao wa milinganyo:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) mfumo homogeneous s wa milinganyo kwa haijulikani x 1 ,…,xl. Yeye ni ushirikiano daima.

KATIKA Kwa mujibu wa usawa (4), katika mfumo huu idadi ya haijulikani ni kubwa kuliko idadi ya equations, na kwa hiyo, kama ifuatavyo kutoka kwa njia ya Gauss, imepunguzwa kwa fomu ya trapezoidal. Hii ina maana kwamba kuna mashirika yasiyo ya sifuri

ufumbuzi wa mfumo (8). Hebu tuashiria mojawapo kwa x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Kubadilisha nambari (9) katika upande wa kushoto wa (7), tunapata: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Kwa hivyo, (9) ni suluhu isiyo ya sifuri kwa equation (6). Kwa hivyo, mfumo (1) unategemea mstari, na hii inapingana na hali hiyo. Kwa hiyo, dhana yetu (4) si sahihi na l s.

Nadharia imethibitishwa.

Muhtasari kutoka kwa nadharia kuu kuhusu utegemezi wa mstari Corollary 1. Mifumo miwili ya vekta inayojitegemea yenye ukomo sawa na inayolingana inajumuisha

idadi sawa ya vekta.

Ushahidi. Wacha mifumo ya vekta (1) na (2) iwe sawa na huru kwa mstari. Ili kuthibitisha hili, tunatumia nadharia kuu mara mbili.

Kwa sababu mfumo (2) unajitegemea kimstari na unaonyeshwa kwa mstari kupitia (1), kisha kwa nadharia kuu l s (11).

Kwa upande mwingine, (1) inajitegemea kimstari na inaonyeshwa kwa mstari kupitia (2), na kwa nadharia kuu s l (12).

Kutoka (11) na (12) inafuata kwamba s=l. Taarifa hiyo imethibitishwa.

Muhimu 2. Ikiwa katika baadhi ya mfumo wa vekta a1 ,…,kama ,… (13) (iliyo na mwisho au isiyo na mwisho) kuna besi mbili, basi zinajumuisha idadi sawa ya vekta.

Ushahidi. Acha ai1 ,…,ail (14) na aj1 ,..ajk (15) ziwe misingi ya mfumo (13). Wacha tuonyeshe kuwa wao ni sawa.

Kulingana na nadharia ya 3, kila vekta ya mfumo (13) imeonyeshwa kwa usawa kupitia msingi wake (15), haswa, vekta yoyote ya mfumo (14) inaonyeshwa kwa mstari kupitia mfumo (15). Vile vile, mfumo (15) umeonyeshwa kwa mstari kupitia (14). Hii ina maana kwamba mifumo (14) na (15) ni sawa na kwa Corollary 1 tuna: l=k.

Taarifa hiyo imethibitishwa.

Ufafanuzi 6. Idadi ya vectors katika msingi wa kiholela wa mfumo wa mwisho (usio na mwisho) wa vectors inaitwa cheo cha mfumo huu (ikiwa hakuna besi, basi cheo cha mfumo haipo).

Kwa mujibu wa 2, ikiwa mfumo (13) una angalau msingi mmoja, cheo chake ni cha kipekee.

Kumbuka 2. Ikiwa mfumo unajumuisha vectors sifuri tu, basi tunadhani kwamba cheo chake ni 0. Kwa kutumia dhana ya cheo, tunaweza kuimarisha theorem kuu.

Corollary 3. Kutokana na mifumo miwili finite ya vekta (1) na (2), na (1) ni linearly walionyesha kupitia (2). Kisha cheo cha mfumo (1) hakizidi cheo cha mfumo (2).

Ushahidi. Wacha tuonyeshe kiwango cha mfumo (1) kwa r1, kiwango cha mfumo (2) na r2. Ikiwa r1 =0, basi taarifa hiyo ni kweli.

Hebu r1 0. Kisha r2 0, kwa sababu (1) imeonyeshwa kwa mstari kupitia (2). Hii ina maana kwamba mifumo (1) na (2) ina misingi.

Acha a1 ,…,ar1 (16) iwe msingi wa mfumo (1) na b1 ,…,br2 (17) iwe msingi wa mfumo (2). Wanajitegemea kulingana na ufafanuzi wa msingi.

Kwa sababu (16) ni huru kwa mstari, basi nadharia kuu inaweza kutumika kwa jozi ya mifumo (16), (17). Kwa hili

nadharia r1 r2 . Taarifa hiyo imethibitishwa.

Corollary 4. Mifumo miwili yenye ukomo sawa ya vekta ina safu sawa. Ili kudhibitisha kauli hii, tunahitaji kutumia Corollary 3 mara mbili.

Kumbuka 3. Kumbuka kwamba cheo cha mfumo wa kujitegemea wa mstari wa vekta ni sawa na idadi ya vekta zake (kwani katika mfumo wa kujitegemea wa mstari msingi wake pekee unafanana na mfumo yenyewe). Kwa hiyo, Corollary 1 ni kesi maalum ya Corollary 4. Lakini bila uthibitisho wa kesi hii maalum, hatungeweza kuthibitisha Corollary 2, kuanzisha dhana ya cheo cha mfumo wa vekta na kupata Corollary 4.

§ 5. Nafasi za mstari zenye mwelekeo wa mwisho

Ufafanuzi 7. Nafasi ya mstari L juu ya sehemu ya P inaitwa finite-dimensional ikiwa kuna angalau msingi mmoja katika L.

