Yıldız haberleri
Kabul edilebilir değer aralığı ODZ'dir. (2019). Matematiksel fonksiyonların alanı nasıl bulunur?
Karar verme çeşitli görevler, çoğu zaman ifadelerde aynı dönüşümleri yapmak zorunda kalıyoruz. Ancak bazı durumlarda bir tür dönüşümün kabul edilebilir olduğu, bazılarında ise kabul edilmediği görülür. Devam eden dönüşümlerin kabul edilebilirliğinin izlenmesi açısından ODZ tarafından önemli yardım sağlanmaktadır. Buna daha detaylı bakalım.
Yaklaşımın özü şu şekildedir: Orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si, aynı dönüşümler sonucunda elde edilen ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si ile karşılaştırılır ve karşılaştırma sonuçlarına göre uygun sonuçlara varılır.
Genel olarak kimlik dönüşümleri
- DL'yi etkilemez;
- ODZ'nin genişlemesine yol açmak;
- ODZ'nin daralmasına yol açar.
Her durumu bir örnekle açıklayalım.
x 2 +x+3·x ifadesini düşünün; bu ifade için x değişkeninin ODZ'si R kümesidir. Şimdi bu ifadeyle aşağıdaki özdeş dönüşümü yapalım - benzer terimleri sunuyoruz, sonuç olarak x 2 +4·x formunu alacaktır. Açıkçası, bu ifadenin x değişkeni de bir R kümesidir. Dolayısıyla gerçekleştirilen dönüşüm DZ'yi değiştirmedi.
Hadi devam edelim. x+3/x−3/x ifadesini alalım. Bu durumda ODZ, (−∞, 0)∪(0, +∞) kümesine karşılık gelen x≠0 koşuluyla belirlenir. Bu ifade aynı zamanda şunları içerir: benzer terimler, indirgedikten sonra ODZ'nin R olduğu x ifadesine ulaşırız. Gördüklerimiz: Dönüşümün bir sonucu olarak ODZ genişletildi (orijinal ifade için x değişkeninin ODZ'sine sıfır sayısı eklendi).
Dönüşümlerden sonra kabul edilebilir değer aralığını daraltmanın bir örneğini düşünmeye devam ediyoruz. İfadeyi ele alalım 
. x değişkeninin ODZ'si (x−1)·(x−3)≥0 eşitsizliği ile belirlenir, çözümü için uygundur, örneğin sonuç olarak (−∞, 1]∪∪; düzenlendi Yazan: S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: Education, 2008. - 240 s.: hasta - ISBN 978-5-09-019315-3.
Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Ortaokul öğrencileri sıklıkla bu görevle uğraşmak zorunda kalıyorlar.
Ebeveynler çocuklarının bu konuyu anlamalarına yardımcı olmalıdır.
Bir işlevin belirtilmesi.
Cebirin temel terimlerini hatırlayalım. Matematikte fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Bunun iki sayıyı belirli bir şekilde birbirine bağlayan katı bir matematik yasası olduğunu söyleyebiliriz.
Matematikte formüller analiz edilirken sayısal değişkenlerin yerini alfabetik semboller alır. En yaygın kullanılanlar x (“x”) ve y (“y”)'dir. X değişkenine argüman, y değişkenine ise bağımlı değişken veya x'in fonksiyonu adı verilir.
Var olmak çeşitli yollar değişken bağımlılıklarını ayarlama.
Bunları listeleyelim:
- Analitik tip.
- Tablo görünümü.
- Grafik ekranı.
Analitik yöntem formülle temsil edilir. Örneklere bakalım: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 formülü doğrusal bir fonksiyon için tipiktir. Verilen formülde yerine koyma Sayısal değer argümanı ile y'nin değerini elde ederiz.
Tablo yöntemi iki sütundan oluşan bir tablodur. İlk sütun X değerlerine ayrılmıştır ve sonraki sütuna oynatıcının verileri kaydedilir.
Grafiksel yöntem en görsel olarak kabul edilir. Grafik, bir düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gösterimidir.
Bir grafik oluşturmak için Kartezyen koordinat sistemi kullanılır. Sistem birbirine dik iki çizgiden oluşmaktadır. Eksenler üzerinde aynı birim segmentler yerleştirilmiştir. Sayım, düz çizgilerin kesiştiği merkez noktadan yapılır.
