Stigende, faldende og ekstreme af en funktion

At finde intervallerne for stigning, fald og ekstrema for en funktion er både en selvstændig opgave og en væsentlig del af andre opgaver, især fuld funktionsstudie. Indledende information om stigning, fald og ekstrema af funktionen er givet i teoretisk kapitel om afledt, som jeg varmt anbefaler til forundersøgelse (eller gentagelse)– også af den grund, at følgende materiale er baseret på selve i det væsentlige afledt, være en harmonisk fortsættelse af denne artikel. Selvom tiden er knap, så er en rent formel praksis med eksempler fra dagens lektion også mulig.

Og i dag er der en sjælden enstemmighed i luften, og jeg kan direkte mærke, at alle tilstedeværende brænder af lyst lære at udforske en funktion ved hjælp af dens afledede. Derfor dukker der straks en fornuftig, god, evig terminologi op på dine monitorskærme.

For hvad? En af grundene er den mest praktiske: så det er tydeligt, hvad der generelt kræves af dig i en bestemt opgave!

Monotonicitet af funktionen. Ekstrempunkter og yderpunkter for en funktion

Lad os overveje en funktion. For at sige det enkelt antager vi, at hun sammenhængende på hele tallinjen:

For en sikkerheds skyld, lad os straks slippe af med mulige illusioner, især for de læsere, der for nylig har stiftet bekendtskab med intervaller af konstant fortegn for funktionen. Nu vi IKKE INTERESSERET, hvordan grafen for funktionen er placeret i forhold til aksen (over, under, hvor aksen skærer). For at være overbevisende skal du mentalt slette akserne og efterlade én graf. For det er der, interessen ligger.

Fungere stiger på et interval, hvis for to punkter i dette interval forbundet med relationen, er uligheden sand. Det vil sige, at en større værdi af argumentet svarer til en større værdi af funktionen, og dens graf går "fra bund til top". Demonstrationsfunktionen vokser over intervallet.

Ligeledes funktionen falder på et interval, hvis for enhver to punkter af et givet interval sådan, at uligheden er sand. Det vil sige, at en større værdi af argumentet svarer til en mindre værdi af funktionen, og dens graf går "fra top til bund". Vores funktion falder med intervaller .

Hvis en funktion øges eller falder over et interval, kaldes den strengt monotont i dette interval. Hvad er monotoni? Tag det bogstaveligt - monotoni.

Du kan også definere ikke aftagende funktion (afslappet tilstand i den første definition) og ikke stigende funktion (blødgjort tilstand i 2. definition). En ikke-aftagende eller ikke-stigende funktion på et interval kaldes en monoton funktion på et givet interval (streng monotoni er et specialtilfælde af "simpelthen" monotoni).

Teorien overvejer også andre tilgange til at bestemme stigningen/faldet af en funktion, herunder på halve intervaller, segmenter, men for ikke at hælde olie-olie-olie på dit hoved, vil vi blive enige om at operere med åbne intervaller med kategoriske definitioner - dette er tydeligere, og for at løse mange praktiske problemer ganske nok.

Dermed, i mine artikler vil formuleringen "en funktions monotonitet" næsten altid være skjult intervaller streng monotoni(strengt stigende eller strengt faldende funktion).

Et punkts naboskab. Ord, hvorefter eleverne løber væk, hvorhen de kan og gemmer sig forfærdet i krogene. ...Selvom efter indlægget Cauchy grænser De gemmer sig nok ikke længere, men gyser bare lidt =) Bare rolig, nu kommer der ingen beviser for matematisk analyses sætninger - jeg havde brug for omgivelserne til at formulere definitionerne mere stringent ekstremum punkter. Lad os huske:

Et punkts naboskab et interval, der indeholder et givet punkt, kaldes, og for nemheds skyld antages intervallet ofte at være symmetrisk. For eksempel et punkt og dets standardkvarter:

Faktisk er definitionerne:

Pointen hedder strenge maksimumspoint, hvis eksisterer hendes kvarter, for alle værdier, hvoraf, bortset fra selve punktet, uligheden. I vores konkret eksempel dette er pointen.

Pointen hedder strengt minimumspunkt, hvis eksisterer hendes kvarter, for alle værdier, hvoraf, bortset fra selve punktet, uligheden. På tegningen er der punkt "a".

