Yıldız haberleri
İlerlemenin azalması. Geometrik ilerleme. Çözümlü örnek
Geometrik ilerleme ilk üyesi sıfır olmayan ve sonraki her üye önceki üyenin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.
Geometrik ilerleme kavramı
Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.
Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır aritmetik ilerleme. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.
|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1
Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.
Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), bu durumda ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).
Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.
Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için, burada n kümeye aittir doğal sayılar N.
Şimdi (Xn)'yi geometrik bir ilerleme olarak koyalım. Geometrik ilerlemenin paydası q ve |q|∞).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile belirtirsek, o zaman aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).
Basit bir örneğe bakalım:
2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sonsuz geometrik ilerlemenin toplamını bulun.
S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Fizik ve matematikteki bazı problemler sayı serilerinin özellikleri kullanılarak çözülebilir. Okullarda öğretilen en basit iki sayı dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yazımızda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusuna daha yakından bakacağız.
İlerleme geometrik
Bu kelimeler aşağıdaki dizi anlamına gelir gerçek sayılar elemanları a i şu ifadeyi karşılayan:
Burada i serideki eleman sayısı, r ise payda adı verilen sabit bir sayıdır.
Bu tanım, ilerlemenin herhangi bir üyesini ve paydasını bilerek tüm sayı dizisini geri yükleyebileceğinizi gösterir. Örneğin, 10. element biliniyorsa, bunu r'ye bölerek 9. elementi, tekrar bölerek 8. elementi elde edeceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu basit argümanlar, söz konusu sayı dizisi için geçerli olan bir ifadeyi yazmamıza olanak tanır:
Paydası 2 olan bir ilerleme örneği aşağıdaki seri olabilir:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Payda -2'ye eşitse tamamen farklı bir seri elde edilir:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrik ilerleme cebirsel ilerlemeden çok daha hızlıdır, yani terimleri hızla artar ve hızla azalır.
i ilerleme koşullarının toplamı
Pratik problemleri çözmek için genellikle söz konusu sayısal dizinin çeşitli elemanlarının toplamını hesaplamak gerekir. Bu durum için aşağıdaki formül geçerlidir:
S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)
İ terimlerinin toplamını hesaplamak için yalnızca iki sayıyı bilmeniz gerektiği görülebilir: a 1 ve r; bu mantıklıdır, çünkü bunlar tüm diziyi benzersiz bir şekilde belirler.
Azalan dizi ve terimlerinin toplamı
Şimdi özel bir duruma bakalım. Payda r modülünün biri geçmediğini, yani -1 olduğunu varsayacağız. Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilginçtir çünkü terimlerinin sonsuz toplamı sonlu bir gerçek sayıya eğilimlidir. Toplamın formülünü alalım.Bir önceki paragrafta S i için verilen ifadeyi yazarsanız bunu yapmak kolaydır. Sahibiz: S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1) i->∞ durumunu ele alalım. Paydanın modülü 1'den küçük olduğundan onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek sıfır verecektir. Bu, r=0,5 örneği kullanılarak kontrol edilebilir: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Sonuç olarak, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu şekli alacaktır: Bu formül genellikle pratikte, örneğin şekillerin alanlarını hesaplamak için kullanılır. Aynı zamanda Elea'lı Zenon'un kaplumbağa ve Aşil ile olan paradoksunu çözmek için de kullanılır. Sonsuz bir geometrik artan ilerlemenin toplamı dikkate alındığında (r>1) S ∞ = +∞ sonucunun elde edileceği açıktır. Yukarıdaki formüllerin nasıl uygulanacağını bir problem çözme örneği kullanarak gösterelim. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının 11 olduğu bilinmektedir. Üstelik 7. terimi üçüncü teriminden 6 kat daha azdır. Bu sayı serisinin ilk elemanı nedir? Öncelikle 7. ve 3. elementleri belirlemek için iki ifade yazalım. Şunu elde ederiz: İlk ifadeyi ikinciye bölüp paydayı ifade edersek: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Yedinci ve üçüncü terimlerin oranı problem ifadesinde verildiğinden, bunu yerine koyup r'yi bulabilirsiniz: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 R'yi beş ondalık basamağa kadar hesapladık. Ortaya çıkan değer birden küçük olduğundan ilerleme azalıyor, bu da formülün sonsuz toplamı için kullanılmasını haklı çıkarıyor. İlk terimin ifadesini S ∞ toplamı üzerinden yazalım: Bilinen değerleri bu formülde yerine koyarız ve cevabı alırız: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Elealı Zeno, M.Ö. 5. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozofudur. e. Matematikte sonsuz büyük ve sonsuz küçük probleminin formüle edildiği günümüze kadar bu konunun bazı doruk noktaları veya paradoksları ulaşmıştır. Zeno'nun ünlü paradokslarından biri Aşil ile kaplumbağa arasındaki rekabettir. Zeno, eğer Aşil kaplumbağaya uzaktan bir avantaj sağlarsa ona asla yetişemeyeceğine inanıyordu. Örneğin Aşil'in, örneğin 100 metre önünde sürünen bir hayvandan 10 kat daha hızlı koştuğunu varsayalım. Savaşçı 100 metre koştuğunda kaplumbağa 10 metre sürünerek uzaklaşır, tekrar 10 metre koşan Aşil, kaplumbağanın 1 metre daha süründüğünü görür. Bu şekilde sonsuza kadar tartışabilirsiniz, rakipler arasındaki mesafe gerçekten azalacak ama kaplumbağa her zaman önde olacak. Zeno'yu hareketin var olmadığı ve etrafındaki nesnelerin tüm hareketlerinin bir yanılsama olduğu sonucuna götürdü. Elbette antik Yunan filozofu yanılıyordu. Paradoksun çözümü, sürekli azalan parçaların sonsuz toplamının sonlu bir sayıya yönelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Yukarıdaki durumda Aşil'in koştuğu mesafe için şunu elde ederiz: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamına ilişkin formülü uygulayarak şunu elde ederiz: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metre Bu sonuç, Aşil'in kaplumbağaya yalnızca 11.111 metre süründüğünde yetişeceğini göstermektedir. Eski Yunanlılar matematikte sonsuz niceliklerle nasıl çalışılacağını bilmiyorlardı. Ancak Aşil'in aşması gereken sonsuz sayıdaki boşluklara değil, koşucunun hedefine ulaşmak için ihtiyaç duyduğu adımların sonlu sayısına dikkat edersek bu paradoks çözülebilir. SAYISAL DİZİLER VI § l48. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı Şimdiye kadar toplamlardan bahsederken, bu toplamlardaki terim sayısının sonlu olduğunu (örneğin 2, 15, 1000 vb.) varsayıyorduk. Ancak bazı problemleri (özellikle yüksek matematik) çözerken sonsuz sayıda terimin toplamlarıyla uğraşmak gerekir. S= A
1 + A
2 + ... + A
N
+ ... . (1) Bu miktarlar nedir? A-tarikatı sonsuz sayıda terimin toplamı A
1 , A
2 , ..., A
N
, ... S toplamının limiti olarak adlandırılır N
Birinci P
sayılar ne zaman P
-> ∞
: S=S N
= (A
1 + A
2 + ... + A
N
). (2) Limit (2) elbette mevcut olabilir veya olmayabilir. Buna göre (1) toplamının var ya da yok olduğunu söylüyorlar. Toplamın (1) her birinde var olup olmadığını nasıl öğrenebiliriz? özel durum? Bu sorunun genel çözümü programımızın kapsamının çok ötesindedir. Ancak şimdi dikkate almamız gereken önemli bir özel durum var. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplanmasından bahsedeceğiz. İzin vermek A
1 , A
1 Q
, A
1 Q
2, ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bu şu anlama gelir: | Q
|< 1. Сумма первых P
bu ilerlemenin şartları eşittir Değişkenlerin limitlerine ilişkin temel teoremlerden (bkz. § 136) şunu elde ederiz: Fakat 1 = 1, a qn
= 0. Bu nedenle Yani sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı, bu ilerlemenin ilk teriminin bir eksi bu ilerlemenin paydasına bölünmesine eşittir. 1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometrik ilerlemesinin toplamı şuna eşittir: ve geometrik ilerlemenin toplamı 12'dir; -6; 3; - 3/2 , ... eşit 2) Basit bir periyodik kesir olan 0,454545'i sıradan bir kesire dönüştürün. Bu sorunu çözmek için bu kesri sonsuz bir toplam olarak hayal edin: Bu eşitliğin sağ tarafı, ilk terimi 45/100, paydası 1/100 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır. Bu yüzden Açıklanan yöntemi kullanarak aynı zamanda elde edilebilir. Genel kural basit periyodik kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi (bkz. Bölüm II, § 38): Basit bir periyodik kesri sıradan bir kesire dönüştürmek için aşağıdakileri yapmanız gerekir: noktayı paya koyun ondalık, payda ise ondalık kesrin periyodundaki rakam sayısı kadar alınan dokuzlardan oluşan bir sayıdır.
