Eksponentiel funktion egenskab definition og grafik. Lektion "Eksponentiel funktion, dens egenskaber og graf

Lad os finde værdien af ​​udtrykket for forskellige rationelle værdier af variablen x=2; 0; -3; -

Bemærk, at uanset hvilket tal vi erstatter variablen x, kan vi altid finde værdien af ​​dette udtryk. Det betyder, at vi overvejer en eksponentiel funktion (E er lig med tre i potensen af ​​x), defineret på mængden af ​​rationelle tal:.

Lad os bygge en graf over denne funktion ved at kompilere en tabel med dens værdier.

Lad os udføre glat linje, der passerer gennem disse punkter (figur 1)

Ved hjælp af grafen for denne funktion, lad os overveje dens egenskaber:

3. Øges i hele definitionsområdet.

1. række af værdier fra nul til plus uendelig.

8. Funktionen er konveks nedad.

Hvis vi konstruerer grafer over funktioner i ét koordinatsystem; y=(y er lig med to i potensen af ​​x, y er lig med fem i potensen af ​​x, y er lig med syv i potensen af ​​x), så kan du se, at de har de samme egenskaber som y= (y er lig med tre i potensen af ​​x) (Fig. .2), dvs. alle funktioner på formen y = (y er lig med a til x-potensen, for en større end en) vil have sådan ejendomme.

Lad os plotte funktionen:

1. Kompilering af en tabel over dens værdier.

Lad os markere de opnåede punkter på koordinatplanet.

Lad os tegne en glat linje, der går gennem disse punkter (figur 3).

Ved hjælp af grafen for denne funktion angiver vi dens egenskaber:

1. Definitionsdomænet er mængden af ​​alle reelle tal.

2. Er hverken lige eller ulige.

3. Falder gennem hele definitionsdomænet.

4. Har hverken de største eller de mindste værdier.

5.Begrænset nedenfor, men ikke begrænset ovenfor.

6.Kontinuerlig gennem hele definitionsdomænet.

7. række af værdier fra nul til plus uendelig.

8. Funktionen er konveks nedad.

På samme måde, hvis vi plotter funktionsgrafer i ét koordinatsystem; y = (y er lig med halvdelen af ​​x potens, y er lig med en femtedel af x, y er lig med en syvendedel af x), så kan du bemærke, at de har de samme egenskaber som y = (y er lig med en tredjedel af potensen x (fig. 4), dvs. alle funktioner af formen y = (y er lig med en divideret med a til x-potensen, med en større end nul, men mindre end en) vil have sådanne egenskaber.

Lad os konstruere grafer over funktioner i ét koordinatsystem

Det betyder, at graferne for funktionerne y=y= også vil være symmetriske (y er lig med a til x-potensen og y er lig med en divideret med a til x-potensen) for samme værdi af a.

Lad os opsummere, hvad der er blevet sagt ved at definere den eksponentielle funktion og angive dens hovedegenskaber:

Definition: En funktion på formen y=, hvor (a er lig med a i potensen x, hvor a er positiv og forskellig fra en), kaldes en eksponentiel funktion.

Det er nødvendigt at huske forskellene mellem eksponentialfunktionen y= og potensfunktionen y=, a=2,3,4,…. både hørbart og visuelt. Den eksponentielle funktion x er en grad, og power funktion x er grundlaget.

Eksempel 1: Løs ligningen (tre i potensen x er lig med ni)

(Y er lig med tre i potensen af ​​X og Y er lig med ni) Fig. 7

Bemærk, at de har ét fælles punkt M (2;9) (em med koordinater to; ni), hvilket betyder, at punktets abscisse vil være roden til denne ligning. Det vil sige, at ligningen har en enkelt rod x = 2.

Eksempel 2: Løs ligningen

I et koordinatsystem vil vi konstruere to grafer for funktionen y= (y er lig med fem i x potens og y er lig med en femogtyvendedel) Fig. 8. Graferne skærer hinanden i et punkt T (-2; (te med koordinater minus to; en femogtyvende) Det betyder, at roden af ​​ligningen er x = -2 (tallet minus to).

Eksempel 3: Løs uligheden

I et koordinatsystem vil vi konstruere to grafer for funktionen y=

(Y er lig med tre i potensen af ​​X og Y er lig med syvogtyve).

Fig.9 Grafen for funktionen er placeret over grafen for funktionen y=at

x Derfor er løsningen på uligheden intervallet (fra minus uendeligt til tre)

Eksempel 4: Løs uligheden

I et koordinatsystem vil vi konstruere to grafer for funktionen y= (y er lig med en fjerdedel af x potens og y er lig seksten). (Fig. 10). Graferne skærer hinanden i et punkt K (-2;16). Det betyder, at løsningen på uligheden er intervallet (-2; (fra minus to til plus uendeligt), da grafen for funktionen y= er placeret under grafen for funktionen ved x

Vores ræsonnement giver os mulighed for at verificere gyldigheden af ​​følgende teoremer:

Tema 1: Hvis sandt hvis og kun hvis m=n.

Sætning 2: Hvis er sandt hvis og kun hvis, ulighed er sandt hvis og kun hvis (fig. *)

Sætning 4: Hvis sandt hvis og kun hvis (fig.**), er uligheden sandt hvis og kun hvis Sætning 3: Hvis sandt hvis og kun hvis m=n.

