Stjerne nyheder
Sådan bestemmes antallet af rødder i en andengradsligning. Kvadratisk ligning
En andengradsligning er en ligning af formen a*x^2 +b*x+c=0, hvor a,b,c er nogle vilkårlige reelle tal, og x er en variabel. Desuden er tallet a ikke lig med 0.
Tallene a,b,c kaldes koefficienter. Tallet a kaldes den førende koefficient, tallet b er koefficienten for x, og tallet c kaldes det frie led. Andre navne findes også i noget litteratur. Tallet a kaldes den første koefficient, og tallet b kaldes den anden koefficient.
Klassificering af andengradsligninger
Kvadratiske ligninger har deres egen klassifikation.
Baseret på tilgængeligheden af odds:
1. Fuld
2. Ufuldstændig
Ved værdien af koefficienten for den højeste grad af det ukendte(værdien af den førende koefficient):
1. Givet
2. Urepræsenteret
Kvadratisk ligning kaldes komplet hvis alle tre koefficienter er til stede i det, og de er forskellige fra nul. Generelt overblik over det komplette andengradsligning: a*x^2 +b*x+c=0;
Kvadratisk ligning kaldet ufuldstændig hvis i ligningen a*x^2 +b*x+c=0 er en af koefficienterne b eller c lig nul (b=0 eller c=0), vil en ufuldstændig andengradsligning dog være en ligning, der har både koefficient b og koefficient c lig med nul på samme tid (både b=0 og c=0).
Det er værd at bemærke, at der ikke er sagt noget her om den førende koefficient, da den ifølge definitionen af en andengradsligning skal være forskellig fra nul.
givet hvis dens ledende koefficient er lig med en (a=1). Den generelle form for ovenstående andengradsligning er: x^2 +d*x+e=0.
Den andengradsligning kaldes ukendt, hvis den førende koefficient i ligningen er forskellig fra nul. Den generelle form for den ureducerede andengradsligning er: a*x^2 +b*x+c=0.
Det skal bemærkes, at enhver ikke-reduceret andengradsligning kan reduceres til en reduceret. For at gøre dette skal du dividere koefficienterne for andengradsligningen med den førende koefficient.
Eksempler på kvadratiske ligninger
Lad os se på et eksempel: vi har ligningen 2*x^2 - 6*x+7 =0;
Lad os omdanne det til den givne ligning. Den førende koefficient er 2. Lad os dividere koefficienterne i vores ligning med den og skrive svaret ned.
x^2 - 3*x+3,5 =0;
Som du har bemærket, er der på højre side af andengradsligningen et polynomium af anden grad a*x^2 +b*x+c. Det kaldes også kvadratisk trinomium.
Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du mest være opmærksom på vores navigator nyttig ressource Til
I udtrykket "kvadratisk ligning" er nøgleordet "kvadrat". Det betyder, at ligningen nødvendigvis skal indeholde en variabel (det samme x) i anden kvadrat, og der bør ikke være x'er til den tredje (eller større) potens.
Løsningen af mange ligninger kommer ned til at løse andengradsligninger.
Lad os lære at bestemme, at dette er en andengradsligning og ikke en anden ligning.
Eksempel 1.
Lad os slippe af med nævneren og gange hvert led i ligningen med
Lad os flytte alt til venstre side og arrangere termerne i faldende rækkefølge af potenser af X
Nu kan vi med tillid sige, at denne ligning er kvadratisk!
Eksempel 2.
Multiplicer venstre og højre side med:
Denne ligning, selvom den oprindeligt var i den, er ikke kvadratisk!
Eksempel 3.
Lad os gange alt med:
Skræmmende? Den fjerde og anden grad... Men hvis vi laver en erstatning, vil vi se, at vi har en simpel andengradsligning:
Eksempel 4.
Det ser ud til at være der, men lad os se nærmere. Lad os flytte alt til venstre side:
Se, det er reduceret - og nu er det en simpel lineær ligning!
Prøv nu selv at bestemme, hvilke af følgende ligninger der er kvadratiske, og hvilke der ikke er:
Eksempler:
Svar:
- firkant;
- firkant;
- ikke firkantet;
- ikke firkantet;
- ikke firkantet;
- firkant;
- ikke firkantet;
- firkant.
