Sayılar nasıl azaltılıyor? Çevrimiçi hesap makinesi Kesirlerin azaltılması (düzensiz, karışık)

Kesirlerin nasıl azaltılacağını anlamak için önce bir örneğe bakalım.

Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı şeye bölmek anlamına gelir. Hem 360 hem de 420 rakamıyla bitiyor, dolayısıyla bu kesri 2'ye indirebiliriz. Yeni kesirde hem 180 hem de 210 da 2'ye bölünebilir, dolayısıyla bu kesri 2'ye düşürüyoruz. 90 ve 105 sayılarında toplam rakamların rakamları 3'e bölünebildiği için bu sayıların ikisi de 3'e bölünüyor, kesri 3'e düşürüyoruz. Yeni kesirde 30 ve 35'in sonu 0 ve 5 ile bitiyor, yani her iki sayı da 5'e bölünüyor, yani azaltıyoruz kesir 5'tir. Ortaya çıkan yedide altılık kesir indirgenemez. Bu son cevaptır.

Aynı cevaba farklı şekillerde de ulaşabiliriz.

360 da 420 de sıfırla bitiyor yani 10'a bölünebiliyorlar. Kesri 10 azaltıyoruz. Yeni kesirde hem pay 36 hem de payda 42 2'ye bölünüyor. Kesri 2'ye düşürüyoruz. B sonraki kesir hem pay 18 hem de payda 21 3'e bölünebilir, bu da kesri 3'e indirdiğimiz anlamına gelir. Sonuca ulaştık - altı yedinci.

Ve bir çözüm daha.

Bir dahaki sefere kesirleri azaltma örneklerine bakacağız.

Bu yazıda nasıl yapılacağına ayrıntılı olarak bakacağız. kesirlerin azaltılması. Öncelikle kesrin azaltılması denilen şeye değinelim. Bundan sonra indirgenebilir bir kesrin indirgenemez forma indirgenmesinden bahsedelim. Daha sonra kesirleri azaltma kuralını elde edeceğiz ve son olarak bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Bir kesri azaltmak ne anlama gelir?

Sıradan kesirlerin indirgenebilir ve indirgenemez kesirlere bölündüğünü biliyoruz. İndirgenebilir kesirlerin indirgenebileceğini, ancak indirgenemez kesirlerin indirgenemeyeceğini isimlerinden tahmin edebilirsiniz.

Bir kesri azaltmak ne anlama gelir? Kesri azalt- bu, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı olanlarına bölmek anlamına gelir. Bir kesirin azaltılması sonucunda pay ve paydası daha küçük olan yeni bir kesir elde edileceği ve kesirin temel özelliği nedeniyle ortaya çıkan kesirin orijinal kesire eşit olacağı açıktır.

Örneğin ortak kesri 8/24'ü pay ve paydasını 2'ye bölerek azaltalım. Yani 8/24 kesrini 2'ye indirelim. 8:2=4 ve 24:2=12 olduğundan, bu indirgeme 4/12 kesiriyle sonuçlanır, bu da orijinal kesir olan 8/24'e eşittir (bkz. eşit ve eşit olmayan kesirler). Sonuç olarak elimizde.

Sıradan kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi

Tipik olarak bir fraksiyonu azaltmanın nihai amacı, orijinal indirgenebilir fraksiyona eşit bir indirgenemez fraksiyon elde etmektir. Bu amaca, orijinal indirgenebilir kesirin pay ve paydaya indirgenmesiyle ulaşılabilir. Böyle bir indirgemenin sonucunda her zaman indirgenemez bir kesir elde edilir. Aslında bir kısmı indirgenemez olduğu bilindiğinden Ve - . Burada şunu söyleyeceğiz: en büyüğü ortak bölen Bir kesrin pay ve paydası, o kesrin azaltılabileceği en büyük sayıdır.

Bu yüzden, Ortak bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek orijinal indirgenebilir fraksiyonun pay ve paydasının gcd'lerine bölünmesinden oluşur.