Eksempel 5: Tegn grafen til funktionen y=

Lad os ændre funktionen ved at anvende egenskaben grad y=

Lad os bygge ekstra system koordinater og ind nyt system koordinater, vil vi konstruere en graf for funktionen y = (y er lig med to til x-potensen) Fig. 11.

Eksempel 6: Løs ligningen

I et koordinatsystem vil vi konstruere to grafer for funktionen y=

(Y er lig med syv i potensen af ​​X og Y er lig med otte minus X) Fig. 12.

Graferne skærer hinanden i et punkt E (1; (e med koordinater en; syv) Det betyder, at roden af ​​ligningen er x = 1 (x lig med en).

Eksempel 7: Løs uligheden

I et koordinatsystem vil vi konstruere to grafer for funktionen y=

(Y er lig med en fjerdedel i potensen af ​​X og Y er lig med X plus fem). Grafen for funktionen y= er placeret under grafen for funktionen y=x+5, når løsningen til uligheden er intervallet x (fra minus en til plus uendeligt).

EKSPONENTÆRE OG LOGARITMISKE FUNKTIONER VIII

§ 179 Grundlæggende egenskaber ved eksponentialfunktionen

I dette afsnit vil vi studere eksponentialfunktionens grundlæggende egenskaber

y = a x (1)

Lad os huske det under EN i formel (1) mener vi enhver fast positivt tal, forskellig fra 1.

Ejendom 1. Domænet af en eksponentiel funktion er mængden af ​​alle reelle tal.

Faktisk med en positiv EN udtryk EN x defineret for evt reelle tal x .

Ejendom 2. Den eksponentielle funktion accepterer kun positive værdier.

Faktisk, hvis x > 0, så som bevist i § 176,

EN x > 0.

Hvis x <. 0, то

EN x =

Hvor - x allerede mere end nul. Derfor A - x > 0. Men altså

EN x = > 0.

Til sidst, hvornår x = 0

EN x = 1.

Den 2. egenskab af eksponentialfunktionen har en simpel grafisk fortolkning. Det ligger i, at grafen for denne funktion (se fig. 246 og 247) er placeret helt over abscisseaksen.

Ejendom 3. Hvis EN >1, hvornår så x > 0 EN x > 1, og når x < 0 EN x < 1. Hvis EN < 1, тåh, tværtimod, hvornår x > 0 EN x < 1, og når x < 0 EN x > 1.

Denne egenskab ved den eksponentielle funktion giver også mulighed for en simpel geometrisk fortolkning. På EN > 1 (Fig. 246) kurver y = a x placeret over den lige linje på = 1 kl x > 0 og under lige linje på = 1 kl x < 0.

Hvis EN < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x placeret under den lige linje på = 1 kl x > 0 og over denne lige linje kl x < 0.

Lad os give et strengt bevis for den 3. ejendom. Lade EN > 1 og x - et vilkårligt positivt tal. Lad os vise det

EN x > 1.

Hvis nummeret x rationel ( x = m / n ) , At EN x = EN m/ n = n √-en m .

Fordi EN > 1, så EN m > 1, men roden af ​​et tal større end 1 er åbenbart også større end 1.

Hvis x er irrationel, så er der positive rationelle tal X" Og X" , som tjener som decimalapproksimationer af et tal x :

X"< х < х" .

Men altså, per definition af en grad med en irrationel eksponent

EN x" < EN x < EN x"" .

Som vist ovenfor, nummeret EN x" mere end en. Derfor nummeret EN x , bedre end EN x" , skal også være større end 1,

Så vi har vist, hvornår -en >1 og vilkårlig positiv x

EN x > 1.

Hvis nummeret x var negativ, så ville vi have

EN x =

hvor nummeret er x ville allerede være positiv. Derfor A - x > 1. Derfor,

EN x = < 1.

Således hvornår EN > 1 og vilkårlig negativ x

EN x < 1.

Tilfældet når 0< EN < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Ejendom 4. Hvis x = 0, så uanset a EN x =1.

Dette følger af definitionen af ​​grad nul; nulpotensen af ​​ethvert andet tal end nul er lig med 1. Grafisk er denne egenskab udtrykt ved, at for evt. EN kurve på = EN x (se fig. 246 og 247) skærer aksen på på punktet med ordinat 1.

Ejendom 5. På EN >1 eksponentiel funktion = EN x er monotont stigende, og for en < 1 - monotont aftagende.

Denne egenskab giver også mulighed for en enkel geometrisk fortolkning.

På EN > 1 (Fig. 246) kurve på = EN x med vækst x stiger højere og højere, og hvornår EN < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Lad os give et strengt bevis for den 5. ejendom.

Lade EN > 1 og x 2 > x 1 . Lad os vise det

EN x 2 > EN x 1

Fordi x 2 > x 1., så x 2 = x 1 + d , Hvor d - et positivt tal. Derfor

EN x 2 - EN x 1 = EN x 1 + d - EN x 1 = EN x 1 (EN d - 1)

Ved den 2. egenskab af eksponentialfunktionen EN x 1 > 0. Siden d > 0, derefter med den 3. egenskab af eksponentialfunktionen EN d > 1. Begge faktorer i produktet EN x 1 (EN d - 1) er positive, derfor er dette produkt i sig selv positivt. Midler, EN x 2 - EN x 1 > 0, eller EN x 2 > EN x 1, hvilket er det, der skulle bevises.