Bağımsız değişken yatay bir çizgide gösterilir. Apsis ekseni denir. Dikey çizgi (y ekseni) bağımlı değişkenin sayısal değerini gösterir. Bu eksenlere dik olanların kesişim noktalarında noktalar işaretlenir. Noktaları birbirine bağlayarak düz bir çizgi elde ederiz. Bu, programın temelidir.
Değişken bağımlılık türleri
Tanım.
Genel olarak bağımlılık bir denklem olarak sunulur: y=f(x). Formülden, x sayısının her değeri için belirli bir y sayısının olduğu sonucu çıkar. Oyunun x sayısına karşılık gelen değerine fonksiyonun değeri denir.
Bağımsız değişkenin elde ettiği tüm olası değerler, fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Buna göre bağımlı değişkenin tüm sayı kümesi, fonksiyonun değer aralığını belirler. Tanım alanı, f(x)'in anlamlı olduğu argümanın tüm değerleridir.
Matematik yasalarını incelemede ilk görev tanım alanını bulmaktır. Bu terimin doğru tanımlanması gerekir. Aksi takdirde, sonraki tüm hesaplamalar işe yaramaz olacaktır. Sonuçta değerlerin hacmi ilk setin unsurlarına göre oluşuyor.
Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan kısıtlamalara bağlıdır. Sınırlamalar, belirli işlemlerin gerçekleştirilememesinden kaynaklanır. Sayısal değerlerin kullanımının da sınırları vardır.
Kısıtlamaların olmadığı durumda tanım alanı sayı uzayının tamamıdır. Sonsuzluk işaretinin yatay sekiz rakamı sembolü vardır. Tüm sayı kümesi şu şekilde yazılır: (-∞; ∞).
Bazı durumlarda veri seti birkaç alt kümeden oluşur. Sayısal aralıkların veya boşlukların kapsamı, parametre değişim yasasının türüne bağlıdır.
Kısıtlamaları etkileyen faktörlerin bir listesi:
- ters orantılılık;
- aritmetik kök;
- üs alma;
- logaritmik bağımlılık;
- trigonometrik formlar.
Bu tür birkaç öğe varsa, kısıtlama arayışı bunların her biri için bölünür. En büyük sorun kritik noktaların ve boşlukların belirlenmesidir. Sorunun çözümü tüm sayısal alt kümeleri birleştirmek olacaktır.
Sayı kümesi ve alt kümesi
Setler hakkında.
Tanım alanı D(f) olarak ifade edilir ve birleşim işareti ∪ sembolüyle temsil edilir. Tüm sayısal aralıklar parantez içine alınmıştır. Sitenin sınırı sete dahil değilse yarım daire şeklinde bir braket yerleştirilir. Aksi takdirde, bir sayı bir alt kümeye dahil edildiğinde köşeli parantezler kullanılır.
Ters orantı y=k/x formülüyle ifade edilir. Fonksiyon grafiği iki daldan oluşan eğri bir çizgidir. Buna genellikle abartı denir.
Fonksiyon kesir olarak ifade edildiğinden tanım tanım kümesini bulmak paydayı analiz etmekten geçer. Matematikte sıfıra bölmenin yasak olduğu iyi bilinmektedir. Sorunu çözmek, paydayı sıfıra eşitlemek ve kökleri bulmaktan geçer.
İşte bir örnek:
Verilen: y=1/(x+4). Tanımın alanını bulun.
- Paydayı sıfıra eşitliyoruz.
x+4=0 - Denklemin kökünü bulma.
x=-4 - Argümanın olası tüm değerlerinin kümesini tanımlarız.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Cevap: Fonksiyonun tanım kümesi -4 dışındaki tüm reel sayılardır.
Bir sayının karekök işareti altındaki değeri negatif olamaz. Bu durumda bir fonksiyonun kök ile tanımlanması bir eşitsizliğin çözümüne indirgenir. Radikal ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
Kökün belirlenme alanı kök göstergesinin paritesi ile ilgilidir. Gösterge 2'ye bölünebiliyorsa ifade ancak pozitif değer. Göstergenin tek sayısı, radikal ifadenin herhangi bir değerinin kabul edilebilirliğini gösterir: hem pozitif hem de negatif.
Eşitsizlikler denklemlerle aynı şekilde çözülür. Tek bir fark var. Eşitsizliğin her iki tarafı da çarpıldıktan sonra negatif bir sayı işaret tersine çevrilmelidir.
Karekök paydada ise ek bir koşul getirilmelidir. Sayı değeri sıfır olmamalıdır. Eşitsizlik katı eşitsizlikler kategorisine girer.
Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar
Logaritmik form şu durumlarda anlamlıdır: pozitif sayılar. Dolayısıyla tanım alanı logaritmik fonksiyon sıfır dışında karekök fonksiyonuna benzer.
Logaritmik bağımlılığın bir örneğini ele alalım: y=log(2x-6). Tanımın alanını bulun.
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
Cevap: (3; +∞).
Y=sin x ve y=cos x tanım kümesi tüm kümelerden oluşur gerçek sayılar. Teğet ve kotanjant için kısıtlamalar vardır. Bir açının kosinüsü veya sinüsü ile bölünmeyle ilişkilidirler.
Bir açının tanjantı sinüsün kosinüse oranıyla belirlenir. Teğet değerinin bulunmadığı açı değerlerini belirtelim. y=tg x fonksiyonu, argümanın x=π/2+πn, n∈Z dışındaki tüm değerleri için anlamlıdır.
y=ctg x fonksiyonunun tanım alanı, x=πn, n∈Z hariç gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Eğer argüman π sayısına veya π'nin bir katına eşitse, açının sinüsü sıfırdır. Bu noktalarda (asimptotlar) kotanjant mevcut olamaz.
Tanım alanını belirlemeye yönelik ilk görevler 7. sınıftaki derslerde başlar. Cebirin bu bölümüyle ilk kez tanıştırıldığında öğrencinin konuyu net bir şekilde anlaması gerekir.
Bu terimin tüm çalışma süresi boyunca okul çocuğuna ve ardından öğrenciye eşlik edeceği unutulmamalıdır.
İlk önce nasıl bulacağımızı öğrenelim fonksiyonların toplamının tanım alanı. Toplamı oluşturan tüm fonksiyonların anlamlı olduğu değişkenin tüm bu değerleri için böyle bir fonksiyonun anlamlı olduğu açıktır. Dolayısıyla aşağıdaki ifadenin doğruluğu konusunda hiçbir şüphe yoktur:
f fonksiyonu n fonksiyonun f 1, f 2, …, f n toplamı ise, yani f fonksiyonu y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) formülüyle verilir. ), o zaman f fonksiyonunun tanım alanı, f 1, f 2, ..., f n fonksiyonlarının tanım alanlarının kesişimidir. Bunu olarak yazalım.
Sonuncuya benzer girdileri kullanmaya devam etmeyi kabul edelim; bununla küme ayracı içinde yazılanları veya herhangi bir koşulun aynı anda yerine getirilmesini kastediyoruz. Bu uygundur ve sistemlerin anlamı ile oldukça doğal bir şekilde örtüşmektedir.
Örnek.
y=x 7 +x+5+tgx fonksiyonu verilmiştir ve onun tanım kümesini bulmamız gerekir.
Çözüm.
F fonksiyonu dört fonksiyonun toplamı ile temsil edilir: f 1 - üs 7 ile güç fonksiyonu, f 2 - üs 1 ile güç fonksiyonu, f 3 - sabit fonksiyon ve f 4 - teğet fonksiyon.
Ana alanı tanımlamak için alan tablosuna bakmak temel işlevler, D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) olduğunu ve tanım kümesini buluruz. tanjantın tanımı sayılar hariç tüm gerçek sayılar kümesidir 
.
F fonksiyonunun tanım alanı, f 1, f 2, f 3 ve f 4 fonksiyonlarının tanım alanlarının kesişimidir. Bunun sayılar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesi olduğu oldukça açıktır. .
Cevap:
hariç tüm gerçek sayılar kümesi .
Bulmaya devam edelim fonksiyonların çarpımının tanım alanı. Bu durumda benzer bir kural geçerlidir:
f fonksiyonu n fonksiyonun f 1, f 2, ..., f n çarpımı ise, yani f fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), o zaman f fonksiyonunun tanım alanı, f 1, f 2, ..., f n fonksiyonlarının tanım alanlarının kesişimidir. Bu yüzden, .
Bu anlaşılabilir bir durumdur, belirtilen alanda tüm çarpım fonksiyonları ve dolayısıyla f fonksiyonunun kendisi tanımlanmıştır.
Örnek.
Y=3·arctgx·lnx .
Çözüm.
Fonksiyonu tanımlayan formülün sağ tarafının yapısı f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) olarak düşünülebilir; burada f 1 sabit bir fonksiyondur, f 2 arktanjant fonksiyondur ve f 3, e tabanına sahip logaritmik bir fonksiyondur.
D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) ve D(f 3)=(0, +∞) olduğunu biliyoruz. Daha sonra 
.
