Er et negativt tal rationelt? Heltal og rationelle tal. Reelle tal

16.10.2019

Heltal

Definition af naturlige tal er positive heltal. Naturlige tal bruges til at tælle objekter og til mange andre formål. Disse er tallene:

Dette er en naturlig række af tal.
Nul naturligt tal? Nej, nul er ikke et naturligt tal.
Hvor mange naturlige tal er der? Der er et uendeligt antal naturlige tal.
Hvad er det mindste naturlige tal? Det ene er det mindste naturlige tal.
Hvad er det største naturlige tal? Det er umuligt at specificere det, fordi der er et uendeligt antal naturlige tal.

Summen af naturlige tal er et naturligt tal. Så ved at tilføje naturlige tal a og b:

Produktet af naturlige tal er et naturligt tal. Så produktet af naturlige tal a og b:

c er altid et naturligt tal.

Forskel på naturlige tal Der er ikke altid et naturligt tal. Hvis minuenden er større end subtrahenden, så er forskellen mellem de naturlige tal et naturligt tal, ellers er det ikke.

Kvotienten af naturlige tal er ikke altid et naturligt tal. Hvis for naturlige tal a og b

hvor c er et naturligt tal, betyder det at a er deleligt med b. I dette eksempel er a udbyttet, b er divisor, c er kvotienten.

Divisor af et naturligt tal er et naturligt tal, hvormed det første tal er deleligt med en hel.

Hvert naturligt tal er deleligt med et og sig selv.

Naturlige primtal er kun delelige med én og sig selv. Her mener vi helt opdelt. Eksempel, nummer 2; 3; 5; 7 er kun deleligt med en og sig selv. Disse er simple naturlige tal.

Et betragtes ikke som et primtal.

Tal, der er større end et, og som ikke er primtal, kaldes sammensatte tal. Eksempler på sammensatte tal:

Det ene betragtes ikke som et sammensat tal.

Sættet af naturlige tal er et, Primtal og sammensatte tal.

Sættet af naturlige tal er angivet latinsk bogstav N.

Egenskaber for addition og multiplikation af naturlige tal:

kommutativ egenskab ved addition

associativ egenskab ved tilføjelse

(a + b) + c = a + (b + c);

kommutativ egenskab ved multiplikation

associativ egenskab ved multiplikation

(ab)c = a(bc);

fordelingsegenskab ved multiplikation

A (b + c) = ab + ac;

Hele tal

Heltal er de naturlige tal, nul og modsætningerne til de naturlige tal.

Det modsatte af naturlige tal er negative heltal, for eksempel:

1; -2; -3; -4;...

Heltalssættet er angivet med det latinske bogstav Z.

Rationelle tal

Rationelle tal Disse er hele tal og brøker.

Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en periodisk brøk. Eksempler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Fra eksemplerne er det klart, at ethvert heltal er en periodisk brøk med periode nul.

Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en brøk m/n, hvor m er et heltal antal,n naturlig nummer. Lad os forestille os tallet 3,(6) fra det foregående eksempel som en sådan brøk.

Rationelle tal

Kvarter

Ordenhed. -en Og b der er en regel, der tillader en unikt at identificere én og kun én af tre forhold mellem dem: "< », « >" eller " = ". Denne regel kaldes bestillingsregel og er formuleret som følger: to ikke-negative tal og er relateret af samme relation som to heltal og ; to ikke-positive tal -en Og b er forbundet med samme forhold som to ikke-negative tal og ; hvis pludselig -en ikke-negativ, men b- negativ altså -en > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Tilføjelse af brøker
Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt summeringsregel c. Desuden selve nummeret c hedder beløb tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes summering. Summeringsreglen har følgende form: .
Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt multiplikationsreglen, som tildeler dem et eller andet rationelt tal c. Desuden selve nummeret c hedder arbejde tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes også multiplikation. Multiplikationsreglen ser således ud: .
Transitivitet af ordrerelationen. For enhver tredobbelt af rationelle tal -en , b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, At -en mindre c, og hvis -en lige med b Og b lige med c, At -en lige med c. 6435">Kommutativitet af addition. Ændring af placeringen af rationelle udtryk ændrer ikke summen.
Associativitet af addition. Rækkefølgen, hvori tre rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.
Tilstedeværelse af nul. Der er et rationelt tal 0, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.
Tilstedeværelsen af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, som når det lægges til giver 0.
Kommutativitet af multiplikation.Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.
Associativitet af multiplikation. Den rækkefølge, hvori tre rationelle tal ganges, påvirker ikke resultatet.
Enhedens tilgængelighed. Der er et rationelt tal 1, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det ganges.
Tilstedeværelse af gensidige tal. Ethvert rationelt tal har et omvendt rationelt tal, som når ganget med giver 1.
Fordeling af multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen koordineres med additionsoperationen gennem fordelingsloven:
Forbindelse af ordrerelationen med driften af addition. Til venstre og højre del rationel ulighed du kan tilføje det samme rationelle tal. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, kan du tage så mange enheder, at deres sum overstiger -en. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Yderligere ejendomme

