Sådan finder du den største værdi af en funktion. Sådan finder du den mindste værdi af en funktion

Lille og smuk simpel opgave fra kategorien af ​​dem, der tjener som livredder for en flydende studerende. Det er midt i juli i naturen, så det er tid til at slå sig ned med din bærbare computer på stranden. Tidligt om morgenen begyndte teoriens solstråle at spille, for snart at fokusere på praksis, som trods den erklærede lethed rummer glasskår i sandet. I den forbindelse anbefaler jeg, at du samvittighedsfuldt overvejer de få eksempler på denne side. For løsninger praktiske opgaver skal kunne finde derivater og forstå artiklens materiale Monotonicitetsintervaller og ekstrema af funktionen.

Først kort om det vigtigste. I lektionen vedr kontinuitet i funktion Jeg gav definitionen af ​​kontinuitet på et punkt og kontinuitet i et interval. Den eksemplariske opførsel af en funktion på et segment er formuleret på lignende måde. En funktion er kontinuerlig i et interval, hvis:

1) den er kontinuerlig i intervallet;
2) kontinuerlig i et punkt til højre og på punktet venstre.

I andet afsnit talte vi om den såkaldte ensidig kontinuitet fungerer på et punkt. Der er flere tilgange til at definere det, men jeg vil holde mig til den linje, jeg startede tidligere:

Funktionen er kontinuerlig på punktet til højre, hvis den er defineret ved et givet punkt, og dens højre grænse falder sammen med værdien af ​​funktionen på et givet punkt: . Den er kontinuerlig på punktet venstre, hvis den er defineret på et givet punkt, og dens venstre grænse er lig med værdien på dette punkt:

Forestil dig, at de grønne prikker er negle med et magisk elastikbånd fastgjort til dem:

Tag mentalt den røde streg i dine hænder. Det er klart, at uanset hvor langt vi strækker grafen op og ned (langs aksen), vil funktionen stadig forblive begrænset– et hegn øverst, et hegn i bunden, og vores produkt græsser i folden. Dermed, en funktion kontinuert på et interval er afgrænset på den. I løbet af matematisk analyse er dette tilsyneladende simple faktum erklæret og strengt bevist. Weierstrass' første sætning....Mange ærgrer sig over, at elementære udsagn er kedeligt underbygget i matematik, men det har en vigtig betydning. Antag, at en vis indbygger fra frottémiddelalderen trak en graf op i himlen ud over synlighedsgrænserne, blev denne indsat. Før opfindelsen af ​​teleskopet var den begrænsede funktion i rummet slet ikke indlysende! Virkelig, hvordan ved du, hvad der venter os i horisonten? Jorden blev jo engang betragtet som flad, så i dag kræver selv almindelig teleportation bevis =)

Ifølge Weierstrass' anden sætning, kontinuerlig på et segmentfunktion når sit nøjagtig øvre grænse og din nøjagtige nederste kant .

Nummeret kaldes også den maksimale værdi af funktionen på segmentet og er angivet med , og tallet er minimumsværdien af ​​funktionen på segmentet markeret .

I vores tilfælde:

Bemærk : i teorien er optagelser almindelige .

Groft sagt, højeste værdi er hvor det højeste punkt på grafen er, og det laveste er hvor det laveste punkt er.

Vigtig! Som allerede understreget i artiklen om yderpunkter af funktionen, største funktionsværdi Og mindste funktionsværdi – IKKE DET SAMME, Hvad maksimal funktion Og minimum funktion. Så i det undersøgte eksempel er tallet minimumsværdien af ​​funktionen, men ikke minimumsværdien.

Hvad sker der i øvrigt uden for segmentet? Ja, selv en oversvømmelse, i forbindelse med det undersøgte problem, interesserer dette os overhovedet ikke. Opgaven går kun ud på at finde to tal og det er det!

Desuden er løsningen derfor rent analytisk ingen grund til at lave en tegning!

Algoritmen ligger på overfladen og antyder sig selv fra ovenstående figur:

1) Find værdierne for funktionen i kritiske punkter, som hører til dette segment.

