İkinci dereceden bir trinomial nasıl daraltılır. Polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri

Bir çarpım elde etmek için polinomları genişletmek bazen kafa karıştırıcı görünebilir. Ancak süreci adım adım anlarsanız o kadar da zor değil. Makale, ikinci dereceden bir trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

Birçok kişi kare trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ve bunun neden yapıldığını anlamıyor. İlk başta faydasız bir egzersiz gibi görünebilir. Ama matematikte hiçbir şey boşuna yapılmaz. İfadenin basitleştirilmesi ve hesaplama kolaylığı için dönüşüm gereklidir.

– ax²+bx+c biçiminde bir polinom, ikinci dereceden trinomial denir."A" terimi negatif veya pozitif olmalıdır. Uygulamada bu ifadeye ikinci dereceden denklem denir. Bu nedenle bazen farklı söylüyorlar: nasıl ayrıştırılır ikinci dereceden denklem.

İlginç! Bir polinomun kare olarak adlandırılmasının nedeni, büyük ölçüde- kare. Ve bir trinomial - 3 bileşenden dolayı.

Diğer bazı polinom türleri:

• doğrusal binom (6x+8);
• kübik dörtgen (x³+4x²-2x+9).

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Öncelikle ifade sıfıra eşit, ardından x1 ve x2 köklerinin değerlerini bulmanız gerekiyor. Kökü olmayabilir, bir veya iki kökü olabilir. Köklerin varlığı diskriminant tarafından belirlenir. Formülünü ezbere bilmeniz gerekiyor: D=b²-4ac.

D sonucu negatif ise kök yoktur. Pozitif ise iki kök vardır. Sonuç sıfır ise kök birdir. Kökler ayrıca formül kullanılarak hesaplanır.

Diskriminant hesaplanırken sonuç sıfırsa formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz. Uygulamada formül basitçe kısaltılmıştır: -b / 2a.

için formüller Farklı anlamlar diskriminantlar farklıdır.

D pozitif ise:

D sıfır ise:

Çevrimiçi hesap makineleri

İnternette var cevrimici hesap makinesi. Çarpanlara ayırma işlemi yapmak için kullanılabilir. Bazı kaynaklar çözümü adım adım görüntüleme fırsatı sağlar. Bu tür hizmetler konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur ancak konuyu iyi anlamaya çalışmanız gerekir.

Faydalı video: İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması

Örnekler

Sizi görmeye davet ediyoruz basit örnekler, ikinci dereceden bir denklemin nasıl çarpanlara ayrılacağı.

örnek 1

Bu açıkça sonucun iki x olduğunu gösteriyor çünkü D pozitif. Formülde değiştirilmeleri gerekir. Kökler negatif çıkarsa formüldeki işaret ters yönde değişir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülünü biliyoruz: a(x-x1)(x-x2). Değerleri parantez içine alıyoruz: (x+3)(x+2/3). Üslü kuvvetlerde terimden önce sayı yoktur. Demek ki orada biri var, aşağı iniyor.

Örnek 2

Bu örnek, tek kökü olan bir denklemin nasıl çözüleceğini açıkça göstermektedir.

Ortaya çıkan değeri değiştiriyoruz:

Örnek 3

Verilen: 5x²+3x+7

Öncelikle önceki durumlarda olduğu gibi diskriminantı hesaplayalım.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant negatiftir, yani kökleri yoktur.

Sonucu aldıktan sonra parantezleri açıp sonucu kontrol etmelisiniz. Orijinal trinomial görünmelidir.

Alternatif çözüm

Bazı insanlar ayrımcıyla hiçbir zaman arkadaşlık kuramadı. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın başka bir yolu var. Kolaylık sağlamak için yöntem bir örnekle gösterilmiştir.