Så når -en > 1 funktion på = EN x er monotont stigende. På samme måde er det bevist, at når EN < 1 функция på = EN x er monotont aftagende.

Følge. Hvis to potenser af det samme positive tal bortset fra 1 er lige store, så er deres eksponenter lige store.

Med andre ord, hvis

EN b = EN c (EN > 0 og EN =/= 1),

b = c .

Faktisk, hvis tallene b Og Med ikke var ens, da på grund af funktionens monotonitet på = EN x den største af dem ville svare til EN >1 større, og hvornår EN < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или EN b > EN c , eller EN b < EN c . Begge modsiger betingelsen EN b = EN c . Det er tilbage at indrømme det b = c .

Ejendom 6. Hvis en > 1, så med en ubegrænset stigning i argumentationen x (x -> ∞ ) funktionsværdier på = EN x også vokse i det uendelige (på -> ∞ ). Når argumentet falder uden grænse x (x -> -∞ ) værdierne af denne funktion har en tendens til nul, mens de forbliver positive (på->0; på > 0).

Under hensyntagen til monotoniteten af ​​den ovenfor viste funktion på = EN x , kan vi sige, at i det pågældende tilfælde funktionen på = EN x monotont stiger fra 0 til ∞ .

Hvis 0 <EN < 1, derefter med en ubegrænset stigning i argumentet x (x -> ∞), vil værdierne af funktionen y = a x tendens til nul, mens de forbliver positive (på->0; på > 0). Når argumentet x falder uden grænse (x -> -∞ ) værdierne af denne funktion vokser ubegrænset (på -> ∞ ).

På grund af funktionens monotoni y = a x vi kan sige, at i dette tilfælde funktionen på = EN x monotont aftager fra ∞ til 0.

Den 6. egenskab af den eksponentielle funktion er tydeligt afspejlet i figur 246 og 247. Vi vil ikke strengt bevise det.

Det eneste, vi skal gøre, er at fastslå variationsområdet for den eksponentielle funktion y = a x (EN > 0, EN =/= 1).

Ovenfor beviste vi, at funktionen y = a x tager kun positive værdier og stiger enten monotont fra 0 til ∞ (på EN > 1), eller falder monotont fra ∞ til 0 (ved 0< EN <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x Er der nogle spring, når du skifter? Tager det nogle positive værdier? Dette problem er løst positivt. Hvis EN > 0 og EN =/= 1, så uanset hvad det positive tal er på 0 vil helt sikkert blive fundet x 0, sådan at

EN x 0 = på 0 .

(På grund af funktionens monotonitet y = a x angivne værdi x 0 vil selvfølgelig være den eneste.)

At bevise denne kendsgerning ligger uden for rammerne af vores program. Dens geometriske fortolkning er, at for enhver positiv værdi på 0 funktionsgraf y = a x vil helt sikkert krydse med en lige linje på = på 0 og desuden kun i et punkt (fig. 248).

Heraf kan vi drage følgende konklusion, som vi formulerer som egenskab 7.

Ejendom 7. Ændringsarealet af eksponentialfunktionen y = a x (EN > 0, EN =/= 1)er mængden af ​​alle positive tal.

Øvelser

1368. Find definitionsdomænerne for følgende funktioner:

1369. Hvilket af disse tal er større end 1 og hvilket er mindre end 1:

1370. Ud fra hvilken egenskab ved eksponentialfunktionen kan det fastslås, at

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1.3 > (4/3) 1.2

1371. Hvilket tal er størst:

EN) π - √3 eller (1/ π ) - √3 ; c) (2/3) 1 + √6 eller (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 eller ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 eller (√3) √3 - 2 ?

1372. Er ulighederne ækvivalente:

1373. Hvad kan man sige om tal x Og på , hvis et x = og y , Hvor EN - et givet positivt tal?

1374. 1) Er det muligt blandt alle funktionens værdier på = 2x fremhæve:

2) Er det muligt blandt alle funktionens værdier på = 2 | x| fremhæve:

a) den største værdi; b) mindste værdi?

Videnshypermarked >>Matematik >>Matematik 10. klasse >>

Eksponentiel funktion, dens egenskaber og graf

Lad os overveje udtrykket 2x og finde dets værdier for forskellige rationelle værdier af variablen x, for eksempel for x = 2;

Generelt, uanset hvilken rationel værdi vi tildeler variablen x, kan vi altid beregne den tilsvarende numerisk værdi udtryk 2 x. Således kan vi tale om eksponentiel funktioner y=2 x, defineret på mængden Q af rationelle tal:

Lad os se på nogle egenskaber ved denne funktion.