3) Karışık periyodik kesir 0,58333 ....'yi sıradan bir kesire dönüştürün. Bu kesri sonsuz bir toplam olarak düşünelim: Bu eşitliğin sağ tarafında 3/1000'den başlayarak tüm terimler, ilk terimi 3/1000, paydası 1/10 olan sonsuz azalan geometrik dizi oluşturur. Bu yüzden Açıklanan yöntemi kullanarak, karışık periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek için genel bir kural elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38). Burada bilinçli olarak sunmuyoruz. Bu hantal kuralı hatırlamanıza gerek yok. Herhangi bir karışık periyodik kesirin, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ve belirli bir sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini bilmek çok daha faydalıdır. Ve formül Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamı için elbette şunu hatırlamanız gerekir. Bir alıştırma olarak, aşağıda verilen 995-1000 numaralı problemlere ek olarak, bir kez daha 301 § 38 numaralı probleme dönmenizi öneriyoruz. Egzersizler
995. Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamına ne denir? 996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlarını bulun: 997. Hangi değerlerde X
ilerleme sonsuza kadar mı azalıyor? Böyle bir ilerlemenin toplamını bulun. 998. Kenarları olan bir eşkenar üçgende A
kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen yazılır; bu üçgenin içine aynı şekilde yeni bir üçgen yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. a) tüm bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı; b) alanlarının toplamı. 999. Kenarlı kare A
kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare yazılır; Bu karenin içine de aynı şekilde bir kare yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. Bu karelerin çevrelerinin toplamını ve alanlarının toplamını bulun. 1000. Toplamı 25/4 ve terimlerinin kareleri toplamı 625/24 olacak şekilde sonsuz azalan bir geometrik dizi oluşturun. Dersin amacı: Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırmak - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Konuyla ilgili ders “Sonsuz azalan geometrik ilerleme” (Cebir, 10. sınıf) Dersin amacı: Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırıyoruz - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Görevler: sayısal bir dizinin limitine ilişkin başlangıç fikrinin formüle edilmesi; sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülünü kullanarak sonsuz periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin başka bir yolunu bilmek; mantıksal düşünme, değerlendirme eylemleri yapma yeteneği ve genelleme gibi okul çocuklarının kişiliğinin entelektüel niteliklerinin geliştirilmesi; faaliyeti, karşılıklı yardımlaşmayı, kolektivizmi ve konuya ilgiyi teşvik etmek. Teçhizat: bilgisayar sınıfı, projektör, ekran. Ders türü: ders - yeni bir konu öğrenmek. Dersler sırasında I. Org. an. Dersin konusunu ve amacını belirtin. II. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi. 9. sınıfta aritmetik ve geometrik ilerlemeler okudunuz. Sorular 1. Aritmetik ilerlemenin tanımı. (Bir aritmetik ilerleme, her bir üyenin İkinciden başlayarak, aynı sayıya eklenen bir önceki terime eşittir). 2. Formül n bir aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi 3. İlkinin toplamının formülü N aritmetik ilerleme terimleri. ( veya ) 4. Geometrik ilerlemenin tanımı. (Geometrik ilerleme, sıfır olmayan sayıların dizisidir İkinciden başlayarak her terim bir önceki terimin çarpımına eşittir. Aynı numara). 5. Formül n geometrik ilerlemenin üçüncü terimi 6. İlkinin toplamının formülü N geometrik ilerlemenin üyeleri. 7. Başka hangi formülleri biliyorsunuz? (, Nerede ; ; ;
,
)
Görevler 1. Aritmetik ilerleme formülle verilir bir n = 7 – 4n . 10'u bulun. (-33) 2. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 4'ü bulun. (4) 3. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 17'yi bulun. (-35) 4. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. S 17'yi bulun. (-187) 5. Geometrik ilerleme içinbeşinci terimi bulunuz. 6. Geometrik ilerleme için n'inci terimi bulun. 7. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. b4'ü bulun. (4) 8. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. b 1 ve q'yu bulun. 9. Üstel olarak b3 = 8 ve b5 = 2. S5'i bulun. (62) III. Yeni bir konu öğrenmek(sunumun gösterimi). Bir kenarı 1'e eşit olan bir kare düşünün. Kenarı ilk karenin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra kenarı ikinci karenin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra bir sonrakini vb. çizelim. Her seferinde yeni karenin kenarı bir öncekinin yarısına eşittir. Sonuç olarak, bir dizi kare kenar elde ettikpaydayla geometrik bir ilerleme oluşturma.