Bemærk : kravet om nabolagssymmetri er slet ikke nødvendigt. Derudover er det vigtigt selve eksistensen kvarter (hvad enten det er lille eller mikroskopisk), der opfylder de angivne betingelser

Punkterne kaldes strengt ekstreme punkter eller simpelthen ekstremum punkter funktioner. Det vil sige, at det er en generaliseret betegnelse for maksimumpoint og minimumpoint.

Hvordan forstår vi ordet "ekstrem"? Ja, lige så direkte som monotoni. Ekstreme punkter i rutsjebaner.

Som i tilfældet med monotoni eksisterer løse postulater og er endnu mere almindelige i teorien (hvilket naturligvis de strenge sager, der overvejes, falder ind under!):

Pointen hedder maksimum point, hvis eksisterer dens omgivelser er sådan for alle
Pointen hedder minimumspunkt, hvis eksisterer dens omgivelser er sådan for alle værdierne i dette kvarter, holder uligheden.

Bemærk, at i henhold til de sidste to definitioner betragtes ethvert punkt i en konstant funktion (eller et "fladt udsnit" af en funktion) som både et maksimum og et minimumspunkt! Funktionen er i øvrigt både ikke-stigende og ikke-faldende, altså monoton. Disse overvejelser vil vi dog overlade til teoretikere, da vi i praksis næsten altid betragter traditionelle "bakker" og "huler" (se tegning) med en unik "bakkens konge" eller "sumpens prinsesse". Som en sort forekommer det tip, rettet op eller ned, for eksempel minimum af funktionen ved punktet.

Åh, og apropos royalty:
– betydningen kaldes maksimum funktioner;
– betydningen kaldes minimum funktioner.

Almindeligt navn - ekstremer funktioner.

Vær venligst forsigtig med dine ord!

Ekstrempunkter– disse er "X"-værdier.
Yderligheder– "spil" betydninger.

! Bemærk : nogle gange refererer de anførte termer til "X-Y"-punkterne, der ligger direkte på GRAFEN AF SELVE funktionen.

Hvor mange ekstrema kan en funktion have?

Ingen, 1, 2, 3, ... osv. til evighed. For eksempel har sinus uendeligt mange minima og maksima.

VIGTIG! Udtrykket "maksimal funktion" ikke identisk udtrykket "maksimal værdi af en funktion". Det er let at bemærke, at værdien kun er maksimal i et lokalt kvarter, og øverst til venstre er der "sejere kammerater". Ligeledes er "minimum af en funktion" ikke det samme som "minimumsværdi af en funktion", og på tegningen ser vi, at værdien kun er minimum i et bestemt område. I denne forbindelse kaldes ekstremumpunkter også lokale ekstreme punkter, og det ekstreme – lokale ekstremer. De går og vandrer i nærheden og global brødre. Så enhver parabel har i sit toppunkt globalt minimum eller globalt maksimum. Yderligere vil jeg ikke skelne mellem typer af ekstremer, og forklaringen er udtrykt mere til generelle pædagogiske formål - de yderligere adjektiver "lokal"/"global" bør ikke overraske dig.

Lad os opsummere vores lille udflugt ind i teorien med et testskud: hvad betyder opgaven "finde funktionens monotoniske intervaller og ekstremumpunkter"?

Ordlyden opfordrer dig til at finde:

– intervaller med stigende/faldende funktion (ikke-faldende, ikke-stigende forekommer meget sjældnere);

– maksimum- og/eller minimumspoint (hvis der findes). Nå, for at undgå fiasko, er det bedre at finde minimum/maksimum selv ;-)

Hvordan bestemmer man alt dette? Brug af afledte funktion!

Sådan finder du intervaller for stigende, faldende,
yderpunkter og yderpunkter for funktionen?

Mange regler er faktisk allerede kendt og forstået fra lektion om betydningen af ​​et derivat.

Tangent derivat bringer glade nyheder om, at funktionen er stigende hele vejen igennem definitionsdomæne.

Med cotangens og dets derivat situationen er præcis den modsatte.

Arcsinen stiger over intervallet - den afledte her er positiv: .
Når funktionen er defineret, men ikke differentierbar. Men på det kritiske punkt er der en højrehåndet afledt og en højrehåndet tangent, og på den anden kant er der deres venstrehåndede modstykker.

Jeg tror, ​​det ikke vil være for svært for dig at udføre lignende ræsonnementer for buecosinus og dens afledte.

Alle ovenstående sager, hvoraf mange er tabelformede afledte, jeg minder dig om, følg direkte fra afledte definitioner.