Ejendom 1.- øget funktion. Vi udfører bevisningen i to trin.
Første etape. Lad os bevise, at hvis r er et positivt rationelt tal, så er 2 r >1.
To tilfælde er mulige: 1) r - naturligt tal r = n; 2) almindelig irreducerbar brøkdel,

På venstre side af den sidste ulighed har vi , og på højre side 1. Det betyder, at den sidste ulighed kan omskrives i formen

Så under alle omstændigheder gælder uligheden 2 r > 1, hvilket er det, der skulle bevises.

Anden fase. Lad x 1 og x 2 være tal, og x 1 og x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(vi betegnede forskellen x 2 - x 1 med bogstavet r).

Da r er et positivt rationelt tal, så ved det, der blev bevist i det første trin, 2 r > 1, dvs. 2r-1 >0. Tallet 2x" er også positivt, hvilket betyder, at produktet 2 x-1 (2 Г -1) også er positivt. Således har vi bevist, at ulighed 2 Xg -2x" >0.

Altså fra uligheden x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Ejendom 2. begrænset nedefra og ikke begrænset fra oven.
Afgrænsningen af ​​funktionen nedefra følger af uligheden 2 x >0, som er gyldig for alle værdier af x fra funktionens definitionsdomæne. Samtidig kan du, uanset hvilket positivt tal M du tager, altid vælge en eksponent x således, at uligheden 2 x >M er opfyldt - hvilket kendetegner funktionens ubegrænsethed fra oven. Lad os give en række eksempler.

Ejendom 3. har hverken den mindste eller den største værdi.

Hvad denne funktion ikke har højeste værdiåbenbart, da den, som vi lige har set, ikke er afgrænset ovenfor. Men det er begrænset nedefra, hvorfor har det ikke en minimumsværdi?

Lad os antage, at 2 r er den mindste værdi af funktionen (r er en rationel indikator). Lad os tage et rationelt tal q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Alt dette er godt, siger du, men hvorfor betragter vi funktionen y-2 x kun på mængden af ​​rationelle tal, hvorfor betragter vi den ikke som andre kendte funktioner på hele tallinjen eller på et eller andet kontinuert interval af tallinje? Hvad stopper os? Lad os tænke over situationen.

Tallinjen indeholder ikke kun rationelle, men også irrationelle tal. For de tidligere undersøgte funktioner generede dette os ikke. For eksempel fandt vi værdierne af funktionen y = x2 lige let for både rationelle og irrationelle værdier af x: det var nok at kvadrere den givne værdi af x.

Men med funktionen y=2 x er situationen mere kompliceret. Hvis argumentet x får en rationel betydning, så kan x i princippet beregnes (gå tilbage til begyndelsen af ​​afsnittet, hvor vi gjorde præcis dette). Hvad hvis argument x får en irrationel betydning? Hvordan regner man for eksempel? Det ved vi ikke endnu.
Matematikere har fundet en vej ud; sådan ræsonnerede de.

Det er kendt, at Overvej en sekvens af rationelle tal - decimalapproksimationer af et tal med ulempe:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Det er klart, at 1,732 = 1,7320 og 1,732050 = 1,73205. For at undgå sådanne gentagelser kasserer vi de medlemmer af sekvensen, der ender med tallet 0.

Så får vi en stigende sekvens:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Følgelig øges rækkefølgen

Alle led i denne rækkefølge er positive tal mindre end 22, dvs. denne rækkefølge er begrænset. Ifølge Weierstrass' sætning (se § 30), hvis en sekvens er stigende og afgrænset, så konvergerer den. Derudover ved vi fra § 30, at hvis en sekvens konvergerer, gør den det kun til én grænse. Det blev aftalt, at denne enkelte grænse skulle betragtes som værdien af ​​et numerisk udtryk. Og det gør ikke noget, at det er meget svært at finde selv en omtrentlig værdi af det numeriske udtryk 2; det er vigtigt, at dette er et bestemt tal (vi var trods alt ikke bange for at sige, at det for eksempel er roden til en rationel ligning, roden af ​​en trigonometrisk ligning uden egentlig at tænke over, hvad disse tal præcist er:
Så vi har fundet ud af hvilken betydning matematikere lægger i symbolet 2^. På samme måde kan du bestemme, hvad og generelt hvad a a er, hvor a er et irrationelt tal og a > 1.
Men hvad nu hvis 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Nu kan vi ikke kun tale om potenser med vilkårlige rationelle eksponenter, men også om potenser med vilkårlige reelle eksponenter. Det er blevet bevist, at grader med nogen reelle eksponenter har alle de sædvanlige egenskaber for grader: når man multiplicerer potenser med de samme grundtal, adderes eksponenterne, når man dividerer, trækkes de fra, når man hæver en grad til en potens, ganges de, etc. Men det vigtigste er, at nu kan vi tale om funktionen y-ax defineret på mængden af ​​alle reelle tal.
Lad os vende tilbage til funktionen y = 2 x og konstruere dens graf. For at gøre dette, lad os oprette en tabel med funktionsværdier y=2x:

Lad os markere punkterne på koordinatplanet (fig. 194), de markerer en bestemt linje, lad os tegne den (fig. 195).

Egenskaber for funktionen y - 2 x:
1)
2) er hverken lige eller ulige; 248
3) stigninger;

5) har hverken de største eller de mindste værdier;
6) kontinuerlig;
7)
8) konveks nedad.