Fang endnu en bonus: her er der ingen grund til at kontrollere den tilstrækkelige betingelse for et ekstremum, da, som lige vist, tilstedeværelsen af ​​et minimum eller maksimum garanterer ikke endnu, hvad er minimums- eller maksimumværdien. Demonstrationsfunktionen når et maksimum, og efter skæbnens vilje er det samme tal den største værdi af funktionen på segmentet. Men sådan en tilfældighed forekommer naturligvis ikke altid.

Så i det første trin er det hurtigere og lettere at beregne værdierne af funktionen på kritiske punkter, der tilhører segmentet, uden at bekymre sig om, hvorvidt der er ekstreme i dem eller ej.

2) Vi beregner værdierne af funktionen i enderne af segmentet.

3) Blandt funktionsværdierne, der findes i 1. og 2. afsnit, skal du vælge det mindste og største tal og skrive svaret ned.

Vi sætter os på kysten af ​​det blå hav og rammer det lave vand med hælene:

Eksempel 1

Find de største og mindste værdier af en funktion på et segment

Løsning:
1) Lad os beregne værdierne af funktionen på kritiske punkter, der tilhører dette segment:

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved det andet kritiske punkt:

2) Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af segmentet:

3) "Fed" resultater blev opnået med eksponenter og logaritmer, hvilket betydeligt komplicerer deres sammenligning. Af denne grund, lad os bevæbne os med en lommeregner eller Excel og beregne omtrentlige værdier, ikke at glemme det:

Nu er alt klart.

Svar:

Fraktionel rationel instans for selvstændig beslutning:

Eksempel 6

Find maksimum- og minimumværdierne for en funktion på et segment

Og for at løse det har du brug for minimal viden om emnet. Endnu et skoleår slutter, alle vil på ferie, og for at bringe dette øjeblik tættere på, vil jeg straks komme til punktet:

Lad os starte med området. Det område, der henvises til i betingelsen, er begrænset lukket sæt punkter på et fly. For eksempel sættet af punkter afgrænset af en trekant, inklusive HELE trekanten (hvis fra grænser"stik ud" mindst ét ​​punkt, så vil regionen ikke længere være lukket). I praksis er der også områder med rektangulære, runde og lidt mere komplekse former. Det skal bemærkes, at der i teorien om matematisk analyse er givet strenge definitioner begrænsninger, isolation, grænser mv., men jeg tror, ​​at alle er bevidste om disse begreber på et intuitivt niveau, og nu er der ikke brug for mere.

Et fladt område er standard betegnet med bogstavet , og er som regel specificeret analytisk - ved flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjældnere uligheder. Typisk ordsprog: "lukket område, afgrænset af linjer ».

En integreret del af den pågældende opgave er konstruktionen af ​​et område på tegningen. Hvordan gør man det? Du skal tegne alle de listede linjer (i I dette tilfælde 3 lige) og analysere, hvad der skete. Det søgte område er normalt let skraveret, og dets grænse er markeret med en tyk streg:


Det samme område kan også indstilles lineære uligheder: , som af en eller anden grund ofte skrives som en opregnet liste frem for system.
Da grænsen tilhører regionen, så er alle uligheder selvfølgelig, slap.

Og nu essensen af ​​opgaven. Forestil dig, at aksen kommer lige ud mod dig fra oprindelsen. Overvej en funktion, der sammenhængende i hver område punkt. Grafen for denne funktion repræsenterer nogle overflade, og den lille lykke er, at for at løse dagens problem behøver vi ikke at vide, hvordan denne overflade ser ud. Det kan være placeret højere, lavere, skære flyet - alt dette betyder ikke noget. Og følgende er vigtigt: iflg Weierstrass' sætninger, sammenhængende V begrænset lukket område funktionen når sin største værdi (den højeste") og det mindste (den laveste") værdier, der skal findes. Sådanne værdier opnås eller V stationære punkter, tilhørende regionenD , eller på punkter, der ligger på grænsen til dette område. Dette fører til en enkel og gennemsigtig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

