Rasyonel eşitsizlikler işaretlerin nasıl düzenleneceği. Aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözme

Aralık yönteminin eşitsizlikleri çözmek için evrensel olduğu kabul edilir. Bazen bu yönteme boşluk yöntemi de denir. Hem tek değişkenli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için hem de diğer türdeki eşitsizlikleri çözmek için kullanılabilir. Materyalimizde konunun tüm yönlerine dikkat etmeye çalıştık.

Bu bölümde sizi neler bekliyor? Aralık yöntemini analiz edeceğiz ve bunu kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritmaları ele alacağız. Yöntemin uygulamasının dayandığı teorik yönlere değinelim.

Konunun genellikle ele alınmayan nüanslarına özellikle dikkat ediyoruz. Okul müfredatı. Örneğin, işaretlerin aralıklarla düzenlenmesine ilişkin kuralları ve aralıkların yöntemini göz önünde bulundurun. Genel görünüm rasyonel eşitsizliklerle bağlantısı olmadan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritma

Aralık yönteminin okul cebir dersinde nasıl tanıtıldığını kim hatırlıyor? Genellikle her şey f(x) formundaki eşitsizliklerin çözülmesiyle başlar.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >veya ≥). Burada f(x) bir polinom veya polinomların bir oranı olabilir. Polinom ise şu şekilde temsil edilebilir:

• x değişkeni için katsayısı 1 olan doğrusal binomların çarpımı;
• baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden üç terimlilerin ve köklerinin negatif diskriminantının çarpımı.

İşte bu tür eşitsizliklere bazı örnekler:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Bu tür eşitsizlikleri çözmek için örneklerde verdiğimiz gibi aralık yöntemini kullanarak bir algoritma yazalım:

• pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz, bunun için eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin pay ve paydasını sıfıra eşitleyip ortaya çıkan denklemleri çözüyoruz;
• bulunan sıfırlara karşılık gelen noktaları belirleriz ve bunları koordinat ekseninde çizgilerle işaretleriz;
• ifade işaretlerini tanımla f(x) eşitsizliğin sol tarafından her aralıkta çözülerek grafiğin üzerine yerleştirilir;
• üzerine gölgeleme uygula doğru alanlar aşağıdaki kurala göre yönlendirilen grafikler: eşitsizliğin işaretleri varsa< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >veya ≥ ise “+” işaretiyle işaretlenen alanları gölgelendirerek vurguluyoruz.

Çalışacağımız desen şematik bir görünüme sahip olabilir. Aşırı detaylar çizimi aşırı yükleyebilir ve çözülmesini zorlaştırabilir. Ölçekle çok az ilgileneceğiz. yapıştırmanız yeterli olacaktır doğru konum Koordinat değerleri arttıkça noktalar artar.

Katı eşitsizliklerle çalışırken, merkezi doldurulmamış (boş) olan daire şeklindeki bir noktanın gösterimini kullanacağız. Kesin olmayan eşitsizlikler durumunda paydanın sıfırlarına karşılık gelen noktaları boş, geri kalan tüm noktaları ise sıradan siyah olarak göstereceğiz.

İşaretli noktalar koordinat çizgisini birkaç sayısal aralığa böler. Bu, aslında bu eşitsizliğin çözümü olan sayısal bir kümenin geometrik temsilini elde etmemizi sağlar.

Boşluk Yöntemi Bilimi

Aralık yönteminin altında yatan yaklaşım, sürekli bir fonksiyonun şu özelliğine dayanmaktadır: fonksiyon, üzerinde sürekli olduğu ve yok olmadığı (a, b) aralığında sabit bir işaret tutar. Aynı özellik aşağıdakilerin karakteristik özelliğidir: sayı ışınları(− ∞ , a) ve (a, + ∞).

Fonksiyonun bu özelliği, giriş sınavlarına hazırlık için birçok ders kitabında verilen Bolzano-Cauchy teoremi ile doğrulanmaktadır.

