Angiv, hvad den største værdi af funktionen er. At studere grafen for en funktion

Nogle gange er der i opgave B15 "dårlige" funktioner, som det er svært at finde en afledt til. Tidligere skete dette kun under prøveprøver, men nu er disse opgaver så almindelige, at de ikke længere kan ignoreres, når man forbereder sig til den rigtige Unified State-eksamen.

I dette tilfælde virker andre teknikker, hvoraf den ene er monotone.

En funktion f (x) siges at være monotont stigende på segmentet, hvis følgende gælder for nogle punkter x 1 og x 2 i dette segment:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

En funktion f (x) siges at være monotont aftagende på segmentet, hvis følgende gælder for nogle punkter x 1 og x 2 i dette segment:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Med andre ord, for en stigende funktion, jo større x, jo større f(x). For en aftagende funktion gælder det modsatte: jo større x, er mindre f(x).

For eksempel stiger logaritmen monotont, hvis grundtallet a > 1, og monotont falder, hvis 0< a < 1. Не забывайте про область acceptable værdier logaritme: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Den aritmetiske kvadratrod (og ikke kun kvadrat) stiger monotont over hele definitionsdomænet:

Eksponentialfunktionen opfører sig på samme måde som logaritmen: den stiger for a > 1 og falder for 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentiel funktion defineret for alle tal, ikke kun x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Til sidst grader med negativ eksponent. Du kan skrive dem som en brøk. De har et brudpunkt, hvor monotonien brydes.

Alle disse funktioner findes aldrig i deres rene form. De tilføjer polynomier, brøker og andet nonsens, hvilket gør det svært at beregne den afledede. Lad os se på, hvad der sker i denne sag.

Parabolens toppunkts koordinater

Oftest erstattes funktionsargumentet med kvadratisk trinomium af formen y = ax 2 + bx + c. Dens graf er en standardparabel, som vi er interesserede i:

1. En parabels grene kan gå op (for en > 0) eller ned (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. En parabels toppunkt er ekstremumpunktet for en kvadratisk funktion, hvor denne funktion tager sit minimum (for en > 0) eller maksimum (a< 0) значение.

Af størst interesse er toppunkt af parablen, hvis abscisse beregnes ved formlen:

Så vi har fundet ekstremumpunktet for den kvadratiske funktion. Men hvis den oprindelige funktion er monoton, for den vil punktet x 0 også være et ekstremumpunkt. Lad os derfor formulere hovedreglen:

Ekstrempunkter kvadratisk trinomium Og kompleks funktion, som den indgår i, falder sammen. Derfor kan du kigge efter x 0 for et kvadratisk trinomium og glemme alt om funktionen.

Ud fra ovenstående ræsonnement forbliver det uklart, hvilket punkt vi får: maksimum eller minimum. Opgaverne er dog specifikt tilrettelagt, så det ikke betyder noget. Bedøm selv:

1. Der er intet segment i problemformuleringen. Derfor er der ikke behov for at beregne f(a) og f(b). Det er tilbage kun at overveje ekstremumpunkterne;
2. Men der er kun et sådant punkt - dette er toppunktet for parablen x 0, hvis koordinater beregnes bogstaveligt talt mundtligt og uden nogen derivater.

Således er løsningen af ​​problemet meget forenklet og kommer ned til kun to trin:

1. Skriv ligningen for parablen y = ax 2 + bx + c og find dens toppunkt ved hjælp af formlen: x 0 = −b /2a ;
2. Find værdien af ​​den oprindelige funktion på dette tidspunkt: f (x 0). Hvis der ikke er yderligere betingelser, vil dette være svaret.

Ved første øjekast kan denne algoritme og dens begrundelse virke kompleks. Jeg poster med vilje ikke et "nøgent" løsningsdiagram, da tankeløs anvendelse af sådanne regler er fyldt med fejl.

Lad os se på reelle problemer fra prøve Unified State Exam i matematik - det er her denne teknik oftest findes. Samtidig vil vi sørge for, at mange B15-problemer på denne måde bliver næsten orale.

Under roden står kvadratisk funktion y = x 2 + 6x + 13. Grafen for denne funktion er en parabel med forgreninger opad, da koefficienten a = 1 > 0.