I begrænset lukket område

Løsning: Først og fremmest skal du afbilde området på tegningen. Desværre er det teknisk svært for mig at lave en interaktiv model af problemet, og derfor vil jeg straks præsentere den endelige illustration, som viser alle de “mistænkelige” punkter, der er fundet under researchen. De er normalt listet efter hinanden, efterhånden som de opdages:

Baseret på præamblen kan afgørelsen bekvemt opdeles i to punkter:

I) Lad os finde stationære punkter. Dette er en standardhandling, som vi udførte gentagne gange i klassen. om ekstrema af flere variable:

Fundet stationært punkt hører til områder: (mærk det på tegningen), hvilket betyder, at vi skal beregne værdien af ​​funktionen på et givet punkt:

- som i artiklen De største og mindste værdier af en funktion på et segment, vil jeg fremhæve vigtige resultater med fed skrift. Det er praktisk at spore dem i en notesbog med en blyant.

Vær opmærksom på vores anden lykke – det nytter ikke noget at tjekke tilstrækkelig betingelse for et ekstremum. Hvorfor? Selvom funktionen på et tidspunkt når f.eks. lokalt minimum, så BETYDER dette IKKE, at den resulterende værdi bliver minimal i hele regionen (se begyndelsen af ​​lektionen om ubetingede ekstremer) .

Hvad skal man gøre, hvis det stationære punkt IKKE hører til området? Næsten ingenting! Det skal bemærkes, og gå videre til næste punkt.

II) Vi udforsker grænsen til regionen.

Da grænsen består af siderne af en trekant, er det praktisk at opdele undersøgelsen i 3 underafsnit. Men det er bedre ikke at gøre det alligevel. Fra mit synspunkt er det først mere fordelagtigt at betragte segmenterne parallelt med koordinatakserne, og først og fremmest dem, der ligger på selve akserne. For at forstå hele rækkefølgen og logikken af ​​handlinger, prøv at studere slutningen "i ét åndedrag":

1) Lad os beskæftige os med den nederste side af trekanten. For at gøre dette skal du erstatte direkte i funktionen:

Alternativt kan du gøre det sådan her:

Geometrisk betyder det det koordinatplan (som også er givet af ligningen)"skærer" ud af overflader en "rumlig" parabel, hvis top straks kommer under mistanke. Lad os finde ud af det hvor befinder hun sig:

– den resulterende værdi "faldt" ind i området, og det kan det godt vise sig på punktet (markeret på tegningen) funktionen når den største eller mindste værdi i hele regionen. Lad os på en eller anden måde lave beregningerne:

De andre "kandidater" er selvfølgelig enderne af segmentet. Lad os beregne værdierne af funktionen i punkter (markeret på tegningen):

Her kan du i øvrigt udføre et mundtligt minitjek ved hjælp af en "strippet" version:

2) For at studere den højre side af trekanten skal du erstatte den med funktionen og "sæt tingene i rækkefølge":

Her vil vi straks udføre en grov kontrol og "ringe" den allerede behandlede ende af segmentet:
, Store.

Den geometriske situation er relateret til det foregående punkt:

- den resulterende værdi "kom også ind i sfæren af ​​vores interesser", hvilket betyder, at vi skal beregne, hvad funktionen på det viste punkt er lig med:

Lad os undersøge den anden ende af segmentet:

Brug af funktionen , lad os udføre et kontroltjek:

3) Sandsynligvis kan alle gætte, hvordan man udforsker den resterende side. Vi erstatter det i funktionen og udfører forenklinger:

Ender af segmentet er allerede blevet undersøgt, men i udkastet tjekker vi stadig, om vi har fundet funktionen korrekt :
– faldt sammen med resultatet af 1. afsnit;
– faldt sammen med resultatet af 2. afsnit.

