Cebir okurken ortaokul(9. sınıf) biri önemli konular geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayı dizilerinin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.

Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.

Diziyi 7. terime geri döndürmek için tanımı kullanmalısınız. cebirsel ilerleme yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması

Hadi bunu daha da karmaşık hale getirelim daha güçlü durum görevler. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel sayı dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakıştı Sorunun koşulları ile.

Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi

Örnekler vermeye devam edelim aritmetik ilerleme bir çözümle. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.

Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.

Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).

D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk önce: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Elde edilen sonuçtan şüpheniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek No. 5: miktar

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.

Aşağıdaki formun sayısal ilerlemesi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu problemin “Gaussian” olarak adlandırılması ilginçtir çünkü 18. yüzyılın başında, henüz 10 yaşında olan ünlü Alman, bu problemi birkaç saniye içinde kafasında çözebilmiştir. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.

Örnek No. 6: n'den m'ye kadar terimlerin toplamı

Bir tane daha tipik örnek aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekildedir: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, bunun 8'den 14'e kadar olan terimlerinin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir.

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Ancak bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:

1. S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
2. S n = n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılır), probleme gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini net bir şekilde anlamanız ve ancak bundan sonra çözüme devam etmeniz önerilir.

Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve genel sorunu ayrı alt görevlere bölün (V bu durumdaönce a n ve a m) terimlerini bulun.

Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.

Aritmetik ilerleme bir sayı dizisini adlandırın (bir ilerlemenin terimleri)

Sonraki her terimin bir öncekinden yeni bir terimle farklılaştığı, buna aynı zamanda denir. adım veya ilerleme farkı.

Böylece, ilerleme adımını ve ilk terimini belirterek, aşağıdaki formülü kullanarak öğelerinden herhangi birini bulabilirsiniz:

Aritmetik ilerlemenin özellikleri

1) Aritmetik dizinin ikinci sayıdan başlayarak her üyesi, dizinin önceki ve sonraki üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

Bunun tersi de doğrudur. Bir ilerlemenin bitişik tek (çift) terimlerinin aritmetik ortalaması aralarında duran terime eşitse, bu sayı dizisi bir aritmetik ilerlemedir. Bu ifadeyi kullanarak herhangi bir sırayı kontrol etmek çok kolaydır.

Ayrıca aritmetik ilerlemenin özelliği nedeniyle yukarıdaki formül aşağıdakilere genelleştirilebilir:

Terimleri eşittir işaretinin sağına yazarsanız bunu doğrulamak kolaydır

Pratikte sıklıkla problemlerdeki hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır.

2) Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü iyi hatırlayın; hesaplamalarda vazgeçilmezdir ve sıklıkla basit yaşam durumlarında bulunur.

3) Toplamın tamamını değil, k. terimden başlayarak dizinin bir kısmını bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki toplam formülü işinize yarayacaktır.

4) Pratik açıdan ilgi çekici olan, k'inci sayıdan başlayan bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamını bulmaktır. Bunu yapmak için formülü kullanın

Böylece teorik materyal tamamlanır ve pratikte sık karşılaşılan sorunların çözümüne geçilir.

Örnek 1. Aritmetik ilerleme 4;7;...'nin kırkıncı terimini bulun.

Çözüm:

İçinde bulunduğumuz duruma göre

İlerleme adımını belirleyelim

İyi bilinen bir formül kullanarak ilerlemenin kırkıncı terimini buluyoruz

Örnek 2.

Çözüm:

Üçüncü ve yedinci terimleriyle aritmetik bir ilerleme verilir. İlerlemenin ilk terimini ve on'un toplamını bulun.

Formülleri kullanarak ilerlemenin verilen öğelerini yazalım.

İlkini ikinci denklemden çıkarıyoruz, sonuç olarak ilerleme adımını buluyoruz

Aritmetik ilerlemenin ilk terimini bulmak için bulunan değeri denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız

İlerlemenin ilk on teriminin toplamını hesaplıyoruz

Karmaşık hesaplamalar yapmadan gerekli tüm miktarları bulduk.

Çözüm:

Örnek 3. Payda ve onun terimlerinden biri tarafından bir aritmetik ilerleme verilmektedir. İlerlemenin ilk terimini, 50'den başlayarak 50 teriminin toplamını ve ilk 100'ün toplamını bulun.

İlerlemenin yüzüncü unsurunun formülünü yazalım

ve ilkini bul

İlkine dayanarak ilerlemenin 50. dönemini buluyoruz

İlerleme bölümünün toplamını bulma

ve ilk 100'ün toplamı

İlerleme miktarı 250'dir.

Örnek 4.

Aşağıdaki durumlarda bir aritmetik ilerlemenin terim sayısını bulun:

Çözüm:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Denklemleri ilk terim ve ilerleme adımı açısından yazalım ve belirleyelim.