Mifano ya kimsingi ya nafasi za mstari wa mwelekeo-mwisho:

1. Sehemu za Vector kwenye mstari wa moja kwa moja, ndege na katika nafasi (nafasi za mstari R1, R2, R3).

2. nafasi ya hesabu ya n-dimensional P(n) . Wacha tuonyeshe kuwa katika P(n) kuna msingi ufuatao: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

sw =(0,0,…1).

Hebu kwanza tuthibitishe kwamba (1) ni mfumo unaojitegemea kimstari. Hebu tuunde mlingano x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Kwa kutumia umbo la vekta (1), tunaandika upya mlinganyo (2) kama ifuatavyo: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , ...,xn )=(0,0,…,0).

Kwa ufafanuzi wa usawa wa vekta za safu, ni kama ifuatavyo:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Kwa hiyo, (1) ni mfumo unaojitegemea kimstari. Wacha tuthibitishe kuwa (1) ni msingi wa nafasi P (n) kwa kutumia Theorem 3 kwa misingi.

Kwa a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn yoyote tunayo:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n sw.

Hii inamaanisha kuwa vekta yoyote kwenye nafasi P(n) inaweza kuonyeshwa kwa mstari kupitia (1). Kwa hivyo, (1) ni msingi wa nafasi P(n), na kwa hivyo P(n) ni nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo.

3. Nafasi ya mstari Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Ni rahisi kuthibitisha kwamba msingi wa nafasi Pn [x] ni mfumo wa polima 1,x,…,xn. Kwa hivyo Pn

[x] ni nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo.

4. Nafasi ya mstari M n(P). Inaweza kuthibitishwa kuwa seti ya matrices ya fomu Eij , ambayo kipengele pekee kisicho cha sifuri 1 kiko kwenye makutano ya safu ya i-th na safu ya j-th (i,j=1,…,n) , kuunda msingi Mn (P).

Mifuatano kutoka kwa nadharia kuu juu ya utegemezi wa mstari kwa nafasi za mstari zenye mwelekeo-mwisho

Pamoja na mfululizo wa nadharia kuu ya utegemezi ya mstari 1-4, taarifa nyingine kadhaa muhimu zinaweza kupatikana kutoka kwa nadharia hii.

Muhimu 5. Misingi yoyote miwili ya nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa mwisho inajumuisha idadi sawa ya vekta.

Taarifa hii ni kesi maalum ya Corollary 2 ya nadharia kuu ya utegemezi ya mstari inayotumika kwa nafasi nzima ya mstari.

Ufafanuzi 8. Idadi ya vekta katika msingi wa kiholela wa nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo L inaitwa kipimo cha nafasi hii na inaonyeshwa na dim L.

Kufikia Corollary 5, kila nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo ina mwelekeo wa kipekee. Ufafanuzi 9. Ikiwa nafasi ya mstari L ina mwelekeo n, basi inaitwa n-dimensional.

nafasi ya mstari. Mifano:

1. dim R 1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, i.e. P(n) ni nafasi ya mstari wa n-dimensional, kwa sababu hapo juu, katika mfano wa 2 inaonyeshwa kuwa (1) ndio msingi

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), kwa sababu, kama ilivyo rahisi kukagua, 1,x,x2 ,…,xn ni msingi wa n+1 vekta za nafasi hii;

5. dimM n (P)=n2, kwa sababu kuna matrices n2 haswa ya fomu Eij iliyoonyeshwa katika mfano wa 4.

Ujazo 6. Katika nafasi ya mstari wa n-dimensional L, vekta zozote za n+1 a1 ,a2 ,…,an+1 (3) huunda mfumo tegemezi wa kimstari.

Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa mwelekeo wa nafasi katika L kuna msingi wa n vectors: e1 ,e2 ,…,en (4). Hebu fikiria jozi ya mifumo (3) na (4).

Wacha tuchukue kuwa (3) inajitegemea kimstari. Kwa sababu (4) ni msingi wa L, basi vekta yoyote ya nafasi L inaweza kuonyeshwa kwa mstari kupitia (4) (na Theorem 3 kutoka §3). Hasa, mfumo (3) umeonyeshwa kwa mstari kupitia (4). Kwa kudhania (3) ni huru kimstari; basi nadharia kuu ya utegemezi wa mstari inaweza kutumika kwa jozi ya mifumo (3) na (4). Tunapata: n + 1 n, ambayo haiwezekani. Ukinzani unathibitisha kuwa (3) inategemea kimstari.

Uchunguzi umethibitishwa.

Rekea 1. Kutoka kwa Mfululizo wa 6 na Nadharia ya 2 kutoka §2 tunapata kwamba katika nafasi ya mstari wa n-dimensional mfumo wowote wa kikomo wa vekta zenye zaidi ya vekta n unategemea kimstari.

Kutoka kwa maoni haya inafuata

Muhimu 7. Katika nafasi ya mstari wa n-dimensional, mfumo wowote unaojitegemea kwa mstari huwa na vekta nyingi zaidi za n.

Rekea 2. Kwa kutumia kauli hii tunaweza kubainisha kuwa baadhi ya nafasi za mstari hazina kikomo.