Verilen: x²+3x-10

2 parantez almamız gerektiğini biliyoruz: (_)(_). İfade şu şekilde göründüğünde: x²+bx+c, her parantezin başına x: (x_)(x_) koyarız. Kalan iki sayı “c”yi veren çarpımdır, yani bu durumda -10. Bunların hangi sayılar olduğunu bulmanın tek yolu seçimdir. Değiştirilen sayılar kalan süreye karşılık gelmelidir.

Örneğin aşağıdaki sayıların çarpılması -10 değerini verir:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. HAYIR.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. HAYIR.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. HAYIR.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyar.

Bu, x2+3x-10 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (x-2)(x+5).

Önemli!İşaretleri karıştırmamaya dikkat etmelisiniz.

Karmaşık bir trinomiyalin genişletilmesi

Eğer “a” birden büyükse zorluklar başlar. Ancak her şey göründüğü kadar zor değil.

Çarpanlara ayırmak için öncelikle herhangi bir şeyin çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını görmeniz gerekir.

Örneğin şu ifade verilmiştir: 3x²+9x-30. Burada 3 rakamı parantezden çıkarılmıştır:

3(x²+3x-10). Sonuç zaten iyi bilinen üçlü terimdir. Cevap şuna benzer: 3(x-2)(x+5)

Karedeki terim negatif ise nasıl ayrıştırılır? İÇİNDE bu durumda-1 sayısı parantezlerden çıkarılmıştır. Örneğin: -x²-10x-8. Daha sonra ifade şu şekilde görünecektir:

Şema öncekinden çok az farklı. Sadece birkaç yeni şey var. Diyelim ki ifade verildi: 2x²+7x+3. Cevap ayrıca (_)(_) doldurulması gereken 2 parantez içinde yazılmıştır. 2. parantez içinde x, 1. parantez içinde kalan şey yazılır. Şuna benzer: (2x_)(x_). Aksi takdirde önceki şema tekrarlanır.

3 sayısı sayılarla verilmektedir:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Denklemleri bu sayıları değiştirerek çözüyoruz. Son seçenek uygundur. Bu, 2x²+7x+3 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (2x+1)(x+3).

Diğer durumlar

Bir ifadeyi dönüştürmek her zaman mümkün değildir. İkinci yöntemle denklemin çözülmesine gerek yoktur. Ancak terimlerin ürüne dönüştürülme olasılığı yalnızca diskriminant aracılığıyla kontrol edilir.

Formülleri kullanırken herhangi bir zorluk yaşanmaması için ikinci dereceden denklemleri çözme pratiği yapmaya değer.

Faydalı video: bir trinomial'ı çarpanlarına ayırma

Çözüm

Bunu herhangi bir şekilde kullanabilirsiniz. Ancak her ikisi de otomatik hale gelinceye kadar pratik yapmak daha iyidir. Ayrıca hayatını matematikle birleştirmeyi planlayanlar için ikinci dereceden denklemleri ve faktör polinomlarını iyi çözmeyi öğrenmek gereklidir. Aşağıdaki matematik konularının tümü bunun üzerine inşa edilmiştir.

Açık bu dersİkinci dereceden üç terimlileri doğrusal çarpanlara nasıl ayıracağımızı öğreneceğiz. Bunu yapmak için Vieta teoremini ve onun tersini hatırlamamız gerekiyor. Bu beceri, ikinci dereceden üç terimlileri hızlı ve kolay bir şekilde doğrusal faktörlere genişletmemize yardımcı olacak ve aynı zamanda ifadelerden oluşan kesirlerin azaltılmasını da basitleştirecektir.

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Yani, ikinci dereceden bir denklemimiz var - ikinci dereceden bir üç terimli, burada ikinci dereceden denklemin köklerine ikinci dereceden üç terimlinin kökleri de denir. Bu nedenle, eğer bir kare trinomiyalin köklerine sahipsek, o zaman bu trinomial doğrusal faktörlere ayrıştırılabilir.