Alle andre egenskaber, der er iboende i rationelle tal, skelnes ikke som grundlæggende, fordi de generelt set ikke længere er baseret direkte på egenskaberne af heltal, men kan bevises baseret på de givne grundlæggende egenskaber eller direkte ved definitionen af et matematisk objekt . Der er mange sådanne yderligere egenskaber. Det giver mening kun at nævne nogle få af dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Tællelighed af et sæt

Nummerering af rationelle tal

For at estimere antallet af rationelle tal skal du finde kardinaliteten af deres sæt. Det er let at bevise, at mængden af rationelle tal kan tælles. For at gøre dette er det nok at give en algoritme, der opregner rationelle tal, dvs. etablerer en bijektion mellem sættene af rationelle og naturlige tal.

Den enkleste af disse algoritmer ser sådan ud. En endeløs tabel med almindelige brøker er kompileret på hver jeg-th linje i hver j den søjle, hvoraf fraktionen er placeret. For nøjagtighedens skyld antages det, at rækkerne og kolonnerne i denne tabel er nummereret fra én. Tabelceller er angivet med , hvor jeg- nummeret på tabelrækken, hvori cellen er placeret, og j- kolonnenummer.

Den resulterende tabel gennemløbes ved hjælp af en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Disse regler søges fra top til bund, og den næste position vælges baseret på det første match.

I processen med en sådan traversering er hvert nyt rationelt tal forbundet med et andet naturligt tal. Det vil sige, at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemærkes, at kun irreducerbare brøker er nummereret. Et formelt tegn på irreducerbarhed er, at den største fælles divisor af brøkens tæller og nævner er lig med en.

Ved at følge denne algoritme kan vi opregne alle positive rationelle tal. Dette betyder, at sættet af positive rationale tal kan tælles. Det er let at etablere en bijektion mellem sættene af positive og negative rationelle tal ved blot at tildele hvert rationelle tal dets modsætning. At. sættet af negative rationale tal kan også tælles. Deres forening kan også tælles ved egenskaben af tællelige sæt. Sættet af rationelle tal kan også tælles som foreningen af et tælleligt sæt med et endeligt.

Udsagnet om tælleligheden af mængden af rationelle tal kan forårsage en vis forvirring, da det ved første øjekast ser ud til, at det er meget mere omfattende end mængden af naturlige tal. Faktisk er dette ikke tilfældet, og der er nok naturlige tal til at opregne alle rationelle.

Mangel på rationelle tal

Hypotenusen af en sådan trekant kan ikke udtrykkes med noget rationelt tal

Rationale tal på formen 1 / n i det store hele n vilkårligt små mængder kan måles. Dette faktum skaber det misvisende indtryk, at rationelle tal kan bruges til at måle alle geometriske afstande. Det er nemt at vise, at det ikke er sandt.

Noter

Litteratur

I. Kushnir. Håndbog i matematik for skolebørn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Introduktion til mængdelære og generel topologi. - M.: kapitel. udg. fysik og matematik tændt. udg. "Science", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduktion til teorien om algebraiske systemer

Links

Wikimedia Foundation. 2010.

Nummer- et vigtigt matematisk begreb, der har ændret sig gennem århundreder.

De første ideer om tal opstod ved at tælle mennesker, dyr, frugter, forskellige produkter osv. Resultatet er naturlige tal: 1, 2, 3, 4, ...

Historisk set er den første udvidelse af talbegrebet tilføjelsen af brøktal til det naturlige tal.

Brøk en del (andel) af en enhed eller flere lige store dele kaldes.

Udpeget af: , hvor m, n- hele tal;

Brøker med nævner 10 n, Hvor n- et helt tal, kaldet decimal: .

Blandt decimaler særligt sted besætte periodiske brøker: - ren periodisk fraktion, - blandet periodisk fraktion.

Yderligere udvidelse af talbegrebet er forårsaget af udviklingen af selve matematikken (algebra). Descartes i det 17. århundrede. introducerer konceptet negativt tal.