Mfano. Wacha tuzingatie nafasi ya polynomials P[x] na tuthibitishe kuwa haina kipimo-kikomo. Hebu tuchukulie kuwa dim P[x]=m, m N. Fikiria 1, x,…, xm - seti ya (m+1) ya vekta kutoka P[x]. Mfumo huu wa vekta, kama ilivyoonyeshwa hapo juu, ni huru kwa mstari, ambayo inapingana na dhana kwamba kipimo cha P[x] ni sawa na m.

Ni rahisi kuangalia (kwa kutumia P[x]) kwamba nafasi za mstari wa mwelekeo-mwisho sio nafasi za kazi zote za mabadiliko halisi, nafasi za kazi zinazoendelea, nk.

Muhimu 8. Mfumo wowote unaojitegemea kimstari wa kikomo wa vekta a1 , a2 ,…,ak (5) wa nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo L unaweza kuongezwa kwa msingi wa nafasi hii.

Ushahidi. Hebu n=dim L. Hebu tuzingatie kesi mbili zinazowezekana.

1. Ikiwa k=n, basi a 1 , a2 ,…,ak ni mfumo huru wa kimstari wa vekta n. Kulingana na Corollary 7, kwa b L yoyote mfumo a1 , a2 ,…,ak , b hutegemea kimstari, i.e. (5) - msingi wa L.

2. Hebu k n. Halafu mfumo (5) sio msingi wa L, ambayo inamaanisha kuwa kuna vekta a k+1 L, kwamba a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) ni mfumo unaojitegemea kimstari. Ikiwa (k+1)

Kufikia Corollary 7, mchakato huu unaisha baada ya idadi maalum ya hatua. Tunapata msingi a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an wa nafasi ya mstari L, iliyo na (5).

Uchunguzi umethibitishwa.

Kutoka Corollary 8 inafuata

Corollary 9. Vekta yoyote ya nonzero ya nafasi ya mstari yenye ukomo wa L iko katika baadhi ya msingi L (kwani vekta hiyo ni mfumo unaojitegemea kimstari).

Inafuata kwamba ikiwa P ni uwanja usio na kipimo, basi katika nafasi ya mstari wa mwelekeo wa mwisho juu ya shamba P kuna besi nyingi sana (kwani katika L kuna vekta nyingi za fomu a, a 0, P\0).

§ 6. Isomorphism ya nafasi za mstari

Ufafanuzi 10. Nafasi mbili za mstari L na L` juu ya sehemu moja ya P zinaitwa isomorphic ikiwa kuna ubao: L` kukidhi masharti yafuatayo:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a)= (a) P, a L.

Ramani kama hiyo yenyewe inaitwa isomorphism au ramani ya isomorphic.

Tabia za isomorphisms.

1. Kwa isomorphism, vector sifuri inakuwa sifuri.

Ushahidi. Acha L na: L` iwe isomorphism. Kwa kuwa a=a+0, basi (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Kwa sababu (L)=L` kisha kutoka kwa usawa wa mwisho ni wazi kuwa (0) (tunaashiria kwa 0`) ni vekta sifuri kutoka.

2. Kwa isomorphism, mfumo tegemezi wa mstari hubadilika kuwa mfumo tegemezi wa mstari. Ushahidi. Acha a1 , a2 ,…,kama (2) iwe na mfumo tegemezi wa kimstari kutoka kwa L. Kisha kuna kuwepo

seti isiyo ya sufuri ya nambari 1 ,…, s (3) kutoka kwa P, kiasi kwamba 1 a1 +…+ s kama =0. Hebu tuzingatie pande zote mbili za usawa huu kwenye ramani ya isomorphic. Kwa kuzingatia ufafanuzi wa isomorphism, tunapata:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (tulitumia sifa 1). Kwa sababu set (3) sio sifuri, kisha kutoka kwa usawa wa mwisho inafuata kwamba (1),..., (s) ni mfumo tegemezi wa mstari.

3. Ikiwa: L` ni isomorphism, basi -1 : L` L pia ni isomorphism.

Ushahidi. Kwa kuwa ni kipingamizi, basi kuna kinzani -1 : L` L. Tunahitaji kuthibitisha kwamba ikiwa a`,

Kwa kuwa ni isomorphism, basi a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Hii ina maana:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Kutoka (5) na (6) tuna -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Vile vile, imeangaliwa kuwa -1 (a`)= -1 (a`). Kwa hivyo, -1 ni isomorphism.

Mali hiyo imethibitishwa.

4. Kwa isomorphism, mfumo wa kujitegemea wa mstari hubadilika kuwa mfumo wa kujitegemea wa mstari. Ushahidi. Hebu: L` ni isomorphism na a1, a2,…,kama (2) ni mfumo unaojitegemea kimstari. Inahitajika

thibitisha kwamba (a1), (a2),…, (as) (7) pia inajitegemea kimstari.

Wacha tuchukue kuwa (7) inategemea kimstari. Kisha, wakati wa kuonyesha -1, huenda kwenye mfumo a1,..., kama.

Kwa mali 3 -1 ni isomorphism, na kisha kwa mali 2, mfumo (2) pia utakuwa tegemezi linearly, ambayo inapingana na hali hiyo. Kwa hiyo, dhana yetu si sahihi.

Mali hiyo imethibitishwa.