Strenge beviser for de anførte egenskaber af funktionen y-2 x gives i løbet af højere matematik. Vi diskuterede nogle af disse egenskaber i en eller anden grad tidligere, nogle af dem er tydeligt demonstreret af den konstruerede graf (se fig. 195). For eksempel er manglen på paritet eller ulige en funktion geometrisk relateret til henholdsvis manglen på symmetri i grafen i forhold til y-aksen eller i forhold til oprindelsen.

Enhver funktion af formen y = a x, hvor a > 1, har lignende egenskaber. I fig. 196 i et koordinatsystem blev konstrueret, grafer for funktioner y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Lad os nu overveje funktionen og oprette en værditabel for den:

Lad os markere punkterne på koordinatplanet (fig. 197), de markerer en bestemt linje, lad os tegne den (fig. 198).

Funktionsegenskaber

1)
2) er hverken lige eller ulige;
3) falder;
4) ikke begrænset fra oven, begrænset nedefra;
5) der er hverken den største eller den mindste værdi;
6) kontinuerlig;
7)
8) konveks nedad.
Enhver funktion af formen y = a x har lignende egenskaber, hvor O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Bemærk venligst: funktionsgrafer de der. y=2 x, symmetrisk om y-aksen (fig. 201). Dette er en konsekvens af det generelle udsagn (se § 13): graferne for funktionerne y = f(x) og y = f(-x) er symmetriske om y-aksen. På samme måde er graferne for funktionerne y = 3 x og

For at opsummere, hvad der er blevet sagt, vil vi give en definition af eksponentialfunktionen og fremhæve dens vigtigste egenskaber.

Definition. En funktion af formen kaldes en eksponentiel funktion.
Grundlæggende egenskaber for eksponentialfunktionen y = a x

Grafen for funktionen y=a x for a> 1 er vist i fig. 201 og for 0<а < 1 - на рис. 202.

Kurven vist i fig. 201 eller 202 kaldes eksponent. Faktisk kalder matematikere normalt selve eksponentialfunktionen y = a x. Så udtrykket "eksponent" bruges i to betydninger: både for at navngive den eksponentielle funktion og for at navngive grafen for den eksponentielle funktion. Normalt er betydningen klar, uanset om vi taler om en eksponentiel funktion eller dens graf.

Vær opmærksom på det geometriske træk ved grafen for eksponentialfunktionen y=ax: x-aksen er grafens vandrette asymptote. Det er rigtigt, at denne udtalelse normalt afklares som følger.
X-aksen er den vandrette asymptote af funktionens graf

Med andre ord

Første vigtige bemærkning. Skolebørn forveksler ofte begreberne: magtfunktion, eksponentiel funktion. Sammenligne:

Disse er eksempler på potensfunktioner;

Disse er eksempler på eksponentielle funktioner.

Generelt er y = x r, hvor r er et specifikt tal, en potensfunktion (argumentet x er indeholdt i gradens basis);
y = a", hvor a er et bestemt tal (positivt og forskelligt fra 1), er en eksponentiel funktion (argumentet x er indeholdt i eksponenten).

En "eksotisk" funktion som y = x" betragtes som hverken eksponentiel eller potens (det kaldes nogle gange eksponentiel).

Anden vigtige bemærkning. Normalt betragter man ikke en eksponentiel funktion med basis a = 1 eller med basis a, der opfylder uligheden a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 og a Faktum er, at hvis a = 1, så gælder ligheden Ix = 1 for enhver værdi af x. Således "degenererer" eksponentialfunktionen y = a" med a = 1 til en konstant funktion y = 1 - dette er ikke interessant. Hvis a = 0, så er 0x = 0 for enhver positiv værdi af x, dvs. vi får funktionen y = 0, defineret for x > 0 - dette er også uinteressant. Hvis endelig en<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Før du går videre til at løse eksemplerne, skal du være opmærksom på, at den eksponentielle funktion er væsentligt forskellig fra alle de funktioner, du hidtil har studeret. For at studere et nyt objekt grundigt, skal du overveje det fra forskellige vinkler, i forskellige situationer, så der vil være mange eksempler.
Eksempel 1.

Løsning, a) Efter at have konstrueret grafer for funktionerne y = 2 x og y = 1 i ét koordinatsystem, bemærker vi (fig. 203), at de har ét fælles punkt (0; 1). Det betyder, at ligningen 2x = 1 har en enkelt rod x =0.

Så fra ligningen 2x = 2° får vi x = 0.

b) Efter at have konstrueret grafer for funktionerne y = 2 x og y = 4 i ét koordinatsystem, bemærker vi (fig. 203), at de har ét fælles punkt (2; 4). Det betyder, at ligningen 2x = 4 har en enkelt rod x = 2.