Kanıt:

Kanıt bu gerçekönceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi Vieta teoremini kullanarak köklerini seçtiğimiz ikinci dereceden denklem örneğini hatırlayalım. Bu gerçekten yola çıkarak kanıtlanmış teorem sayesinde aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Ve öğrendiğimiz teoremin gerçekleşmesi için D'nin 0'dan büyük olması gerektiğini hatırlıyoruz, dolayısıyla bu durumda öğrendiğimiz teoreme göre çarpanlara ayırmanın imkansız olduğu ortaya çıkıyor.

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Bu grupta aslında problemi sorulanın tersini çözeceğiz. Bir denklemimiz vardı ve onu çarpanlara ayırarak köklerini bulduk. Burada tam tersini yapacağız. Diyelim ki ikinci dereceden bir denklemin köklerine sahibiz

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu var.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem ters Vieta teoreminin kullanılmasını içerir.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Payda bir üç terimli ve paydada bir üç terimli var ve üç terimli sayılar çarpanlara ayrılabilir veya ayrılmayabilir. Hem pay hem de payda çarpanlara ayrılırsa, aralarında azaltılabilecek eşit faktörler olabilir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Öncelikle bu denklemin çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını kontrol etmeniz gerekiyor, diskriminantı bulalım. Bu örnekte işaret çarpıma bağlı olduğundan (0'dan küçük olmalıdır), yani verilen denklemin kökleri vardır.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Bu durumda köklerle uğraştığımız için basitçe kökleri seçmek oldukça zor olacaktır. Ancak katsayıların dengeli olduğunu görüyoruz, yani bunu varsayarsak ve bu değeri denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz: sonraki sistem: , yani 5-5=0. Böylece bu ikinci dereceden denklemin köklerinden birini seçtik.

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlarına ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz:

Asıl problemi hatırlayalım, kesri azaltmamız gerekiyordu.

yerine koyarak sorunu çözmeye çalışalım.

Bu durumda paydanın 0'a yani 0'a eşit olamayacağını unutmamak gerekir.

Bu koşullar yerine getirilirse orijinal kesri forma indirgemiş oluruz.

Problem No. 3 (parametreli görev)

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı parametrenin hangi değerlerindedir?

Bu denklemin kökleri mevcutsa, o zaman , soru: ne zaman.

İkinci dereceden üç terimli sayıları çarpanlara ayırmak, herkesin er ya da geç karşılaştığı okul ödevlerinden biridir. Nasıl yapılır? İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmanın formülü nedir? Örnekleri kullanarak adım adım çözelim.

Genel formül

İkinci dereceden trinomialler ikinci dereceden bir denklem çözülerek çarpanlara ayrılır. Bu, birkaç yöntemle çözülebilecek basit bir problemdir; Vieta teoremini kullanarak diskriminantı bularak grafiksel bir çözüm de bulabilirsiniz. İlk iki yöntem lisede öğrenilir.

Genel formül şöyle görünür:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Görevi tamamlamak için algoritma

İkinci dereceden üç terimlileri çarpanlarına ayırmak için Vita teoremini bilmeniz, elinizde bir çözüm programının olması, grafiksel olarak bir çözüm bulabilmeniz veya diskriminant formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini arayabilmeniz gerekir. İkinci dereceden bir üç terimli verilmişse ve çarpanlara ayrılması gerekiyorsa, algoritma aşağıdaki gibidir:

1) Bir denklem elde etmek için orijinal ifadeyi sıfıra eşitleyin.

2) Getir benzer terimler(böyle bir ihtiyaç varsa).

3) Bilinen herhangi bir yöntemi kullanarak kökleri bulun. Grafik yöntemi Köklerin tam sayılar ve küçük sayılar olduğu önceden biliniyorsa kullanılması daha iyidir. Kök sayısının denklemin maksimum derecesine eşit olduğu, yani ikinci dereceden denklemin iki kökü olduğu unutulmamalıdır.

4) Değeri değiştirin X ifadeye (1) dönüştürülür.

5) İkinci dereceden trinomiallerin çarpanlara ayrılmasını yazın.