Matematikere opdeler konventionelt alle andengradsligninger i følgende typer:
- Fuldfør andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienterne og, samt det frie led c, ikke er lig med nul (som i eksemplet). Derudover er der blandt komplette andengradsligninger givet- dette er ligninger, hvor koefficienten (ligningen fra eksempel 1 er ikke kun komplet, men også reduceret!)
- Ufuldstændige andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:
De er ufuldstændige, fordi de mangler et eller andet element. Men ligningen skal altid indeholde x i kvadrat!!! Ellers vil det ikke længere være en andengradsligning, men en anden ligning.
Hvorfor kom de med sådan en opdeling? Det ser ud til, at der er et X i kvadrat, og okay. Denne opdeling bestemmes af løsningsmetoderne. Lad os se på hver af dem mere detaljeret.
Løsning af ufuldstændige andengradsligninger
Lad os først fokusere på at løse ufuldstændige andengradsligninger - de er meget enklere!
Der er typer af ufuldstændige andengradsligninger:
- , i denne ligning er koefficienten lig.
- , i denne ligning er frileddet lig med.
- , i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.
1. i. Da vi ved, hvordan man tager kvadratroden, lad os udtrykke fra denne ligning
Udtrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man multiplicerer to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.
Og hvis, så får vi to rødder. Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste er, at du skal vide og altid huske, at det ikke kan være mindre.
Lad os prøve at løse nogle eksempler.
Eksempel 5:
Løs ligningen
Nu er der kun tilbage at udtrække roden fra venstre og højre side. Når alt kommer til alt, kan du huske, hvordan man udvinder rødder?
Svar:
Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!!!
Eksempel 6:
Løs ligningen
Svar:
Eksempel 7:
Løs ligningen
Åh! Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen
ingen rødder!
For sådanne ligninger, der ikke har nogen rødder, kom matematikere med et særligt ikon - (tomt sæt). Og svaret kan skrives sådan:
Svar:
Således har denne andengradsligning to rødder. Der er ingen begrænsninger her, da vi ikke har udtrukket roden.
Eksempel 8:
Løs ligningen
Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:
Dermed,
Denne ligning har to rødder.
Svar:
Den enkleste type ufuldstændige andengradsligninger (selvom de alle er simple, ikke?). Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:
Vi vil undvære eksempler her.
Løsning af komplette andengradsligninger
Vi minder dig om, at en komplet andengradsligning er en ligning af formen ligning, hvor
At løse komplette andengradsligninger er lidt sværere (bare lidt) end disse.
Husk, Enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.
De andre metoder vil hjælpe dig med at gøre det hurtigere, men hvis du har problemer med andengradsligninger, skal du først mestre løsningen ved hjælp af diskriminanten.
1. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant.
Løsning af kvadratiske ligninger ved hjælp af denne metode er meget enkel; det vigtigste er at huske rækkefølgen af handlinger og et par formler.
Hvis, så har ligningen en rod. Særlig opmærksomhed tage et skridt. Diskriminant () fortæller os antallet af rødder af ligningen.
- Hvis, så vil formlen i trinnet blive reduceret til. Således vil ligningen kun have en rod.
- Hvis, så vil vi ikke være i stand til at udvinde roden af diskriminanten på trinnet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.
Lad os gå tilbage til vores ligninger og se på nogle eksempler.
Eksempel 9:
Løs ligningen
Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at ligningen har to rødder.
Trin 3.
Svar:
Eksempel 10:
Løs ligningen
Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at ligningen har én rod.
Svar:
Eksempel 11:
Løs ligningen
Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at vi ikke vil være i stand til at udvinde roden til diskriminanten. Der er ingen rødder til ligningen.
Nu ved vi, hvordan man korrekt skriver sådanne svar ned.
Svar: ingen rødder
2. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning.
Hvis du husker, er der en form for ligning, der kaldes reduceret (når koefficienten a er lig med):
Sådanne ligninger er meget nemme at løse ved hjælp af Vietas sætning:
Summen af rødder givet andengradsligningen er lig, og produktet af rødderne er lig.
Eksempel 12:
Løs ligningen
Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga .
Summen af ligningens rødder er lig, dvs. vi får den første ligning:
Og produktet er lig med:
Lad os sammensætte og løse systemet:
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lige meget.
og er løsningen på systemet:
Svar: ; .
Eksempel 13:
Løs ligningen
Svar:
Eksempel 14:
Løs ligningen
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Svar:
KVADRATISKE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU
Hvad er en andengradsligning?
Med andre ord er en andengradsligning en ligning af formen, hvor - det ukendte, - nogle tal, og.
Nummeret kaldes det højeste eller første koefficient andengradsligning, - anden koefficient, A - gratis medlem.
Hvorfor? For hvis ligningen straks bliver lineær, fordi vil forsvinde.
I dette tilfælde kan og være lig med nul. I denne stol kaldes ligningen ufuldstændig. Hvis alle vilkårene er på plads, det vil sige, at ligningen er komplet.
Løsninger til forskellige typer andengradsligninger
Metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger:
Lad os først se på metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger – de er enklere.
Vi kan skelne mellem følgende ligningstyper:
I., i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.
II. , i denne ligning er koefficienten lig.
III. , i denne ligning er frileddet lig med.
Lad os nu se på løsningen til hver af disse undertyper.
Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:
Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man ganger to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal. Derfor:
hvis, så har ligningen ingen løsninger;
hvis vi har to rødder
Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste at huske er, at det ikke kan være mindre.
Eksempler:
Løsninger:
Svar:
Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!
Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen
ingen rødder.
For kort at skrive ned, at et problem ikke har nogen løsninger, bruger vi det tomme sæt-ikon.
Svar:
Så denne ligning har to rødder: og.
Svar:
Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:
Produktet er lig nul, hvis mindst en af faktorerne er lig nul. Det betyder, at ligningen har en løsning, når:
Så denne andengradsligning har to rødder: og.
Eksempel:
Løs ligningen.
Løsning:
Lad os faktorisere venstre side af ligningen og finde rødderne:
Svar:
Metoder til løsning af komplette andengradsligninger:
1. Diskriminerende
At løse andengradsligninger på denne måde er let, det vigtigste er at huske rækkefølgen af handlinger og et par formler. Husk, enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.
Lagde du mærke til roden fra diskriminanten i formlen for rødder? Men diskriminanten kan være negativ. Hvad skal man gøre? Vi skal være særligt opmærksomme på trin 2. Diskriminanten fortæller os antallet af rødder i ligningen.
- Hvis, så har ligningen rødder:
- Hvis så ligningen har identiske rødder, men i det væsentlige én rod:
Sådanne rødder kaldes dobbeltrødder.
- Hvis, så er roden til diskriminanten ikke udvundet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.
Hvorfor er det muligt forskellige mængder rødder? Lad os vende os til geometrisk sans andengradsligning. Grafen for funktionen er en parabel:
I et særligt tilfælde, som er en andengradsligning, . Det betyder, at rødderne af en andengradsligning er skæringspunkterne med abscisseaksen (aksen). En parabel kan slet ikke skære aksen eller skære den ved et (når parablens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.
Derudover er koefficienten ansvarlig for retningen af parablens grene. Hvis, så er grenene af parablen rettet opad, og hvis, så nedad.
Eksempler:
Løsninger:
Svar:
Svar: .
Svar:
Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.
Svar: .
2. Vietas sætning
Det er meget nemt at bruge Vietas sætning: du skal blot vælge et talpar, hvis produkt er lig med ligningens frie led, og summen er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn.
Det er vigtigt at huske, at Vietas sætning kun kan anvendes i reducerede andengradsligninger ().
Lad os se på et par eksempler:
Eksempel #1:
Løs ligningen.
Løsning:
Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga . Andre koefficienter: ; .
Summen af ligningens rødder er:
Og produktet er lig med:
Lad os vælge par af tal, hvis produkt er ens og kontrollere, om deres sum er lig:
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lige meget.
og er løsningen på systemet:
Således og er rødderne til vores ligning.
Svar: ; .
Eksempel #2:
Løsning:
Lad os vælge par af tal, der giver i produktet, og derefter kontrollere, om deres sum er lig:
og: de giver i alt.
og: de giver i alt. For at opnå det er det nok blot at ændre tegnene på de formodede rødder: og trods alt produktet.