8/24 kesrine geri döndüğümüz ve bunu 8 ve 24 sayılarının 8'e eşit olan en büyük ortak bölenine indirgediğimiz bir örneğe bakalım. 8:8=1 ve 24:8=3 olduğundan indirgenemez kesir 1/3'e geliyoruz. Bu yüzden, .

"Bir kesri azaltmak" ifadesinin çoğunlukla orijinal kesri indirgenemez formuna indirgemek anlamına geldiğini unutmayın. Başka bir deyişle, bir kesri azaltmak çoğu zaman pay ve paydayı (herhangi bir ortak faktör yerine) en büyük ortak faktöre bölmek anlamına gelir.

Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları ve örnekleri

Geriye kalan tek şey, belirli bir kesirin nasıl azaltılacağını açıklayan kesirleri azaltma kuralına bakmaktır.

Kesirleri azaltma kuralı iki adımdan oluşur:

• öncelikle kesrin pay ve paydasının gcd'si bulunur;
• ikinci olarak, kesrin payı ve paydası, orijinaline eşit indirgenemez bir kesir veren gcd'lerine bölünür.

Hadi halledelim bir kesri azaltma örneği belirtilen kurala göre.

Örnek.

182/195 fraksiyonunu azaltın.

Çözüm.

Bir kesri azaltma kuralının öngördüğü her iki adımı da uygulayalım.

İlk önce GCD(182, 195)'i buluyoruz. Öklid algoritmasını kullanmak en uygunudur (bkz.): 195=182·1+13, 182=13·14, yani GCD(182, 195)=13.

Şimdi 182/195 kesirinin pay ve paydasını 13'e böleriz ve orijinal kesre eşit olan indirgenemez kesir 14/15'i elde ederiz. Bu, fraksiyonun azaltılmasını tamamlar.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .

Cevap:

Kesirleri azaltmayı burada bitirebiliriz. Ancak resmi tamamlamak için, genellikle kolay durumlarda kullanılan kesirleri azaltmanın iki yoluna daha bakalım.

Bazen kesrin pay ve paydasının indirgenmesi zor değildir. Bu durumda bir kesri azaltmak çok basittir: pay ve paydadaki tüm ortak faktörleri kaldırmanız yeterlidir.

Pay ve paydanın tüm ortak asal faktörlerinin çarpımı, en büyük ortak bölenlerine eşit olduğundan, bu yöntemin doğrudan kesirleri azaltma kuralından kaynaklandığını belirtmekte fayda var.

Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Kesiri 360/2 940 azaltın.

Çözüm.

Pay ve paydayı basit çarpanlara ayıralım: 360=2·2·2·3·3·5 ve 2,940=2·2·3·5·7·7. Böylece, .

Şimdi pay ve paydadaki ortak çarpanlardan kurtuluyoruz; kolaylık olması açısından bunların üzerini çiziyoruz: .

Son olarak kalan çarpanları çarpıyoruz: ve kesrin indirgenmesi tamamlanıyor.

İşte çözümün kısa bir özeti: .

Cevap:

Sıralı indirgeme içeren bir kesri azaltmanın başka bir yolunu düşünelim. Burada, her adımda kesir, pay ve paydanın bazı ortak bölenleri tarafından azaltılır; bu, ya açık ya da kullanılarak kolayca belirlenebilir.