Så ud fra ligningen 2 x = 2 2 får vi x = 2.

c) og d) Ud fra de samme overvejelser konkluderer vi, at ligningen 2 x = 8 har en enkelt rod, og for at finde den, skal der ikke bygges grafer over de tilsvarende funktioner;

det er klart, at x = 3, da 2 3 = 8. På samme måde finder vi ligningens eneste rod

Så fra ligningen 2x = 2 3 fik vi x = 3, og fra ligningen 2 x = 2 x fik vi x = -4.
e) Grafen for funktionen y = 2 x er placeret over grafen for funktionen y = 1 for x > 0 - dette kan tydeligt læses i Fig. 203. Det betyder, at løsningen på uligheden 2x > 1 er intervallet
f) Grafen for funktionen y = 2 x er placeret under grafen for funktionen y = 4 ved x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Du har sikkert bemærket, at grundlaget for alle konklusionerne ved løsning af eksempel 1 var egenskaben monotonicitet (forøgelse) af funktionen y = 2 x. Lignende ræsonnement giver os mulighed for at verificere gyldigheden af ​​de følgende to teoremer.

Løsning. Du kan fortsætte sådan her: Byg en graf af y-3 x-funktionen, stræk den derefter fra x-aksen med en faktor 3, og hæv derefter den resulterende graf op med 2 skalaenheder. Men det er mere praktisk at bruge det faktum, at 3- 3* = 3 * + 1, og derfor bygge en graf af funktionen y = 3 x * 1 + 2.

Lad os gå videre, som vi har gjort mange gange i sådanne tilfælde, til et hjælpekoordinatsystem med origo i punktet (-1; 2) - stiplede linjer x = - 1 og 1x = 2 i fig. 207. Lad os "linke" funktionen y=3* til det nye koordinatsystem. For at gøre dette skal du vælge kontrolpunkter for funktionen , men vi vil bygge dem ikke i det gamle, men i det nye koordinatsystem (disse punkter er markeret i fig. 207). Så konstruerer vi en eksponent ud fra punkterne - dette vil være den nødvendige graf (se fig. 207).
For at finde de største og mindste værdier af en given funktion på segmentet [-2, 2], udnytter vi, at den givne funktion er stigende, og derfor tager den sin henholdsvis mindste og største værdi ved venstre og højre ende af segmentet.
Så:

Eksempel 4. Løs ligning og uligheder:

Løsning, a) Lad os konstruere grafer for funktionerne y=5* og y=6-x i ét koordinatsystem (fig. 208). De skærer hinanden på et tidspunkt; efter tegningen at dømme er dette punkt (1; 5). Kontrollen viser, at punktet (1; 5) faktisk opfylder både ligningen y = 5* og ligningen y = 6-x. Abscissen af ​​dette punkt tjener som den eneste rod i den givne ligning.

Så ligningen 5 x = 6 - x har en enkelt rod x = 1.

b) og c) Eksponenten y-5x ligger over den rette linie y=6-x, hvis x>1 er dette tydeligt synligt på fig. 208. Det betyder, at løsningen på uligheden 5*>6'erne kan skrives som følger: x>1. Og løsningen på uligheden 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Svar: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

Eksempel 5. Givet en funktion Bevis det
Løsning. Efter den tilstand, vi har.

Eksponentiel funktion er en generalisering af produktet af n tal lig med a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
til mængden af ​​reelle tal x:
y (x) = akse.
Her er a et fast reelt tal, som kaldes grundlaget for eksponentialfunktionen.
En eksponentiel funktion med basis a kaldes også eksponent til base a.

Generaliseringen udføres som følger.
For naturlig x = 1, 2, 3,... , den eksponentielle funktion er produktet af x faktorer:
.
Desuden har den egenskaber (1,5-8) (), som følger af reglerne for multiplikation af tal. For nul og negative værdier af heltal bestemmes eksponentialfunktionen ved hjælp af formlerne (1,9-10). For brøkværdier x = m/n rationelle tal, bestemmes det af formlen (1.11). For reel er den eksponentielle funktion defineret som grænsen for sekvensen:
,
hvor er en vilkårlig række af rationelle tal, der konvergerer til x: .
Med denne definition er den eksponentielle funktion defineret for alle og opfylder egenskaber (1,5-8), som for naturlig x.

En stringent matematisk formulering af definitionen af ​​en eksponentiel funktion og beviset for dens egenskaber er givet på siden "Definition og bevis for egenskaberne af en eksponentiel funktion".

Egenskaber for den eksponentielle funktion

Eksponentialfunktionen y = a x har følgende egenskaber på mængden af ​​reelle tal ():
(1.1) defineret og kontinuerligt, for , for alle ;
(1.2) for en ≠ 1 har mange betydninger;
(1.3) stiger strengt ved , strengt falder ved ,
er konstant ved ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andre nyttige formler.
.
Formel til konvertering til en eksponentiel funktion med en anden eksponentbase:

Når b = e, får vi udtrykket af eksponentialfunktionen gennem eksponentialet:

Private værdier

, , , , .

Figuren viser grafer for eksponentialfunktionen
y (x) = akse
for fire værdier gradsgrundlag: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 og en = 1/8 . Det kan ses, at for en > 1 eksponentialfunktionen øges monotont. Jo større bunden af ​​graden a, jo stærkere er væksten. På 0 < a < 1 eksponentialfunktionen aftager monotont. Jo mindre eksponent a, jo stærkere fald.

Stigende, faldende

Den eksponentielle funktion for er strengt monotonisk og har derfor ingen ekstrema. Dens vigtigste egenskaber er vist i tabellen.

	y = a x, a > 1	y = økse, 0 < a < 1
Domæne	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vifte af værdier	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	monotont stiger	monotont aftager
Nuller, y = 0	Ingen	Ingen
Skæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Omvendt funktion

Det omvendte af en eksponentiel funktion med basis a er logaritmen til basis a.