Tallene heltal (positive og negative), brøker (positive og negative) og nul kaldes rationelle tal. Ethvert rationelt tal kan skrives som en endelig og periodisk brøk.

For at studere konstant skiftende variable størrelser, viste det sig, at en ny udvidelse af talbegrebet var nødvendig - introduktionen af reelle (reelle) tal - ved at tilføje irrationelle tal til rationelle tal: irrationelle tal er uendelige decimaler, ikke-periodiske brøker.

Irrationelle tal dukkede op ved måling af inkommensurable segmenter (siden og diagonalen af et kvadrat), i algebra - når man udtrækker rødder, er et eksempel på et transcendentalt, irrationelt tal π, e .

Tal naturlig(1, 2, 3,...), hel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rationel(repræsenteres som en brøkdel) og irrationel(ikke repræsenteret som en brøkdel ) danne et sæt ægte (rigtig) tal.

Komplekse tal skelnes separat i matematik.

Komplekse tal opstå i forbindelse med problemet med at løse kvadrater til sagen D< 0 (здесь D– diskriminant af en andengradsligning). I lang tid fandt disse tal ikke fysisk anvendelse, hvorfor de blev kaldt "imaginære" tal. Men nu er de meget udbredt inden for forskellige områder af fysik og teknologi: elektroteknik, hydro- og aerodynamik, elasticitetsteori osv.

Komplekse tal skrives på formen: z= -en+ bi. Her -en Og b – reelle tal, A jeg – imaginær enhed, dvs.e. jeg 2 = -1. Nummer -en hedder abscisse, a b –ordinere komplekst tal -en+ bi. To komplekse tal -en+ bi Og a–bi hedder konjugat komplekse tal.

Ejendomme:

1. Reelt tal EN kan også skrives i kompleks talform: -en+ 0jeg eller en – 0jeg. For eksempel 5 + 0 jeg og 5-0 jeg betyder det samme nummer 5.

2. Kompleks tal 0 + bi hedder rent imaginært nummer. Optage bi betyder det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tal -en+ bi Og c+ di anses for lige hvis -en= c Og b= d. Ellers er de komplekse tal ikke ens.

Handlinger:

Tilføjelse. Summen af komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal ( -en+ c) + (b+ d)jeg. Dermed, Når komplekse tal tilføjes, tilføjes deres abscisser og ordinater separat.

Subtraktion. Forskellen mellem to komplekse tal -en+ bi(formindsket) og c+ di(subtrahend) kaldes et komplekst tal ( a–c) + (b-d)jeg. Dermed, Når du trækker to komplekse tal fra, trækkes deres abscisse og ordinater fra hver for sig.

Multiplikation. Produkt af komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal:

(ac–bd) + (annonce+ f.Kr)jeg. Denne definition følger af to krav:

1) tal -en+ bi Og c+ di skal ganges som algebraiske binomialer,

2) nummer jeg har hovedegenskaben: jeg 2 = –1.

EKSEMPEL ( a+ bi)(a–bi)= a 2 + b 2 . Derfor, arbejdeaf to konjugerede komplekse tal er lig med et positivt reelt tal.

Division. Divider et komplekst tal -en+ bi(deles) med en anden c+ di (deler) - betyder at finde det tredje tal e+ f i(chat), som når ganget med en divisor c+ di, resulterer i udbytte -en+ bi. Hvis divisor ikke er nul, er division altid muligt.

EKSEMPEL Find (8+ jeg) : (2 – 3jeg) .

Løsning. Lad os omskrive dette forhold som en brøk:

Multiplicer dens tæller og nævner med 2 + 3 jeg og efter at have udført alle transformationerne får vi:

Opgave 1: Addere, subtrahere, gange og dividere z 1 på z 2

Udtræk kvadratroden: Løs ligningen x 2 = -en. For at løse denne ligning vi er tvunget til at bruge tal af en ny type - imaginære tal . Dermed, imaginært nummeret ringes op hvis anden potens er et negativt tal. Ifølge denne definition af imaginære tal kan vi definere og imaginært enhed:

Så til ligningen x 2 = – 25 får vi to imaginært rod:

Opgave 2: Løs ligningen:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrisk repræsentation af komplekse tal. Reelle tal er repræsenteret ved punkter på tallinjen:

Her er pointen EN betyder tallet –3, prik B–nummer 2, og O-nul. I modsætning hertil er komplekse tal repræsenteret af punkter på koordinatplanet. Til dette formål vælger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Derefter det komplekse tal -en+ bi vil blive repræsenteret med en prik P med abscisseEN og ordinereb. Dette koordinatsystem kaldes komplekst plan .

modul komplekst tal er længden af vektoren OP, der repræsenterer et komplekst tal på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus af et komplekst tal -en+ bi betegnet | -en+ bi| eller) brev r og er lig med:

Konjugerede komplekse tal har samme modul.