5. Kwa isomorphism, msingi wa mfumo wowote wa vectors huenda kwenye msingi wa mfumo wa picha zake. Ushahidi. Acha a1 , a2 ,…,kama ,… (8) iwe mfumo wa kikomo au usio na kikomo wa vekta za mstari

space L, : L` ni isomorphism. Acha mfumo (8) uwe na msingi ai1 , …,hewa (9). Wacha tuonyeshe mfumo huo

(a1),…, (ak),… (10) ina msingi (ai1),…, (hewa) (11).

Kwa kuwa (9) inajitegemea kimstari, basi kwa kipengele 4 mfumo (11) unajitegemea kimstari. Hebu tuwape (11) vekta yoyote kutoka (10); tunapata: (ai1), …, (hewa), (aj) (12). Fikiria mfumo ai1 , …,air , aj (13). Inategemea mstari, kwani (9) ndio msingi wa mfumo (8). Lakini (13) chini ya isomorphism inageuka kuwa (12). Kwa kuwa (13) inategemea mstari, basi kwa mali 2 mfumo (12) pia inategemea mstari. Hii ina maana kwamba (11) ndio msingi wa mfumo (10).

Tunapata kwa kutumia Mali 5 kwa nafasi ya mstari yenye ukomo wa pande zote L

Taarifa 1. Acha L iwe nafasi ya mstari wa n-dimensional juu ya uwanja P, : L` isomorphism. Kisha L` pia ni nafasi ya kikomo na dim L`= dim L = n.

Hasa, Tamko la 2 ni kweli Ikiwa nafasi za mstari zenye kikomo ni isomorphic, basi vipimo vyake ni sawa.

Maoni. Katika §7 uhalali wa mazungumzo ya taarifa hii pia utathibitishwa.

§ 7. Vector kuratibu

Acha L iwe nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo juu ya uga P na e1 ,...,en (1) iwe msingi wa L.

Ufafanuzi 11. Hebu L. Hebu tueleze vector a kupitia msingi (1), i.e. a= 1 e1 +…+ n sw (2), i P (i=1,…,n). Safu wima (1,…, n)t (3) inaitwa kuratibu safu vekta katika msingi (1).

Safu ya kuratibu ya vekta a katika msingi e pia inaonyeshwa na [a], [a]e au [1,.., n].

Kama ilivyo katika jiometri ya uchambuzi, upekee wa usemi wa vekta kupitia msingi umethibitishwa, i.e. upekee wa safu ya kuratibu ya vekta katika msingi fulani.

Kumbuka 1. Katika vitabu vingine, badala ya safu za kuratibu, mistari ya kuratibu inazingatiwa (kwa mfano, katika kitabu). Katika kesi hii, fomula zilizopatikana hapo katika lugha ya nguzo za kuratibu zinaonekana tofauti.

Nadharia 4. Acha L iwe nafasi ya mstari wa n-dimensional juu ya uwanja P na (1) iwe msingi wa L. Zingatia uchoraji wa ramani: a (1,..., n)t, ambayo huhusisha vekta a kutoka L na safu yake ya kuratibu. kwa msingi (1). Halafu ni isomorphism ya nafasi L na P(n) (P(n) ni nafasi ya n-dimensional ya hesabu ya vekta za safuwima).

Ushahidi. Uchoraji ramani ni wa kipekee kwa sababu ya upekee wa viwianishi vya vekta. Ni rahisi kuangalia kwamba ni bijection na (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Hii ina maana isomorphism.

Nadharia imethibitishwa.

Muhimu 1. Mfumo wa vekta a1 ,a2 ,…,kama ya nafasi ya mstari yenye mwelekeo wa kikomo L inategemea kimstari ikiwa tu mfumo unaojumuisha safu wima za kuratibu za vekta hizi katika baadhi ya misingi ya nafasi L inategemea kimstari.

Uhalali wa kauli hii unafuata kutoka kwa Nadharia 1 na sifa ya pili na ya nne ya isomorphism. Remark 2. Corollary 1 inaturuhusu kusoma swali la utegemezi wa mstari wa mifumo ya vekta katika

katika nafasi ya mstari wa mwelekeo-mwisho inaweza kupunguzwa kwa kutatua swali sawa kwa safu za matrix fulani.

Nadharia ya 5 (kigezo cha isomorphism ya nafasi za mstari wa mwelekeo-mwisho). Nafasi mbili za mstari wa mwelekeo mwembamba L na L` juu ya sehemu moja P ni za isomorphic ikiwa tu zina vipimo sawa.

Umuhimu. Acha L` Kwa mujibu wa Taarifa ya 2 kutoka §6, kipimo cha L kilandane na kipimo cha L1.

Utoshelevu. Acha kufifisha L = kufifia L`= n. Kisha, kwa Theorem 4, tunayo: L P(n)		na L` P(n) . Kutoka hapa
si vigumu kupata L` hiyo.
Nadharia imethibitishwa.
Kumbuka. Katika kile kinachofuata, mara nyingi tutaashiria nafasi ya mstari wa n-dimensional na Ln.
§ 8. Matrix ya mpito
Ufafanuzi 12. Acha kwenye nafasi ya mstari Ln	misingi miwili imetolewa:
e= (е1,...еn) na e`=(e1`,...,e`n) (zamani na mpya).
Wacha tupanue veta za msingi e` kuwa msingi e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 sw
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

T= ………………

tn1………tnn

kuitwa matrix ya mpito kutoka msingi e hadi msingi e`.