Aralıklardaki işaretin sabitliği, sayısal eşitsizliklerin özelliklerine dayanarak da gerekçelendirilebilir. Örneğin x - 5 x + 1 > 0 eşitsizliğini alın. Pay ve paydanın sıfırlarını bulup sayı doğrusuna çizersek bir dizi aralık elde ederiz: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ve (5 , + ∞) .

Aralıklardan herhangi birini alalım ve tüm aralık boyunca eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin sabit bir işarete sahip olacağını gösterelim. Bu (− ∞ , − 1) aralığı olsun. Bu aralıktan herhangi bir t sayısını alalım. Şartları yerine getirecek< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Hem sonuçta ortaya çıkan eşitsizlikleri hem de sayısal eşitsizliklerin özelliğini kullanarak t + 1 olduğunu varsayabiliriz.< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения T(− ∞ , − 1) aralığında.

Bölme kuralını kullanma negatif sayılar t - 5 t + 1 ifadesinin değerinin pozitif olacağını söyleyebiliriz. Bu, x - 5 x + 1 ifadesinin değerinin herhangi bir değer için pozitif olacağı anlamına gelir X arasından (− ∞ , − 1) . Bütün bunlar, örnek olarak alınan aralıkta ifadenin sabit bir işarete sahip olduğunu iddia etmemizi sağlar. Bizim durumumuzda bu “+” işaretidir.

Pay ve paydanın sıfırlarını bulma

Sıfırları bulma algoritması basittir: pay ve paydadaki ifadeleri sıfıra eşitleriz ve ortaya çıkan denklemleri çözeriz. Eğer zorluk yaşıyorsanız “Denklemleri çarpanlara ayırarak çözme” konusuna başvurabilirsiniz. Bu bölümde kendimizi sadece bir örneğe bakmakla sınırlayacağız.

x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 kesrini düşünün. Pay ve paydanın sıfırlarını bulmak için bunları sıfıra eşitleyerek denklemleri elde edip çözüyoruz: x (x − 0, 6) = 0 ve x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

İlk durumda, x = 0 ve x − 0, 6 = 0 olmak üzere iki denklem kümesine gidebiliriz, bu da bize 0 ve 0, 6 olmak üzere iki kök verir. Bunlar payın sıfırlarıdır.

İkinci denklem üç denklem kümesine eşdeğerdir x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Bir dizi dönüşüm gerçekleştiriyoruz ve x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0 elde ediyoruz. Birinci denklemin kökü 0, ikinci denklemin kökleri yoktur, negatif diskriminantlı olduğundan üçüncü denklemin kökü 5'tir. Bunlar paydanın sıfırlarıdır.

0 inç bu durumda hem payın sıfırı hem de paydanın sıfırıdır.

Genel olarak, bir eşitsizliğin sol tarafı mutlaka rasyonel olmayan bir kesir içerdiğinde, denklemleri elde etmek için pay ve payda da sıfıra eşittir. Denklemleri çözmek pay ve paydanın sıfırlarını bulmanızı sağlar.

Bir aralığın işaretini belirlemek basittir. Bunu yapmak için, belirli bir aralıkta rastgele seçilen herhangi bir nokta için eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin değerini bulabilirsiniz. Aralıkta keyfi olarak seçilen bir noktada ifade değerinin ortaya çıkan işareti, tüm aralığın işaretiyle çakışacaktır.

Bu açıklamaya bir örnekle bakalım.

Eşitsizliği x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 olarak alalım. Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin payında sıfır yoktur. Paydanın sıfırı - 3 sayısı olacaktır. Sayı doğrusunda iki aralık elde ediyoruz (− ∞ , − 3) ve (− 3 , + ∞) .

Aralıkların işaretlerini belirlemek için aralıkların her birinde keyfi olarak alınan noktalar için x 2 - x + 4 x + 3 ifadesinin değerini hesaplıyoruz.