Det er tilbage at finde ud af, om der er noget interessant inde i segmentet:

- Der er! Ved at erstatte den lige linje i ligningen får vi ordinaten af ​​denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finder den tilsvarende værdi af funktionen:

Lad os tjekke beregningerne ved hjælp af "budget"-versionen :
, bestille.

Og det sidste skridt: Vi ser omhyggeligt alle de "fede" numre igennem, jeg anbefaler, at begyndere endda laver en enkelt liste:

hvorfra vi vælger de største og mindste værdier. Svar Lad os skrive ned i stil med problemet med at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment:

For en sikkerheds skyld kommenterer jeg igen geometrisk betydning resultat:
– her er det højeste punkt på overfladen i regionen;
– her er overfladens laveste punkt i området.

I den analyserede opgave identificerede vi 7 "mistænkelige" punkter, men deres antal varierer fra opgave til opgave. For en trekantet region består det mindste "forskningssæt" af tre punkter. Dette sker, når funktionen f.eks. specificerer fly– det er helt klart, at der ikke er nogen stationære punkter, og funktionen kan kun nå sine maksimale/mindste værdier ved trekantens spidser. Men der er kun et eller to lignende eksempler – normalt skal man forholde sig til nogle overflade af 2. orden.

Hvis du prøver at løse sådanne opgaver lidt, så kan trekanter få dit hoved til at snurre, og det er derfor, jeg forberedte dig til dig usædvanlige eksempler så det bliver firkantet :))

Eksempel 2

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område afgrænset af linjer

Eksempel 3

Find de største og mindste værdier af en funktion i et begrænset lukket område.

Særlig opmærksomhed Vær opmærksom på den rationelle rækkefølge og teknik til at studere grænsen for regionen, såvel som til kæden af ​​mellemliggende kontroller, som næsten fuldstændigt vil undgå beregningsfejl. Generelt kan du løse det som du vil, men i nogle problemer, for eksempel i eksempel 2, er der alle muligheder for at gøre dit liv meget sværere. Et omtrentligt udsnit af de afsluttende opgaver i slutningen af ​​lektionen.

Lad os systematisere løsningsalgoritmen, ellers forsvandt den med min flid som edderkop i den lange tråd af kommentarer i det første eksempel:

– Ved det første trin bygger vi et område, det er tilrådeligt at skygge det og fremhæve grænsen med en fed streg. Under løsningen vil der dukke punkter op, som skal markeres på tegningen.

- Find stationære punkter og beregn værdierne for funktionen kun i dem af dem der hører til regionen. Vi fremhæver de resulterende værdier i teksten (cirkel dem for eksempel med en blyant). Hvis et stationært punkt IKKE hører til regionen, så markerer vi dette med et ikon eller verbalt. Hvis der overhovedet ikke er nogen stationære punkter, drager vi en skriftlig konklusion om, at de er fraværende. Under alle omstændigheder kan dette punkt ikke springes over!

- Vi udforsker grænsen til regionen. For det første er det en fordel at forstå de rette linjer, der er parallelle med koordinatakserne (hvis der overhovedet er nogen). Vi fremhæver også funktionsværdierne beregnet på "mistænkelige" punkter. Der er sagt meget ovenfor om løsningsteknikken og noget andet vil blive sagt nedenfor - læs, genlæs, dyk ned i det!

– Fra de valgte tal skal du vælge den største og mindste værdi og give svaret. Nogle gange sker det, at en funktion når sådanne værdier på flere punkter på én gang - i dette tilfælde skal alle disse punkter afspejles i svaret. Lad f.eks. og det viste sig, at dette er den mindste værdi. Så skriver vi det ned

De sidste eksempler er dedikeret til andre nyttige ideer som vil være nyttige i praksis:

Eksempel 4

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område .

Jeg har bibeholdt forfatterens formulering, hvor regionen er givet i form af en dobbelt ulighed. Denne betingelse kan skrives af et tilsvarende system eller i en mere traditionel form til dette problem:

Jeg minder dig om, at med ikke-lineær vi stødte på uligheder på, og hvis du ikke forstår den geometriske betydning af notationen, så lad være med at forsinke og afklare situationen lige nu;-)

Løsning, som altid begynder med at konstruere et område, der repræsenterer en slags "sål":

Hmm, nogle gange skal man ikke kun tygge videnskabens granit...