Hvis så
.
Hvis så
.

Differentiering af en eksponentiel funktion

For at differentiere en eksponentiel funktion skal dens grundtal reduceres til tallet e, anvende afledtetabellen og differentieringsreglen kompleks funktion.

For at gøre dette skal du bruge egenskaben for logaritmer
og formlen fra derivattabellen:
.

Lad en eksponentiel funktion være givet:
.
Vi bringer det til basen e:

Lad os anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner. For at gøre dette skal du introducere variablen

Derefter

Fra tabellen over afledte har vi (erstat variablen x med z):
.
Da er en konstant, er den afledede af z med hensyn til x lig med
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion:
.

Afledt af en eksponentiel funktion

.
Afledt af n. orden:
.
Udledning af formler > > >

Et eksempel på differentiering af en eksponentiel funktion

Find den afledede af en funktion
y = 3 5 x

Løsning

Lad os udtrykke basis for eksponentialfunktionen gennem tallet e.
3 = e ln 3
Derefter
.
Indtast en variabel
.
Derefter

Fra tabellen over afledte finder vi:
.
Fordi 5ln 3 er en konstant, så er den afledede af z med hensyn til x lig med:
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion har vi:
.

Svar

Integral

Udtryk ved hjælp af komplekse tal

Overvej den komplekse talfunktion z:
f (z) = a z
hvor z = x + iy; jeg 2 = - 1 .
Lad os udtrykke den komplekse konstant a i form af modul r og argument φ:
a = r e i φ
Derefter


.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Generelt
φ = φ 0 + 2 πn,
hvor n er et heltal. Derfor funktionen f (z) er heller ikke klart. Dens vigtigste betydning overvejes ofte
.

Serieudvidelse

.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Eksponentiel funktion

Funktion af formen y = a x , hvor a er større end nul og a ikke er lig med én kaldes en eksponentiel funktion. Grundlæggende egenskaber for den eksponentielle funktion:

1. Definitionsdomænet for eksponentialfunktionen vil være mængden af ​​reelle tal.

2. Værdiområdet for eksponentialfunktionen vil være mængden af ​​alle positive reelle tal. Nogle gange er dette sæt betegnet som R+ for kortheds skyld.

3. Hvis grundtallet a i en eksponentiel funktion er større end en, så vil funktionen være stigende over hele definitionsdomænet. Hvis i eksponentialfunktionen for basen a er følgende betingelse opfyldt 0

4. Alle grundlæggende egenskaber ved grader vil være gyldige. De vigtigste egenskaber ved grader er repræsenteret af følgende ligheder:

-en x *en y = a (x+y) ;

(en x )/(en y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(en y );

(a/b) x = a x /b x ;

(en x ) y = a (x * y) .

Disse ligheder vil være gyldige for alle reelle værdier af x og y.

5. Grafen for en eksponentiel funktion går altid gennem punktet med koordinater (0;1)

6. Afhængigt af om eksponentialfunktionen stiger eller falder, vil dens graf have en af ​​to former.

Følgende figur viser en graf af en stigende eksponentiel funktion: a>0.

Følgende figur viser grafen for en aftagende eksponentiel funktion: 0

Både grafen for en stigende eksponentiel funktion og grafen for en aftagende eksponentiel funktion, ifølge egenskaben beskrevet i det femte afsnit, går gennem punktet (0;1).

7. En eksponentiel funktion har ikke ekstremumpunkter, dvs. den har med andre ord ikke minimums- og maksimumspunkter for funktionen. Hvis vi betragter en funktion på et bestemt segment, vil funktionen antage minimums- og maksimumværdierne i slutningen af ​​dette interval.

8. Funktionen er ikke lige eller ulige. En eksponentiel funktion er en funktion generel opfattelse. Dette kan ses fra graferne; ingen af ​​dem er symmetriske hverken med hensyn til Oy-aksen eller med hensyn til koordinaternes oprindelse.

Logaritme

Logaritmer har altid været overvejet komplekst emne i et skolematematikkursus. Der er mange forskellige definitioner af logaritme, men af ​​en eller anden grund bruger de fleste lærebøger den mest komplekse og mislykkede af dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og klart. For at gøre dette, lad os oprette en tabel:

Så vi har to beføjelser. Hvis du tager tallet fra bundlinjen, kan du nemt finde den magt, som du skal hæve to til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af ​​logaritmen:

Definition

Logaritme at basere a af argumentet x er den magt, som tallet skal hæves til-en for at få nummeret x.

Betegnelse

log a x = b
hvor a er basen, x er argumentet, b - faktisk hvad logaritmen er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af ​​8 er tre, fordi 2 3 = 8). Med samme succes, log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Operationen med at finde logaritmen af ​​et tal til en given base kaldeslogaritme . Så lad os tilføje en ny linje til vores tabel:

Desværre er det ikke alle logaritmer, der beregnes så let. Forsøg for eksempel at finde log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på intervallet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем mere grad toere, jo større tal.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er vigtigt at forstå, at en logaritme er et udtryk med to variable (grundlaget og argumentet). I begyndelsen forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot se på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af ​​en logaritme. Husk: logaritme er en potens , som basen skal indbygges i for at få et argument. Det er basen, der er hævet til en magt – den er fremhævet med rødt på billedet. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller mine elever denne vidunderlige regel i den allerførste lektion – og der opstår ingen forvirring.