Hvorfor udforske en funktion ved hjælp af dens afledede?

For bedre at forstå, hvordan grafen for denne funktion ser ud: hvor den går "bottom up", hvor "top down", hvor den når minimum og maksimum (hvis den overhovedet når). Ikke alle funktioner er så simple – i de fleste tilfælde aner vi slet ikke om grafen for en bestemt funktion.

Det er tid til at gå videre til mere meningsfulde eksempler og overveje Algoritme til at finde intervaller for monotonitet og ekstrema for en funktion:

Eksempel 1

Find intervaller for stigning/fald og ekstrema for funktionen

Løsning:

1) Det første skridt er at finde domæne af en funktion, og noter også brudpunkter (hvis de findes). I I dette tilfælde funktionen er kontinuerlig på hele tallinjen, og denne handling er til en vis grad formel. Men i en række tilfælde blusser alvorlige lidenskaber op her, så lad os behandle afsnittet uden foragt.

2) Det andet punkt i algoritmen skyldes

en nødvendig betingelse for et ekstremum:

Hvis der er et ekstremum på et punkt, eksisterer værdien enten ikke.

Forvirret over slutningen? Extremum af "modulus x"-funktionen .

Betingelsen er nødvendig, men ikke nok, og det modsatte er ikke altid sandt. Så det følger endnu ikke af ligheden, at funktionen når et maksimum eller minimum ved punkt . Klassisk eksempel allerede fremhævet ovenfor - dette er en kubisk parabel og dens kritiske punkt.

Men uanset hvad, nødvendig betingelse ekstremum dikterer behovet for at finde mistænkelige punkter. For at gøre dette skal du finde den afledede og løse ligningen:

I begyndelsen af ​​den første artikel om funktionsgrafer Jeg fortalte dig, hvordan du hurtigt bygger en parabel ved hjælp af et eksempel : "...vi tager den første afledede og sætter lig med nul: ...Altså løsningen på vores ligning: - det er på dette tidspunkt, at parablens toppunkt er placeret...". Nu tror jeg, alle forstår, hvorfor parablens toppunkt er placeret præcis på dette punkt =) Generelt burde vi starte med et lignende eksempel her, men det er for simpelt (selv for en tekande). Derudover er der en analog til allersidst i lektionen om afledet af en funktion. Lad os derfor øge graden:

Eksempel 2

Find intervaller for monotonitet og ekstrema af funktionen

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning. Fuldstændig løsning og en omtrentlig endelig prøve af opgaven i slutningen af ​​lektionen.

Det længe ventede øjeblik for møde med fraktioneret-rationelle funktioner er ankommet:

Eksempel 3

Udforsk en funktion ved hjælp af den første afledede

Vær opmærksom på, hvor varierende en og samme opgave kan omformuleres.

Løsning:

1) Funktionen lider af uendelige diskontinuiteter på punkter.

2) Vi opdager kritiske punkter. Lad os finde den første afledede og sidestille den med nul:

Lad os løse ligningen. En brøk er nul, når dens tæller er nul:

Vi får således tre kritiske punkter:

3) Vi plotter ALLE detekterede punkter på tallinjen og interval metode vi definerer tegnene for DERIVATET:

Jeg minder dig om, at du skal tage et punkt i intervallet og beregne værdien af ​​den afledte ved det og bestemme dens tegn. Det er mere rentabelt ikke selv at tælle, men at "estimere" verbalt. Lad os for eksempel tage et punkt, der hører til intervallet, og udføre substitutionen: .

To "plus" og et "minus" giver derfor et "minus", hvilket betyder, at den afledede er negativ over hele intervallet.

Handlingen skal, som du forstår, udføres for hvert af de seks intervaller. Bemærk i øvrigt, at tællerfaktoren og nævneren er strengt taget positive for ethvert punkt i ethvert interval, hvilket i høj grad forenkler opgaven.

Så den afledte fortalte os, at FUNKTIONEN SELV øges med og falder med. Det er praktisk at forbinde intervaller af samme type med join-ikonet.

På det tidspunkt når funktionen sit maksimum:
På det tidspunkt når funktionen et minimum:

Tænk over hvorfor du ikke skal genberegne den anden værdi ;-)

Når man passerer gennem et punkt, ændrer den afledede ikke fortegn, så funktionen har INTET EKSTREM der - den både faldt og forblev faldende.