Reglerne for at tegne en tegning er næsten de samme som for en tegning i et kartesisk koordinatsystem Langs akserne skal du indstille dimensionen, bemærk:

e
enhed langs den reelle akse; Rez

imaginær enhed langs den imaginære akse. jeg z

Opgave 3. Konstruer følgende komplekse tal på den komplekse plan: , , , , , , ,

1. Tallene er nøjagtige og omtrentlige. De tal, vi møder i praksis, er af to slags. Nogle giver den sande værdi af mængden, andre kun omtrentlige. Den første kaldes eksakt, den anden - omtrentlig. Oftest er det praktisk at bruge et omtrentligt tal i stedet for et nøjagtigt, især da det i mange tilfælde er umuligt at finde et nøjagtigt tal overhovedet.

Så hvis de siger, at der er 29 elever i en klasse, så er tallet 29 korrekt. Hvis de siger, at afstanden fra Moskva til Kiev er 960 km, så er tallet 960 her omtrentlig, da vores måleinstrumenter på den ene side ikke er absolut nøjagtige, på den anden side har byerne selv en vis udstrækning.

Resultatet af handlinger med omtrentlige tal er også et omtrentligt tal. Ved at udføre nogle operationer på nøjagtige tal (division, rodudvinding), kan du også opnå omtrentlige tal.

Teorien om omtrentlige beregninger tillader:

1) at kende graden af nøjagtighed af dataene, evaluere graden af nøjagtighed af resultaterne;

2) tage data med en passende grad af nøjagtighed, der er tilstrækkelig til at sikre den nødvendige nøjagtighed af resultatet;

3) rationalisere beregningsprocessen, frigør den fra de beregninger, der ikke vil påvirke nøjagtigheden af resultatet.

2. Afrunding. En kilde til at opnå omtrentlige tal er afrunding. Både omtrentlige og nøjagtige tal er afrundet.

At afrunde et givet tal til et bestemt ciffer kaldes at erstatte det med et nyt tal, som fås fra det givne ved at kassere alle dets cifre skrevet til højre for cifferet i dette ciffer, eller ved at erstatte dem med nuller. Disse nuller er normalt understreget eller skrevet mindre. For at sikre, at det afrundede tal er så tæt som muligt på det, der afrundes, bør du bruge følgende regler: for at afrunde et tal til et af et bestemt ciffer, skal du kassere alle cifrene efter cifferet i dette ciffer, og erstatte dem med nuller i hele tallet. Følgende tages i betragtning:

1) hvis det første (til venstre) af de kasserede cifre er mindre end 5, så ændres det sidste resterende ciffer ikke (afrunding nedad);

2) hvis det første ciffer, der skal kasseres, er større end 5 eller lig med 5, så øges det sidste ciffer tilbage med én (afrunding med overskydende).

Lad os vise dette med eksempler. Rund:

a) op til tiendedele 12.34;

b) til hundrededele 3,2465; 1038,785;

c) op til tusindedele 3,4335.

d) op til tusind 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutte og relative fejl. Forskellen mellem det nøjagtige tal og dets omtrentlige værdi kaldes den absolutte fejl af det omtrentlige tal. For eksempel, hvis det nøjagtige tal 1,214 afrundes til nærmeste tiendedel, får vi et omtrentligt tal på 1,2. I I dette tilfælde absolut fejl det omtrentlige tal 1,2 er lig med 1,214 - 1,2, dvs. 0,014.

Men i de fleste tilfælde er den nøjagtige værdi af den pågældende værdi ukendt, men kun en omtrentlig. Så er den absolutte fejl ukendt. I disse tilfælde skal du angive den grænse, som den ikke overskrider. Dette tal kaldes den begrænsende absolutte fejl. De siger, at den nøjagtige værdi af et tal er lig med dets omtrentlige værdi med en fejl mindre end den marginale fejl. For eksempel er tallet 23,71 en omtrentlig værdi af tallet 23,7125 med en nøjagtighed på 0,01, da den absolutte fejl i tilnærmelsen er 0,0025 og mindre end 0,01. Her er den begrænsende absolutte fejl 0,01 *.