Toplamdaki terim sayısını belirlemek için elde edilen değerleri toplam formülüne koyarız

Basitleştirmeler yapıyoruz

Bulunan iki değerden yalnızca 8 sayısı problem koşullarına uymaktadır. Böylece ilerlemenin ilk sekiz teriminin toplamı 111 olur.

Örnek 5.

Denklemi çöz

1+3+5+...+x=307.

Çözüm: Bu denklem aritmetik ilerlemenin toplamıdır. İlk terimini yazalım ve ilerlemedeki farkı bulalım

Karar vermeye başlamadan önce aritmetik ilerleme problemleri Aritmetik ilerleme, sayı dizisinin özel bir durumu olduğundan, sayı dizisinin ne olduğuna bakalım.

Sayı dizisi, her bir öğesi kendine ait olan bir sayı kümesidir. seri numarası . Bu kümenin elemanlarına dizinin üyeleri denir. Bir sıra öğesinin seri numarası bir indeksle gösterilir:

Dizinin ilk elemanı;

Dizinin beşinci elemanı;

- dizinin "n'inci" elemanı, yani n numarasında "sırada duran" öğe.

Bir sıra elemanının değeri ile sıra numarası arasında bir ilişki vardır. Bu nedenle bir diziyi, argümanı dizinin elemanının sıra numarası olan bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle şunu söyleyebiliriz dizi doğal argümanın bir fonksiyonudur:

Sıra üç şekilde ayarlanabilir:

1 . Sıra bir tablo kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda dizideki her bir üyenin değerini basitçe belirleriz.

Örneğin, Birisi kişisel zaman yönetimini üstlenmeye ve öncelikle hafta boyunca VKontakte'de ne kadar zaman geçirdiğini saymaya karar verdi. Zamanı tabloya kaydederek yedi öğeden oluşan bir dizi alacaktır:

Tablonun ilk satırı haftanın gününün sayısını, ikinci satırı dakika cinsinden zamanı gösterir. Yani Pazartesi günü birisinin VKontakte'de 125 dakika, yani Perşembe günü - 248 dakika ve yani Cuma günü sadece 15 dakika geçirdiğini görüyoruz.

2 . Sıra, n'inci terim formülü kullanılarak belirtilebilir.

Bu durumda, bir dizi elemanının değerinin numarasına bağımlılığı doğrudan bir formül biçiminde ifade edilir.

Örneğin, eğer öyleyse

Belirli bir sayıya sahip bir dizi elemanının değerini bulmak için, eleman numarasını n'inci terimin formülüne koyarız.

Argümanın değeri biliniyorsa, bir fonksiyonun değerini bulmamız gerekiyorsa aynı şeyi yaparız. Argümanın değerini fonksiyon denkleminde değiştiririz:

Örneğin, , O

Bir dizide, rastgele bir sayısal fonksiyondan farklı olarak, argümanın yalnızca doğal bir sayı olabileceğini bir kez daha belirtmek isterim.

3 . Dizi, n dizi üye numarasının değerinin önceki üyelerin değerlerine bağımlılığını ifade eden bir formül kullanılarak belirtilebilir.

Bu durumda dizi üyesinin değerini bulmak için sadece sayısını bilmemiz yeterli değildir. Dizinin ilk üyesini veya ilk birkaç üyesini belirtmemiz gerekiyor. ,

Örneğin, sırayı düşünün Dizi üyelerinin değerlerini bulabiliriz birer birer

üçüncüsünden başlayarak: Yani, dizinin n'inci teriminin değerini bulmak için her seferinde önceki iki terime dönüyoruz. Bir diziyi belirlemenin bu yöntemine denir tekrarlayan Latince kelimeden yinelenen

- geri gelmek.

Aritmetik ilerleme Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlayabiliriz. Aritmetik ilerleme, sayı dizisinin basit bir özel durumudur.

ikinciden başlayarak her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan sayısal bir dizidir. Numara aranır aritmetik ilerleme farkı

. Aritmetik ilerlemenin farkı pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} If title="d>0.

artan

Örneğin 2; 5; 8; 11;... Eğer ise, o zaman bir aritmetik ilerlemenin her terimi bir öncekinden daha küçüktür ve ilerleme şu şekildedir:.

azalan

Örneğin 2; -1; -4; -7;... Eğer ise ilerlemenin tüm terimleri aynı sayıya eşit olur ve ilerleme şu şekilde olur:.

sabit

Örneğin, 2;2;2;2;...

Aritmetik ilerlemenin ana özelliği:

Şimdi resme bakalım.

Bunu görüyoruz

ve aynı zamanda

.

