Tüm formüller geometrik ilerlemelidir. Örneklerle geometrik ilerleme

Belirli bir seriyi ele alalım.

7 28 112 448 1792...

Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Bu, bu serinin bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Geometrik ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir. ana özellik yani bir sonraki sayı, bir önceki sayının belirli bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.

Buna göre z ∈ N.

Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle göre ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:

Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

Çeşitler

Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem a 1 hem de q birden büyükse, bu durumda böyle bir dizi her biri ile artmaktadır sonraki öğe geometrik ilerleme. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q| birden küçüktür, yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

Formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Miktarı eşit olan ilk elementlerin toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.

Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.

Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.

• Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.

Çözüm:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

• Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

• Elementlerq bakımından farklıbir kere.
• Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.

• Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

DeğiştirirkenQ= 4

• Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

S6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: Başlangıç ​​tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarında bir tutara sahip olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplamların hesaplanmasını içeren problem örnekleri:

Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamın bulunmasına ilişkin bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, her bir sonraki öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

Geometrik ilerleme ilk üyesi sıfır olmayan ve sonraki her üye önceki üyenin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme kavramı

Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır aritmetik ilerleme. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.

|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1

Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.

Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), bu durumda ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.

Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için, burada n kümeye aittir doğal sayılar N.

Şimdi (Xn)'yi geometrik bir ilerleme olarak koyalım. Geometrik ilerlemenin paydası q ve |q|∞).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile belirtirsek, o zaman aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).

Basit bir örneğe bakalım:

2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sonsuz geometrik ilerlemenin toplamını bulun.

S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplanması sorununu ele alalım. Belirli bir sonsuz ilerlemenin kısmi toplamına, onun ilk terimlerinin toplamı diyelim. Kısmi toplamı sembolle gösterelim

Her sonsuz ilerleme için

kısmi toplamlarının (aynı zamanda sonsuz) bir dizisi oluşturulabilir

Artışı sınırsız olan bir dizinin bir limiti olsun

Bu durumda S sayısına, yani bir ilerlemenin kısmi toplamlarının limitine sonsuz ilerlemenin toplamı denir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin her zaman bir toplamı olduğunu kanıtlayacağız ve bu toplam için bir formül türeteceğiz (sonsuz bir ilerlemenin toplamı yoksa var olmadığını da gösterebiliriz).

Kısmi toplamın ifadesini (91.1) formülünü kullanarak ilerlemenin terimlerinin toplamı olarak yazalım ve kısmi toplamın limitini göz önüne alalım.

Teorem 89'dan azalan bir ilerleme için; bu nedenle fark limiti teoremini uygulayarak şunu buluruz:

(burada da kural kullanılır: sabit faktör limit işaretinin ötesine alınır). Varlığı kanıtlanır ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülü elde edilir:

Eşitlik (92.1) şeklinde de yazılabilir.

Burada sonsuz sayıda terimin toplamına çok kesin bir sonlu değer atanması paradoksal görünebilir.

Bu durumu açıklamak için net bir örnek verilebilir. Bir kenarı bire eşit olan bir kare düşünün (Şek. 72). Bu kareyi yatay bir çizgiyle iki eşit parçaya bölün ve üst parçayı alt parçaya, kenarları 2 ve olan bir dikdörtgen oluşturacak şekilde takın. Bundan sonra bu dikdörtgenin sağ yarısını yatay bir çizgiyle tekrar ikiye bölüp üst kısmı alt kısma bağlayacağız (Şekil 72'de gösterildiği gibi). Bu işlemi sürdürerek alanı 1 olan orijinal kareyi sürekli olarak eşit büyüklükteki şekillere dönüştürüyoruz (inceltme basamaklı merdiven şeklini alıyor).

Bu sürecin sonsuz devamı ile, karenin tüm alanı sonsuz sayıda terime ayrıştırılır - tabanları 1'e eşit olan dikdörtgenlerin alanları ve yükseklikleri.Dikdörtgenlerin alanları tam olarak sonsuz bir azalan ilerleme oluşturur, toplamı

yani beklendiği gibi karenin alanına eşittir.