Cevap:
y=3·arctgx·lnx fonksiyonunun tanım bölgesi tüm gerçek pozitif sayılar kümesidir.
C'nin bir gerçel sayı olduğu y=C·f(x) formülüyle verilen bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmaya ayrıca odaklanalım. Bu fonksiyonun tanım bölgesi ile f fonksiyonunun tanım bölgesinin çakıştığını göstermek kolaydır. Aslında, y=C·f(x) fonksiyonu bir sabit fonksiyon ile bir f fonksiyonunun çarpımıdır. Sabit bir fonksiyonun alanı tüm gerçek sayılar kümesidir ve f fonksiyonunun alanı D(f)'dir. O halde y=C f(x) fonksiyonunun tanım bölgesi şu şekildedir: 
gösterilmesi gereken şey buydu.
Dolayısıyla, C'nin bir gerçel sayı olduğu y=f(x) ve y=C·f(x) fonksiyonlarının tanım alanları çakışır. Örneğin, kökün tanım kümesi ise, D(f)'nin, f2(x)'in f1 fonksiyonunun tanım kümesine dahil edildiği, f2 fonksiyonunun tanım kümesindeki tüm x'lerin kümesi olduğu açıkça ortaya çıkar.
Böylece, karmaşık bir fonksiyonun tanım alanı y=f 1 (f 2 (x)) iki kümenin kesişimidir: x∈D(f 2) olan tüm x'lerin kümesi ve f 2 (x)∈D(f) olan tüm x'lerin kümesi 1). Yani benimsediğimiz notasyonda 
(bu aslında bir eşitsizlikler sistemidir).
Bazı örnek çözümlere bakalım. Bu makalenin kapsamı dışında olduğundan süreci ayrıntılı olarak açıklamayacağız.
Örnek.
y=lnx 2 fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun.
Çözüm.
Orijinal fonksiyon y=f 1 (f 2 (x)) olarak temsil edilebilir; burada f 1, e tabanlı bir logaritmadır ve f 2, üssü 2 olan bir kuvvet fonksiyonudur.
Ana temel fonksiyonların bilinen tanım alanlarına dönersek, elimizde D(f 1)=(0, +∞) ve D(f 2)=(−∞, +∞) bulunur.
Daha sonra 
Böylece ihtiyacımız olan fonksiyonun tanım tanım kümesini bulduk; sıfır hariç tüm gerçek sayılar kümesidir.
Cevap:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Örnek.
Bir fonksiyonun etki alanı nedir 
?
Çözüm.
Bu fonksiyon karmaşıktır, y=f 1 (f 2 (x)) olarak düşünülebilir, burada f 1 üslü bir kuvvet fonksiyonudur ve f 2 arksinüs fonksiyonudur ve bunun tanım tanım kümesini bulmamız gerekir.
Bakalım neler biliyoruz: D(f 1)=(0, +∞) ve D(f 2)=[−1, 1] . Geriye x∈D(f 2) ve f 2 (x)∈D(f 1) olacak şekilde x değer kümelerinin kesişimini bulmak kalıyor: 
Arcsinx>0 için arksinüs fonksiyonunun özelliklerini hatırlayın. Arksinüs, [−1, 1] tanım kümesinin tamamı boyunca artar ve x=0'da sıfıra gider, dolayısıyla (0, 1] aralığındaki herhangi bir x için arksinx>0 olur.
Sisteme dönelim: 
Bu nedenle, fonksiyonun gerekli tanım alanı yarım aralıktır (0, 1).
Cevap:
(0, 1] .
Şimdi karmaşık fonksiyonlara geçelim Genel görünüm y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Bu durumda f fonksiyonunun tanım alanı şu şekilde bulunur: 
.
Örnek.
Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun 
.
Çözüm.
Belirli bir karmaşık fonksiyon şu şekilde yazılabilir: y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), burada f 1 – sin, f 2 – dördüncü derece kök fonksiyon, f 3 – log.
D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞ olduğunu biliyoruz; + ∞[ .
Örnek 1. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun sen = 2 .
Çözüm. Fonksiyonun tanım alanı belirtilmemiştir; bu, yukarıdaki tanım gereğince doğal tanım alanının kastedildiği anlamına gelir. İfade F(X) = 2 herhangi bir gerçek değer için tanımlanmış X bu nedenle bu fonksiyon tüm sette tanımlanmıştır R gerçek sayılar.
Dolayısıyla yukarıdaki çizimde sayı doğrusu eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar gölgelendirilmiştir.