Parablens toppunkt:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Da parablens grene er rettet opad, får funktionen y = x 2 + 6x + 13 sin minimumsværdi i punktet x 0 = −3.

Roden stiger monotont, hvilket betyder, at x 0 er minimumspunktet for hele funktionen. Vi har:

Opgave. Find den mindste værdi af funktionen:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Under logaritmen er der igen en andengradsfunktion: y = x 2 + 2x + 9. Grafen er en parabel med grene op, fordi a = 1 > 0.

Parablens toppunkt:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Så ved punktet x 0 = −1 antager den kvadratiske funktion sin minimumsværdi. Men funktionen y = log 2 x er monoton, så:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponenten indeholder den kvadratiske funktion y = 1 − 4x − x 2 . Lad os omskrive det i normal form: y = −x 2 − 4x + 1.

Det er klart, at grafen for denne funktion er en parabel, der forgrener sig (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Den oprindelige funktion er eksponentiel, den er derfor monotonisk højeste værdi vil være ved det fundne punkt x 0 = −2:

En opmærksom læser vil sandsynligvis bemærke, at vi ikke har skrevet rækken af ​​tilladte værdier af roden og logaritmen. Men dette var ikke påkrævet: indeni er der funktioner, hvis værdier altid er positive.

Følger fra en funktions domæne

Nogle gange er det ikke nok at finde parablens toppunkt til at løse opgave B15. Den værdi, du leder efter, kan ligge i slutningen af ​​segmentet, og slet ikke på yderpunktet. Hvis problemet slet ikke angiver et segment, så se på række acceptable værdier original funktion. Nemlig:

Bemærk venligst igen: nul kan godt være under roden, men aldrig i logaritmen eller nævneren af ​​en brøk. Lad os se, hvordan dette fungerer med specifikke eksempler:

Opgave. Find den største værdi af funktionen:

Under roden er der igen en andengradsfunktion: y = 3 − 2x − x 2 . Dens graf er en parabel, men forgrener sig, fordi a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadrat rod af et negativt tal findes ikke.

Vi skriver intervallet af tilladte værdier (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Lad os nu finde toppunktet for parablen:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punktet x 0 = −1 hører til ODZ-segmentet - og det er godt. Nu beregner vi værdien af ​​funktionen ved punktet x 0, såvel som i enderne af ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Så vi fik tallene 2 og 0. Vi bliver bedt om at finde den største - dette er tallet 2.

Opgave. Find den mindste værdi af funktionen:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Inde i logaritmen er der en andengradsfunktion y = 6x − x 2 − 5. Dette er en parabel med forgreninger ned, men i en logaritme kan der ikke være negative tal, så vi skriver ODZ'en ud:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Bemærk venligst: uligheden er streng, så enderne tilhører ikke ODZ. Dette adskiller logaritmen fra roden, hvor enderne af segmentet passer os ret godt.

Vi leder efter parablens toppunkt:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Parablens toppunkt passer i henhold til ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Men da vi ikke er interesseret i enderne af segmentet, beregner vi værdien af ​​funktionen kun ved punktet x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?

Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.

Forudsætning Maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er som følger: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledede på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller eksisterer ikke.

Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan gå til nul, uendelig eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.

Hvad er den tilstrækkelige betingelse for yderpunktet af en funktion (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a maksimum

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a minimum forudsat at funktionen f(x) her er kontinuert.

I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelig stand ekstremum af funktionen:

Lad i punktet x = a den første afledte f?(x) forsvinde; hvis den anden afledede f??(a) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så har den et minimum.

Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?

Dette er værdien af ​​funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det har du brug for find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdier af argumentet, hvor der kan være et ekstremum. De kan let identificeres ved at kigge på afledt graf: Vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af diskontinuiteter.

Lad os f.eks. finde ekstremum af en parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Afledt af funktionen: y?(x) = 6x + 2

Løs ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I I dette tilfælde det kritiske punkt er x0=-1/3. Det er med denne argumentværdi, funktionen har ekstremum. Til ham Find, erstatte det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?

Hvis fortegnet for den afledte, når den passerer gennem det kritiske punkt x0 ændres fra "plus" til "minus", så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punkt x0 hverken et maksimum eller et minimum.