Bu iki eşitliği topladığımızda şunu elde ederiz:

Eşitliğin her iki tarafını da 2'ye bölelim:

Yani aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, ikinciden başlayarak, iki komşunun aritmetik ortalamasına eşittir:

Bunu görüyoruz

Üstelik, o zamandan beri

, O

ve bu nedenle">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

title = "k>l" ile başlayan bir aritmetik ilerlemenin her terimi

Terimin formülü.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin aşağıdaki ilişkileri sağladığını görüyoruz:

ve nihayet Elimizde

n'inci terimin formülü.ÖNEMLİ!

Aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi ve aracılığıyla ifade edilebilir. Aritmetik ilerlemenin ilk terimini ve farkını bilerek, terimlerinden herhangi birini bulabilirsiniz.

Bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamı.

Keyfi bir aritmetik ilerlemede, uç noktalardan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamları birbirine eşittir:

N terimli bir aritmetik ilerlemeyi düşünün. Bu ilerlemenin n teriminin toplamı eşit olsun.

İlerlemenin şartlarını önce artan sayı sırasına göre, sonra azalan sıraya göre düzenleyelim:

Çiftler halinde ekleyelim:

Şunu elde ederiz:

Bu yüzden, Bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

düşünelim aritmetik ilerleme problemlerini çözme.

1 . Sıra, n'inci terimin formülüyle verilir: . Bu dizinin aritmetik bir ilerleme olduğunu kanıtlayın.

Dizinin bitişik iki terimi arasındaki farkın aynı sayıya eşit olduğunu kanıtlayalım.

Dizinin iki bitişik üyesi arasındaki farkın sayılarına bağlı olmadığını ve sabit olduğunu bulduk. Dolayısıyla tanımı gereği bu dizi aritmetik bir ilerlemedir.

2 . Aritmetik ilerleme verildiğinde -31; -27;...

a) İlerlemenin 31 terimini bulun.

b) Bu ilerlemeye 41 sayısının dahil olup olmadığını belirleyiniz.

A)Şunu görüyoruz;

İlerlememizin n'inci döneminin formülünü yazalım.

Genel olarak

Bizim durumumuzda , Bu yüzden

Şunu elde ederiz:

B) 41 sayısının dizinin bir üyesi olduğunu varsayalım. Numarasını bulalım. Bunu yapmak için denklemi çözelim:

N'nin doğal değerini aldık, dolayısıyla evet 41 sayısı ilerlemenin bir üyesidir. Eğer n'nin bulunan değeri bir doğal sayı olmasaydı, 41 sayısının ilerlemenin bir üyesi OLMADIĞI cevabını verirdik.

3 . a) 2 ve 8 sayıları arasına 4 sayı yerleştirin, böylece bu sayılarla birlikte aritmetik bir dizi oluştursunlar.

b) Ortaya çıkan ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.

A) 2 ve 8 sayıları arasına dört sayı ekleyelim:

6 terimli bir aritmetik ilerleme elde ettik.

Bu ilerlemenin farkını bulalım. Bunu yapmak için n'inci terim için formülü kullanırız:

Artık sayıların anlamlarını bulmak çok kolay:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

B)

Cevap: a) evet; 30

4. Kamyon, 240 tonluk kırma taş yükünü taşıyor ve taşıma oranını her gün aynı ton artırıyor. İlk gün 2 ton kırma taş taşındığı biliniyor. Tüm iş 15 günde tamamlanırsa, onikinci günde kaç ton kırma taş taşındığını belirleyin.

Sorunun durumuna göre kamyonun taşıdığı mıcır miktarı her geçen gün aynı miktarda artmaktadır. Bu nedenle aritmetik bir ilerlemeyle karşı karşıyayız.

Bu problemi aritmetik ilerleme cinsinden formüle edelim.

İlk gün 2 ton kırma taş taşındı: a_1=2.

Tüm çalışmalar 15 günde tamamlandı: .

Kamyon, 240 ton ağırlığındaki kırma taş yığınını taşıyor:

Bulmalıyız.

Öncelikle ilerleme farkını bulalım. Bir ilerlemenin n teriminin toplamı için formülü kullanalım.

Bizim durumumuzda:

Veya aritmetik, özellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusu ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Bu nasıl bir ilerleme?

Soruna geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neden bahsettiğimizi anlamakta fayda var.

Herhangi bir sıra gerçek sayılarÖnceki her sayıya bir değer eklenerek (çıkarılarak) elde edilen sayıya cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tanım matematik diline çevrildiğinde şu şekli alır:

Burada i, a i satırının elemanının seri numarasıdır. Böylece yalnızca bir başlangıç ​​​​numarasını bilerek tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

Söz konusu sayı dizisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolaylıkla gösterilebilir:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Yani n'inci elemanın değerini sırasıyla bulmak için d farkını ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktarın formülünü vermeden önce basit bir özel durumu dikkate almakta fayda var. İlerleme veriliyor doğal sayılar 1'den 10'a kadar toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğundan, sorunu doğrudan çözmek, yani tüm unsurları sırayla toplamak mümkündür.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Göz önünde bulundurmaya değer bir şey ilginç şey: her terim bir sonrakinden aynı d = 1 değeri kadar farklı olduğundan, birincinin onuncuyla, ikincinin dokuzuncuyla vb. ikili toplamı aynı sonucu verecektir. Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman sayısından tam iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.