Örnekler

Uygulama, nihayet bu görevin nasıl gerçekleştirildiğini anlamanıza olanak tanır. Örnekler, bir kare trinomiyalin çarpanlarına ayrılmasını göstermektedir:

ifadeyi genişletmek gerekir:

Algoritmamıza başvuralım:

1) x 2 -17x+32=0

2) benzer terimler azaltılır

3) Vieta formülünü kullanarak bu örneğin köklerini bulmak zordur, dolayısıyla diskriminant için şu ifadeyi kullanmak daha iyidir:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Bulduğumuz kökleri ayrıştırmanın temel formülünde yerine koyalım:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) O zaman cevap şu şekilde olacaktır:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Diskriminantın bulduğu çözümlerin Vieta formüllerine uyup uymadığını kontrol edelim:

14,845 . 2,155=32

Bu kökler için Vieta teoremi uygulanırsa doğru bulunmuş yani elde ettiğimiz çarpanlara ayırma da doğrudur.

Benzer şekilde 12x2 + 7x-6'yı da genişletiyoruz.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Önceki durumda çözümler tamsayı değildi, fakat gerçek sayılarÖnünüzde bir hesap makinesi varsa bunları bulmak kolaydır. Şimdi daha fazlasına bakalım karmaşık örnek, burada kökler karmaşık olacaktır: faktör x 2 + 4x + 9. Vieta formülünü kullanarak kökler bulunamıyor ve diskriminant negatif. Kökler karmaşık düzlemde olacaktır.

D=-20

Buna dayanarak bizi ilgilendiren kökleri elde ederiz -4+2i*5 1/2 ve -4-2i * 5 1/2 (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kökleri genel formülde değiştirerek istenen ayrışmayı elde ederiz.

Başka bir örnek: 23x 2 -14x+7 ifadesini çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Denklemimiz var 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Bu, köklerin 14+21.166i olduğu anlamına gelir ve 14-21.166i. Cevap şöyle olacaktır:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Diskriminant yardımı olmadan çözülebilecek bir örnek verelim.

Diyelim ki ikinci dereceden denklem x 2 -32x+255'i açmamız gerekiyor. Açıkçası, bir diskriminant kullanılarak da çözülebilir, ancak bu durumda kökleri bulmak daha hızlıdır.

x 1 =15

x 2 =17

Araç x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma C3 problemindeki veya C5 parametresindeki problemdeki eşitsizlikleri çözerken yararlı olabilir. Ayrıca, Vieta teoremini biliyorsanız birçok B13 kelime problemi çok daha hızlı çözülecektir.

Bu teoremi elbette ilk kez öğretildiği 8. sınıf perspektifinden de değerlendirmek mümkündür. Ancak görevimiz Birleşik Devlet Sınavına iyi hazırlanmak ve sınav görevlerini mümkün olduğunca verimli bir şekilde çözmeyi öğrenmek. Bu nedenle bu ders okuldaki yaklaşımdan biraz farklı bir yaklaşımı ele almaktadır.

Denklemin kökleri için Vieta teoremini kullanan formül Birçok kişi biliyor (ya da en azından görmüş):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

burada 'a, b' ve 'c' ikinci dereceden trinomial 'ax^2+bx+c'nin katsayılarıdır.

Teoremin nasıl kolayca kullanılacağını öğrenmek için nereden geldiğini anlayalım (bu aslında hatırlamayı kolaylaştıracaktır).

'ax^2+ bx+ c = 0' denklemini ele alalım. Daha fazla kolaylık sağlamak için, bunu "a"ya bölün ve "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0" değerini elde edin. Böyle bir denklem indirgenmiş ikinci dereceden denklem denir.

Önemli ders fikri: Kökleri olan herhangi bir ikinci dereceden polinom parantez içine genişletilebilir. Bizimkinin 'x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)' olarak temsil edilebileceğini varsayalım, burada `k' ve ` l' - bazı sabitler.

Parantezlerin nasıl açıldığını görelim:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Dolayısıyla, 'k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)'.