Örnek. Aşağıdaki sonsuz ilerlemelerin toplamlarını bulun:

Çözüm, a) Bu ilerlemenin olduğunu fark ediyoruz. Dolayısıyla (92.2) formülünü kullanarak şunu buluyoruz:

b) Burada aynı formül (92.2)'yi kullanarak şunu elde ettiğimiz anlamına gelir:

c) Dolayısıyla bu ilerlemenin toplamının olmadığını görüyoruz.

Paragraf 5'te, periyodik bir sayının ters çevrilmesine doğru sonsuz azalan ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülün uygulanmasını göstermiştik. ondalık ortak bir kesir haline getiririz.

Egzersizler

1. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı 3/5, ilk dört teriminin toplamı 13/27'dir. İlerlemenin ilk terimini ve paydasını bulun.

2. İkinci terimin birinci terimden 35 sayı daha küçük ve üçüncü terimin dördüncü terimden 560 birim büyük olduğu alternatif bir geometrik dizi oluşturan dört sayı bulun.

3. Sıranın şu şekilde olduğunu gösterin:

sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur, ardından dizi

herhangi biri için sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur. Bu ifade şu durumda geçerli olacak mı?

Geometrik ilerlemenin terimlerinin çarpımı için bir formül türetin.

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemenin yanı sıra 9. sınıfta okul cebir dersinde işlenen önemli bir sayı dizisidir. Bu makalede geometrik ilerlemenin paydasına ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğine bakacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Öncelikle bu sayı serisinin tanımını verelim. Böyle bir diziye geometrik ilerleme denir rasyonel sayılar, ilk öğesinin payda adı verilen sabit bir sayıyla sıralı olarak çarpılmasıyla oluşturulur.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir ilerlemedir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. 6'yı 2 ile çarparsanız, şunu elde edersiniz: 12 vb.

Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai sembolüyle gösterilir; burada i, dizideki öğe sayısını gösteren bir tamsayıdır.

Yukarıdaki ilerleme tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: eğer n = 1 ise b1-1 = 1 olur ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise an = b * a1 olur ve yine söz konusu sayı serisinin tanımına geliriz. Benzer muhakeme devam ettirilebilir büyük değerler N.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, sayı serisinin tamamının hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayı dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... Eğer a1 elemanı negatifse, o zaman tüm dizi yalnızca mutlak değerde artacak, sayıların işaretine bağlı olarak azalacaktır.
• b = 1. Aynı rasyonel sayıların sıradan bir dizisi olduğundan, genellikle bu duruma ilerleme adı verilmez. Örneğin -4, -4, -4.

Tutar formülü

Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak belirli problemlerin değerlendirilmesine geçmeden önce, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül şuna benzer: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerlemenin terimlerinin yinelemeli dizisini dikkate alırsanız, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca yukarıdaki formülde rastgele sayıda terimin toplamını bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama yapıldı. Şimdi Sn formülünü bildiğimize göre onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı, yükseltildiğinde büyük dereceler sıfıra yönelir, yani -1 ise b∞ => 0

Paydanın değeri ne olursa olsun fark (1 - b) her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerleme S∞'un toplamının işareti, onun ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç probleme bakalım.

Görev No. 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen unsurlarının hesaplanması

Geometrik bir ilerleme verildiğinde bu ilerlemenin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri neye eşit olacak ve ilk yedi elemanının toplamı kaç olacaktır?

Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Yani n eleman sayısını hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. element için elimizde: a7 = b6 * a1, bilinen verileri yerine koyarsak şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. terim için de yaparız: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için iyi bilinen formülü kullanalım ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirleyelim. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem No. 2. Bir ilerlemenin keyfi unsurlarının toplamının belirlenmesi

-2, bn-1 * 4 geometrik ilerlemesinin paydasına eşit olsun; burada n bir tam sayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamın belirlenmesi gerekmektedir.