Bu argümanları genelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm öğelerin toplamının hiç de gerekli olmadığını; ilk a 1 ve sonuncusu a n'nin değerini bilmenin yeterli olduğunu gösterir. toplam sayı n terim.

Belirli bir soruna çözüm ararken bu eşitliği ilk düşünenin Gauss olduğuna inanılıyor. okul öğretmeni görev: ilk 100 tam sayıyı toplayın.

m'den n'ye kadar elemanların toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğeler) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak çoğu zaman problemlerde ilerlemenin ortasında bir sayı dizisinin toplanması gerekir. Bu nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar terimlerin toplamını bulmamız gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bölümünü yeni bir sayı dizisi biçiminde sunmalısınız. bunda m'inci temsil a m terimi ilk olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formülün uygulanmasıyla aşağıdaki ifade elde edilecektir:

S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.

Formül kullanma örneği

Aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağını bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda sayısal bir dizi verilmiştir, 5'inciden başlayıp 12'nci ile biten terimlerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin değerlerini bulabilirsiniz. Görünüşe göre:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve seride hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplamın formülünü kullanabilirsiniz. Ortaya çıkacak:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın, ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemler eski zamanlarda zaten mevcuttu. Pratik bir ihtiyaçları olduğu için ortaya çıktılar ve çözüm talep ettiler.

Yani papirüslerden birinde Eski Mısır"Matematiksel bir içeriğe sahip olan Rhind papirüsü (M.Ö. 19. yüzyıl) şu görevi içerir: on ölçek ekmeği, aralarındaki farkın ölçünün sekizde biri olması koşuluyla on kişiye bölmek."

Antik Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Böylece, İskenderiyeli Hypsicles (2. yüzyıl, birçok ilginç problemi derleyen ve Euclid'in Elementleri'ne on dördüncü kitabı ekleyen) şu fikri formüle etti: “Çift sayıda terimi olan bir aritmetik dizide, 2. yarının terimlerinin toplamı üye sayısının 1/2 karesindeki 1'incinin terimlerinin toplamından daha büyüktür."

Sıra bir ile gösterilir. Bir dizinin sayıları, üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle bu üyenin seri numarasını gösteren indeksli harflerle gösterilir (a1, a2, a3 ... okuyun: “a 1”, “a 2”, “a 3” ve benzeri ).

Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.

Aritmetik ilerleme nedir? Bununla, ilerleme farkı olan önceki terimi (n) aynı d sayısıyla toplayarak elde edilen terimi kastediyoruz.

Eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ise bu ilerlemenin arttığı kabul edilir.

Bir aritmetik ilerlemenin yalnızca ilk birkaç terimi dikkate alınırsa sonlu olarak adlandırılır. çok büyük miktarlarüyeler zaten sonsuz bir ilerlemedir.

Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle tanımlanır:

an =kn+b, b ve k bazı sayılardır.

Bunun tersi ifade kesinlikle doğrudur: Eğer bir dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:

1. İlerlemedeki her terim, bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalamasıdır.
2. Tersi: eğer, 2.den başlayarak, her terim bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani; koşul karşılanırsa bu dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda ilerlemenin de bir işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik özelliği olarak adlandırılır.
   Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: Bir dizi, ancak bu eşitliğin 2'den başlayarak dizinin herhangi bir terimi için doğru olması durumunda aritmetik bir ilerlemedir.

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi dört sayısının karakteristik özelliği, eğer n + m = k + l ise (m, n, k ilerleme sayılarıdır), an + am = ak + al formülüyle ifade edilebilir.

Aritmetik ilerlemede gerekli herhangi bir (N'inci) terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Örneğin: aritmetik dizide ilk terim (a1) verilir ve üçe eşit olur, fark (d) ise dört olur. Bu ilerlemenin kırk beşinci terimini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) formülü şunu belirlememizi sağlar: n'inci terim bilinmesi koşuluyla, k'inci terimlerinden herhangi biri boyunca aritmetik ilerleme.

Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı (sonlu bir ilerlemenin 1. n terimi anlamına gelir) şu şekilde hesaplanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Hesaplamalar için formüllerin seçimi problemlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.

1,2,3,...,n,...- gibi herhangi bir sayının doğal serisi en basit örnek aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin yanı sıra kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir ilerleme de vardır.