Bu klasik yorumdan biraz farklıdır. Vieta'nın teoremi- içinde denklemin köklerini arıyoruz. Şartları aramayı öneriyorum braket ayrıştırması- bu şekilde formüldeki eksileri hatırlamanıza gerek kalmaz ("x_1+x_2 = -\frac(b)(a)" anlamına gelir). Toplamı ortalama katsayıya eşit olan ve çarpımı serbest terime eşit olan iki sayıyı seçmek yeterlidir.

Denklem için bir çözüme ihtiyacımız varsa, o zaman açıktır: 'x=-k' veya 'x=-l' kökleri (çünkü bu durumlarda parantezlerden biri sıfır olacaktır, bu da tüm ifadenin sıfır olacağı anlamına gelir) ).

Örnek olarak size algoritmayı göstereceğim: İkinci dereceden bir polinomun parantez içine nasıl genişletileceği.

Örnek bir. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma algoritması

Elimizdeki yol çeyrek daireli bir üç terimli 'x^2+5x+4'.

Azaltılır ("x^2" katsayısı bire eşittir). Onun kökleri var. (Elbette diskriminantı tahmin edebilir ve sıfırdan büyük olduğundan emin olabilirsiniz.)

Diğer adımlar (tüm eğitim görevlerini tamamlayarak bunları öğrenmeniz gerekir):

1. Aşağıdaki girişi tamamlayın: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Noktalar yerine boş alan bırakın, oraya uygun sayılar ve işaretler ekleyeceğiz.
2. Hepsini gör olası seçenekler'4' sayısını iki sayının çarpımına nasıl ayrıştırırsınız? Denklemin kökleri için "aday" çiftleri elde ederiz: '2, 2' ve '1, 4'.
3. Ortalama katsayıyı hangi çiftten alabileceğinizi bulun. Açıkçası '1, 4'.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ yazın.
5. Bir sonraki adım, eklenen sayıların önüne işaretler yerleştirmektir.

   Parantez içindeki sayılardan önce hangi işaretlerin görünmesi gerektiğini nasıl anlayabilir ve sonsuza kadar hatırlayabilirsiniz? Bunları (parantezleri) açmayı deneyin. 'x'in birinci kuvvetinden önceki katsayı '(± 4 ± 1)' olacaktır (işaretlerini henüz bilmiyoruz - seçmemiz gerekiyor) ve '5'e eşit olmalıdır. Açıkçası iki artı olacak $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Bu işlemi birkaç kez gerçekleştirin (merhaba, eğitim görevleri!) ve daha fazla sorun bu asla olmayacak.

Eğer 'x^2+5x+4' denklemini çözmeniz gerekiyorsa, bunu çözmek artık zor olmayacak. Kökleri '-4, -1'dir.

Örnek iki. İkinci dereceden bir üç terimlinin farklı işaret katsayılarıyla çarpanlarına ayrılması

'x^2-x-2=0' denklemini çözmemiz gerekiyor. Hazırlıksız, diskriminant pozitiftir.

Algoritmayı takip ediyoruz.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. İkinin tam sayı çarpanlarına ayrılması yalnızca bir tanedir: "2 · 1".
3. Bu noktayı atlıyoruz; seçilebilecek hiçbir şey yok.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Sayılarımızın çarpımı negatif ('-2' serbest terimdir) yani biri negatif diğeri pozitif olacaktır.
   Toplamları '-1'e ('x'in katsayısı) eşit olduğundan, o zaman '2' negatif olacaktır (sezgisel açıklama, ikinin iki sayıdan daha büyük olduğu, daha güçlü bir şekilde "çekeceği" yönündedir). Negatif yön). $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ elde ederiz.

Üçüncü örnek. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Denklem 'x^2+5x -84 = 0'dır.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84'ün tam sayı çarpanlarına ayrıştırılması: '4 21, 6 14, 12 7, 2 42'.
3. Sayıların farkının (veya toplamının) 5 olması gerektiğinden '7, 12' çifti uygundur.
4. $$x+ 5x-84=(x\dört 12) (x\dört 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Umut, bu ikinci dereceden üç terimlinin parantezlere genişletilmesi Apaçık.