For det betragtede eksempel:

Vi tager en vilkårlig værdi af argumentet til venstre for det kritiske punkt: x = -1

Ved x = -1 vil værdien af ​​den afledede være y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. tegnet er "minus").

Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1

Ved x = 1 vil værdien af ​​den afledede være y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. tegnet er "plus").

Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede gennem det kritiske punkt. Det betyder, at vi ved den kritiske værdi x0 har et minimumspunkt.

Største og mindste værdi af en funktion på intervallet(på et segment) findes ved hjælp af samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inden for intervallet, vil det have enten et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.

Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

med mellemrum:

Så den afledede af funktionen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

Vi finder funktionsværdierne ved kritiske værdier af argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den mindste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af ​​funktionen ved x = -4,88 er lig med y = 5,398.

Find værdien af ​​funktionen i enderne af intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen

y = 5,398 ved x = -4,88

mindste værdi -

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer de konvekse og konkave sider?

For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y = f(x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul, uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af ​​disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.

Rødderne af ligningen f? (x) = 0, såvel som mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens definitionsdomæne i et antal intervaller. Konveksiteten på hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad, og hvis negativ, så nedad.

Hvordan finder man yderpunkterne for en funktion af to variable?

For at finde yderpunkterne for funktionen f(x,y), der kan differentieres i specifikationens domæne, skal du bruge:

1) find de kritiske punkter, og til dette - løs ligningssystemet

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b) undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret

for alle punkter (x;y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen består positivt tegn, så har vi ved punkt P0 et minimum, hvis negativt, så har vi et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punkt P0.

Funktionens yderpunkter bestemmes på samme måde for mere argumenter.

Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?

Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.

Den nødvendige betingelse for maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er følgende: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledede på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller gør ikke-eksisterende.

Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan gå til nul, uendelig eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.

Hvad er den tilstrækkelige betingelse for yderpunktet af en funktion (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a maksimum

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a minimum forudsat at funktionen f(x) her er kontinuert.

I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelige betingelse for en funktions ekstremum:

Lad i punktet x = a den første afledte f?(x) forsvinde; hvis den anden afledede f??(a) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så har den et minimum.

Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?

Dette er værdien af ​​funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det har du brug for find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdier af argumentet, hvor der kan være et ekstremum. De kan let identificeres ved at kigge på afledt graf: Vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af diskontinuiteter.

Lad os f.eks. finde ekstremum af en parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Afledt af funktionen: y?(x) = 6x + 2

Løs ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I dette tilfælde er det kritiske punkt x0=-1/3. Det er med denne argumentværdi, funktionen har ekstremum. Til ham Find, erstatte det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?

Hvis fortegnet for den afledte, når den passerer gennem det kritiske punkt x0 ændres fra "plus" til "minus", så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punkt x0 hverken et maksimum eller et minimum.

For det betragtede eksempel:

Vi tager en vilkårlig værdi af argumentet til venstre for det kritiske punkt: x = -1

Ved x = -1 vil værdien af ​​den afledede være y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. tegnet er "minus").

Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1

Ved x = 1 vil værdien af ​​den afledede være y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. tegnet er "plus").

Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede gennem det kritiske punkt. Det betyder, at vi ved den kritiske værdi x0 har et minimumspunkt.

Største og mindste værdi af en funktion på intervallet(på et segment) findes ved hjælp af samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inden for intervallet, vil det have enten et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.

Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

med mellemrum:

Så den afledede af funktionen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

Vi finder funktionsværdierne ved kritiske værdier af argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den mindste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af ​​funktionen ved x = -4,88 er lig med y = 5,398.

Find værdien af ​​funktionen i enderne af intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen

y = 5,398 ved x = -4,88

mindste værdi -

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer de konvekse og konkave sider?

For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y = f(x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul, uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af ​​disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.

Rødderne af ligningen f? (x) = 0, såvel som mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens definitionsdomæne i et antal intervaller. Konveksiteten på hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad, og hvis negativ, så nedad.

Hvordan finder man yderpunkterne for en funktion af to variable?

For at finde yderpunkterne for funktionen f(x,y), der kan differentieres i specifikationens domæne, skal du bruge:

1) find de kritiske punkter, og til dette - løs ligningssystemet

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b) undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret

for alle punkter (x;y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen forbliver positiv, så har vi ved punkt P0 et minimum, hvis negativt, så har vi et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punkt P0.