Svar:
Eksempel #3:
Løsning:
Ligningens frie led er negativ, og derfor er produktet af rødderne et negativt tal. Dette er kun muligt, hvis en af rødderne er negativ, og den anden er positiv. Derfor er summen af rødderne lig med forskelle i deres moduler.
Lad os vælge par af tal, der giver i produktet, og hvis forskel er lig med:
og: deres forskel er lige - passer ikke;
og: - ikke egnet;
og: - ikke egnet;
og: - passende. Tilbage er blot at huske, at en af rødderne er negativ. Da deres sum skal være lig, skal roden med det mindre modul være negativ: . Vi tjekker:
Svar:
Eksempel #4:
Løs ligningen.
Løsning:
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Det frie led er negativt, og derfor er produktet af rødderne negativt. Og dette er kun muligt, når den ene rod af ligningen er negativ, og den anden er positiv.
Lad os vælge talpar, hvis produkt er ens, og derefter bestemme, hvilke rødder der skal have et negativt fortegn:
Det er klart, kun rødderne og er egnede til den første betingelse:
Svar:
Eksempel #5:
Løs ligningen.
Løsning:
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Summen af rødderne er negativ, hvilket betyder, at der iflg i det mindste, en af rødderne er negativ. Men da deres produkt er positivt, betyder det, at begge rødder har et minustegn.
Lad os vælge talpar, hvis produkt er lig med:
Det er klart, at rødderne er tallene og.
Svar:
Enig, det er meget praktisk at komme med rødder mundtligt i stedet for at tælle denne grimme diskriminant. Prøv at bruge Vietas sætning så ofte som muligt.
Men Vietas teorem er nødvendig for at lette og fremskynde at finde rødderne. For at du kan få gavn af at bruge det, skal du bringe handlingerne til automatik. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men snyd ikke: du kan ikke bruge en diskriminant! Kun Vietas sætning:
Løsninger på opgaver til selvstændigt arbejde:
Opgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Ifølge Vietas sætning:
Som sædvanlig starter vi udvælgelsen med stykket:
Ikke egnet, fordi mængden;
: mængden er lige hvad du har brug for.
Svar: ; .
Opgave 2.
Og igen vores foretrukne Vieta-sætning: summen skal være lig, og produktet skal være lig.
Men da det ikke skal være, men, ændrer vi røddernes tegn: og (i alt).
Svar: ; .
Opgave 3.
Hmm... Hvor er det?
Du skal flytte alle termerne til én del:
Summen af rødderne er lig med produktet.
Okay, stop! Ligningen er ikke givet. Men Vietas sætning er kun anvendelig i de givne ligninger. Så først skal du give en ligning. Hvis du ikke kan lede, så opgiv denne idé og løs den på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant). Lad mig minde dig om, at at give en andengradsligning betyder at gøre den førende koefficient lig:
Store. Så er summen af rødderne lig med og produktet.
Her er det lige så nemt som at beskyde pærer at vælge: Det er trods alt et primtal (undskyld tautologien).
Svar: ; .
Opgave 4.
Det gratis medlem er negativt. Hvad er specielt ved dette? Og faktum er, at rødderne vil have forskellige tegn. Og nu, under udvælgelsen, kontrollerer vi ikke summen af rødderne, men forskellen i deres moduler: denne forskel er lig, men et produkt.
Så rødderne er lig med og, men en af dem er minus. Vietas sætning fortæller os, at summen af rødderne er lig med den anden koefficient med det modsatte fortegn, dvs. Det betyder, at den mindre rod vil have et minus: og, siden.
Svar: ; .
Opgave 5.
Hvad skal du gøre først? Det er rigtigt, giv ligningen:
Igen: vi vælger faktorerne for tallet, og deres forskel skal være lig med:
Rødderne er lig med og, men en af dem er minus. Hvilken? Deres sum skal være lig, hvilket betyder, at minus vil have en større rod.
Svar: ; .
Lad mig opsummere:
- Vietas sætning bruges kun i de angivne andengradsligninger.
- Ved hjælp af Vietas sætning kan du finde rødderne ved udvælgelse, mundtligt.
- Hvis ligningen ikke er givet, eller der ikke findes et passende par af faktorer af det frie led, så er der ingen hele rødder, og du skal løse det på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant).