Kumbuka kuwa ni rahisi kuandika usawa (1) katika fomu ya matrix kama ifuatavyo: e` = eT (2). Usawa huu ni sawa na kufafanua matrix ya mpito.

Kumbuka 1. Hebu tuunde kanuni ya kuunda matrix ya mpito: kuunda matrix ya mpito kutoka msingi e hadi msingi e`, ni muhimu kwa vekta zote ej` za msingi mpya e` kutafuta safu wima zao za kuratibu katika old basis e na uziandike kama safu wima zinazolingana za matrix T.

Kumbuka 2. Katika kitabu, matrix ya mpito imeundwa safu kwa safu (kutoka kwa safu za kuratibu za vekta za msingi mpya katika ile ya zamani).

Nadharia ya 6. Matrix ya mpito kutoka kwa msingi mmoja wa nafasi ya mstari wa n-dimensional Ln juu ya uwanja P hadi msingi wake mwingine ni matriki isiyoharibika ya mpangilio wa nth yenye vipengele kutoka kwa sehemu ya P.

Ushahidi. Acha T iwe matriki ya mpito kutoka msingi e hadi msingi e`. Safu wima za matrix T, kwa ufafanuzi wa 12, ni safu wima za kuratibu za vekta za msingi e` katika msingi e zinajitegemea kimstari, na kwa hivyo |T|≠0.

Nadharia imethibitishwa.

Mazungumzo pia ni ya kweli.

Nadharia ya 7. Matrix yoyote ya mraba isiyoharibika ya mpangilio wa nth yenye vipengele kutoka kwenye sehemu ya P hutumika kama matriki ya mpito kutoka kwa msingi mmoja wa nafasi ya mstari wa n-dimensional Ln juu ya uwanja P hadi msingi mwingine Ln.

Ushahidi. Acha msingi e = (e1, ..., en) wa nafasi ya mstari L na matrix ya mraba isiyo ya umoja itolewe.

Т= t11………t1n

tn1………tnn

mpangilio wa nth wenye vipengele kutoka kwa sehemu ya P. Katika nafasi ya mstari Ln, zingatia mfumo uliopangwa wa vekta e`=(e1 `,…,e`n), ambayo safu wima za matrix T ni safu wima za kuratibu katika msingi e. .

Mfumo wa vekta e` huwa na vivekta n na, kwa mujibu wa Corollary 1 ya Theorem 4, ni huru kimstari, kwa kuwa safu wima za matrix isiyo ya umoja T zinajitegemea kimstari. Kwa hiyo, mfumo huu ni msingi wa nafasi ya mstari Ln, na kutokana na uchaguzi wa vekta za mfumo e` usawa e`=eT inashikilia. Hii ina maana kwamba T ni matriki ya mpito kutoka msingi e hadi msingi e`.

Nadharia imethibitishwa.

Uhusiano kati ya kuratibu za vekta a katika misingi tofauti

Acha besi e=(е1,...еn) na e`=(e1`,...,e`n) itolewe katika nafasi ya mstari Ln na matriki ya mpito T kutoka msingi e hadi msingi e` , i.e. (2) ni kweli. Vekta a ina viwianishi katika besi e na e` [a]e =(1 ,…, n)T na [a]e` =(1 `,…,

n `)T , i.e. a=e[a]e na a=e`[a]e` .

Kisha, kwa upande mmoja, a=e[a]e , na kwa upande mwingine a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (tulitumia usawa (2)). Kutoka kwa usawa huu tunapata: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Kwa hivyo, kwa sababu ya upekee wa mtengano wa vekta kwa msingi

Hii ina maana ya usawa [a]e =Т[a]e` (3), au

	n` .

Mahusiano (3) na (4) yanaitwa kuratibu kanuni za mabadiliko wakati msingi wa nafasi ya mstari unabadilika. Wanaonyesha kuratibu za vekta za zamani kwa suala la mpya. Fomula hizi zinaweza kutatuliwa kuhusiana na viwianishi vipya vya vekta kwa kuzidisha (4) upande wa kushoto na T-1 (tumbo kama hilo lipo, kwa kuwa T ni matrix isiyo ya umoja).

Kisha tunapata: [a]e` =T-1 [a]e . Kutumia fomula hii, kujua kuratibu za vekta katika msingi wa zamani wa nafasi ya mstari Ln, unaweza kupata kuratibu zake katika msingi mpya, e`.

§ 9. Nafasi ndogo za nafasi ya mstari

Ufafanuzi 13. Acha L iwe nafasi ya mstari juu ya uwanja P na H L. Ikiwa H pia ni nafasi ya mstari juu ya P kuhusiana na shughuli sawa na L, basi H inaitwa. nafasi ndogo nafasi ya mstari L.

Taarifa ya 1. Sehemu ndogo ya H ya nafasi ya mstari L juu ya sehemu P ni nafasi ndogo ya L ikiwa masharti yafuatayo yatatimizwa:

1. h 1 +h2 H kwa yoyote h1 , h2 H;

2. h H kwa H na P yoyote.

Ushahidi. Iwapo masharti ya 1 na 2 yatatimizwa katika H, ​​basi kujumlisha na kuzidisha kwa vipengele vya sehemu ya P kunabainishwa katika H. Uhalali wa aksimu nyingi za nafasi ya mstari kwa H hufuata kutoka kwa uhalali wake kwa L. Hebu tuangalie baadhi yao:

a) 0 h=0 H (kutokana na sharti 2);

b) h H tuna: (-h)=(-1)h H (kutokana na sharti 2).