I) Find stationære punkter:

Systemet er en idiots drøm :)

Et stationært punkt hører til regionen, nemlig ligger på dens grænse.

Og så, det er okay... lektionen gik godt - det er hvad det vil sige at drikke den rigtige te =)

II) Vi udforsker grænsen til regionen. Lad os uden videre begynde med x-aksen:

1) Hvis, så

Lad os finde ud af, hvor hjørnet af parablen er:
– værdsæt sådanne øjeblikke – du har "ramt" lige til det punkt, hvorfra alt allerede er klart. Men vi glemmer stadig ikke at tjekke:

Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af segmentet:

2) Lad os beskæftige os med den nederste del af "sålen" "i ét møde" - uden komplekser erstatter vi den i funktionen, og vi vil kun være interesserede i segmentet:

Styring:

Dette giver allerede en vis spænding til den monotone kørsel langs den riflede bane. Lad os finde kritiske punkter:

Lad os bestemme andengradsligning, kan du huske noget andet om dette? ...Husk dog selvfølgelig, ellers ville du ikke læse disse linjer =) Hvis i to tidligere eksempler beregningerne var praktiske decimaler(hvilket i øvrigt er sjældent), så venter de sædvanlige os her almindelige brøker. Vi finder "X"-rødderne og bruger ligningen til at bestemme de tilsvarende "spil"-koordinater for "kandidat"-punkterne:


Lad os beregne værdierne af funktionen ved de fundne punkter:

Tjek selv funktionen.

Nu studerer vi omhyggeligt de vundne trofæer og skriver ned svar:

Det er "kandidater", det er "kandidater"!

For at løse det selv:

Eksempel 5

Find de mindste og største værdier af en funktion i et lukket område

En post med krøllede seler lyder sådan: "et sæt punkter sådan."

Nogle gange i sådanne eksempler bruger de Lagrange multiplikator metode, men der er næppe et reelt behov for at bruge det. Så, for eksempel, hvis en funktion med det samme område "de" er givet, så efter substitution i det - med afledten fra ingen vanskeligheder; Desuden er alt tegnet i "en linje" (med tegn) uden behov for at overveje de øvre og nedre halvcirkler separat. Men der er selvfølgelig også mere komplekse sager, hvor uden Lagrange-funktionen (hvor for eksempel er den samme ligning af en cirkel) Det er svært at klare sig - ligesom det er svært at klare sig uden et godt hvil!

God fornøjelse alle sammen og på gensyn i næste sæson!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Lad os afbilde området på tegningen:

Med denne service kan du find den største og mindste værdi af en funktion en variabel f(x) med løsningen formateret i Word. Hvis funktionen f(x,y) er givet, er det derfor nødvendigt at finde yderpunktet for funktionen af ​​to variable. Du kan også finde intervallerne for stigende og faldende funktioner.

Find den største og mindste værdi af en funktion

y=

på segmentet [ ;]

Inkluder teori

Regler for indtastning af funktioner:

Nødvendig betingelse for ekstremum af en funktion af en variabel

Ligningen f" 0 (x *) = 0 er en nødvendig betingelse for yderpunktet af en funktion af én variabel, dvs. ved punkt x * skal den første afledede af funktionen forsvinde. Den identificerer stationære punkter x c, hvor funktionen ikke forsvinder øge eller mindske.

Tilstrækkelig betingelse for ekstremum af en funktion af én variabel

Lad f 0 (x) være to gange differentierbar med hensyn til x, der tilhører mængden D. Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Så er punkt x * det lokale (globale) minimumspunkt for funktionen.

Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Så er punkt x * et lokalt (globalt) maksimum.

Eksempel nr. 1. Find de største og mindste værdier af funktionen: på segmentet.
Løsning.