3. Metode til at vælge en komplet firkant
Hvis alle led, der indeholder det ukendte, er repræsenteret i form af led fra forkortede multiplikationsformler - kvadratet af summen eller forskellen - så kan ligningen efter udskiftning af variable præsenteres i form af en ufuldstændig andengradsligning af typen.
For eksempel:
Eksempel 1:
Løs ligningen:.
Løsning:
Svar:
Eksempel 2:
Løs ligningen:.
Løsning:
Svar:
I generel opfattelse transformationen vil se sådan ud:
Dette indebærer:.
Minder du dig ikke om noget? Dette er en diskriminerende ting! Det er præcis sådan, vi fik diskriminantformlen.
KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING
Kvadratisk ligning- dette er en ligning af formen, hvor - det ukendte, - andengradsligningens koefficienter, - det frie led.
Komplet andengradsligning- en ligning, hvor koefficienterne ikke er lig med nul.
Reduceret andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten, dvs.: .
Ufuldstændig andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:
- hvis koefficienten ser ligningen sådan ud: ,
- hvis der er et frit led, har ligningen formen: ,
- hvis og, ser ligningen sådan ud: .
1. Algoritme til løsning af ufuldstændige andengradsligninger
1.1. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
1) Lad os udtrykke det ukendte: ,
2) Tjek udtrykkets tegn:
- hvis, så har ligningen ingen løsninger,
- hvis, så har ligningen to rødder.
1.2. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
1) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: ,
2) Produktet er lig nul, hvis mindst en af faktorerne er lig nul. Derfor har ligningen to rødder:
1.3. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
Denne ligning har altid kun én rod: .
2. Algoritme til løsning af komplette andengradsligninger af formen hvor
2.1. Løsning ved hjælp af diskriminant
1) Lad os reducere ligningen til standard visning: ,
2) Lad os beregne diskriminanten ved hjælp af formlen: , som angiver antallet af rødder i ligningen:
3) Find rødderne til ligningen:
- hvis, så har ligningen rødder, som findes ved formlen:
- hvis, så har ligningen en rod, som findes ved formlen:
- hvis, så har ligningen ingen rødder.
2.2. Løsning ved hjælp af Vietas sætning
Summen af rødderne af den reducerede andengradsligning (formens ligning hvor) er lig, og produktet af rødderne er lig, dvs. , A.
2.3. Løsning ved at vælge en komplet firkant
Hvis en andengradsligning af formen har rødder, så kan den skrives på formen: .
Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.
Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!
Nu det vigtigste.
Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.
Problemet er, at det måske ikke er nok...
For hvad?
Til vellykket afslutning Unified State Exam, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.
Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...
Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.
Men dette er ikke hovedsagen.
Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...
Men tænk selv...
Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?
FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.
Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.
Du får brug for løse problemer mod tiden.
Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.
Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.
Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!
Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.
For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.
Hvordan? Der er to muligheder:
- Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
- Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR
Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.
Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.
Afslutningsvis...
Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.
"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.
Find problemer og løs dem!
Andregradsligningsproblemer studeres også i skolepensum og på universiteterne. De betyder ligninger af formen a*x^2 + b*x + c = 0, hvor x- variabel, a, b, c - konstanter; -en<>0 . Opgaven er at finde rødderne til ligningen.
Geometrisk betydning af andengradsligning
Grafen for en funktion, der er repræsenteret ved en andengradsligning, er en parabel. Løsningerne (rødderne) af en andengradsligning er skæringspunkterne mellem parablen og abscissen (x)-aksen. Det følger heraf, at der er tre mulige tilfælde:
1) parablen har ingen skæringspunkter med abscisseaksen. Det betyder, at den er i det øverste plan med grene op eller bunden med grene ned. I sådanne tilfælde har andengradsligningen ingen reelle rødder (den har to komplekse rødder).
2) parablen har ét skæringspunkt med okseaksen. Et sådant punkt kaldes parablens toppunkt, og andengradsligningen ved det får sin minimums- eller maksimumværdi. I dette tilfælde har andengradsligningen én reel rod (eller to identiske rødder).
3) Det sidste tilfælde er mere interessant i praksis - der er to skæringspunkter mellem parablen og abscisseaksen. Det betyder, at der er to reelle rødder til ligningen.