Grænse absolut fejl af det omtrentlige tal EN angivet med symbolet Δ -en. Optage

x≈-en(±Δ -en)

skal forstås som følger: den nøjagtige værdi af mængden x er mellem tallene EN– Δ -en Og EN+ Δ EN, som kaldes henholdsvis nedre og øvre grænser x og betegne NG x VG x.

For eksempel hvis x≈ 2,3 (±0,1), derefter 2,2<x< 2,4.

Omvendt, hvis 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Den absolutte eller marginale absolutte fejl karakteriserer ikke kvaliteten af den udførte måling. Den samme absolutte fejl kan betragtes som væsentlig og ubetydelig afhængig af det tal, som den målte værdi er udtrykt med. For eksempel, hvis vi måler afstanden mellem to byer med en nøjagtighed på en kilometer, så er en sådan nøjagtighed ganske tilstrækkelig til denne ændring, men på samme tid, når man måler afstanden mellem to huse på samme gade, vil en sådan nøjagtighed være uacceptabelt. Som følge heraf afhænger nøjagtigheden af den omtrentlige værdi af en mængde ikke kun af størrelsen af den absolutte fejl, men også af værdien af den målte mængde. Derfor er den relative fejl et mål for nøjagtigheden.

Relativ fejl er forholdet mellem den absolutte fejl og værdien af det omtrentlige tal. Forholdet mellem den begrænsende absolutte fejl og det omtrentlige antal kaldes den begrænsende relative fejl; de betegner det sådan: . Relative og marginale relative fejl udtrykkes normalt som procenter. For eksempel hvis målinger viste, at afstanden x mellem to punkter er mere end 12,3 km, men mindre end 12,7 km, så tages den aritmetiske middelværdi af disse to tal som dens omtrentlige værdi, dvs. deres halvsum, så er den marginale absolutte fejl lig med halvforskellen af disse tal. I dette tilfælde x≈ 12,5 (±0,2). Her er den begrænsende absolutte fejl 0,2 km, og den begrænsende relativ

Denne artikel er afsat til undersøgelsen af emnet "Rationelle tal". Nedenfor er definitioner af rationelle tal, eksempler er givet, og hvordan man bestemmer, om et tal er rationelt eller ej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationelle tal. Definitioner

Før vi giver definitionen af rationelle tal, lad os huske, hvilke andre sæt tal der er, og hvordan de er relateret til hinanden.

Naturlige tal danner sammen med deres modsætninger og tallet nul sættet af heltal. Til gengæld danner sættet af heltalsbrøktal sættet af rationelle tal.

Definition 1. Rationale tal

Rationelle tal er tal, der kan repræsenteres som positive almindelig brøk a b , en negativ fællesbrøk - a b eller tallet nul.

Således kan vi bevare en række egenskaber ved rationelle tal:

Ethvert naturligt tal er et rationelt tal. Det er klart, at hvert naturligt tal n kan repræsenteres som en brøk 1 n.
Ethvert heltal, inklusive tallet 0, er et rationelt tal. Faktisk kan ethvert positivt heltal og ethvert negativt heltal nemt repræsenteres som henholdsvis en positiv eller negativ almindelig brøk. For eksempel, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Enhver positiv eller negativ fællesbrøk a b er et rationelt tal. Dette følger direkte af definitionen ovenfor.
Ethvert blandet tal er rationelt. Faktisk kan et blandet tal repræsenteres som en almindelig uægte brøk.
Enhver endelig eller periodisk decimalbrøk kan repræsenteres som en brøk. Derfor er hver periodisk eller endelig decimalbrøk et rationelt tal.
Uendelige og ikke-periodiske decimaler er ikke rationelle tal. De kan ikke repræsenteres i form af almindelige brøker.

Lad os give eksempler på rationelle tal. Tallene 5, 105, 358, 1100055 er naturlige, positive og heltal. Det er klart, at disse er rationelle tal. Tallene - 2, - 358, - 936 er negative heltal, og de er også rationelle ifølge definitionen. De almindelige brøker 3 5, 8 7, - 35 8 er også eksempler på rationelle tal.

Ovenstående definition af rationelle tal kan formuleres mere kort. Endnu en gang vil vi besvare spørgsmålet, hvad er et rationelt tal?

Definition 2. Rationale tal

Rationelle tal er tal, der kan repræsenteres som en brøk ± z n, hvor z er et heltal, og n er et naturligt tal.

Det kan påvises, at denne definition svarer til den tidligere definition af rationale tal. For at gøre dette skal du huske, at brøklinjen svarer til divisionstegnet. Under hensyntagen til reglerne og egenskaberne ved at dividere heltal, kan vi skrive følgende rimelige uligheder:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Derfor kan vi skrive:

z n = z n , p r og z > 0 0 , p r og z = 0 - z n , p r og z< 0

Faktisk er denne optagelse bevis. Lad os give eksempler på rationelle tal baseret på den anden definition. Overvej tallene - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 og - 1 3 5. Alle disse tal er rationelle, fordi de kan skrives som en brøk med en heltalstæller og naturlig nævner: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Lad os give en anden ækvivalent form til definitionen af rationelle tal.

Definition 3. Rationale tal

Et rationelt tal er et tal, der kan skrives som et endeligt eller uendeligt periodisk decimal.

Denne definition følger direkte af den allerførste definition af dette afsnit.

Lad os opsummere og formulere et resumé af dette punkt:

Positive og negative brøker og heltal udgør mængden af rationelle tal.
Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en almindelig brøk, hvis tæller er et heltal, og nævneren er et naturligt tal.
Hvert rationelt tal kan også repræsenteres som en decimalbrøk: endelig eller uendeligt periodisk.

Hvilket tal er rationelt?

Som vi allerede har fundet ud af, er ethvert naturligt tal, heltal, egen og uægte almindelig brøk, periodisk og endelig decimalbrøk rationelle tal. Bevæbnet med denne viden kan du nemt afgøre, om et bestemt tal er rationelt.

Men i praksis skal man ofte ikke beskæftige sig med tal, men med numeriske udtryk, der indeholder rødder, potenser og logaritmer. I nogle tilfælde er svaret på spørgsmålet "er tallet rationelt?" er langt fra indlysende. Lad os se på metoder til at besvare dette spørgsmål.

Hvis et tal er givet som et udtryk, der kun indeholder rationelle tal og aritmetiske operationer mellem dem, så er resultatet af udtrykket et rationelt tal.

For eksempel er værdien af udtrykket 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) et rationelt tal og er lig med 18.

Dermed forenkles komplekset numerisk udtryk giver dig mulighed for at afgøre, om et givet tal er rationelt.

Lad os nu se på rodens tegn.

Det viser sig, at tallet m n givet som roden af potensen n af tallet m kun er rationelt, når m er n. potens af et naturligt tal.

Lad os se på et eksempel. Tallet 2 er ikke rationelt. Hvorimod 9, 81 er rationelle tal. 9 og 81 er perfekte kvadrater af henholdsvis tallene 3 og 9. Tallene 199, 28, 15 1 er ikke rationelle tal, da tallene under rodtegnet ikke er perfekte kvadrater af naturlige tal.

Lad os nu tage en mere kompleks sag. Er 243 5 et rationelt tal? Hvis du hæver 3 til femte potens, får du 243, så det oprindelige udtryk kan omskrives som følger: 243 5 = 3 5 5 = 3. Derfor er dette tal rationelt. Lad os nu tage tallet 121 5. Dette tal er irrationelt, da der ikke er noget naturligt tal, hvis hævning til femte potens giver 121.

For at finde ud af, om logaritmen af et tal a til grundtal b er et rationelt tal, skal du anvende modsigelsesmetoden. For eksempel finder vi ud af, om det er rationelt log nummer 2 5. Lad os antage, at dette tal er rationelt. Hvis dette er tilfældet, så kan det skrives i form af en almindelig brøk log 2 5 = m n. Ifølge logaritmens egenskaber og gradens egenskaber er følgende ligheder sande:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Det er klart, at den sidste lighed er umulig, da venstre og højre side indeholder henholdsvis ulige og lige tal. Derfor er antagelsen forkert, og log 2 5 er ikke et rationelt tal.

Det er værd at bemærke, at når du bestemmer tals rationalitet og irrationalitet, bør du ikke træffe pludselige beslutninger. For eksempel er resultatet af produktet af irrationelle tal ikke altid et irrationelt tal. Et godt eksempel: 2 · 2 = 2 .

Der er også irrationelle tal, hvis hævning til en irrationel potens giver et rationelt tal. I en potens af formen 2 log 2 3 er grundtallet og eksponenten irrationelle tal. Selve tallet er dog rationelt: 2 log 2 3 = 3.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I dette afsnit vil vi give flere definitioner af rationelle tal. På trods af forskellene i ordlyden har alle disse definitioner samme betydning: rationelle tal kombinerer heltal og brøktal, ligesom heltal kombinerer de naturlige tal, deres modsætninger og tallet nul. Med andre ord generaliserer rationelle tal hele og brøktal.

Lad os starte med definitioner af rationelle tal, hvilket opfattes mest naturligt.

Definition.

Rationelle tal er tal, der kan skrives som en positiv brøk, en negativ brøk eller tallet nul.

Af den angivne definition følger det, at et rationelt tal er:

Ethvert naturligt tal n. Faktisk kan du repræsentere ethvert naturligt tal som en almindelig brøk, f.eks. 3=3/1 .

· Ethvert heltal, især tallet nul. Faktisk kan ethvert heltal skrives som enten en positiv brøk, en negativ brøk eller nul. For eksempel, 26=26/1 , .

· Enhver almindelig brøk (positiv eller negativ). Dette bekræftes direkte af den givne definition af rationelle tal.

· Ethvert blandet nummer. Faktisk kan du altid repræsentere et blandet tal som en uægte brøk. For eksempel og.

· Enhver endelig decimalbrøk eller uendelig periodisk brøk. Dette skyldes, at de angivne decimalbrøker omregnes til almindelige brøker. For eksempel en 0,(3)=1/3 .

Det er også klart, at enhver uendelig ikke-periodisk decimalbrøk IKKE er et rationelt tal, da den ikke kan repræsenteres som en fællesbrøk.

Nu kan vi sagtens give eksempler på rationelle tal. Tal 4 ,903 , 100 321 Det er rationelle tal, fordi de er naturlige tal. Hele tal 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 er også eksempler på rationelle tal. Almindelige brøker 4/9 , 99/3 , er også eksempler på rationelle tal. Rationelle tal er også tal.

Fra ovenstående eksempler er det klart, at der er både positive og negative rationale tal, og det rationelle tal nul er hverken positivt eller negativt.

Ovenstående definition af rationelle tal kan formuleres i en mere kortfattet form.

Definition.

Rationelle tal navngiv tal, der kan skrives som brøker z/n, Hvor z er et heltal, og n- naturligt tal.

Lad os bevise, at denne definition af rationelle tal svarer til den tidligere definition. Vi ved, at vi kan betragte linjen i en brøk som et divisionstegn, så ud fra egenskaberne ved at dividere heltal og reglerne for at dividere heltal, følger gyldigheden af følgende ligheder. Det er altså beviset.

Lad os give eksempler på rationelle tal baseret på denne definition. Tal −5 , 0 , 3 , og er rationelle tal, da de kan skrives som brøker med en heltalstæller og en naturlig nævner af formen og hhv.

Definitionen af rationelle tal kan gives i følgende formulering.

Definition.

Rationelle tal er tal, der kan skrives som en endelig eller uendelig periodisk decimalbrøk.

Denne definition svarer også til den første definition, da hver almindelig brøk svarer til en endelig eller periodisk decimalbrøk og omvendt, og ethvert heltal kan associeres med en decimalbrøk med nuller efter decimalkommaet.

For eksempel tal 5 , 0 , −13 , er eksempler på rationelle tal, da de kan skrives som følgende decimalbrøker 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Og −7,(18) .

Lad os afslutte teorien om dette punkt med følgende udsagn:

· heltal og brøker (positive og negative) udgør mængden af rationelle tal;

· hvert rationelt tal kan repræsenteres som en brøk med en heltalstæller og en naturlig nævner, og hver sådan brøk repræsenterer et bestemt rationelt tal;

· hvert rationelt tal kan repræsenteres som en endelig eller uendelig periodisk decimalbrøk, og hver sådan brøk repræsenterer et bestemt rationelt tal.

Øverst på siden

Tilføjelsen af positive rationelle tal er kommutativ og associativ,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Før du formulerer definitionen af multiplikation af positive rationelle tal, skal du overveje følgende problem: det er kendt, at længden af et segment X udtrykkes som en brøk med en længdeenhed E, og længden af et enhedssegment måles med en enhed E 1 og er udtrykt som en brøkdel. Hvordan finder man det tal, der repræsenterer længden af segmentet X, hvis det måles med længdeenheden E 1?

Da X = E, så er nX = mE, og af det faktum, at E = E 1, følger det, at qE = pE 1. Lad os gange den første lighed opnået med q, og den anden med m. Så (nq)X = (mq)E og (mq)E= (mp)E 1, hvorfra (nq)X= (mp)E 1. Denne lighed viser, at længden af segmentet x med en enhedslængde er udtrykt som en brøk, hvilket betyder , =, dvs. at gange brøker involverer at flytte fra en længdeenhed til en anden, når man måler længden af det samme segment.

Definition: Hvis et positivt tal a er repræsenteret af en brøk, og et positivt rationelt tal b er en brøk, så er deres produkt tallet a b, som er repræsenteret af en brøk.

Multiplikation af positive rationelle tal kommutativ, associativ og distributiv med hensyn til addition og subtraktion. Beviset for disse egenskaber er baseret på definitionen af multiplikation og addition af positive rationelle tal, såvel som på de tilsvarende egenskaber ved addition og multiplikation af naturlige tal.

46. Som bekendt subtraktion- Dette er den modsatte handling af addition.

Hvis -en Og b - positive tal, at trække tallet b fra tallet a betyder at finde et tal c, der, når det lægges til tallet b, giver tallet a.
a - b = c eller c + b = a
Definitionen af subtraktion gælder for alle rationelle tal. Det vil sige, at subtraktion af positive og negative tal kan erstattes af addition.
For at trække et andet fra ét tal, skal du lægge det modsatte tal til det, der trækkes fra.
Eller på en anden måde kan vi sige, at subtrahering af tallet b er den samme addition, men med tallet modsatte tal b.
a - b = a + (- b)
Eksempel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Eksempel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Det er værd at huske nedenstående udtryk.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Regler for at trække negative tal fra
At trække et tal b fra er at lægge det sammen med det modsatte tal af b.
Denne regel gælder ikke kun, når du trækker et mindre tal fra et større tal, men giver dig også mulighed for at trække fra et mindre tal større antal, det vil sige, at du altid kan finde forskellen mellem to tal.
Forskellen kan være et positivt tal, et negativt tal eller et nultal.
Eksempler på at trække negative og positive tal.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Det er praktisk at huske tegnreglen, som giver dig mulighed for at reducere antallet af parenteser.
Plustegnet ændrer ikke tallets fortegn, så hvis der er et plus foran parentesen, ændres tegnet i parentesen ikke.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Minustegnet foran parentesen vender fortegnet på tallet i parentesen.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Ud fra lighederne er det tydeligt, at hvis der er identiske tegn før og inden for parenteserne, så får vi "+", og hvis tegnene er forskellige, så får vi "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Reglen om tegn er bevaret, selvom der ikke er ét tal i parentes, men algebraisk sum tal.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Vær opmærksom på, at hvis der er flere tal i parentes og der er et minustegn foran parentes, så skal tegnene foran alle numre i disse parenteser ændres.
For at huske tegnreglen kan du oprette en tabel til bestemmelse af fortegnene for et tal.
Tegnregel for tal+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Eller lær en simpel regel.
To negativer gør en bekræftende,
Plus gange minus er lig med minus.

Regler for at dividere negative tal.
For at finde modulet af en kvotient skal du dividere modulet af udbyttet med modulet af divisor.
Så for at dividere to tal med de samme tegn, skal du:

· udbyttemodulet divideres med divisormodulet;

· Sæt et "+"-tegn foran resultatet.

Eksempler på at dividere tal med forskellige tegn:

Du kan også bruge følgende tabel til at bestemme kvotienttegnet.
Reglen for tegn for division
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Når man beregner "lange" udtryk, hvor kun multiplikation og division optræder, er det meget praktisk at bruge fortegnsreglen. For eksempel at beregne en brøk
Vær opmærksom på, at tælleren har 2 minustegn, som ganget giver et plus. Der er også tre minustegn i nævneren, som ganget vil give et minustegn. Derfor vil resultatet i sidste ende vise sig med et minustegn.
Reduktion af en brøkdel ( yderligere tiltag med talmoduler) udføres på samme måde som før:
Kvotienten af nul divideret med et andet tal end nul er nul.
0: a = 0, a ≠ 0
Du KAN IKKE dividere med nul!
Alle tidligere kendte regler for division med én gælder også for mængden af rationelle tal.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, hvor a er et hvilket som helst rationelt tal.
Forholdet mellem resultaterne af multiplikation og division, kendt for positive tal, forbliver de samme for alle rationelle tal (undtagen nul):
hvis a × b = c; a = c: b; b = c: a;
hvis a: b = c; a = c × b; b = a: c
Disse afhængigheder bruges til at finde den ukendte faktor, dividende og divisor (når man løser ligninger), samt til at kontrollere resultaterne af multiplikation og division.
Et eksempel på at finde det ukendte.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2