Ve çok önemli olan, bu tür kareleri ne kadar çok inşa edersek, karenin kenarı da o kadar küçük olacaktır.Örneğin , Onlar. N sayısı arttıkça ilerlemenin terimleri sıfıra yaklaşır. Bu şekli kullanarak başka bir diziyi düşünebilirsiniz. Örneğin karelerin alanlarının sırası: Ve yine eğer n süresiz olarak artarsa alan sıfıra istediğiniz kadar yaklaşır. Başka bir örneğe bakalım. Kenarları 1 cm'ye eşit olan eşkenar üçgen. Aşağıdaki teoreme göre, köşeleri 1. üçgenin kenarlarının orta noktalarında olan bir sonraki üçgeni oluşturalım. orta çizgiüçgen - 2.'nin kenarı birincinin kenarının yarısına eşittir, 3.'nün kenarı 2.'nin kenarının yarısına eşittir, vb. Yine üçgenlerin kenarlarının uzunluklarının bir dizisini elde ediyoruz. tarihinde. Negatif paydalı bir geometrik ilerlemeyi düşünürsek. Daha sonra sayıları giderek artan N İlerleme açısından sıfıra yaklaşıyor. Bu dizilerin paydalarına dikkat edelim. Her yerde paydaların mutlak değeri 1'den küçüktü. Şu sonuca varabiliriz: eğer paydasının modülü 1'den küçükse geometrik ilerleme sonsuza kadar azalacaktır. Ön çalışma. Tanım: Paydanın modülü birden küçükse geometrik ilerlemenin sonsuz azalan olduğu söylenir..
Tanımı kullanarak geometrik ilerlemenin sonsuz azalıp azalmadığına karar verebilirsiniz. Görev Aşağıdaki formülle verilirse dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme midir? Çözüm: Q'yu bulalım. ;
;
;
.
bu geometrik ilerleme sonsuz biçimde azalmaktadır. B) bu dizi sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme değildir. Bir kenarı 1'e eşit olan bir kare düşünün. Onu ikiye bölün, yarımlardan birini ikiye bölün, vb. Ortaya çıkan tüm dikdörtgenlerin alanları sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur: Bu şekilde elde edilen tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 1. karenin alanına eşit ve 1'e eşit olacaktır. Ancak bu eşitliğin sol tarafında sonsuz sayıda terimin toplamı bulunmaktadır. İlk n terimin toplamını ele alalım. Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formüle göre, şuna eşittir:.
Eğer n sınırsız artarsa veya . Bu nedenle, yani. . Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıbir dizi sınırı var S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Örneğin, ilerleme için,
sahibiz Çünkü Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıformül kullanılarak bulunabilir.