Kök tanımlama alanı N derece
Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda ve N- doğal sayı:
Örnek 2. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Tanımdan da anlaşılacağı gibi, çift dereceli bir kök, eğer kök ifade negatif değilse, yani - 1 ≤ ise anlamlıdır. X≤ 1. Dolayısıyla bu fonksiyonun tanım kümesi [- 1; 1] .
Yukarıdaki çizimde sayı doğrusunun taralı alanı bu fonksiyonun tanım bölgesidir.
Güç fonksiyonunun alanı
Tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun etki alanı
Eğer A- pozitifse, fonksiyonun tanım bölgesi tüm gerçek sayılar kümesidir, yani ]- ∞; + ∞[ ;
Eğer A- negatifse, fonksiyonun tanım tanım kümesi ]- ∞ kümesidir; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , yani sıfır dışındaki sayı doğrusunun tamamı.
Yukarıdaki ilgili çizimde sayı doğrusunun tamamı gölgelendirilmiştir ve sıfıra karşılık gelen nokta işaretlenmiştir (fonksiyonun tanım alanına dahil değildir).
Örnek 3. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. İlk terim, x'in 3'e eşit bir tam sayı kuvvetidir ve ikinci terimdeki x'in kuvveti bir olarak, yani yine bir tam sayı olarak temsil edilebilir. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ]- ∞; + ∞[ .
Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun tanım kümesi
Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda:
pozitifse, fonksiyonun tanım kümesi 0 kümesidir; + ∞[ .
Örnek 4. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Fonksiyon ifadesindeki her iki terim de güç fonksiyonları pozitif kesirli üslerle. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım kümesi - ∞ kümesidir; + ∞[ .
Üstel ve logaritmik fonksiyonların alanı
Üstel fonksiyonun alanı
Bir fonksiyonun bir formülle verilmesi durumunda, fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ] - ∞; + ∞[ .
Logaritmik fonksiyonun alanı
Logaritmik fonksiyon, argümanının pozitif olması koşuluyla tanımlanır, yani tanım kümesi ]0 kümesidir; + ∞[ .
Fonksiyonun tanım kümesini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın.
Trigonometrik fonksiyonların alanı
İşlev Etki Alanı sen= çünkü( X) - ayrıca birçok R gerçek sayılar.
İşlev Etki Alanı sen= tg( X) - bir demet R
sayılar dışındaki gerçek sayılar 
.
İşlev Etki Alanı sen= ctg( X) - bir demet R sayılar hariç gerçek sayılar.
Örnek 8. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Harici fonksiyon - ondalık logaritma ve tanım alanı genel olarak logaritmik fonksiyonun tanım alanı koşullarına tabidir. Yani argümanının olumlu olması gerekir. Buradaki argüman "x"in sinüsüdür. Hayali bir pusulayı bir daire etrafında çevirdiğimizde koşulun günah olduğunu görürüz. X> 0, “x” sıfıra, “pi” ikiye eşit olduğunda, “pi” ile çarpıldığında ve genel olarak “pi” ile herhangi bir çift veya tek tam sayının çarpımına eşit olduğunda ihlal edilir.
Böylece, bu fonksiyonun tanım alanı şu ifadeyle verilir:
,
Nerede k- Bir tam sayı.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım alanı
İşlev Etki Alanı sen= yaysin( X) - [-1'i ayarla; 1] .
İşlev Etki Alanı sen= arkcos( X) - ayrıca [-1; 1] .
İşlev Etki Alanı sen= arktan( X) - bir demet R gerçek sayılar.
İşlev Etki Alanı sen= yay( X) - ayrıca birçok R gerçek sayılar.
Örnek 9. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Eşitsizliği çözelim:
Böylece, bu fonksiyonun tanım alanını elde ederiz - segment [- 4; 4] .
Örnek 10. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun
.
Çözüm. İki eşitsizliği çözelim:
Birinci eşitsizliğin çözümü:
İkinci eşitsizliğin çözümü:
Böylece bu fonksiyonun tanım alanını (segment) elde ederiz.
Kesir kapsamı
Bir fonksiyon, değişkenin kesrin paydasında olduğu kesirli bir ifadeyle veriliyorsa, o zaman fonksiyonun tanım alanı kümedir. R gerçek sayılar, bunlar hariç X kesrin paydasının sıfır olduğu nokta.
Örnek 11. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Kesirin paydasının eşitliğini sıfıra çözerek, bu fonksiyonun tanım tanım kümesini - ]- ∞ kümesini buluruz; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