Baseret på analysen af koefficienterne for variablernes potenser kan der drages interessante konklusioner om placeringen af parablen.
1) Hvis koefficienten a er større end nul, så er parablens grene rettet opad; hvis den er negativ, er parablens grene rettet nedad.
2) Hvis koefficienten b er større end nul, så ligger parablens toppunkt i venstre halvplan, hvis den tager negativ betydning- så til højre.
Udledning af formlen til løsning af en andengradsligning
Lad os overføre konstanten fra andengradsligningen 
for lighedstegnet får vi udtrykket
Gang begge sider med 4a 
For at få en komplet firkant til venstre skal du tilføje b^2 på begge sider og udføre transformationen
Herfra finder vi
Formel for diskriminant og rødder af en andengradsligning
Diskriminanten er værdien af det radikale udtryk. Hvis det er positivt, så har ligningen to reelle rødder, beregnet med formlen 
Når diskriminanten er nul, har andengradsligningen én løsning (to sammenfaldende rødder), som let kan fås ud fra ovenstående formel for D = 0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle rødder. Imidlertid findes løsninger til andengradsligningen i det komplekse plan, og deres værdi beregnes ved hjælp af formlen 
Vietas sætning
Lad os betragte to rødder af en andengradsligning og konstruere en andengradsligning på basis af disse Vietas sætning følger let af notationen: hvis vi har en andengradsligning af formen 
så er summen af dens rødder lig med koefficienten p taget med det modsatte fortegn, og produktet af ligningens rødder er lig med det frie led q. Formelrepræsentationen af ovenstående vil se ud som Hvis konstanten a i en klassisk ligning ikke er nul, skal du dividere hele ligningen med den og derefter anvende Vietas sætning.
Factoring andengradsligningsplan
Lad opgaven være indstillet: faktor en andengradsligning. For at gøre dette løser vi først ligningen (find rødderne). Dernæst erstatter vi de fundne rødder i ekspansionsformlen for andengradsligningen. Dette vil løse problemet.
Problemer med kvadratiske ligninger
Opgave 1. Find rødderne til en andengradsligning
x^2-26x+120=0 .
Løsning: Skriv koefficienterne ned og indsæt dem i diskriminantformlen
Rod af givet værdi er lig med 14, er det let at finde med en lommeregner, eller huske med hyppig brug, men for nemheds skyld vil jeg i slutningen af artiklen give dig en liste over kvadrater af tal, der ofte kan opstå i sådanne problemer.
Vi erstatter den fundne værdi i rodformlen 
og vi får 
Opgave 2. Løs ligningen
2x2 +x-3=0.
Løsning: Vi har en komplet andengradsligning, skriver koefficienterne ud og finder diskriminanten 
Ved hjælp af kendte formler finder vi rødderne til andengradsligningen 
Opgave 3. Løs ligningen
9x2 -12x+4=0.
Løsning: Vi har en komplet andengradsligning. Bestemmelse af diskriminant
Vi har et tilfælde, hvor rødderne falder sammen. Find værdierne af rødderne ved hjælp af formlen 
Opgave 4. Løs ligningen
x^2+x-6=0 .
Løsning: I tilfælde, hvor der er små koefficienter for x, er det tilrådeligt at anvende Vietas sætning. Ved dens tilstand får vi to ligninger
Ud fra den anden betingelse finder vi, at produktet skal være lig med -6. Det betyder, at en af rødderne er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3;2), (3;-2) . Under hensyntagen til den første betingelse afviser vi det andet par løsninger.
Ligningens rødder er lige store
Opgave 5. Find længderne af siderne af et rektangel, hvis dets omkreds er 18 cm og dets areal er 77 cm 2.
Løsning: Halvdelen af omkredsen af et rektangel er lig med summen af dets tilstødende sider. Lad os betegne x som den større side, så er 18-x dens mindre side. Arealet af rektanglet er lig med produktet af disse længder:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
Lad os finde ligningens diskriminant
Beregning af ligningens rødder 
Hvis x=11, At 18'er=7 , det modsatte er også sandt (hvis x=7, så 21'er=9).