III. Anlama ve birleştirme(görevleri tamamlamak). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Özetleme. Bugün hangi diziyle tanıştınız? Sonsuz azalan geometrik ilerlemeyi tanımlayın. Geometrik ilerlemenin sonsuza kadar azaldığı nasıl kanıtlanır? Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülünü verin. V. Ödev. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com Herkes tutarlı düşünebilmeli, kanıtlarla yargılayabilmeli ve yanlış sonuçları çürütebilmelidir: bir fizikçi ve bir şair, bir traktör sürücüsü ve bir kimyager. E. Kolman Matematikte formülleri değil düşünme süreçlerini hatırlamak gerekir. V.P. Ermakov Bir dairenin karesini bulmak bir matematikçiyi alt etmekten daha kolaydır. Augustus de Morgan Hangi bilim matematikten daha asil, daha takdire şayan, insanlığa daha yararlı olabilir? Franklin Sonsuz azalan geometrik ilerleme notu 10 BEN. Aritmetik ve geometrik ilerlemeler. Sorular 1. Aritmetik ilerlemenin tanımı. Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her terimin aynı sayıya eklenen bir önceki terime eşit olduğu bir dizidir. 2. Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül. 3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formül. 4. Geometrik ilerlemenin tanımı. Geometrik ilerleme, sıfırdan farklı sayılardan oluşan bir dizidir; ikinciden başlayarak her terimi önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşittir 5. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül. 6. Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formül. II. Aritmetik ilerleme. Görevler Aritmetik ilerleme şu formülle verilir: a n = 7 – 4 n Find a 10 . (-33) 2. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 4'ü bulun. (4) 3. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. 17'yi bulun. (-35) 4. Aritmetik ilerlemede a 3 = 7 ve a 5 = 1. S 17'yi bulun. (-187) II. Geometrik ilerleme. Görevler 5. Geometrik ilerleme için beşinci terimi bulun 6. Geometrik ilerleme için n'inci terimi bulun. 7. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. b4'ü bulun. (4) 8. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. b 1 ve q'yu bulun. 9. Geometrik ilerlemede b 3 = 8 ve b 5 = 2. S5'i bulun. (62) Tanım: Paydanın modülü birden küçükse, geometrik ilerlemeye sonsuz azalan ilerleme denir. Problem No. 1 Aşağıdaki formülle verilirse, dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme midir? Çözüm: a) Bu geometrik ilerleme sonsuz azalan bir dizidir. b) bu dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme değildir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... dizisinin limitidir. Örneğin, sahip olduğumuz ilerleme için Sonsuza kadar azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı şu formül kullanılarak bulunabilir: Görevleri tamamlama İlk terim 3, ikinci terim 0,3 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulun. 2. Sayı 13; 14 numara; ders kitabı, sayfa 138 3. Sayı 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Sayı 19; 20 numara. Bugün hangi diziyle tanıştınız? Sonsuz azalan geometrik ilerlemeyi tanımlayın. Geometrik ilerlemenin sonsuza kadar azaldığı nasıl kanıtlanır? Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülünü verin. Sorular Ünlü Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus şaka yollu bir kanunun şu şekilde formüle edildiğini iddia ediyor: Bir matematikçi daha iyisini yapar. Yani, biri matematikçi olan iki kişiye, kendilerine yabancı olan bir işi yaptırırsanız sonuç her zaman şu olur: Matematikçi daha iyi yapar. Hugo Steinhaus 01/14/1887-02/25/1972 Ek materyaller 9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Arkadaşlar, bugün başka bir ilerleme türüyle tanışacağız. Örnek. 1,2,4,8,16... Birinci terimin bire eşit olduğu ve $q=2$ olan geometrik dizi. Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu geometrik dizi, Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu geometrik dizi, Geometrik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir. Tıpkı aritmetik ilerlemede olduğu gibi, geometrik ilerlemede de eleman sayısı sonluysa bu ilerlemeye sonlu geometrik ilerleme denir. $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$. Örneklerimize dönelim. Örnek. 1,2,4,8,16... İlk terimin bire eşit olduğu geometrik dizi, Örnek. 16,8,4,2,1,1/2… İlk terimin on altıya eşit olduğu geometrik dizi ve $q=\frac(1)(2)$. Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu ve $q=1$ olan geometrik dizi. Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu ve $q=-1$ olan geometrik dizi. Örnek. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik ilerlemesi verildiğinde. Çözüm. Örnek. Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 192, ilerlemenin beşinci ve altıncı terimlerinin toplamı 192'dir. Bu ilerlemenin onuncu terimini bulun. Çözüm. Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamının formülünü elde ettik. Çözüm. Örnek. Çözüm. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. Bir sayı dizisi, yalnızca her bir üyenin karesi, ilerlemenin iki bitişik üyesinin çarpımına eşit olduğunda geometrik bir ilerlemedir. Sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilk ve son dönemler için sağlanmadığını unutmayın. Geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin modülü, iki komşu teriminin geometrik ortalamasına eşittir. Çözüm.