İlk boşluktan (− ∞ , − 3) -4'ü alalım. Şu tarihte: x = − 4 elimizde (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 var. Aldık olumsuz anlam Bu, aralığın tamamının “-” işaretiyle olacağı anlamına gelir.

boşluk için (− 3 , + ∞) Sıfır koordinatlı bir nokta ile hesaplamalar yapalım. x = 0'da 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 elde ederiz. Var pozitif değer Bu, tüm aralığın “+” işaretine sahip olacağı anlamına gelir.

İşaretleri belirlemek için başka bir yol kullanabilirsiniz. Bunun için aralıklardan birindeki işareti bulup kaydedebilir veya sıfırdan geçerken değiştirebiliriz. Her şeyi doğru yapmak için, kurala uymak gerekir: sıfırdan geçerken paydayı, ancak payı değil veya payı, ancak paydayı değil, derecesi varsa, işareti zıt olana değiştirebiliriz. bu sıfırı veren ifade tektir ve derece çift ise işaretini değiştiremeyiz. Hem payın hem de paydanın sıfırı olan bir nokta almışsak, ancak bu sıfırı veren ifadelerin kuvvetlerinin toplamı tek ise işareti tersiyle değiştirebiliriz.

Bu materyalin ilk paragrafının başında incelediğimiz eşitsizliği hatırlarsak en sağdaki aralığa “+” işareti koyabiliriz.

Şimdi örneklere bakalım.

(x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 eşitsizliğini alın ve aralık yöntemini kullanarak çözün . Bunu yapmak için pay ve paydanın sıfırlarını bulmamız ve bunları koordinat doğrusu üzerinde işaretlememiz gerekiyor. Payın sıfırları nokta olacaktır 2 , 3 , 4 , payda noktası 1 , 3 , 4 . Bunları koordinat ekseninde tirelerle işaretleyelim.

Paydanın sıfırlarını boş noktalarla işaretliyoruz.

Kesin olmayan bir eşitsizlikle uğraştığımız için kalan çizgileri sıradan noktalarla değiştiriyoruz.

Şimdi aralıklara noktalar koyalım. En sağdaki boşluk (4 , + ∞) + işareti olacaktır.

Sağdan sola doğru ilerleyerek kalan aralıklara tabelalar koyacağız. 4 koordinatlı noktadan geçiyoruz. Bu hem payın hem de paydanın sıfırıdır. Özetle, bu sıfırlar ifadeleri verir (x - 4) 2 Ve x - 4. Üslerini 2 + 1 = 3 toplayıp tek sayı elde edelim. Bu, bu durumda geçiş sırasındaki işaretin tersine değiştiği anlamına gelir. (3, 4) aralığının eksi işareti olacaktır.

Koordinatı 3 olan noktadan (2, 3) aralığına geçiyoruz. Bu aynı zamanda hem pay hem de payda için sıfırdır. Bunu iki (x − 3) 3 ifadesi sayesinde elde ettik ve (x - 3) 5üslerinin toplamı 3 + 5 = 8'dir. Çift sayı elde etmek aralığın işaretini değiştirmeden bırakmamızı sağlar.

Koordinatı 2 olan nokta payın sıfırıdır. x - 2 ifadesinin kuvveti 1'dir (tek). Bu, bu noktadan geçerken işaretin ters yönde değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

Son aralığımız kaldı (− ∞ , 1) . Koordinatı 1 olan nokta paydanın sıfırıdır. Bu ifadeden türetilmiştir (x - 1) 4, eşit derecede 4 . Bu nedenle işaret aynı kalır. Son çizim şöyle görünecek:

Aralık yöntemi özellikle bir ifadenin değerinin hesaplanması çok fazla çalışma gerektirdiğinde etkilidir. Bir ifadenin değerini hesaplama ihtiyacı buna bir örnek olabilir

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

3 - 3 4, 3 - 2 4 aralığında herhangi bir noktada.