Bir denklemin çözümüne ihtiyacınız varsa işte burada: '12, -7'.

Eğitim görevleri

Kolayca yapılabilecek birkaç örneği dikkatinize sunuyorum. Vieta teoremi kullanılarak çözülür.(Örnekler "Matematik" dergisinden alınmıştır, 2002.)

1. 'x^2+x-2=0'
2. 'x^2-x-2=0'
3. 'x^2+x-6=0'
4. 'x^2-x-6=0'
5. 'x^2+x-12=0'
6. 'x^2-x-12=0'
7. 'x^2+x-20=0'
8. 'x^2-x-20=0'
9. 'x^2+x-42=0'
10. 'x^2-x-42=0'
11. 'x^2+x-56=0'
12. 'x^2-x-56=0'
13. 'x^2+x-72=0'
14. 'x^2-x-72=0'
15. 'x^2+x-110=0'
16. 'x^2-x-110=0'
17. 'x^2+x-420=0'
18. 'x^2-x-420=0'

Makalenin yazılmasından birkaç yıl sonra, ayrıştırmaya yönelik 150 görevden oluşan bir koleksiyon ortaya çıktı ikinci dereceden polinom Vieta teoremine göre.

Beğenin ve yorumlarda soru sorun!

Dünya çok sayıda sayıya dalmış durumda. Herhangi bir hesaplama onların yardımıyla gerçekleşir.

İnsanlar daha sonraki yaşamlarında aldatılmamak için sayıları öğrenirler. Eğitim almak ve kendi bütçenizi belirlemek çok zaman alır.

Matematik tam olarak oynayan bir bilimdir büyük rol hayatta. Okulda çocuklar sayıları ve ardından bunlara ilişkin eylemleri inceler.

Sayılarla ilgili işlemler tamamen farklıdır: çarpma, genişletme, toplama ve diğerleri. Matematik çalışmalarında basit formüllerin yanı sıra daha karmaşık eylemler de kullanılır. Herhangi bir değeri bulmak için kullanılabilecek çok sayıda formül vardır.

Okulda cebir ortaya çıktığı anda öğrencinin hayatına sadeleştirme formülleri eklenir. İki bilinmeyen sayının olduğu denklemler var, ancak bulun basit bir şekildeçalışmayacak. Bir trinomial, üç monomiyalin birleşimidir. basit yöntemçıkarma ve ekleme. Trinom, Vieta teoremi ve diskriminant kullanılarak çözülür.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma formülü

İki doğru var ve basit çözümlerörnek:

• ayrımcı;
• Vieta'nın teoremi.

Bir kare trinomialin bilinmeyen bir karesi ve karesi olmayan bir sayısı vardır. Sorunu çözmenin ilk seçeneği Vieta'nın formülünü kullanıyor. Bu basit bir formül Bilinmeyenden önce gelen sayılar minimum değer olacaksa.

Bir sayının bilinmeyenden önce geldiği diğer denklemler için denklemin diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir. Bu daha karmaşık bir çözümdür ancak diskriminant Vieta teoreminden çok daha sık kullanılır.

Başlangıçta hepsini bulmak için denklem değişkenleriörneği 0'a yükseltmek gerekiyor. Örneğin çözümünü kontrol ederek sayıların doğru ayarlanıp ayarlanmadığını öğrenebilirsiniz.

diskriminant

1. Denklemi 0'a eşitlemek gerekir.

2. x'ten önceki her sayıya a, b, c sayıları adı verilecektir. İlk x karesinden önce sayı olmadığından 1'e eşittir.