Yderpunkterne af en funktion bestemmes på samme måde for et større antal argumenter.

Problemformulering 2:

Givet en funktion, der er defineret og kontinuerlig på et bestemt interval. Du skal finde den største (mindste) værdi af funktionen på dette interval.

Teoretisk grundlag.
Sætning (Anden Weierstrass-sætning):

Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig i et lukket interval, når den sine maksimum- og minimumværdier i dette interval.

Funktionen kan nå sine største og mindste værdier enten ved de interne punkter i intervallet eller ved dens grænser. Lad os illustrere alle de mulige muligheder.

Forklaring:
1) Funktionen når sin største værdi på venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens laveste værdi på højre grænse af intervallet ved punkt .
2) Funktionen når sin største værdi ved punktet (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved intervallets højre grænse ved punktet.
3) Funktionen når sin maksimumværdi på venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens minimumværdi ved punkt (dette er minimumspunktet).
4) Funktionen er konstant på intervallet, dvs. den når sine minimums- og maksimumværdier på et hvilket som helst tidspunkt i intervallet, og minimums- og maksimumværdierne er lig med hinanden.
5) Funktionen når sin største værdi ved punkt , og sin minimumværdi ved punkt (på trods af at funktionen har både et maksimum og et minimum på dette interval).
6) Funktionen når sin største værdi ved et punkt (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved et punkt (dette er minimumspunktet).
Kommentar:

"Maksimal" og "maksimal værdi" er forskellige ting. Dette følger af definitionen af ​​maksimum og den intuitive forståelse af udtrykket "maksimal værdi".

Algoritme til at løse opgave 2.



4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.

Eksempel 4:

Bestem den største og mindste værdi af en funktion på segmentet.
Løsning:
1) Find den afledede af funktionen.

2) Find stationære punkter (og punkter mistænkt for ekstremum) ved at løse ligningen. Vær opmærksom på de punkter, hvor der ikke er nogen tosidet endelig afledt.

3) Beregn funktionsværdierne i stationære punkter og på grænserne af intervallet.

4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.

Funktionen på dette segment når sin største værdi på punktet med koordinaterne.

Funktionen på dette segment når sin minimumsværdi på punktet med koordinaterne.

Du kan verificere rigtigheden af ​​beregningerne ved at se på grafen for den funktion, der undersøges.


Kommentar: Funktionen når sin største værdi ved maksimumpunktet og sit minimum ved segmentets grænse.

Et særligt tilfælde.

Antag, at du skal finde maksimum- og minimumværdierne for en funktion på et segment. Efter at have gennemført det første punkt i algoritmen, dvs. afledt beregning, bliver det klart, at det f.eks. kun tager negative værdier over hele det betragtede segment. Husk, at hvis den afledede er negativ, så falder funktionen. Vi fandt ud af, at funktionen falder over hele segmentet. Denne situation er vist i graf nr. 1 i begyndelsen af ​​artiklen.

Funktionen falder på segmentet, dvs. den har ingen ekstreme punkter. Fra billedet kan du se, at funktionen vil tage den mindste værdi på højre grænse af segmentet, og den største værdi til venstre. hvis den afledede på segmentet er positiv overalt, så øges funktionen. Den mindste værdi er på venstre kant af segmentet, den største er til højre.

I denne artikel vil jeg tale om algoritme til at finde den største og mindste værdi funktioner, minimum og maksimum point.

Fra teorien vil det helt sikkert være nyttigt for os afledt tabel Og differentieringsregler. Det hele er på denne tallerken:

Algoritme til at finde den største og mindste værdi.

Det er mere praktisk for mig at forklare konkret eksempel. Overveje:

Eksempel: Find den største værdi af funktionen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].

Trin 1. Vi tager den afledte.

Y" = (x^5+20x^3-65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Trin 2. At finde ekstremum punkter.

Ekstremt punkt vi kalder de punkter, hvor funktionen når sin største eller mindste værdi.

For at finde ekstremumpunkterne skal du sidestille den afledede af funktionen til nul (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nu løser vi denne biquadratiske ligning, og de fundne rødder er vores ekstremumpunkter.