Şimdi edinilen bilgi ve becerileri pratikte uygulamaya başlayalım.

örnek 1

(x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm

Eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin kullanılması tavsiye edilir. Pay ve paydanın sıfırlarını bulun. Payın sıfırları 1 ve -5, paydanın sıfırları 7 ve 1'dir. Bunları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Katı olmayan bir eşitsizlikle uğraşıyoruz, bu nedenle paydanın sıfırlarını boş noktalarla işaretleyeceğiz ve payın sıfırını - 5 - normal doldurulmuş bir noktayla işaretleyeceğiz.

Sıfırdan geçerken işaret değiştirme kurallarını kullanarak aralıkların işaretlerini koyalım. Aralıktan keyfi olarak alınan bir noktada eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin değerini hesapladığımız en sağdaki aralıkla başlayalım. “+” işaretini alıyoruz. İşaretleri düzenleyerek koordinat çizgisi üzerindeki tüm noktalar boyunca sırayla ilerleyelim ve şunu elde edelim:

≤ işaretli katı olmayan bir eşitsizlikle çalışıyoruz. Bu da “-” işaretiyle işaretlenen yerleri gölgelendirerek işaretlememiz gerektiği anlamına geliyor.

Cevap: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Çoğu durumda rasyonel eşitsizliklerin çözümü, bunların ön dönüşümünü gerektirir. doğru tip. Ancak bundan sonra aralık yöntemini kullanmak mümkün hale gelir. Bu tür dönüşümleri gerçekleştirmeye yönelik algoritmalar “Rasyonel eşitsizliklerin çözülmesi” materyalinde tartışılmaktadır.

İkinci dereceden üç terimlileri eşitsizliklere dönüştürme örneğine bakalım.

Örnek 2

(x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.

Çözüm

Eşitsizlik gösterimindeki ikinci dereceden üç terimlilerin ayırıcılarının gerçekten negatif olup olmadığına bakalım. Bu, eşitsizliğin formunun çözüm için aralık yöntemini kullanmamıza izin verip vermediğini belirlememizi sağlayacaktır.

Üç terimlinin diskriminantını hesaplayalım x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Şimdi üç terimli x 2 + 2 · x − 8'in diskriminantını hesaplayalım: D ' = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Gördüğünüz gibi eşitsizlik bir ön dönüşüm gerektiriyor. Bunu yapmak için üç terimli x 2 + 2 x − 8'i şu şekilde temsil ediyoruz: (x + 4) · (x - 2) ve ardından (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 eşitsizliğini çözmek için aralık yöntemini uygulayın.

Cevap: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Genelleştirilmiş aralık yöntemi f(x) formundaki eşitsizlikleri çözmek için kullanılır.< 0 (≤ , >, ≥) , burada f(x) tek değişkenli rastgele bir ifadedir X.

Tüm eylemler belirli bir algoritmaya göre gerçekleştirilir. Bu durumda, genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmeye yönelik algoritma, daha önce tartıştığımızdan biraz farklı olacaktır:

• f fonksiyonunun tanım tanım kümesini ve bu fonksiyonun sıfırlarını buluruz;
• koordinat eksenindeki sınır noktalarını işaretleyin;
• fonksiyonun sıfırlarını sayı doğrusuna çizin;
• aralıkların işaretlerini belirlemek;
• gölgeleme uygulayın;
• cevabını yaz.

Sayı doğrusunda, diğer şeylerin yanı sıra, tanım alanının bireysel noktalarını işaretlemek gerekir. Örneğin, bir fonksiyonun tanım tanım kümesi (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) kümesidir . Bu, koordinatları − 5, 1, 3 olan noktaları işaretlememiz gerektiği anlamına gelir. 4 , 7 Ve 10 . Puanlar − 5 ve 7 boş olarak gösterilecek, geri kalanı fonksiyonun sıfırlarından ayırt etmek için renkli kalemle vurgulanabilir.