Taarifa hiyo imethibitishwa.

1. Nafasi ndogo za nafasi yoyote ya mstari L ni 0 na L.

2. R 1 - subspace ya nafasi R2 ya vectors ya sehemu kwenye ndege.

3. Nafasi ya utendakazi wa kibadilishaji halisi ina, haswa, nafasi ndogo zifuatazo:

a) utendaji wa mstari wa fomu ax+b;

b) kazi zinazoendelea; c) kazi zinazoweza kutofautishwa.

Njia moja ya ulimwengu ya kutambua nafasi ndogo za nafasi yoyote ya mstari inahusishwa na dhana ya mstari wa mstari.

Ufafanuzi 14. Hebu a1 ,…kama (1) iwe mfumo wa kikomo wa kiholela wa vekta katika nafasi ya mstari L. Hebu tuite shell ya mstari ya mfumo huu uliowekwa ( 1 a1 +…+ s as | i P) = . Gamba la mstari la mfumo (1) pia linaonyeshwa na L(a1 ,…,as ).

Nadharia ya 8. Kiini cha mstari H cha mfumo wowote wa kikomo wa vekta (1) ya nafasi ya mstari L ni nafasi ndogo ya mwelekeo wa kikomo wa nafasi ya mstari L. Msingi wa mfumo (1) pia ni msingi wa H, na mwelekeo. ya H ni sawa na cheo cha mfumo (1).

Ushahidi. Acha H= . Kutokana na ufafanuzi wa safu ya mstari inafuata kwa urahisi kwamba masharti ya 1 na 2 ya Taarifa ya 1 yameridhika Kwa mujibu wa taarifa hii, H ni nafasi ndogo ya nafasi ya mstari L. Hebu ai1 ,….,hewa (2) iwe msingi. ya mfumo (1). Kisha tunayo: vekta yoyote h H inaonyeshwa kwa mstari kupitia (1) - kwa ufafanuzi wa shell ya mstari, na (1) imeonyeshwa kwa mstari kupitia msingi wake (2). Kwa kuwa (2) ni mfumo wa kujitegemea wa mstari, ni msingi wa N. Lakini idadi ya vekta katika (2) ni sawa na cheo cha mfumo (1). Kwa hivyo dimH=r.

Nadharia imethibitishwa.

Rekea 1. Ikiwa H ni nafasi ndogo ya mwelekeo-mwisho wa nafasi ya mstari L na h1 ,...,hm ni msingi wa H, basi ni rahisi kuona kwamba H=

. Hii inamaanisha kuwa makombora ya mstari ni njia ya ulimwengu wote ya kuunda nafasi ndogo za nafasi za mstari.

Ufafanuzi 15. Acha A na B ziwe nafasi ndogo mbili za nafasi ya mstari L juu ya sehemu ya P. Hebu tuite jumla yao A+B seti ifuatayo: A+B=(a+b| a A, b B).

Mfano. R2 ni jumla ya nafasi ndogo za OX (vekta za mhimili OX) na OY. Ni rahisi kuthibitisha yafuatayo

Taarifa 2. Jumla na makutano ya nafasi ndogo mbili za nafasi ya mstari L ni nafasi ndogo za L (inatosha kuangalia kuridhika kwa masharti 1 na 2 ya Taarifa ya 1).

Haki

Nadharia ya 9. Iwapo A na B ni nafasi ndogo mbili zenye kikomo cha nafasi ya mstari L, basi dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.

Uthibitisho wa nadharia hii unaweza kupatikana, kwa mfano, katika.

Rekea 2. Acha A na B ziwe nafasi ndogo mbili zenye ukomo wa nafasi ya mstari L. Ili kupata jumla yao A+B, ni rahisi kutumia ufafanuzi wa A na B kama viuno vya mstari. Acha A= , V= . Kisha ni rahisi kuonyesha kwamba A + B = . Kipimo A+B, kulingana na Nadharia ya 7 iliyothibitishwa hapo juu, ni sawa na kiwango cha mfumo a1,…,am, b1,…,bs. Kwa hiyo, ikiwa tunapata msingi wa mfumo huu, tutapata pia dim (A + B).

Sambamba na nafasi hiyo ya vector. Katika nakala hii, ufafanuzi wa kwanza utachukuliwa kama sehemu ya kuanzia.

N (\mtindo wa kuonyesha n)-Nafasi ya Euclidean ya dimensional kawaida huonyeshwa E n (\mtindo wa kuonyesha \mathbb (E) ^(n)); nukuu pia hutumiwa mara nyingi ikiwa ni wazi kutoka kwa muktadha kwamba nafasi imetolewa na muundo wa asili wa Euclidean.