Çevrimiçi hesap makinesi gerçekleştirir cebirsel kesirlerin azaltılması kesirleri azaltma kuralına uygun olarak: orijinal kesri eşit bir kesirle, ancak daha küçük bir pay ve paydayla değiştirmek, yani. Bir kesrin payını ve paydasını ortak en büyük ortak faktörüne (GCD) aynı anda bölmek. Hesap makinesi ayrıca şunları da görüntüler: detaylı çözüm azaltma sırasını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Verilen:

Çözüm:

Kesir azaltma işlemi gerçekleştirme

cebirsel kesir azaltma gerçekleştirme olasılığının kontrol edilmesi

1) Bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin (GCD) belirlenmesi

cebirsel bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme

2) Bir kesrin pay ve paydasının azaltılması

cebirsel bir kesrin payını ve paydasını azaltmak

3) Bir kesrin tam kısmını seçmek

cebirsel bir kesirin tamamını ayırma

4) Cebirsel bir kesri ondalık kesire dönüştürme

cebirsel bir kesri dönüştürme ondalık

Projenin web sitesinin geliştirilmesi için yardım

Sayın Site Ziyaretçisi.
Aradığınızı bulamadıysanız, sitede şu anda neyin eksik olduğunu yorumlarda yazdığınızdan emin olun. Bu, hangi yönde ilerlememiz gerektiğini anlamamıza yardımcı olacak ve diğer ziyaretçiler de yakında gerekli malzemeyi alabilecek.
Sitenin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa siteyi projeye bağışlayın sadece 2 ₽ ve doğru yönde ilerlediğimizi bileceğiz.

Uğradığınız için teşekkür ederim!

I. Çevrimiçi bir hesap makinesi kullanarak cebirsel bir kesri azaltma prosedürü:

1. Cebirsel bir kesri azaltmak için kesrin pay ve payda değerlerini uygun alanlara girin. Kesir karışıksa, kesrin tamamına karşılık gelen alanı da doldurun. Kesir basitse parça alanının tamamını boş bırakın.
2. Negatif bir kesir belirtmek için kesrin tamamına eksi işareti koyun.
3. Belirtilen cebirsel kesre bağlı olarak aşağıdaki eylem dizisi otomatik olarak gerçekleştirilir:

• bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme;
• bir kesrin pay ve paydasını gcd ile azaltmak;
• bir kesrin tamamının vurgulanması son kesrin payı paydadan büyükse.
• son cebirsel kesri ondalık kesre dönüştürme en yakın yüzlüğe yuvarlanır.

Azaltma uygunsuz bir kesirle sonuçlanabilir. Bu durumda, son uygunsuz kesir vurgulanacaktır Bütün parça ve elde edilen kesir uygun bir kesire dönüştürülecektir.

II. Referans için:

Kesir, bir birimin bir veya daha fazla bölümünden (kesirlerinden) oluşan bir sayıdır. Ortak bir kesir (basit kesir), bölme işaretini gösteren yatay bir çubukla (kesir çubuğu) ayrılan iki sayı (kesirin payı ve paydası) olarak yazılır. Bir kesrin payı, kesir çizgisinin üzerindeki sayıdır. Pay bütünden kaç pay alındığını gösterir. Bir kesrin paydası kesir çizgisinin altındaki sayıdır. Payda bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir. Basit kesir, tam kısmı olmayan kesirdir. Basit bir kesir doğru ya da yanlış olabilir. uygun kesir - payı olan bir kesir paydadan daha az, dolayısıyla uygun bir kesir her zaman birden küçüktür. Uygun kesirlere örnek: 8/7, 11/19, 16/17. Uygunsuz kesir, payın paydadan büyük veya ona eşit olduğu bir kesirdir; dolayısıyla uygunsuz kesir her zaman birden büyük veya bire eşittir. Uygunsuz kesirlere örnek: 7/6, 8/7, 13/13. Karışık kesir, bir tam sayı ve bir uygun kesir içeren ve bu tam sayı ile bir özel kesrin toplamını ifade eden bir sayıdır. Herhangi bir karışık fraksiyon, uygunsuz bir fraksiyona dönüştürülebilir. Örnek karışık kesirler: 1¼, 2½, 4¾.

III. Not:

1. Kaynak veri bloğu vurgulandı sarı , tahsis edilen ara hesaplama bloğu mavi , çözüm bloğu yeşil renkle vurgulanır.
2. Ortak veya karışık kesirleri toplamak, çıkarmak, çarpmak ve bölmek için ayrıntılı çözümleri olan çevrimiçi kesir hesaplayıcıyı kullanın.