Kesin olmayan eşitsizlikler durumunda, fonksiyonun sıfırları sıradan (gölgeli) noktalarla, katı eşitsizlikler durumunda ise boş noktalarla çizilir. Sıfırlar, tanım alanının sınır noktalarıyla veya bireysel noktalarıyla çakışırsa, eşitsizliğin türüne bağlı olarak yeniden siyaha boyanarak boş veya gölgeli hale getirilebilir.

Yanıt kaydı aşağıdakileri içeren sayısal bir kümedir:

• gölgeli alanlar;
• İşareti > veya ≥ olan bir eşitsizlikle ilgileniyorsak artı işaretiyle veya eşitsizliğin işaretleri varsa eksi işaretiyle tanım alanının bireysel noktaları< или ≤ .

Artık konunun en başında sunduğumuz algoritmanın, genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanan algoritmanın özel bir durumu olduğu anlaşıldı.

Genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanmanın bir örneğini ele alalım.

Örnek 3

Eşitsizliği çözün x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Çözüm

f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 olacak şekilde bir f fonksiyonu tanıtıyoruz. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Şimdi fonksiyonun sıfırlarını bulalım. Bunu yapmak için irrasyonel denklemi çözeceğiz:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Kök x = 12'yi elde ederiz.

Koordinat eksenindeki sınır noktalarını belirlemek için kullandığımız turuncu renk. Puan - 6, 4 doldurulacak, 7 boş bırakılacaktır. Şunu elde ederiz:

Katı bir eşitsizlikle çalıştığımız için fonksiyonun sıfırını boş bir siyah noktayla işaretleyelim.

İşaretleri tek tek belirli aralıklarla belirliyoruz. Bunu yapmak için her aralıktan bir nokta alın, örneğin: 16 , 8 , 6 Ve − 8 ve bunların içindeki fonksiyonun değerini hesaplayın F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Yeni tanımlanan işaretleri yerleştirip eksi işaretiyle boşlukların üzerine gölgeleme uyguluyoruz:

Cevap “-” işaretli iki aralığın birleşimi olacaktır: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Yanıt olarak koordinatı - 6 olan bir nokta ekledik. Bu, katı bir eşitsizliği çözerken cevaba dahil etmeyeceğimiz fonksiyonun sıfırı değil, tanım kümesinin içinde yer alan tanım kümesinin sınır noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki değeri negatiftir, yani eşitsizliği karşılamaktadır.

Aralığın tamamını dahil etmediğimiz gibi 4. noktayı da cevaba dahil etmedik [4, 7). Bu noktada, belirtilen aralığın tamamında olduğu gibi, fonksiyonun değeri pozitiftir ve bu, çözülen eşitsizliği sağlamaz.

Daha net anlaşılması için bunu tekrar yazalım: Aşağıdaki durumlarda cevaba renkli noktalar dahil edilmelidir:

• bu noktalar taranmış boşluğun bir parçasıdır,
• bu noktalar, fonksiyonun tanım alanındaki bireysel noktalardır, fonksiyonun değerleri, çözülen eşitsizliği karşılar.

Cevap: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Aralık yöntemi Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Bir değişkene bağlı olan, rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizliklerin adıdır.

1. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün

Aralık yöntemi, sorunu birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.

Bu eşitsizliğin sol tarafında kesirli bir rasyonel fonksiyon var. Rasyonel çünkü kökler, sinüsler veya logaritmalar içermiyor; yalnızca rasyonel ifadeler içeriyor. Sağdaki sıfır.

Aralık yöntemi, kesirli rasyonel fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon yalnızca sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı noktalarda işaret değiştirebilir.

Çarpanlara nasıl ayıracağınızı hatırlatalım ikinci dereceden üç terimli yani formun bir ifadesi.

Kökler nerede ve nerede ikinci dereceden denklem.

Bir eksen çizip pay ve paydanın sıfıra gittiği noktaları yerleştiriyoruz.