Ortaya çıkan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 şekilde çözülebilir çeşitli metodlar. Konunun sunumunun bütünlüğü için her ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikir basit: ilk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük olanı hesaplıyoruz: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi daha büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede yalnızca 4 terimin toplandığını unutmayın, çünkü 5'inci terim zaten problemin koşullarına göre hesaplanması gereken miktara dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekinin tamamen aynısını yapıyoruz, yalnızca ilk önce miktarın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem No. 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik ilerlemenin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğu biliniyor.

Sorunun koşullarına göre, sorunu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette ilerlemenin toplamı sonsuz azalıyor. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b) var. Paydayı buradan ifade ediyoruz: b = 1 - a1 / S∞. Geriye kalan tek şey yerine geçmek bilinen değerler ve gerekli sayıyı elde edin: b = 1 - 2/3 = -1/3 veya -0,333(3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'i aşmaması gerektiğini hatırlarsak bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Görüldüğü gibi |-1 / 3|

Görev No. 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı serisinin 2 elemanı verilsin, örneğin 5'incisi 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek tüm seriyi bu verilerden yeniden oluşturmak gerekir.

Sorunu çözmek için öncelikle bilinen her terime karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye bölersek şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan problem cümlesinden bilinen terimlerin oranının beşinci kökünü (b = 1,148698) alarak paydayı belirliyoruz. Ortaya çıkan sayıyı bilinen elementin ifadelerinden birine koyarsak şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece bn ilerlemesinin paydasını ve bn-1 * 17,2304966 = an geometrik ilerlemesini bulduk, burada b = 1,148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayı serisinin pratik bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

Aşağıda en ünlü 3 örneği bulabilirsiniz:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Her hücre için ise satranç tahtası buğday tanelerini koyun, böylece 1. hücreye 1 tane, 2. - 2'ye, 3. - 3'e vb. koyun, ardından tahtanın tüm hücrelerini doldurmak için 18446744073709551615 taneye ihtiyacınız olacak!
• "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine taşımak için 2n - 1 işlem gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısı n ile katlanarak artar.

Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.

Sovyet matematikçisi, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.

Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.

Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en çok hatırlayalım. önemli formüller ve açıklamalar, bu kavramla ilgilidir.

Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir

, (1)

Nerede . Formül (1)'e formül denir genel üye geometrik ilerleme ve formül (2) geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .

Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.

Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:

, (3)

Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerlemenin üyeleriformül uygulanır

Eğer belirtirsek, o zaman

Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.

Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır

. (7)

Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne

Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.

Teorem. Eğer öyleyse

Kanıt. Eğer öyleyse

Teorem kanıtlandı.

“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.

Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman

Cevap: .

Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz

(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.

1. Eğer, daha sonra sistemin (9) ilk denkleminden elimizdeki.

2. Eğer öyleyse .

Örnek 3., ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .

Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .

Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.

Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. O zamandan beri.

O zamandan beri veya

Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.

Ancak bu nedenle koşula göre.

Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .

Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var

O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.

Cevap: .

Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.

Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz

Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .

Cevap: .

Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:

Ve .

Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz

Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz

Veya .

Cevap: .

Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.

Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .

Kontrol edelim: eğer, sonra ve ; eğer , o zaman ve .

İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .

Cevap: , .

Örnek 10.Denklemi çözün

, (11)

Nerede ve .

Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .

Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem dır-dir

Cevap: .

Örnek 11. P tutarlılık pozitif sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .

Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama gelir: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.

O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.ele alınan soruna benzersiz bir çözüm elde ederiz yani .

Cevap: .

Örnek 12. Toplamı Hesapla

. (12)

Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:

Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O

veya .

Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.

Cevap: .

Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, Önerilen literatür listesindeki öğreticileri kullanabilirsiniz.

1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.

2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.