! Lad os gentage vigtigt punkt : punkter betragtes ikke som kritiske - de indeholder en funktion ikke bestemt. Følgelig her I princippet kan der ikke være nogen ekstremer(selvom den afledede skifter fortegn).

Svar: funktionen øges med og falder med På det punkt, hvor maksimum af funktionen nås: , og på punktet – minimum: .

Kendskab til monotoniske intervaller og ekstrema, kombineret med etablerede asymptoter allerede giver en rigtig god idé om udseende funktionsgrafik. En person med gennemsnitlig træning er i stand til verbalt at bestemme, at grafen for en funktion har to lodrette asymptoter og en skrå asymptote. Her er vores helt:

Prøv igen at korrelere resultaterne af undersøgelsen med grafen for denne funktion.
Der er intet ekstremum på det kritiske punkt, men det er der grafbøjning(hvilket som regel sker i lignende tilfælde).

Eksempel 4

Find yderpunkterne af funktionen

Eksempel 5

Find monotoniske intervaller, maksima og minima for funktionen

…det er næsten som en slags "X i en terning"-ferie i dag....
Sååå, hvem i galleriet tilbød at drikke for dette? =)

Hver opgave har sine egne indholdsmæssige nuancer og tekniske finesser, som kommenteres i slutningen af ​​lektionen.

stigende på intervallet \(X\) hvis for enhver \(x_1, x_2\i X\) sådan at \(x_1

Funktionen kaldes ikke aftagende

\(\blacktriangleright\) Funktionen \(f(x)\) kaldes faldende på intervallet \(X\) hvis for enhver \(x_1, x_2\i X\) sådan at \(x_1 f(x_2)\) .

Funktionen kaldes ikke stigende på intervallet \(X\) hvis for enhver \(x_1, x_2\i X\) sådan at \(x_1

\(\blacktriangleright\) Stigende og faldende funktioner kaldes strengt monotont, og ikke-stigende og ikke-faldende er simpelthen monotont.

\(\sorttriangleright\) Grundlæggende egenskaber:

JEG. Hvis funktionen \(f(x)\) er strengt monoton på \(X\) , så følger den fra ligheden \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\i X\) ) \(f( x_1)= f(x_2)\) , og omvendt.

Eksempel: funktionen \(f(x)=\sqrt x\) er strengt stigende for alle \(x\in \) , derfor har ligningen \(x^2=9\) højst én løsning på dette interval, eller rettere en: \(x=-3\) .

funktionen \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) er strengt stigende for alle \(x\in (-1;+\infty)\), så ligningen \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) har ikke mere end én løsning på dette interval, eller rettere ingen, fordi tælleren på venstre side kan aldrig være lig med nul.

III. Hvis funktionen \(f(x)\) er ikke-faldende (ikke-stigende) og kontinuerlig på segmentet \(\), og i enderne af segmentet tager den værdierne \(f(a)= A, f(b)=B\) , så for \(C\in \) (\(C\in \) ) har ligningen \(f(x)=C\) altid mindst én løsning.

Eksempel: funktionen \(f(x)=x^3\) er strengt stigende (dvs. strengt monoton) og kontinuerlig for alle \(x\in\mathbb(R)\) , derfor for enhver \(C\ i ( -\infty;+\infty)\) har ligningen \(x^3=C\) nøjagtig én løsning: \(x=\sqrt(C)\) .

Opgave 1 #3153

Opgaveniveau: Nemmere end Unified State-eksamenen

har præcis to rødder.

Lad os omskrive ligningen som: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Overvej funktionen \(f(t)=t^3+t\) . Så vil ligningen blive omskrevet i formen: \ Lad os studere funktionen \(f(t)\) . \ Følgelig øges funktionen \(f(t)\) for alle \(t\) . Det betyder, at hver værdi af funktionen \(f(t)\) svarer til nøjagtig én værdi af argumentet \(t\) . Derfor, for at ligningen skal have rødder, er det nødvendigt: \ For at den resulterende ligning skal have to rødder, skal dens diskriminant være positiv: \

Svar:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Opgave 2 #2653

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren \(a\), som ligningen for \

har to rødder.

(Opgave fra abonnenter.)

