Definition af lige og ulige funktioner. Lige og ulige funktioner. Periodiske funktioner

Som var bekendt for dig i en eller anden grad. Der blev også bemærket, at beholdningen af ​​funktionsejendomme gradvist vil blive genopfyldt. To nye ejendomme vil blive diskuteret i dette afsnit.

Definition 1.

Funktionen y = f(x), x є X, kaldes, selvom ligheden f (-x) = f (x) gælder for enhver værdi x fra mængden X.

Definition 2.

Funktionen y = f(x), x є X, kaldes ulige, hvis ligheden f (-x) = -f (x) gælder for en hvilken som helst værdi x fra mængden X.

Bevis at y = x 4 er en lige funktion.

Løsning. Vi har: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Men (-x) 4 = x 4. Det betyder, at for ethvert x gælder ligheden f(-x) = f(x), dvs. funktionen er lige.

På samme måde kan det bevises, at funktionerne y - x 2, y = x 6, y - x 8 er lige.

Bevis at y = x 3 ~ en ulige funktion.

Løsning. Vi har: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3. Det betyder, at for ethvert x gælder ligheden f (-x) = -f (x), dvs. funktionen er mærkelig.

På samme måde kan det bevises, at funktionerne y = x, y = x 5, y = x 7 er ulige.

Du og jeg er allerede mere end én gang blevet overbevist om, at nye termer i matematik oftest har en "jordisk" oprindelse, dvs. de kan forklares på en eller anden måde. Dette er tilfældet med både lige og ulige funktioner. Se: y - x 3, y = x 5, y = x 7 er ulige funktioner, mens y = x 2, y = x 4, y = x 6 er lige funktioner. Og generelt, for enhver funktion af formen y = x" (nedenfor vil vi specifikt studere disse funktioner), hvor n er et naturligt tal, kan vi konkludere: hvis n er et ulige tal, så er funktionen y = x" ulige; hvis n er et lige tal, så er funktionen y = xn lige.

Der er også funktioner, der hverken er lige eller ulige. Sådan er f.eks. funktionen y = 2x + 3. Faktisk er f(1) = 5 og f (-1) = 1. Som du kan se, her er derfor hverken identiteten f(-x) = f ( x), ej heller identiteten f(-x) = -f(x).

Så en funktion kan være lige, ulige eller ingen af ​​delene.

Undersøgelsen af, om en given funktion er lige eller ulige, kaldes normalt studiet af paritet.

I definition 1 og 2 vi taler om om værdierne af funktionen i punkterne x og -x. Dette forudsætter, at funktionen er defineret i både punkt x og punkt -x. Det betyder, at punkt -x hører til definitionsdomænet for funktionen samtidig med punkt x. Hvis et numerisk sæt X sammen med hvert af dets elementer x også indeholder det modsatte element -x, så kaldes X et symmetrisk sæt. Lad os sige, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) er symmetriske sæt, mens )