İlk bakışta cebirsel kesirler çok karmaşık görünebilir ve hazırlıksız bir öğrenci bunlarla hiçbir şey yapılamayacağını düşünebilir. Değişkenlerin, sayıların ve hatta derecelerin birikmesi korkuyu uyandırır. Ancak ortak kesirlerde (15/25 gibi) ve cebirsel kesirlerde aynı kurallar kullanılır.

Adımlar

Kesirlerin Azaltılması

ile aktivitelere göz atın basit kesirler. Adi ve cebirsel kesirlerle işlemler benzerdir. Örneğin 15/35 kesrini ele alalım. Bu kesri basitleştirmek için şunları yapmalısınız: ortak böleni bul. Her iki sayı da beşe bölünebilir, dolayısıyla pay ve paydada 5'i yalnız bırakabiliriz:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Şimdi yapabilirsin ortak faktörleri azaltın yani pay ve paydada 5'in üzerini çizin. Sonuç olarak basitleştirilmiş kesri elde ederiz 3/7 . İÇİNDE cebirsel ifadeler ortak faktörler sıradan olanlarla aynı şekilde tahsis edilir. İÇİNDE önceki örnek 15 kişiden 5'ini kolayca tespit edebildik; aynı prensip daha fazlası için de geçerlidir karmaşık ifadeler 15x – 5 gibi. Ortak çarpanı bulalım. İÇİNDE bu durumda Her iki terim de (15x ve -5) 5'e bölünebildiği için bu 5 olacaktır. Daha önce olduğu gibi, ortak çarpanı ayırın ve taşıyın sol.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Her şeyin doğru olup olmadığını kontrol etmek için parantez içindeki ifadeyi 5 ile çarpmanız yeterlidir; sonuç, ilk baştakiyle aynı sayılar olacaktır. Karmaşık üyeler, basit olanlarla aynı şekilde izole edilebilir. Sıradan kesirlerle aynı prensipler cebirsel kesirler için de geçerlidir. Bu, bir kesri azaltmanın en kolay yoludur. Aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Hem payın (üstte) hem de paydanın (altta) bir terim (x+2) içerdiğini, dolayısıyla 15/35 kesirindeki ortak faktör 5 ile aynı şekilde azaltılabileceğini unutmayın:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Sonuç olarak basitleştirilmiş bir ifade elde ederiz: (x-3)/(x+10)

Cebirsel kesirlerin azaltılması

Paydaki, yani kesrin en üstündeki ortak faktörü bulun. Cebirsel bir kesri azaltırken ilk adım her iki tarafı da basitleştirmektir. Pay ile başlayın ve onu mümkün olduğu kadar çok parçaya ayırmaya çalışın. daha büyük sayıçarpanlar. Bu bölümde aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

9x-3 15x+6

Pay ile başlayalım: 9x – 3. 9x ve -3 için ortak çarpan 3 sayısıdır. Sıradan sayılarda olduğu gibi 3'ü parantez dışına alalım: 3 * (3x-1). Bu dönüşümün sonucu aşağıdaki kesirdir:

3(3x-1) 15x+6

Paydaki ortak faktörü bulun. Yukarıdaki örneğe devam edelim ve paydayı yazalım: 15x+6. Daha önce olduğu gibi, her iki parçanın da hangi sayıya bölünebildiğini bulalım. Ve bu durumda ortak çarpan 3 olduğundan şunu yazabiliriz: 3 * (5x +2). Kesri aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

3(3x-1) 3(5x+2)