Det kritiske punkt er et x 1 = 2 (f'(x)=0). Dette punkt hører til segmentet. (Punkt x=0 er ikke kritisk, da 0∉).
Vi beregner værdierne af funktionen i enderne af segmentet og på det kritiske punkt.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Svar: f min = 5 / 2 ved x=2; fmax =9 ved x=1

Eksempel nr. 2. Brug højere ordens afledte, find ekstremum af funktionen y=x-2sin(x) .
Løsning.
Find den afledede af funktionen: y'=1-2cos(x) . Lad os finde de kritiske punkter: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Vi finder y’’=2sin(x), beregne , hvilket betyder x= π / 3 +2πk, k∈Z er minimumspunkterne for funktionen; , hvilket betyder x=- π / 3 +2πk, k∈Z er funktionens maksimumpunkter.

Eksempel nr. 3. Undersøg ekstremumfunktionen i nærheden af ​​punktet x=0.
Løsning. Her er det nødvendigt at finde yderpunkterne for funktionen. Hvis ekstremum x=0, så find ud af dens type (minimum eller maksimum). Hvis der blandt de fundne punkter ikke er x = 0, så beregn værdien af ​​funktionen f(x=0).
Det skal bemærkes, at når den afledede på hver side af et givet punkt ikke ændrer sit fortegn, er de mulige situationer ikke udtømte selv for differentiable funktioner: det kan ske, at for et vilkårligt lille kvarter på den ene side af punktet x 0 eller på begge sider skifter den afledte fortegn. På disse punkter er det nødvendigt at bruge andre metoder til at studere funktioner på et ekstremum.

Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?

Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.

Forudsætning Maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er som følger: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledede på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller eksisterer ikke.

Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan gå til nul, uendelig eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.

Hvad er en tilstrækkelig betingelse for yderpunktet af en funktion (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a maksimum

Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a minimum forudsat at funktionen f(x) her er kontinuert.

I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelig stand ekstremum af funktionen:

Lad i punktet x = a den første afledte f?(x) forsvinde; hvis den anden afledede f??(a) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så har den et minimum.

Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?

Dette er værdien af ​​funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det har du brug for find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdier af argumentet, hvor der kan være et ekstremum. De kan let identificeres ved at se på afledt graf: Vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af diskontinuiteter.

Lad os f.eks. finde ekstremum af en parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Afledt af funktionen: y?(x) = 6x + 2

Løs ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I dette tilfælde er det kritiske punkt x0=-1/3. Det er med denne argumentværdi, funktionen har ekstremum. Til ham Find, erstatte det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?

Hvis fortegnet for den afledede, når den passerer gennem det kritiske punkt x0 ændres fra "plus" til "minus", så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punkt x0 hverken et maksimum eller et minimum.

For det betragtede eksempel:

Vi tager en vilkårlig værdi af argumentet til venstre for det kritiske punkt: x = -1

Ved x = -1 vil værdien af ​​den afledede være y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. tegnet er "minus").

Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1

Ved x = 1 vil værdien af ​​den afledede være y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. tegnet er "plus").

Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede gennem det kritiske punkt. Det betyder, at vi ved den kritiske værdi x0 har et minimumspunkt.

Største og mindste værdi af en funktion på intervallet(på et segment) findes ved hjælp af den samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inde i intervallet, vil det have enten et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.

Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

med mellemrum:

Så den afledede af funktionen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ikke inkluderet i intervallet)

Vi finder værdierne af funktionen ved kritiske værdier af argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den mindste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af ​​funktionen ved x = -4,88 er lig med y = 5,398.

Find værdien af ​​funktionen i enderne af intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen

y = 5,398 ved x = -4,88

mindste værdi -

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer de konvekse og konkave sider?

For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y = f(x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul, uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af ​​disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.

Rødderne af ligningen f? (x) = 0, såvel som mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens definitionsdomæne i et antal intervaller. Konveksiteten på hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad, og hvis negativ, så nedad.

Hvordan finder man ekstrema af en funktion af to variable?

