Kesirlerin paydalarının en küçük ortak katı nasıl bulunur? Çevrimiçi hesap makinesi GCD ve LCM'yi bulma (hesaplama)

Dahili
27.09.2019

Aşağıdaki problemi çözmeyi düşünelim. Oğlanın adımı 75 cm, kızın adımı 60 cm'dir Her ikisinin de tam sayı sayıda adım attığı en küçük mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm.Çocukların geçeceği yolun tamamı 60 ve 70'e bölünebilir olmalı, çünkü her birinin tam sayıda adım atması gerekiyor. Yani cevap hem 75'in hem de 60'ın katı olmalıdır.

Öncelikle 75 sayısının tüm katlarını yazacağız. Şunu elde ederiz:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Şimdi 60'ın katı olacak sayıları yazalım. Şunu elde ederiz:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Şimdi her iki satırdaki sayıları buluyoruz.

  • Sayıların ortak katları 300, 600 vb. olacaktır.

Bunlardan en küçüğü 300 sayısıdır. bu durumda 75 ve 60'ın en küçük ortak katı denir.

Sorunun durumuna dönecek olursak, erkeklerin tam sayı adım atacağı en küçük mesafe 300 cm olacaktır Erkek çocuk bu yolu 4 adımda, kız çocuğun ise 5 adım atması gerekecektir.

En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi

  • a ve b gibi iki doğal sayının en küçük ortak katı en küçüktür doğal sayı bu hem a'nın hem de b'nin katıdır.

İki sayının en küçük ortak katını bulmak için bu sayıların tüm katlarını arka arkaya yazmaya gerek yoktur.

Aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.

En küçük ortak kat nasıl bulunur

Öncelikle bu sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Şimdi birinci sayının (2,2,3,5) açılımındaki tüm çarpanları yazalım ve buna ikinci sayının (5) açılımındaki tüm eksik çarpanları ekleyelim.

Sonuç olarak bir dizi asal sayı elde ederiz: 2,2,3,5,5. Bu sayıların çarpımı bu sayılar için en az ortak faktör olacaktır. 2*2*3*5*5 = 300.

En küçük ortak katı bulmak için genel şema

  • 1. Sayıları asal faktörlere bölün.
  • 2. Bunlardan birinin parçası olan asal faktörleri yazın.
  • 3. Bu faktörlere diğerlerinin genişlemesinde olan ancak seçilende olmayanları ekleyin.
  • 4. Tüm yazılı faktörlerin çarpımını bulun.

Bu yöntem evrenseldir. Herhangi bir sayıda doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için kullanılabilir.

Kesirli örnekleri çözmek için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - kavram

En küçük ortak payda (LCD) basit kelimelerle bu örnekte tüm kesirlerin paydalarına bölünebilen minimum sayıdır. Başka bir deyişle En Küçük Ortak Kat (LCM) olarak adlandırılır. NOS yalnızca kesirlerin paydaları farklıysa kullanılır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - örnekler

NOC bulma örneklerine bakalım.

Hesaplayın: 3/5 + 2/15.

Çözüm (Eylem sırası):

  • Kesirlerin paydalarına bakıyoruz, farklı olmalarına ve ifadelerin mümkün olduğunca kısaltılmış olmasına dikkat ediyoruz.
  • Hem 5'e hem de 15'e bölünebilen en küçük sayıyı buluyoruz. Bu sayı 15 olacaktır. Böylece 3/5 + 2/15 = ?/15 olur.
  • Paydayı bulduk. Payda ne olacak? Ek bir çarpan bunu anlamamıza yardımcı olacaktır. Ek bir faktör, NZ'nin belirli bir kesirin paydasına bölünmesiyle elde edilen sayıdır. 3/5 için ek faktör 3'tür çünkü 15/5 = 3'tür. İkinci kesir için ek faktör 1'dir çünkü 15/15 = 1'dir.
  • Ek faktörü bulduktan sonra onu kesirlerin paylarıyla çarpıyoruz ve elde edilen değerleri ekliyoruz. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.


Cevap: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Örnekte 2 değil 3 ekler veya çıkarırsak veya daha fazla kesir, o zaman verilen sayıda kesir için BOH aranmalıdır.

Hesapla: 1/2 – 5/12 + 3/6

Çözüm (eylem sırası):

  • En düşük ortak paydayı bulma. 2, 12 ve 6'ya bölünebilen minimum sayı 12'dir.
  • Şunu elde ederiz: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
  • Ek çarpanlar arıyoruz. 1/2 – 6 için; 5/12 – 1 için; 3/6 – 2 için.
  • Payları çarparak karşılık gelen işaretleri atarız: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Cevap: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak kat ile en büyük ortak kat arasındaki bağlantıyı zaten kurmuştuk. ortak bölen. Şimdi GCD aracılığıyla LCM'nin nasıl belirleneceğini öğrenelim. Öncelikle pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.

Tanım 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en küçük ortak katı en büyük ortak bölenden bulabilirsiniz.

örnek 1

126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.

70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

Örnek 2

68 ve 34 sayısını bulun.

Çözüm

Bu durumda GCD'yi bulmak zor değil çünkü 68 34'e bölünebilir. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

Şimdi sayıları asal çarpanlarına ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.

Tanım 2

En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:

  • LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
  • tüm asal faktörleri bunların ortaya çıkan ürünlerinden hariç tutuyoruz;
  • ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.

En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda iki sayının gcd'si, bu iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.

Örnek 3

75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.

Örnek 4

Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.

Çözüm

Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3

Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:

  • Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
  • birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
  • iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.

Örnek 5

Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.

Örnek 6

84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7 sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3 648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.

Teorem 1

Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.

Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Örnek 7

140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .

Çözüm

Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dolayısıyla m2 = 1.260.

Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.

Sadece m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250) hesaplamamız gerekiyor. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.

Tanım 4

Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:

  • tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
  • birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
  • önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
  • ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.

Örnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar yani 7 sayısı asal faktörlere dahil edilemez. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.

Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.

Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma

En küçük ortak katı bulmak için negatif sayılar, bu sayıların önce ters işaretli sayılarla değiştirilmesi, ardından yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekir.

Örnek 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.

Örnek 10

Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .

Çözüm

Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesaplıyoruz.

Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .

Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.


Aşağıda sunulan materyal mantıksal devam LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ve GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teoriler. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM), Ve Özel dikkatÖrnekleri çözmeye odaklanalım. Öncelikle iki sayının LCM'sinin bu sayıların OBE'sini kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edeceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ile GCD arasındaki mevcut bağlantı, bilinen bir en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tam sayının en küçük ortak katını hesaplamamıza olanak tanır. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b) . Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerine bakalım.

Örnek.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a=126 , b=70 . Aşağıdaki formülle ifade edilen LCM ile GCD arasındaki bağlantıyı kullanalım. LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.

Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: OBEB(126, 70)=126·70:OBEB(126, 70)= 126.70:14=630.

Cevap:

LCM(126, 70)=630 .

Örnek.

LCM(68, 34) neye eşittir?

Çözüm.

Çünkü 68, 34'e bölünebilirse OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: OBEB(68, 34)=68·34:OBEB(68, 34)= 68.34:34=68.

Cevap:

LCM(68, 34)=68 .

dikkat et ki önceki örnek pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyar: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların ayrıştırmalarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .

LCM'yi bulmak için belirtilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, OBEB(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin çarpımına eşittir (sayıların asal çarpanlara açılmasını kullanarak OBE'yi bulma bölümünde anlatıldığı gibi).

Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir, yani: NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Örnek.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Cevap:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik faktörler, a sayısının açılımındaki faktörlere eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..

Örnek olarak aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, asal çarpanlarına ayrıştırmaları şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.

Örnek.

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.

Cevap:

LCM(84, 648)=4,536 .

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.

Teorem.

Tam sayılar verilsin pozitif sayılar a 1 , a 2 , …, a k , bu sayıların en küçük ortak katı m k ardışık olarak hesaplanarak bulunur m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , …, m k = LCM( m k−1 , a k) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

İlk önce buluyoruz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dolayısıyla GCD(140, 9)=1 , buradan OBEB(140, 9)=140 9:OBEB(140, 9)= 140.9:1=1.260. Yani m2 =1 260.

Şimdi bulduk m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.

Geriye kalan tek şey bulmak m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCM(3,780, 250)=10, dolayısıyla GCM(3,780, 250)= 3 780 250: OBEB(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

Cevap:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda aşağıdaki kurala uymalısınız. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; ortaya çıkan faktörlere üçüncü sayı eklenir ve bu şekilde devam eder.

Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.

Örnek.

84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 asal bir sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla) ve 143=11·13.

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bir sonraki adımda bu sete çarpan eklemenize gerek kalmayacak çünkü 7 zaten içinde yer alıyor. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.

Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM ayrıca iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanan bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

Adımlar

Katlar dizisi

    Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan küçük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. büyük sayılar, başka bir yöntem kullanın.

    • Örneğin 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

  1. Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda katlar bulunabilir.

    • Örneğin 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın.İki sayı kümesini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

    • Örneğin 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

  3. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayıyı bulun. Bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. toplam sayısı. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

    • Örneğin, en küçük sayı 5 ve 8'in katları serisinde bulunan 40 sayısıdır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

    Asal çarpanlara ayırma

    1. Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

    2. İlk sayıyı asal faktörlere ayırın. Yani, böyle bulmanız gerekiyor asal sayılarçarpıldığında bu sayı elde edilir. Asal çarpanları bulduktan sonra bunları eşitlik olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Buna göre 20 sayısının asal çarpanları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

    3. İkinci sayıyı asal faktörlere ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız şekilde yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

    4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) bunun üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının da ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle şunu yazın: 2 × (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
      • Her iki sayının da ortak noktası 2'nin bir çarpanı daha, o halde yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

    5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar her iki ifadede de üstü çizili olmayan faktörlerdir, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Her iki iki (2) de ortak çarpanlar oldukları için üzeri çizilmiştir. 5 faktörünün üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • İfadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikilinin (2) de üzeri çizilir. 7 ve 3 çarpanlarının üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

    6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ile 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

    Ortak faktörleri bulma

    1. Tic-tac-toe oyununa benzer bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, başka iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu size üç satır ve üç sütun verecektir (ızgara, # simgesine çok benzer). İlk sayıyı birinci satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin 18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18 sayısını, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 sayısını yazın.

    2. Her iki sayının ortak bölenini bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin 18 ve 30 çift sayılar olduğundan ortak çarpanları 2'dir. O halde ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

    3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü uygun sayının altına yazın. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9) yani 18 yaş altı 9 yazın.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15) 30'un altında 15 yazın.

    4. Her iki bölümün ortak bölenini bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi halde ikinci satıra ve birinci sütuna böleni yazın.

      • Örneğin 9 ve 15 3'e bölünebildiği için ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

    5. Her bölümü ikinci bölenine bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) yani 3'ü 9'un altına yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5) 15'in altına 5 yazın.

    6. Gerekirse ızgaraya ek hücreler ekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

    7. Tablonun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Daha sonra seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları ise son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

    8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Yani 18 ile 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

    Öklid algoritması

    1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi unutmayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur. Kalan, iki sayının bölünmesinden kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 temettü
        6 bir bölendir
        2 bölümdür
        Geriye kalan 3'tür.