Aynı terimleri kısaltın. Bu adımda kesri sadeleştirebilirsiniz. Pay ve paydadaki aynı terimleri iptal edin. Örneğimizde bu sayı 3'tür.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Kesirin en basit şekle sahip olduğunu belirleyin. Pay ve paydada ortak çarpan kalmadığında kesir tamamen basitleştirilmiştir. Parantez içinde görünen terimleri iptal edemeyeceğinizi unutmayın; yukarıdaki örnekte, tam terimler (3x -1) ve (5x + 2) olduğundan, x'i 3x ve 5x'ten ayırmanın bir yolu yoktur. Bu nedenle kesir daha fazla basitleştirilemez ve son cevap aşağıdaki gibidir:

(3x-1)(5x+2)

Kesirleri kendi başınıza azaltma alıştırması yapın. En iyi yol yöntemi öğrenmek bağımsız karar görevler. Doğru cevaplar örneklerin altında verilmiştir.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Cevap:(x=13)

2x 2 -x 5x

Cevap:(2x-1)/5

Özel Hareketler

Negatif işaretini kesrin dışına yerleştirin. Diyelim ki size aşağıdaki kesir veriliyor:

3(x-4) 5(4-x)

(x-4) ve (4-x)'in "neredeyse" aynı olduğunu, ancak "tersine çevrilmiş" oldukları için hemen indirgenemeyeceklerini unutmayın. Ancak (x - 4) -1 * (4 - x) şeklinde yazılabileceği gibi (4 + 2x) de 2 * (2 + x) şeklinde yazılabilir. Buna "işaretin tersine çevrilmesi" denir.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Artık aynı terimleri (4-x) azaltabilirsiniz:

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Böylece son cevabı alıyoruz: -3/5 . Kareler arasındaki farkı tanımayı öğrenin. Kareler farkı, (a 2 - b 2) ifadesinde olduğu gibi, bir sayının karesinin başka bir sayının karesinden çıkarılmasıdır. Tam karelerin farkı her zaman iki parçaya ayrılabilir: karşılık gelenlerin toplamı ve farkı Karekök. O zaman ifade aşağıdaki formu alacaktır:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Bu teknik arama yaparken çok faydalıdır genel üyeler cebirsel kesirlerde.

• Bunu veya bu ifadeyi doğru şekilde çarpanlara ayırıp ayırmadığınızı kontrol edin. Bunu yapmak için faktörleri çarpın; sonuç aynı ifade olmalıdır.
• Bir kesri tamamen basitleştirmek için daima en büyük çarpanları ayırın.

Bu makale cebirsel kesirleri dönüştürme konusuna devam ediyor: Cebirsel kesirleri azaltmak gibi bir eylemi düşünün. Terimin kendisini tanımlayalım, bir indirgeme kuralı formüle edelim ve pratik örnekleri analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel bir kesri azaltmanın anlamı

Ortak kesirler ile ilgili materyallerde indirgenmesine baktık. Bir kesri azaltmayı pay ve paydasını ortak bir çarpana bölmek olarak tanımladık.

Cebirsel bir kesri azaltmak da benzer bir işlemdir.

Tanım 1

Cebirsel bir kesirin azaltılması pay ve paydanın ortak bir faktöre bölünmesidir. Bu durumda, sıradan bir kesirin indirgenmesinin aksine (ortak payda yalnızca bir sayı olabilir), cebirsel bir kesirin pay ve paydasının ortak faktörü bir polinom, özellikle bir tek terimli veya bir sayı olabilir.

Örneğin, cebirsel kesir 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2, 3 sayısı kadar azaltılabilir, sonuçta: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Aynı kesri x değişkeni kadar azaltabiliriz ve bu bize 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 ifadesini verecektir. Belirli bir kesri tek terimli bir sayıyla azaltmak da mümkündür 3x veya polinomlardan herhangi biri x + 2y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y veya 3 x 2 + 6 x y.

Cebirsel bir kesri azaltmanın nihai amacı, kesirden daha büyük bir kesirdir. basit tip, V en iyi durum senaryosu– indirgenemez kesir.

Tüm cebirsel kesirler indirgenmeye tabi midir?