Paydanın sıfırları ve noktalı noktalardır, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmamıştır (sıfıra bölemezsiniz). Eşitsizlik kesin olmadığı için pay ve -'nin sıfırları gölgelidir. Eşitsizliğimiz sağlandığında, her iki tarafı da sıfıra eşit olduğundan.

Bu noktalar ekseni aralıklara böler.

Bu aralıkların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki kesirli rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyelim. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun yalnızca sıfıra eşit olduğu veya sıfıra eşit olmadığı noktalarda işaret değiştirebileceğini hatırlıyoruz. Bu, pay veya paydanın sıfıra gittiği noktalar arasındaki aralıkların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretinin "artı" veya "eksi" olarak sabit olacağı anlamına gelir.

Ve bu nedenle, bu aralıkların her birinde fonksiyonun işaretini belirlemek için bu aralığa ait herhangi bir noktayı alırız. Bizim için uygun olan.
. Örneğin eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini kontrol edin. "Parantezlerin" her biri negatiftir. Sol tarafta bir işaret var.

Sonraki aralık: . adresindeki tabelayı kontrol edelim. Sol tarafın işaretinin olarak değiştiğini görüyoruz.

Hadi alalım. İfade pozitif olduğunda - bu nedenle, ile arasındaki tüm aralık boyunca pozitiftir.

Eşitsizliğin sol tarafı negatif olduğunda.

Ve son olarak class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Cevap: .

Lütfen dikkat: işaretler aralıklar arasında değişmektedir. Bu oldu çünkü Her noktadan geçerken, doğrusal faktörlerden tam olarak biri işaret değiştirirken geri kalanı değişmeden kaldı.

Aralık yönteminin çok basit olduğunu görüyoruz. Kesirli-rasyonel eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmek için, onu şu forma indiririz:

Veya class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, yada yada .

(sol tarafta kesirli bir rasyonel fonksiyon, sağ tarafta ise sıfır).

Daha sonra pay veya paydanın sıfıra gittiği noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktalar, sayı doğrusunun tamamını aralıklara böler ve bunların her birinde kesirli-rasyonel fonksiyon işaretini korur.
Geriye kalan tek şey her aralıkta işaretini bulmaktır.
Bunu, belirli bir aralığa ait herhangi bir noktada ifadenin işaretini kontrol ederek yaparız. Daha sonra cevabı yazıyoruz. Bu kadar.

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: işaretler her zaman değişiyor mu? Hayır her zaman değil! Dikkatli olmalı ve işaretleri mekanik ve düşüncesizce yerleştirmemelisiniz.

2. Başka bir eşitsizliği ele alalım.

Class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}

Noktaları tekrar eksene yerleştirin. Noktalar ve paydanın sıfırları olduğundan deliklidir. Eşitsizlik katı olduğu için bu nokta da kesiliyor.

Pay pozitif olduğunda paydadaki her iki faktör de negatiftir. Bu, örneğin belirli bir aralıktan herhangi bir sayı alınarak kolayca kontrol edilebilir. Sol tarafta şu işaret var:

Pay pozitif olduğunda; Paydadaki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:

Durum aynı! Pay pozitif, paydadaki ilk faktör pozitif, ikincisi negatif. Sol tarafta şu işaret var:

Son olarak class="tex" alt="x>3 ile"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Cevap: .

İşaretlerin değişimi neden bozuldu? Çünkü bir noktadan geçerken çarpan bundan “sorumludur” işareti değiştirmedi. Sonuç olarak eşitsizliğimizin sol tarafının tamamı işaret değiştirmedi.

Çözüm: doğrusal çarpan çift bir kuvvetse (örneğin kare), o zaman bir noktadan geçerken sol taraftaki ifadenin işareti değişmez. Derecenin tek olması durumunda işaret elbette değişir.