Opgave 6. Faktorer andengradsligningen 10x 2 -11x+3=0.
Løsning: Lad os beregne rødderne til ligningen, for at gøre dette finder vi diskriminanten 
Vi erstatter den fundne værdi i rodformlen og beregner 
Vi anvender formlen til at nedbryde en andengradsligning med rødder 
Ved at åbne parenteserne får vi en identitet.
Andengradsligning med parameter
Eksempel 1. Ved hvilke parameterværdier A , har ligningen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 én rod?
Løsning: Ved direkte substitution af værdien a=3 ser vi, at den ikke har nogen løsning. Dernæst vil vi bruge det faktum, at med en nul-diskriminant har ligningen én rod af multiplicitet 2. Lad os skrive diskriminanten ud 
Lad os forenkle det og sidestille det med nul
Vi har fået en andengradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning let kan opnås ved hjælp af Vietas sætning. Summen af rødderne er 7, og deres produkt er 12. Ved simpel søgning fastslår vi, at tallene 3,4 vil være rødderne til ligningen. Da vi allerede afviste løsningen a=3 i begyndelsen af beregningerne, vil den eneste rigtige være - a=4. For a=4 har ligningen således én rod.
Eksempel 2. Ved hvilke parameterværdier A , ligningen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mere end én rod?
Løsning: Lad os først overveje entalspunkterne, de vil være værdierne a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen blive forenklet til formen 6x-9=0; x=3/2 og der vil være én rod. For a= -3 får vi identiteten 0=0.
Lad os beregne diskriminanten 
og find værdien af a, hvor den er positiv 
Fra den første betingelse får vi a>3. For det andet finder vi ligningens diskriminant og rødder 
Lad os definere intervallerne, hvor funktionen tager positive værdier. Ved at erstatte punktet a=0 får vi 3>0
.
Så uden for intervallet (-3;1/3) er funktionen negativ. Glem ikke pointen a=0, som bør udelukkes, fordi den oprindelige ligning har én rod i sig.
Som et resultat opnår vi to intervaller, der opfylder betingelserne for problemet 
Der vil være mange lignende opgaver i praksis, prøv selv at finde ud af opgaverne og glem ikke at tage hensyn til de forhold, der udelukker hinanden. Studer godt formlerne til løsning af andengradsligninger; de er ofte nødvendige i beregninger i forskellige problemer og videnskaber.
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 eller x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Efter at have lært at løse ligninger af første grad, vil du selvfølgelig gerne arbejde sammen med andre, især med ligninger af anden grad, som ellers kaldes kvadratiske.
Andengradsligninger er ligninger som ax² + bx + c = 0, hvor variablen er x, tallene er a, b, c, hvor a ikke er lig med nul.
Hvis i en andengradsligning den ene eller den anden koefficient (c eller b) er lig med nul, så vil denne ligning blive klassificeret som en ufuldstændig andengradsligning.
Hvordan løser man en ufuldstændig andengradsligning, hvis eleverne hidtil kun har kunnet løse ligninger af første grad? Overvej ufuldstændige andengradsligninger forskellige typer og enkle måder at løse dem på.
a) Hvis koefficient c er lig med 0, og koefficient b ikke er lig med nul, reduceres ax ² + bx + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² + bx = 0.
For at løse en sådan ligning skal du kende formlen til løsning af en ufuldstændig andengradsligning, som består i at faktorisere venstre side af den og senere bruge betingelsen om, at produktet er lig nul.
For eksempel, 5x² - 20x = 0. Vi faktoriserer venstre side af ligningen, mens vi udfører den sædvanlige matematiske operation: tager den fælles faktor ud af parentes
5x (x - 4) = 0
Vi anvender betingelsen om, at produkterne er lig nul.
5 x = 0 eller x - 4 = 0
Svaret vil være: den første rod er 0; den anden rod er 4.
b) Hvis b = 0, og det frie led ikke er lig med nul, så reduceres ligningen ax ² + 0x + c = 0 til en ligning på formen ax ² + c = 0. Ligningerne løses på to måder : a) ved at faktorisere polynomiet af ligningen på venstre side; b) ved at bruge aritmetikkens egenskaber kvadrat rod. En sådan ligning kan løses ved hjælp af en af metoderne, for eksempel:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Svaret vil være: den første rod er 5/2; den anden rod er lig med - 5/2.
c) Hvis b er lig med 0 og c er lig 0, så reduceres ax ² + 0 + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² = 0. I en sådan ligning vil x være lig med 0.