Ufafanuzi rasmi

Ili kufafanua nafasi ya Euclidean, njia rahisi ni kuchukua kama dhana kuu bidhaa ya scalar. Nafasi ya vekta ya Euclidean inafafanuliwa kama nafasi ya vekta yenye mwelekeo wa kikomo juu ya uwanja wa nambari halisi, ambayo jozi za vekta ambazo utendaji wa thamani halisi umebainishwa. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) kuwa na sifa tatu zifuatazo:

Mfano wa nafasi ya Euclidean - kuratibu nafasi R n , (\mtindo wa kuonyesha \mathbb (R) ^(n),) inayojumuisha seti zote zinazowezekana za nambari halisi (x 1 , x 2 , … , x n) , (\mtindo wa kuonyesha (x_(1),x_(2),\ldets ,x_(n)),) bidhaa ya scalar ambayo imedhamiriwa na formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\mtindo wa maonyesho (x,y)=\jumla _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n))

Urefu na pembe

Bidhaa ya scalar iliyofafanuliwa kwenye nafasi ya Euclidean inatosha kutambulisha dhana za kijiometri za urefu na pembe. Urefu wa Vector u (\kuonyesha mtindo u) inafafanuliwa kama (u , u) (\mtindo wa kuonyesha (\sqrt ((u,u)))) na imeteuliwa | wewe | . (\mtindo wa kuonyesha |u|.) Uhakika chanya wa bidhaa ya scalar inahakikisha kwamba urefu wa vekta ya nonzero ni nonzero, na kutoka kwa uwili inafuata hiyo. | wewe | = | a | | wewe | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) yaani, urefu wa vekta sawia ni sawia.

Pembe kati ya vekta u (\kuonyesha mtindo u) Na v (\mtindo wa maonyesho v) kuamuliwa na formula φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\mtindo wa maonyesho \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\kulia).) Kutoka kwa nadharia ya cosine inafuata kwamba kwa nafasi ya Euclidean yenye pande mbili ( Ndege ya Euclidean) ufafanuzi huu wa pembe unapatana na ule wa kawaida. Vekta za Orthogonal, kama ilivyo katika nafasi ya pande tatu, zinaweza kufafanuliwa kama vekta ambazo pembe kati yake ni sawa na π 2. (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\pi )(2)).)

Ukosefu wa usawa wa Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz na usawa wa pembetatu

Kuna pengo moja lililosalia katika ufafanuzi wa pembe iliyotolewa hapo juu: ili arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\mtindo wa maonyesho \arccos \kushoto((\frac ((x,y))(|x||y|))\kulia)) imefafanuliwa, ni muhimu kwamba ukosefu wa usawa | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\mtindo wa kuonyesha \kushoto|(\frac ((x,y))(|x||y|))\kulia|\leqslant 1.) Ukosefu huu wa usawa unashikilia nafasi ya kiholela ya Euclidean, na inaitwa ukosefu wa usawa wa Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Kutoka kwa usawa huu, kwa upande wake, ifuatavyo usawa wa pembetatu: | wewe + v | ⩽ | wewe | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Ukosefu wa usawa wa pembetatu, pamoja na sifa za urefu zilizoorodheshwa hapo juu, inamaanisha kuwa urefu wa vekta ni kawaida kwenye nafasi ya vekta ya Euclidean, na kitendakazi. d(x, y) = | x y | (\mtindo wa kuonyesha d(x,y)=|x-y|) inafafanua muundo wa nafasi ya metri kwenye nafasi ya Euclidean (kitendaji hiki huitwa kipimo cha Euclidean). Hasa, umbali kati ya vitu (pointi) x (\mtindo wa kuonyesha x) Na y (\mtindo wa kuonyesha y) kuratibu nafasi R n (\mtindo wa kuonyesha \mathbb (R) ^(n)) inatolewa na formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i -y i) 2. (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Tabia za algebraic

Misingi ya Orthonormal

Unganisha nafasi na waendeshaji

Vekta yoyote x (\mtindo wa kuonyesha x) Nafasi ya Euclidean inafafanua utendakazi wa mstari x ∗ (\mtindo wa kuonyesha x^(*)) kwenye nafasi hii, iliyofafanuliwa kama x ∗ (y) = (x , y) . (\mtindo wa maonyesho x^(*)(y)=(x,y).) Ulinganisho huu ni isomorphism kati ya nafasi ya Euclidean na nafasi yake mbili na inaruhusu yao kutambuliwa bila kuathiri hesabu. Hasa, waendeshaji wa kuunganisha wanaweza kuzingatiwa kama wanaofanya kazi kwenye nafasi ya awali, na si kwa waendeshaji wake wawili, na wanaojiunganisha wanaweza kufafanuliwa kama waendeshaji wanaoambatana na waunganisho wao. Kwa msingi wa kawaida, tumbo la opereta wa karibu hupitishwa kwa tumbo la mwendeshaji asilia, na tumbo la mwendeshaji anayejiunganisha ni ulinganifu.

Harakati za nafasi ya Euclidean

Mwendo wa nafasi ya Euclidean ni mabadiliko ya kuhifadhi metric (pia huitwa isometries). Mfano wa mwendo - tafsiri sambamba kwa vekta v (\mtindo wa maonyesho v), ambayo inatafsiri uhakika p (\mtindo wa maonyesho p) hasa p + v (\mtindo wa kuonyesha p+v). Ni rahisi kuona kwamba harakati yoyote ni muundo wa tafsiri sambamba na mabadiliko ambayo huweka uhakika mmoja. Kwa kuchagua hatua maalum kama asili ya kuratibu, harakati yoyote kama hiyo inaweza kuzingatiwa kama

Sura ya 3. Nafasi za vekta za mstari

Mada ya 8. Nafasi za vekta za mstari

Ufafanuzi wa nafasi ya mstari. Mifano ya nafasi za mstari

Katika §2.1 uendeshaji wa kuongeza vekta za bure kutoka R 3 na uendeshaji wa vectors kuzidisha kwa idadi halisi, na pia orodha ya mali ya shughuli hizi. Upanuzi wa shughuli hizi na mali zao kwa seti ya vitu (vitu) vya asili ya kiholela husababisha ujanibishaji wa dhana ya nafasi ya mstari wa veta za kijiometri kutoka. R 3 imefafanuliwa katika §2.1. Wacha tuunda ufafanuzi wa nafasi ya vekta ya mstari.