3. Daha karmaşık bir durumu ele alalım. Eşitsizliğin katı olmaması nedeniyle öncekinden farklıdır:

Sol taraf önceki problemdekiyle aynıdır. İşaretlerin resmi aynı olacaktır:

Belki cevap aynı olacaktır? HAYIR! Bir çözüm eklenir Bunun nedeni eşitsizliğin hem sol hem de sağ tarafının sıfıra eşit olmasıdır - dolayısıyla bu nokta bir çözümdür.

Cevap: .

Bu durum genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki problemlerde ortaya çıkar. Başvuru sahiplerinin tuzağa düştüğü ve puan kaybettiği nokta burasıdır. Dikkat olmak!

4. Pay veya payda doğrusal faktörlere dahil edilemiyorsa ne yapmalı? Bu eşitsizliği düşünün:

Bir kare trinomial çarpanlara ayrılamaz: diskriminant negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, herkes için ifadenin işaretinin aynı ve özellikle pozitif olduğu anlamına gelir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi ikinci dereceden fonksiyonların özellikleri hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.

Artık eşitsizliğimizin her iki tarafını da herkes için pozitif olan bir değere bölebiliriz. Eşdeğer bir eşitsizliğe varalım:

Aralık yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir.

Lütfen eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif olduğundan emin olduğumuz bir değere böldüğümüzü unutmayın. Elbette genel olarak bir eşitsizliği işareti bilinmeyen bir değişkenle çarpmamalı veya bölmemelisiniz.

5 . Görünüşte oldukça basit olan başka bir eşitsizliği ele alalım:

Sadece onu çarpmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Sonuçta hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir değerle çarpılırsa eşitsizliğin işaretinin değişeceğini biliyoruz.

Bunu farklı yapacağız - her şeyi tek bir parçada toplayacağız ve ortak payda. Sağ taraf sıfır kalacak:

Class = "tex" alt = "\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Ve bundan sonra - başvurun aralık yöntemi.

Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikler nasıl çözülür (örneklerle algoritma)

Örnek . (OGE'den atama) Eşitsizliği \((x-7)^2 aralık yöntemini kullanarak çözün< \sqrt{11}(x-7)\)
Çözüm:

Cevap : \((7;7+\sqrt(11))\)

Örnek . Eşitsizliği \(≥0\) aralık yöntemini kullanarak çözün
Çözüm:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Burada ilk bakışta her şey normal gibi görünüyor ve eşitsizlik başlangıçta istenilen forma getiriliyor. Ancak bu böyle değil - sonuçta payın birinci ve üçüncü parantezlerinde x eksi işaretiyle görünüyor. Dördüncü derecenin çift olduğu (yani eksi işaretini kaldıracağı) ve üçüncünün tek olduğu (yani kaldırmayacağı) gerçeğini dikkate alarak parantezleri dönüştürüyoruz. \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Bunun gibi. Şimdi zaten dönüştürülmüş olan braketleri “yerlerine” döndürüyoruz.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Artık tüm parantezler olması gerektiği gibi görünüyor (önce imzasız ad, ardından numara gelir). Ancak payın önünde bir eksi belirdi. Karşılaştırma işaretini tersine çevirmeyi unutmadan, eşitsizliği \(-1\) ile çarparak onu kaldırıyoruz.
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Hazır. Artık eşitsizlik olması gerektiği gibi görünüyor. Aralık yöntemini kullanabilirsiniz.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Eksenlere noktalar yerleştirelim, işaretleyelim ve gerekli aralıklarla boyayalım.
		\(4\) ila \(6\) aralığında işaretin değiştirilmesine gerek yoktur, çünkü parantez \((x-6)\) çift kuvvettedir (algoritmanın 4. maddesine bakın) . Bayrak altının aynı zamanda eşitsizliğe de çözüm olduğunu hatırlatacak. Cevabını yazalım.

Cevap : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\left\(6\right\)\)

Örnek.(OGE'den atama) Eşitsizliği \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) aralık yöntemini kullanarak çözün
Çözüm:

Cevap : \((-∞;-8]∪}