For at finde yderpunkterne for funktionen f(x,y), der kan differentieres i specifikationens domæne, skal du bruge:

1) find de kritiske punkter, og til dette - løs ligningssystemet

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b) undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret

for alle punkter (x;y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen forbliver positivt tegn, så har vi ved punkt P0 et minimum, hvis negativt, så har vi et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punkt P0.

Funktionens yderpunkter bestemmes på samme måde for mere argumenter.

Hvilke kulsyreholdige læskedrikke renser overflader?
Der er en opfattelse af, at den kulsyreholdige læskedrik Coca-Cola kan opløse kød. Men der er desværre ingen direkte beviser for dette. Tværtimod er der bekræftende fakta, der bekræfter, at kød efterladt i Coca-Cola-drikken i to dage ændrer sig i forbrugernes egenskaber og ikke forsvinder nogen steder.

Layouts standard lejligheder, beskrivelser og fotografier af huse kan ses på webstederne: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. net/kunst

Hvordan man behandler neurose
Neurose (Novolat. neurose, kommer fra det oldgræske νε?ρον - nerve; synonymer - psykoneurose, neurotisk lidelse) - i klinikken: et fællesnavn for en gruppe funktionelle psykogene reversible lidelser, der har tendens til at vare ved.

Hvad er aphelion
Apocenter er det punkt i kredsløbet, hvor et legeme, der roterer i en elliptisk bane omkring et andet legeme, når sin maksimale afstand fra sidstnævnte. På samme tidspunkt bliver hastigheden af ​​orbitalbevægelse ifølge Keplers anden lov minimal. Apocenteret er placeret i et punkt diametralt modsat periapsis. I særlige tilfælde er det sædvanligt at bruge særlige udtryk:

Hvad er mamon
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - et ord, der stammer fra det græske. mammonas og betydningen rigdom, jordiske skatte, velsignelser. Blandt nogle gamle hedenske folk var han guden for rigdom og vinding. Nævnt i Hellige Skrift fra evangelisterne Matthæus og Lukas: ”Ingen kan tjene to herrer: for enten vil han hade den ene og den anden

Hvornår er ortodokse påske i 2049?
I 2015 vil den ortodokse påske være den 12. april, og den katolske påske den 5. april. I kirkekalendere datoerne for ortodokse påske er givet iflg Juliansk kalender (gammel stil), mens katolsk påske anses for moderne gregoriansk kalender (en ny stil), så at sammenligne datoer kræver en vis mental indsats

Hvad er en rubel
Rubel er navnet på de moderne valutaer i Rusland, Hviderusland (hviderussisk rubel), Transnistrien (transnistriske rubel). Den russiske rubel er også i omløb i Sydossetien og Abkhasien. I fortiden - den monetære enhed i de russiske republikker og fyrstendømmer, Storhertugdømmet Moskva, Det Russiske Kongerige, Storhertugdømmet Litauen, russiske imperium og forskellige

Hvor længe var Ariel Sharon i koma?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - israelsk militær, politisk og statsmand, Israels premierminister fra 2001 til 2006. Fødselsdato: 26. februar 1928 Fødested: Kfar Malal-bosættelsen nær Kfar Sava, Israel Dødsdato: 11. januar 2014 Dødssted: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Hvem var neandertalerne
Neandertaler, neandertalermand (lat. Homo neanderthalensis or Homo sapiens neanderthalensis) - fossile arter mennesker, der levede for 300-24 tusind år siden. Navnets oprindelse Det antages, at neandertaler-kraniet først blev fundet i 1856

Hvor gammel er Geoffrey Rush
Geoffrey Rush er en australsk film- og sceneskuespiller. Vinder af Oscar (1997), BAFTA (1996, 1999), Golden Globe (1997, 2005). De mest berømte film med hans deltagelse er "Shine."

Sådan bestemmes konveksitets- og konkavitetsintervallerne for en funktionsgraf
Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum? Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen. Den nødvendige betingelse for maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er følgende: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledte på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller gør ikke-eksisterende. Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Afledt i t