Yine sıradan kesirler üzerindeki malzemelerden indirgenebilen ve indirgenemeyen kesirlerin olduğunu biliyoruz. İndirgenemez kesirler pay ve paydasında 1'den başka ortak çarpanı olmayan kesirlerdir.

Cebirsel kesirlerde de durum aynıdır: pay ve paydada ortak çarpanları olabilir veya olmayabilir. Ortak faktörlerin varlığı, orijinal kesri azaltma yoluyla basitleştirmenize olanak tanır. Ortak faktörler olmadığında, belirli bir kesri indirgeme yöntemini kullanarak optimize etmek imkansızdır.

Genel durumlarda kesrin türü göz önüne alındığında azaltılıp azaltılamayacağını anlamak oldukça zordur. Elbette bazı durumlarda pay ve payda arasında ortak bir faktörün varlığı açıktır. Örneğin, 3 x 2 3 y cebirsel kesirinde ortak çarpanın 3 sayısı olduğu oldukça açıktır.

- x · y 5 · x · y · z 3 kesirinde, bunun x veya y veya x · y ile azaltılabileceğini de hemen anlarız. Ve yine de, pay ve paydanın ortak faktörünün görülmesi o kadar kolay olmadığında ve hatta daha sıklıkla bulunmadığında cebirsel kesir örnekleri çok daha sık görülür.

Örneğin, x 3 - 1 x 2 - 1 kesrini x - 1 oranında azaltabiliriz, oysa belirtilen ortak faktör girdide mevcut değildir. Ancak pay ve paydanın ortak bir faktörü olmadığı için x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kesri azaltılamaz.

Bu nedenle, cebirsel bir kesirin indirgenebilirliğini belirleme sorunu o kadar basit değildir ve belirli bir formun bir kesiriyle çalışmak, onun indirgenebilir olup olmadığını bulmaya çalışmaktan genellikle daha kolaydır. Bu durumda, belirli durumlarda pay ve paydanın ortak faktörünü belirlemeyi veya bir kesrin indirgenemezliği hakkında bir sonuca varmayı mümkün kılan bu tür dönüşümler meydana gelir. Bu konuyu yazımızın bir sonraki paragrafında detaylı olarak inceleyeceğiz.

Cebirsel kesirleri azaltma kuralı

Cebirsel kesirleri azaltma kuralı iki ardışık eylemden oluşur:

• pay ve paydanın ortak faktörlerini bulma;
• eğer bulunursa, fraksiyonun azaltılması işlemi doğrudan gerçekleştirilir.

Ortak paydaları bulmanın en uygun yöntemi, belirli bir cebirsel kesirin pay ve paydasında bulunan polinomları çarpanlarına ayırmaktır. Bu, ortak faktörlerin varlığını veya yokluğunu anında net bir şekilde görmenizi sağlar.

Cebirsel bir kesri azaltma eylemi, cebirsel bir kesirin tanımsız eşitlikle ifade edilen ana özelliğine dayanır; burada a, b, c bazı polinomlardır ve b ve c sıfır değildir. İlk adım, kesri a · c b · c biçimine indirgemektir; burada c ortak faktörünü hemen fark ederiz. İkinci adım, bir azaltma gerçekleştirmektir, yani. a b formunun bir kesrine geçiş.

Tipik örnekler

Bazı açıklığa rağmen, cebirsel bir kesirin pay ve paydasının eşit olduğu özel durumu açıklığa kavuşturalım. Benzer kesirler, bu kesrin değişkenlerinin tüm ODZ'sinde aynı şekilde 1'e eşittir:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; xx = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Çünkü ortak kesirler cebirsel kesirlerin özel bir durumu olduğundan, indirgenmelerinin nasıl yapıldığını hatırlayalım. Pay ve paydada yazılan doğal sayılar asal çarpanlara ayrılır ve varsa ortak çarpanlar iptal edilir.