Jeg løser sådanne ligninger ved at erstatte t = x^2, derefter 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Lad os reducere ligningen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Vi foretager den omvendte ændring x^2 = t:

X_(1 og 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 og 4) = ±sqrt(-13) (vi udelukker, der kan ikke være negative tal under roden, medmindre vi selvfølgelig taler om komplekse tal)

Total: x_(1) = 1 og x_(2) = -1 - det er vores ekstremumpunkter.

Trin 3. Bestem den største og mindste værdi.

Substitutionsmetode.

I betingelsen fik vi segmentet [b][–4;0]. Punktet x=1 er ikke inkluderet i dette segment. Så vi overvejer det ikke. Men ud over punktet x=-1 skal vi også overveje venstre og højre grænser for vores segment, det vil sige punkterne -4 og 0. For at gøre dette erstatter vi alle disse tre punkter i den oprindelige funktion. Bemærk, at den originale er den, der er givet i betingelsen (y=x^5+20x^3-65x), nogle mennesker begynder at erstatte den med den afledede...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Det betyder, at den største værdi af funktionen er [b]44, og den opnås ved punkt [b]-1, som kaldes det maksimale punkt for funktionen på segmentet [-4; 0].

Vi besluttede og fik et svar, vi er gode, du kan slappe af. Men stop! Synes du ikke, at det på en eller anden måde er for svært at beregne y(-4)? I forhold med begrænset tid er det bedre at bruge en anden metode, jeg kalder det dette:

Gennem intervaller af tegnkonstans.

Disse intervaller findes for den afledede af funktionen, det vil sige for vores biquadratiske ligning.

Jeg gør det sådan her. Jeg tegner et rettet segment. Jeg placerer punkterne: -4, -1, 0, 1. På trods af at 1 ikke er inkluderet i det givne segment, skal det stadig noteres for korrekt at bestemme fortegnskonstansintervallerne. Lad os tage et tal mange gange større end 1, f.eks. 100, og mentalt erstatte det i vores biquadratiske ligning 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Selv uden at tælle noget, bliver det indlysende, at ved punkt 100 funktion har plustegn. Det betyder, at for intervaller fra 1 til 100 har den et plustegn. Når man passerer gennem 1 (vi går fra højre mod venstre), vil funktionen skifte fortegn til minus. Når man passerer gennem punkt 0, vil funktionen beholde sit fortegn, da dette kun er segmentets grænse og ikke ligningens rod. Når man passerer gennem -1, vil funktionen igen skifte fortegn til plus.

Fra teorien ved vi, at hvor den afledede af funktionen er (og vi tegnede det netop for det) skifter fortegn fra plus til minus (punkt -1 i vores tilfælde) funktion når sit lokale maksimum (y(-1)=44, som beregnet tidligere) på dette segment (dette er logisk meget forståeligt, funktionen holdt op med at stige, fordi den nåede sit maksimum og begyndte at falde).

Følgelig, hvor den afledede af funktionen skifter fortegn fra minus til plus, er opnået lokalt minimum af en funktion. Ja, ja, vi fandt også, at det lokale minimumspunkt er 1, og y(1) er minimumsværdien af ​​funktionen på segmentet, f.eks. fra -1 til +∞. Bemærk venligst, at dette kun er et LOKALT MINIMUM, det vil sige et minimum på et bestemt segment. Da det reelle (globale) minimum af funktionen vil nå et sted der, ved -∞.

Efter min mening er den første metode mere simpel teoretisk, og den anden er enklere set fra et synspunkt aritmetiske operationer, men meget mere kompliceret ud fra et teoretisk synspunkt. Nogle gange er der trods alt tilfælde, hvor funktionen ikke skifter fortegn, når den passerer gennem roden af ​​ligningen, og generelt kan du blive forvekslet med disse lokale, globale maksima og minima, selvom du alligevel skal mestre dette godt, hvis du planlægger at gå ind på et teknisk universitet (og hvorfor ellers tage profilen Unified State Exam og løse denne opgave). Men øvelse og kun øvelse vil lære dig at løse sådanne problemer én gang for alle. Og du kan træne på vores hjemmeside. Her .

Hvis du har spørgsmål eller noget er uklart, så spørg endelig. Jeg vil med glæde svare dig og foretage ændringer og tilføjelser til artiklen. Husk, at vi laver denne side sammen!