Lad os lave en erstatning: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Så vil ligningen antage formen: \ Overvej funktionen \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Så vil vores ligning have formen: \

Lad os finde den afledte \ Bemærk, at for alle \(w\ne 0\) er den afledte \(f"(w)>0\) , da \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Bemærk også at selve funktionen \(f(w)\) er defineret for alle \(w\) Da \(f(w)\) er kontinuert, kan vi konkludere, at \(f (w)\) i det hele taget stiger. \(\mathbb(R)\) .
Det betyder, at ligheden \(f(t)=f(u)\) er mulig, hvis og kun hvis \(t=u\) . Lad os vende tilbage til de oprindelige variable og løse den resulterende ligning:

\ For at denne ligning skal have to rødder, skal den være kvadratisk, og dens diskriminant skal være positiv:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Svar:

\((-\infty;1)\kop(1;2)\)

Opgave 3 #3921

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle positive værdier af parameteren \(a\), som ligningen for

har mindst \(2\) løsninger.

Lad os flytte alle led, der indeholder \(ax\) til venstre, og dem, der indeholder \(x^2\) til højre, og overveje funktionen
\

Så vil den oprindelige ligning have formen:
\

Lad os finde den afledede:
\

Fordi \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), derefter \(f"(t)\geqslant 0\) for enhver \(t\in \mathbb(R)\) .

Desuden er \(f"(t)=0\) hvis \((t-2)^2=0\) og \(1+\cos(2t)=0\) på samme tid, hvilket ikke er sandt for enhver \ (t\) . Derfor \(f"(t)> 0\) for enhver \(t\in \mathbb(R)\) .

Således er funktionen \(f(t)\) strengt stigende for alle \(t\in \mathbb(R)\) .

Det betyder, at ligningen \(f(ax)=f(x^2)\) svarer til ligningen \(ax=x^2\) .

Ligningen \(x^2-ax=0\) for \(a=0\) har én rod \(x=0\), og for \(a\ne 0\) har den to forskellige rødder \(x_1 =0 \) og \(x_2=a\) .
Vi skal finde værdierne af \(a\), hvor ligningen vil have mindst to rødder, også under hensyntagen til det faktum, at \(a>0\) .
Derfor er svaret: \(a\in (0;+\infty)\) .

Svar:

\((0;+\infty)\) .

Opgave 4 #1232

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren \(a\) , for hver af dem ligningen \

har en unik løsning.

Lad os gange højre og venstre side af ligningen med \(2^(\sqrt(x+1))\) (da \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) og omskrive ligningen i form: \

Overvej funktionen \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) for \(t\geqslant 0\) (da \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Afledte \(y"=\venstre(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\højre)\).

Fordi \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) for alle \(t\geqslant 0\) , derefter \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Som \(t\geqslant 0\) falder funktionen \(y\) derfor monotont.

Ligningen kan betragtes på formen \(y(t)=y(z)\) , hvor \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Af monotoniteten af ​​funktionen følger det, at lighed kun er mulig, hvis \(t=z\) .

Det betyder, at ligningen er ækvivalent med ligningen: \(ax=\sqrt(x+1)\), hvilket igen svarer til systemet: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ axe \geqslant 0 \end(cases)\]

Når \(a=0\) har systemet én løsning \(x=-1\), der opfylder betingelsen \(ax\geqslant 0\) .

Overvej sagen \(a\ne 0\) . Diskriminerende af den første ligning i systemet \(D=1+4a^2>0\) for alle \(a\) . Som følge heraf har ligningen altid to rødder \(x_1\) og \(x_2\), og de har forskellige fortegn (da ifølge Vietas sætning \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Dette betyder, at for \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) betingelsen er opfyldt med en positiv rod. Derfor har systemet altid en unik løsning.

Så \(a\in \mathbb(R)\) .

Svar:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Opgave 5 #1234

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren \(a\) , for hver af dem ligningen \

har mindst én rod fra segmentet \([-1;0]\) .

Overvej funktionen \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) for nogle faste \(a\) . Lad os finde dens afledte: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Bemærk, at \(f"(x)\geqslant 0\) for alle værdier af \(x\) og \(a\) , og kun er lig med \(0\) for \(x=a=1 \). Men for \(a=1\):
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Højrepil f(x)=2(x-1)^3 \Højrepil\) ligningen \(2(x-1)^3=0\) har en enkelt rod \(x=1\), der ikke opfylder betingelsen. Derfor kan \(a\) ikke være lig med \(1\) .