Bir ilerlemenin ilk terimini bulma görevi
Zeno'nun hızlı Aşil ve yavaş kaplumbağa ile ünlü paradoksu
Görevler:
sayısal bir dizinin limitine ilişkin başlangıç fikrinin formüle edilmesi;
sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülünü kullanarak sonsuz periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin başka bir yolunu bilmek;
okul çocuklarının kişiliğinin entelektüel niteliklerinin geliştirilmesi mantıksal düşünme, değerlendirici eylemler yeteneği, genelleme;
faaliyeti, karşılıklı yardımlaşmayı, kolektivizmi ve konuya ilgiyi teşvik etmek.İndirmek:
Ön izleme:
Ön izleme:
Slayt başlıkları:
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Geometrik ilerleme"
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
Kuvvetler ve kökler Fonksiyonlar ve grafikler
Bugünkü dersin konusu geometrik ilerlemedir.Geometrik ilerleme
Tanım. İkinciden başlayarak her terimin bir öncekinin çarpımına eşit olduğu ve sabit bir sayının olduğu sayısal diziye geometrik ilerleme denir.
Dizimizi yinelemeli olarak tanımlayalım: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b ve q verilen belirli sayılardır. q sayısına ilerlemenin paydası denir.
ve $q=1$.
ve $q=-1$.
$b_(1)>0$, $q>1$ ise,
sonra sıra artıyor.
$b_(1)>0$ ise, $0 Dizi genellikle şu biçimde gösterilir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Bir dizi geometrik bir ilerleme ise, terimlerin kareleri dizisinin de geometrik bir ilerleme olduğunu unutmayın. İkinci dizide, ilk terim $b_(1)^2$'a eşittir ve payda $q^2$'a eşittir.Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül
Geometrik ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formülümüze "geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü" denir.
ve $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
a) $b_(1)=6, q=3$ olduğu bilinmektedir. $b_(5)$'ı bulun.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $q=-2, b_(6)=96$ olduğu bilinmektedir. $b_(1)$'ı bulun.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ olduğu bilinmektedir. Q'yu bulun.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, çünkü $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Şunu biliyoruz: $b_(7)-b_(5)=192$ ve $b_(5)+b_(6)=192$.
Şunu da biliyoruz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Daha sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir denklem sistemi aldık:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Denklemlerimizi eşitlersek şunu elde ederiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki çözümümüz var: q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ çözüm yok.
Şunu anladık: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu terimi bulalım: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamı
Sonlu bir geometrik ilerlemeye sahip olalım. Tıpkı bir aritmetik ilerlemede olduğu gibi, terimlerinin toplamını hesaplayalım.
Terimlerinin toplamının gösterimini tanıtalım: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olması durumunda. Geometrik ilerlemenin tüm terimleri ilk terime eşitse, o zaman $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu açıktır.
Şimdi $q≠1$ durumunu ele alalım.
Yukarıdaki miktarı q ile çarpalım.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Not:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
Örnek.
İlk terimi 4 ve paydası 3 olan bir geometrik dizinin ilk yedi teriminin toplamını bulun.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Geometrik ilerlemenin bilinen beşinci terimini bulun: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.Geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği
Arkadaşlar geometrik bir ilerleme veriliyor. Ardışık üç üyesine bakalım: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz biliyoruz ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Daha sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
O halde bunun geometrik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Şu kimliğe bakalım: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a ve b sayılarının geometrik ortalaması olarak adlandırılır.
Örnek.
$x+2; olacak şekilde x'i bulun. 2x+2; 3x+3$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimiydi.
Karakteristik özelliğini kullanalım:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ve $x_(2)=-1$.
Çözümlerimizi sırayla orijinal ifadede yerine koyalım:
$x=2$ ile şu diziyi elde ettik: 4;6;9 – $q=1.5$ olan geometrik bir ilerleme.
$x=-1$ için şu diziyi elde ederiz: 1;0;0.
Cevap: $x=2.$Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. 16;-8;4;-2… geometrik dizisinin sekizinci birinci terimini bulun.
2. 11,22,44… geometrik ilerlemesinin onuncu terimini bulun.
3. $b_(1)=5, q=3$ olduğu biliniyor. $b_(7)$'ı bulun.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;48… geometrik dizisinin ilk 11 teriminin toplamını bulun.
6. $3x+4 olacak şekilde x'i bulun; 2x+4; x+5$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimidir.