Ufafanuzi 8.1. Kundi la V vipengele X , katika , z ,... kuitwa nafasi ya vekta ya mstari, Kama:

kuna sheria kwamba kila vipengele viwili x Na katika kutoka V inalingana na kipengele cha tatu kutoka V, kuitwa kiasi X Na katika na kuteuliwa X + katika ;

kuna kanuni kwamba kila kipengele x na inalinganisha nambari yoyote halisi na kipengele kutoka V, kuitwa bidhaa ya kipengele X kwa nambari na kuteuliwa x .

Aidha, jumla ya vipengele viwili X + katika na kazi x kipengele chochote cha nambari yoyote lazima kikidhi mahitaji yafuatayo - axioms ya nafasi ya mstari:

1°. X + katika = katika + X (commutativity ya kuongeza).

2°. ( X + katika ) + z = X + (katika + z ) (ushirika wa nyongeza).

3°. Kuna kipengele 0 , kuitwa sufuri, vile vile

X + 0 = X , x .

4°. Kwa mtu yeyote x kuna kipengele (- X ), inayoitwa kinyume kwa X , vile vile

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , R.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , R.

8°. ( X + katika ) = x + y , x , y , R.

Tutaita vipengele vya nafasi ya mstari vekta bila kujali asili yao.

Kutoka kwa axioms 1 ° -8 ° inafuata kwamba katika nafasi yoyote ya mstari V sifa zifuatazo ni halali:

1) kuna vector moja ya sifuri;

2) kwa kila vekta x kuna vekta moja tu iliyo kinyume (- X ), na (- X ) = (– l) X ;

3) kwa vector yoyote X usawa 0× ni kweli X = 0 .

Hebu tuthibitishe, kwa mfano, mali 1). Wacha tufikirie kuwa katika nafasi V kuna zero mbili: 0 1 na 0 2. Kuweka 3 ° katika axiom X = 0 1 , 0 = 0 2, tunapata 0 1 + 0 2 = 0 1 . Vivyo hivyo, ikiwa X = 0 2 , 0 = 0 1, basi 0 2 + 0 1 = 0 2. Kuzingatia axiom 1 °, tunapata 0 1 = 0 2 .

Wacha tutoe mifano ya nafasi za mstari.

1. Seti ya nambari halisi huunda nafasi ya mstari R. Axioms 1 ° -8 ° ni wazi kuridhika ndani yake.

2. Seti ya vekta za bure katika nafasi ya pande tatu, kama inavyoonyeshwa katika §2.1, pia huunda nafasi ya mstari, iliyoashiriwa. R 3. Zero ya nafasi hii ni vector sifuri.

Seti ya vekta kwenye ndege na kwenye mstari pia ni nafasi za mstari. Tutawaashiria R 1 na R 2 kwa mtiririko huo.

3. Ujumla wa nafasi R 1 , R 2 na R 3 hutumikia nafasi Rn, n N, kuitwa nafasi ya n-dimensional ya hesabu, ambao vipengele (vectors) vimeagizwa makusanyo n nambari halisi za kiholela ( x 1 ,…, x n), yaani.

Rn = {(x 1 ,…, x n) | Xi R, i = 1,…, n}.

Ni rahisi kutumia nukuu x = (x 1 ,…, x n), ambapo Xi kuitwa i-th kuratibu(sehemu)vekta x .

Kwa X , katika Rn Na R Tunafafanua kujumlisha na kuzidisha kwa nambari kwa kutumia fomula zifuatazo:

X + katika = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Kipengele cha sifuri cha nafasi Rn ni vekta 0 = (0,…, 0). Usawa wa vekta mbili X = (x 1 ,…, x n) Na katika = (y 1 ,…, y n) kutoka Rn, kwa ufafanuzi, ina maana ya usawa wa kuratibu zinazofanana, i.e. X = katika Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Utimilifu wa axioms 1 ° -8 ° ni dhahiri hapa.

4. Hebu C [ a ; b] - seti ya kuendelea halisi kwa muda [ a; b] kazi f: [a; b] R.

Jumla ya kazi f Na g kutoka C [ a ; b] inaitwa kitendakazi h = f + g, iliyofafanuliwa kwa usawa

h = f + g Û h(x) = (f + g)(x) = f(X) + g(x), " x Î [ a; b].

Bidhaa ya kipengele f Î C [ a ; b] kwa nambari a Î R imedhamiriwa na usawa

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(x), " x Î [ a; b].

Kwa hivyo, shughuli zilizoanzishwa za kuongeza kazi mbili na kuzidisha kazi kwa nambari hubadilisha seti C [ a ; b] kwenye nafasi ya mstari ambayo vekta zake ni vitendaji. Axioms 1°–8° bila shaka zimeridhika katika nafasi hii. Vector ya sifuri ya nafasi hii ni kazi ya kufanana ya sifuri, na usawa wa kazi mbili f Na g ina maana, kwa ufafanuzi, yafuatayo:

f = g f(x) = g(x), " x Î [ a; b].