Dette betyder, at for alle \(a\ne 1\) er funktionen \(f(x)\) strengt stigende, derfor kan ligningen \(f(x)=0\) ikke have mere end én rod. Under hensyntagen til egenskaberne for den kubiske funktion, vil grafen for \(f(x)\) for nogle faste \(a\) se sådan ud:

Det betyder, at for at ligningen skal have en rod fra segmentet \([-1;0]\), er det nødvendigt: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Således \(a\in [-2;0]\) .

Svar:

\(a\in [-2;0]\) .

Opgave 6 #2949

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren \(a\) , for hver af dem ligningen \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

har rødder.

(Opgave fra abonnenter)

ODZ-ligninger: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Derfor, for at en ligning skal have rødder, er det nødvendigt, at mindst en af ​​ligningerne \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(eller)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] havde afgørelser om ODZ.

1) Overvej den første ligning \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(samlet)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(justeret) \end(samlet)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Denne ligning skal have rødder i \(\) . Overvej en cirkel:

Således ser vi, at for enhver \(2a+2\i [\sin 0;\sin 1]\) vil ligningen have én løsning, og for alle andre vil den ikke have nogen løsninger. Derfor, hvornår \(a\i \venstre[-1;-1+\sin 1\højre]\) ligningen har løsninger.

2) Overvej den anden ligning \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Overvej funktionen \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Lad os finde dens afledte: \ På ODZ har den afledte et nul: \(x=\frac34\) , som også er maksimumpunktet for funktionen \(f(x)\) .
Bemærk at \(f(0)=f(1)=0\) . Så skematisk ser grafen \(f(x)\) sådan ud:

For at ligningen skal have løsninger, er det derfor nødvendigt, at grafen \(f(x)\) skærer den rette linje \(y=-a\) (figuren viser en af ​​de egnede muligheder). Det vil sige, at det er nødvendigt \ . For disse \(x\):

Funktionen \(y_1=\sqrt(x-1)\) er strengt stigende. Grafen for funktionen \(y_2=5x^2-9x\) er en parabel, hvis toppunkt er i punktet \(x=\dfrac(9)(10)\) . For alle \(x\geqslant 1\) er funktionen \(y_2\) derfor også strengt stigende (den højre gren af ​​parablen). Fordi summen af ​​strengt stigende funktioner er strengt stigende, så er \(f_a(x)\) strengt stigende (konstanten \(3a+8\) påvirker ikke funktionens monotonitet).

Funktionen \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) for alle \(x\geqslant 1\) repræsenterer en del af hyperbelens højre gren og er strengt aftagende.

At løse ligningen \(f_a(x)=g_a(x)\) betyder at finde skæringspunkterne for funktionerne \(f\) og \(g\) . Af deres modsatte monotonitet følger, at ligningen højst kan have én rod.

Når \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Derfor vil ligningen have en unik løsning, hvis:

\\kop

Svar:

\(a\in (-\infty;-1]\kop (fig. 128).

1. Overvej en funktion på intervallet (0, + 00).
Lad x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Så fra uligheden x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Det betyder, at funktionen falder på den åbne stråle (0, + 00) (fig. 129).

2. Overvej en funktion på intervallet (-oo, 0). Lad x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negative tal. Derefter - x 1 > - x 2, og begge sider af den sidste ulighed - positive tal, og derfor (vi brugte igen uligheden påvist i eksempel 1 fra § 33). Næste har vi, hvor vi kommer fra.

Så fra uligheden x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) dvs. funktion falder på den åbne stråle (- 00 , 0)

Normalt kombineres udtrykkene "stigende funktion" og "aftagende funktion" under det generelle navn monoton funktion, og studiet af en funktion til at øge og falde kaldes studiet af en funktion for monotoni.

Løsning.

1) Lad os plotte funktionen y = 2x2 og tage grenen af ​​denne parabel ved x< 0 (рис. 130).

2) Konstruer og vælg dens del på segmentet (fig. 131).

3) Lad os konstruere en hyperbel og vælge dens del på den åbne stråle (4, + 00) (fig. 132).
4) Lad os afbilde alle tre "stykker" i ét koordinatsystem - dette er grafen for funktionen y = f(x) (fig. 133).

Lad os læse grafen for funktionen y = f(x).

1. Funktionens definitionsdomæne er hele tallinjen.

2. y = 0 ved x = 0; y > 0 for x > 0.

3. Funktionen falder på strålen (-oo, 0], stiger på segmentet, aftager på strålen, er konveks opad på segmentet, konveks nedad på strålen)