Örneğin, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Basit özdeş faktörlerin çarpımı kuvvetler olarak yazılabilir ve bir kesri azaltma sürecinde, kuvvetlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğini kullanabiliriz. O zaman yukarıdaki çözüm şöyle olacaktır:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pay ve paydanın ortak bir faktöre bölünmesi 2 2 3). Veya netlik sağlamak için çarpma ve bölme özelliklerine dayanarak çözüme aşağıdaki formu veririz:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Benzer şekilde, pay ve paydanın tamsayı katsayılı monomlara sahip olduğu cebirsel kesirlerin azaltılması gerçekleştirilir.

örnek 1

Cebirsel kesir verilmiştir - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Belirli bir kesrin payını ve paydasını basit faktörlerin ve değişkenlerin çarpımı olarak yazmak ve ardından indirgemeyi gerçekleştirmek mümkündür:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Ancak daha fazlası rasyonel bir şekildeçözüm dereceli bir ifade şeklinde yazılacaktır:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Cevap:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Cebirsel bir kesrin payı ve paydası kesirli sayısal katsayılara sahip olduğunda iki yol mümkündür daha fazla eylemler: ya bu kesirli katsayıları ayrı ayrı bölün ya da önce pay ve paydayı belirli bir sayıyla çarparak kesirli katsayılardan kurtulun doğal sayı. Son dönüşüm, cebirsel bir kesirin temel özelliği nedeniyle gerçekleştirilir (“Cebirsel bir kesirin yeni bir paydaya indirgenmesi” makalesinde bunu okuyabilirsiniz).

Örnek 2

Verilen kesir 2 5 x 0, 3 x 3'tür. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Kesri şu şekilde azaltmak mümkündür:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Sorunu farklı bir şekilde çözmeye çalışalım, önce kesirli katsayılardan kurtulalım - pay ve paydayı bu katsayıların paydalarının en küçük ortak katıyla çarpalım, yani. LCM'de (5, 10) = 10. Sonra şunu elde ederiz:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Cevap: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Cebirsel kesirleri azalttığımızda Genel görünüm Pay ve paydaların tek terimli veya polinom olabileceği durumlarda, ortak faktörün her zaman hemen görülememesi bir sorun yaratabilir. Veya dahası, basitçe mevcut değil. Daha sonra ortak faktörü belirlemek veya yokluğunu kaydetmek için cebirsel kesrin payı ve paydası çarpanlara ayrılır.

Örnek 3

Rasyonel kesir 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 verilmiştir. Azaltılması gerekiyor.

Çözüm

Pay ve paydadaki polinomları çarpanlarına ayıralım. Parantez dışına çıkaralım:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Parantez içindeki ifadenin kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak dönüştürülebildiğini görüyoruz:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Bir kesri ortak bir faktörle azaltmanın mümkün olduğu açıkça görülmektedir. b 2 (a + 7). Bir azaltma yapalım:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Açıklama yapmadan kısa bir çözümü eşitlikler zinciri olarak yazalım:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Cevap: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Ortak faktörlerin sayısal katsayılarla gizlendiği görülür. Daha sonra, kesirleri azaltırken, pay ve paydanın daha yüksek güçlerindeki sayısal faktörleri parantezlerin dışına koymak en uygunudur.

Örnek 4

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 cebirsel kesri verildiğinde. Mümkünse azaltmak gerekir.

Çözüm

İlk bakışta pay ve paydanın ortak bir paydası yoktur. Ancak verilen kesri dönüştürmeye çalışalım. Paydaki x faktörünü çıkaralım:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Şimdi parantez içindeki ifade ile paydadaki ifade arasında x 2 y'ye bağlı olarak bazı benzerlikler görebilirsiniz. . Bu polinomların yüksek kuvvetlerinin sayısal katsayılarını çıkaralım:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Artık ortak faktör görünür hale geliyor, azaltmayı gerçekleştiriyoruz:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Cevap: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Kasılma becerisinin olduğunu vurgulayalım. rasyonel kesirler polinomları çarpanlarına ayırma yeteneğine bağlıdır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.