3. Şimdi denklemin çözümü diskriminantla başlıyor:

4. Şimdi diskriminantı bulduk ve iki x'i bulduk. Aradaki fark, bir durumda b'nin önüne bir artı, diğer durumda ise bir eksi gelmesidir:

5. İki sayı çözüldüğünde sonuçlar -2 ve -1 oldu. Orijinal denklemde yerine koyun:

6. Bu örnekte iki tane ortaya çıktı doğru seçenekler. Her iki çözüm de uygunsa her biri doğrudur.

Diskriminant kullanılarak daha karmaşık denklemler de çözülür. Ancak diskriminant değerinin kendisi 0'dan küçükse örnek yanlıştır. Arama yaparken diskriminant her zaman köktedir ve negatif bir değer kökte olamaz.

Vieta'nın teoremi

İlk x'in önünde bir sayının olmadığı (a=1) kolay problemleri çözmek için kullanılır. Seçenek eşleşirse hesaplama Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilir.

Herhangi bir üçlüyü çözmek için denklemi 0'a yükseltmek gerekir. Diskriminantın ilk adımları ve Vieta teoremi farklı değildir.

2. Artık iki yöntem arasındaki farklar başlıyor. Vieta'nın teoremi yalnızca "kuru" hesaplamayı değil aynı zamanda mantığı ve sezgiyi de kullanır. Her sayının kendine ait a, b, c harfleri vardır. Teorem iki sayının toplamını ve çarpımını kullanır.

Hatırlamak! B sayısı toplandığında her zaman ters işarete sahiptir, ancak c sayısı değişmeden kalır!

Örnekteki veri değerlerini değiştirme , şunu elde ederiz:

3. Mantık yöntemini kullanarak en uygun sayıları yerine koyarız. Tüm çözüm seçeneklerini ele alalım:

1. Sayılar 1 ve 2’dir. Toplayınca 3 elde ederiz ama çarparsak 4 elde etmeyiz.
2. Değer 2 ve -2. Çarpıldığında -4 olacak ama toplandığında 0 çıkıyor. Uygun değil.
3. 4 ve -1 sayıları. Çarpma negatif bir değer içerdiğinden, sayılardan birinin negatif olacağı anlamına gelir. Toplama ve çarpma işlemlerine uygundur. Doğru seçenek.

4. Geriye kalan tek şey sayıları düzenleyerek kontrol etmek ve seçilen seçeneğin doğru olup olmadığına bakmaktır.

5. Çevrimiçi kontrol sayesinde -1'in örneğin koşullarına uymadığını ve dolayısıyla yanlış bir çözüm olduğunu öğrendik.

Eklerken olumsuz değerörnekte sayıyı parantez içine almanız gerekir.

Matematikte her zaman olacak basit görevler ve karmaşık. Bilimin kendisi de çeşitli problemleri, teoremleri ve formülleri içerir. Bilgiyi doğru anlar ve uygularsanız, hesaplamalarla ilgili herhangi bir zorluk önemsiz olacaktır.

Matematik sürekli ezberlemeyi gerektirmez. Çözümü anlamayı öğrenmeniz ve birkaç formül öğrenmeniz gerekir. Yavaş yavaş mantıksal sonuçlara göre benzer problemleri ve denklemleri çözmek mümkündür. Böyle bir bilim ilk bakışta çok zor görünebilir, ancak sayılar ve problemler dünyasına dalılırsa, o zaman görüş çarpıcı biçimde değişecektir. daha iyi taraf.

Teknik uzmanlıklar her zaman dünyanın en çok arananı olmaya devam ediyor. Artık dünyada modern teknolojiler Matematik her alanın vazgeçilmez bir özelliği haline geldi. Her zaman hatırlamalıyız faydalı özellikler matematik.

Bir üç terimliyi parantez kullanarak genişletme

Alışılmış yöntemleri çözmenin yanı sıra, başka bir yöntem daha var - parantezlere ayırma. Vieta formülü kullanılarak kullanılır.

1. Denklemi 0'a eşitleyin.

balta 2 +bx+c= 0

2. Denklemin kökleri aynı kalıyor ancak artık sıfır yerine parantez içindeki genişletme formüllerini kullanıyorlar.

balta 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Çözüm x=-1, x=3