Som du kan se, kan ufuldstændige andengradsligninger ikke have mere end to rødder.
Mere på en enkel måde. For at gøre dette skal du sætte z ud af parentes. Du får: z(аz + b) = 0. Faktorerne kan skrives: z=0 og аz + b = 0, da begge kan resultere i nul. I notationen az + b = 0 flytter vi den anden til højre med et andet fortegn. Herfra får vi z1 = 0 og z2 = -b/a. Disse er rødderne til originalen.
Hvis der er ufuldstændig ligning form az² + c = 0, in I dette tilfælde er simpel overførsel frit led til højre side af ligningen. Skift også fortegn. Resultatet bliver az² = -с. Udtryk z² = -c/a. Tag roden og skriv to løsninger ned - en positiv og en negativ kvadratrod.
Bemærk
Hvis der er brøkkoefficienter i ligningen, ganges hele ligningen med den passende faktor for at slippe af med brøkerne.
Viden om, hvordan man løser andengradsligninger er nødvendig for både skolebørn og elever; nogle gange kan dette også hjælpe en voksen med at almindeligt liv. Der er flere specifikke løsningsmetoder.
Løsning af andengradsligninger
Andengradsligning af formen a*x^2+b*x+c=0. Koefficient x er den ønskede variabel, a, b, c er numeriske koefficienter. Husk at "+"-tegnet kan ændre sig til et "-".For at løse denne ligning er det nødvendigt at bruge Vietas sætning eller finde diskriminanten. Den mest almindelige metode er at finde diskriminanten, da det for nogle værdier af a, b, c ikke er muligt at bruge Vietas sætning.
For at finde diskriminanten (D) skal du skrive formlen D=b^2 - 4*a*c. D-værdien kan være større end, mindre end eller lig med nul. Hvis D er større eller mindre end nul, vil der være to rødder; hvis D = 0, er der kun én rod tilbage; mere præcist kan vi sige, at D i dette tilfælde har to ækvivalente rødder. Sæt de kendte koefficienter a, b, c ind i formlen og beregn værdien.
Når du har fundet diskriminanten, skal du bruge formlerne til at finde x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, hvor sqrt er en funktion, der betyder at tage kvadratroden af et givet tal. Efter at have beregnet disse udtryk, vil du finde to rødder af din ligning, hvorefter ligningen anses for løst.
Hvis D er mindre end nul, har den stadig rødder. Dette afsnit studeres praktisk talt ikke på skolen. Universitetsstuderende skal være opmærksomme på, at der vises et negativt tal under roden. De slipper af med det ved at fremhæve den imaginære del, det vil sige -1 under roden er altid lig med det imaginære element "i", som ganges med roden med det samme positivt tal. For eksempel, hvis D=sqrt(-20), efter transformationen får vi D=sqrt(20)*i. Efter denne transformation reduceres løsning af ligningen til det samme fund af rødder som beskrevet ovenfor.
Vietas sætning består i at vælge værdierne af x(1) og x(2). Der anvendes to identiske ligninger: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Og meget vigtigt punkt er tegnet foran koefficienten b, husk at dette fortegn er modsat det i ligningen. Umiddelbart ser det ud til, at det er meget simpelt at beregne x(1) og x(2), men når du løser, vil du stå over for, at du skal vælge tallene.
Elementer til løsning af andengradsligninger
Ifølge matematikkens regler kan nogle faktoriseres: (a+x(1))*(b-x(2))=0, hvis det lykkedes dig at transformere denne andengradsligning på en lignende måde ved hjælp af matematiske formler, så er du velkommen til at skriv svaret ned. x(1) og x(2) vil være lig med de tilstødende koefficienter i parentes, men med det modsatte fortegn.Glem heller ikke ufuldstændige andengradsligninger. Du mangler muligvis nogle af vilkårene; hvis ja, så er alle dens koefficienter simpelthen lig nul. Hvis der ikke er noget foran x^2 eller x, så er koefficienterne a og b lig med 1.