Vi har fundet ud af definitionen - det eneste, der er tilbage, er at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi det To vigtige fakta følger af definitionen:

Argumentet og grundtallet skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af ​​en grad ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af ​​en logaritme reduceres.

Basen skal være forskellig fra en, da en i nogen grad stadig forbliver en. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne restriktioner hedder række acceptable værdier(ODZ). Det viser sig, at logaritmen's ODZ ser sådan ud: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Bemærk, at ingen begrænsninger på antallet b (logaritmeværdi) overlapper ikke. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende VA af logaritmen. Alle begrænsninger er allerede taget i betragtning af forfatterne til opgaverne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder kommer i spil, bliver DL-krav obligatoriske. Grundlaget og argumentationen kan trods alt indeholde meget stærke konstruktioner, der ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Nu overveje det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

Giv en grund a og argument x i form af en potens med mindst mulig basis større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimaler;

Løs med hensyn til en variabel b ligning: x = a b ;

Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil denne være synlig allerede i første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget vigtigt: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. Samme med decimaler: hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer konkrete eksempler:

Beregn logaritmen: log 5 25

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Vi fik svaret: 2.

Beregn logaritmen:

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af tre: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

Lad os skabe og løse ligningen:

Vi fik svaret: −4.

−4

Beregn logaritmen: log 4 64

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Vi fik svaret: 3.

Beregn logaritmen: log 16 1

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Vi fik svaret: 0.

Beregn logaritmen: log 7 14

Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke repræsenteres som en syv potens, da 7 1< 14 < 7 2 ;

Af det foregående afsnit følger, at logaritmen ikke tæller;

Svaret er ingen ændring: log 7 14.

log 7 14

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan kan du være sikker på, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Det er meget enkelt - tag det bare ind i hovedfaktorer. Hvis udvidelsen har mindst to forskellige faktorer, er tallet ikke en nøjagtig potens.

Find ud af, om tallene er nøjagtige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - nøjagtig grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en nøjagtig potens, da der er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 · 5 - igen ikke en nøjagtig potens;
14 = 7 · 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

8, 81 - nøjagtig grad; 48, 35, 14 - nr.

Lad os også bemærke, at vi selv Primtal er altid nøjagtige grader af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og symbol.

Definition

Decimal logaritme fra argument x er logaritmen til grundtal 10, dvs. den magt, som tallet 10 skal hæves til for at få tallet x.

Betegnelse

lg x

For eksempel log 10 = 1; Ig 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" dukker op i en lærebog, skal du vide, at dette ikke er en tastefejl. Dette er en decimallogaritme. Men hvis du ikke er bekendt med denne notation, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen betegnelse. På nogle måder er det endnu vigtigere end decimal. Det handler om om den naturlige logaritme.

Definition

Naturlig logaritme fra argument x er logaritmen til grundtallet e , dvs. den magt, som et tal skal hæves til e for at få nummeret x.

Betegnelse

ln x

Mange mennesker vil spørge: hvad er tallet e? Dette er et irrationelt tal; dets nøjagtige værdi kan ikke findes og nedskrives. Jeg vil kun give de første tal:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detaljer om, hvad dette nummer er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk at e - basis af naturlig logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af evt rationelt tal irrationel. Bortset naturligvis fra én: ln 1 = 0.

Til naturlige logaritmer alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, er gyldige.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke ligefrem er almindelige tal, har de deres egne regler, som kaldes grundlæggende egenskaber.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: log a x og log a y . Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

log et x + log et y =log-en ( x · y );

log et x − log et y =log-en ( x : y ).

Så, summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det centrale punkt her er den samme begrundelse. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektion " "). Tag et kig på eksemplerne og se:

Find værdien af ​​udtrykket: log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Find værdien af ​​udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Find værdien af ​​udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum prøvepapirer. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Derefter eksponenten for denne grad kan tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig Alle disse regler giver mening, hvis ODZ for logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt, dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Find værdien af ​​udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 forbliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Sætning

Lad logaritmeloggen blive givet et x . Så for et hvilket som helst nummer c sådan at c > 0 og c ≠ 1, ligheden er sand:

Især hvis vi sætter c = x, vi får:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i konventionelle numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor bekvemme de er ved at beslutte logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Find værdien af ​​udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Find værdien af ​​udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde nummeret n bliver en indikator for graden stående i argumentationen. Nummer n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Dette er hvad det hedder:grundlæggende logaritmisk identitet.

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave

Find betydningen af ​​udtrykket:

Løsning

Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - tog blot kvadratet fra basen og logaritmens argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

200

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

log a a = 1 er logaritmisk enhed. Husk én gang for alle: logaritme til enhver base-en fra netop denne base er lig med en.

log a 1 = 0 er logaritmisk nul. Base a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis!