Numerikus és algebrai kifejezések. Kifejezések konvertálása.

Mi a kifejezés a matematikában? Miért van szükségünk kifejezéskonverziókra?

A kérdés, ahogy mondani szokták, érdekes... Az tény, hogy ezek a fogalmak minden matematika alapját képezik. Minden matematika kifejezésekből és azok transzformációiból áll. Nem túl világos? Hadd magyarázzam.

Tegyük fel, hogy van egy gonosz példa előtted. Nagyon nagy és nagyon összetett. Tegyük fel, hogy jó vagy matekból és nem félsz semmitől! Tudsz azonnal választ adni?

muszáj lesz döntsd el ezt a példát. Következetesen, lépésről lépésre ezt a példát egyszerűsíteni. Természetesen bizonyos szabályok szerint. Azok. csináld kifejezés konvertálása. Minél sikeresebben hajtja végre ezeket az átalakításokat, annál erősebb a matematika. Ha nem tudja, hogyan kell elvégezni a megfelelő átalakításokat, akkor matematikából nem fogja tudni elvégezni őket. Semmi...

Egy ilyen kellemetlen jövő (vagy jelen...) elkerülése érdekében nem árt megérteni ezt a témát.)

Először is, derítsük ki mi a kifejezés a matematikában. Mi történt numerikus kifejezés és mi algebrai kifejezés.

Mi a kifejezés a matematikában?

Kifejezés a matematikában- ez egy nagyon tág fogalom. Szinte minden, amivel a matematikában foglalkozunk, matematikai kifejezések halmaza. Bármilyen példa, képlet, tört, egyenlet és így tovább – ezek mind a következőkből állnak matematikai kifejezések.

A 3+2 egy matematikai kifejezés. s 2 - d 2- ez is egy matematikai kifejezés. Mind az egészséges tört, mind az egy szám mind matematikai kifejezések. Például az egyenlet a következő:

5x + 2 = 12

két egyenlőségjellel összekapcsolt matematikai kifejezésből áll. Az egyik kifejezés a bal, a másik a jobb oldalon található.

BAN BEN Általános nézet kifejezés" matematikai kifejezés"a leggyakrabban a dúdolás elkerülésére használják. Megkérdezik, mi az a közönséges tört például? És hogyan válaszoljak?!

Az első válasz: "Ez... mmmmmm... ilyesmi... amiben... Írhatok egy töredéket jobban? Melyiket akarod?"

Második válasz: " Közönséges tört- ez (vidáman és vidáman!) matematikai kifejezés , amely egy számlálóból és egy nevezőből áll!"

A második lehetőség valamivel lenyűgözőbb lesz, igaz?)

Ez a célja a " kifejezésnek " matematikai kifejezés "nagyon jó. Korrekt és szilárd is. De azért praktikus alkalmazás jól jártasnak kell lenni meghatározott típusú kifejezések a matematikában .

A konkrét típus az más kérdés. Ez Ez teljesen más kérdés! Minden típusú matematikai kifejezés rendelkezik enyém szabályok és technikák összessége, amelyeket a döntés meghozatalakor alkalmazni kell. A törtekkel való munkához - egy készlet. A trigonometrikus kifejezésekkel való munkához - a második. A logaritmusokkal való munkához - a harmadik. Stb. Valahol ezek a szabályok egybeesnek, valahol élesen különböznek egymástól. De ne félj ezektől az ijesztő szavaktól. A megfelelő részekben elsajátítjuk a logaritmusokat, trigonometriákat és egyéb rejtélyes dolgokat.

Itt elsajátítjuk (vagy - megismételjük, attól függően, hogy ki...) a matematikai kifejezések két fő típusát. Numerikus kifejezések és algebrai kifejezések.

Numerikus kifejezések.

Mi történt numerikus kifejezés? Ez egy nagyon egyszerű fogalom. Már maga a név is arra utal, hogy ez egy számokat tartalmazó kifejezés. Ez így van. Számokból, zárójelekből és szimbólumokból álló matematikai kifejezés aritmetikai műveletek numerikus kifejezésnek nevezzük.

A 7-3 egy numerikus kifejezés.

(8+3.2) Az 5.4 is numerikus kifejezés.

És ez a szörnyeteg:

numerikus kifejezés is, igen...

Közönséges szám, tört, bármilyen számítási példa X-ek és más betűk nélkül - ezek mind numerikus kifejezések.

Fő jel számszerű kifejezések – benne nincsenek betűk. Egyik sem. Csak számok és matematikai szimbólumok (ha szükséges). Egyszerű, igaz?

És mit lehet kezdeni a numerikus kifejezésekkel? A numerikus kifejezések általában megszámolhatók. Ehhez előfordul, hogy ki kell nyitni a zárójeleket, jeleket váltani, rövidíteni, kifejezéseket felcserélni - pl. csináld kifejezéskonverziók. De erről lentebb bővebben.

Itt egy ilyen vicces esettel foglalkozunk, amikor numerikus kifejezéssel nem kell semmit tenned. Hát, egyáltalán semmi! Ez a kellemes művelet - nem csinálni semmit)- akkor hajtódik végre, amikor a kifejezés nincs értelme.

Mikor nincs értelme egy numerikus kifejezésnek?

Egyértelmű, hogy ha valami abrakadabrát látunk magunk előtt, pl

akkor nem csinálunk semmit. Mert nem világos, hogy mit tegyünk ellene. Valami hülyeség. Esetleg számold meg a pluszok számát...

De vannak kívülről egészen tisztességes kifejezések. Például ezt:

(2+3) : (16-28)

Azonban ez a kifejezés is nincs értelme! Azon egyszerű oknál fogva, hogy a második zárójelben - ha számolsz - nullát kapsz. De nullával nem lehet osztani! Ez egy tiltott művelet a matematikában. Ezért ezzel a kifejezéssel sem kell semmit kezdeni. Minden ilyen kifejezéssel rendelkező feladatra a válasz mindig ugyanaz: – A kifejezésnek nincs értelme!

Ahhoz, hogy ilyen választ adjak, természetesen ki kellett számolnom, mi lesz a zárójelben. És néha sok minden van zárójelben... Nos, ez ellen nem tudsz mit tenni.

A matematikában nincs annyi tiltott művelet. Ebben a témában csak egy van. Osztás nullával. A gyökökben és logaritmusokban felmerülő további korlátozásokat a megfelelő témakörök tárgyalják.

Szóval egy ötlet, hogy mi az numerikus kifejezés- megvan. Koncepció a numerikus kifejezésnek nincs értelme- jött rá. Menjünk tovább.

Algebrai kifejezések.

Ha egy numerikus kifejezésben betűk jelennek meg, ez a kifejezés... A kifejezésből... Igen! Válik algebrai kifejezés. Például:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Az ilyen kifejezéseket is nevezik szó szerinti kifejezések. Vagy változókkal rendelkező kifejezések. Gyakorlatilag ugyanaz. Kifejezés 5a +c, például mind a literális, mind az algebrai, valamint a változókat tartalmazó kifejezés.

Koncepció algebrai kifejezés - szélesebb, mint a numerikus. Azt magába foglaljaés minden numerikus kifejezés. Azok. a numerikus kifejezés is algebrai kifejezés, csak betűk nélkül. Minden hering hal, de nem minden hal hering...)

Miért ábécé- Ez egyértelmű. Nos, mivel vannak betűk... Kifejezés kifejezés változókkal Ez sem túl rejtélyes. Ha megérti, hogy a számok a betűk alatt vannak elrejtve. Mindenféle számok elrejthetők a betűk alatt... És 5, meg -18, és bármi más. Vagyis egy levél lehet cserélje ki tovább különböző számok. Ezért hívják a betűket változók.

Kifejezésben y+5, Például, nál nél- változó érték. Vagy csak azt mondják: változó", a "nagyságrendű" szó nélkül. Ellentétben az öttel, ami állandó érték. Vagy egyszerűen... állandó.

Term algebrai kifejezés azt jelenti, hogy a kifejezés használatához törvényeket és szabályokat kell használnia algebra. Ha számtan akkor meghatározott számokkal működik algebra- az összes számmal egyszerre. Egy egyszerű példa a tisztázásra.

Az aritmetikában azt írhatjuk

De ha egy ilyen egyenlőséget algebrai kifejezésekkel írunk fel:

a + b = b + a

mindjárt döntünk Minden kérdéseket. Mert minden szám stroke. Minden végtelenért. Mert a betűk alatt AÉs b hallgatólagos Minden számok. És nem csak a számok, hanem még más matematikai kifejezések is. Így működik az algebra.

Mikor nincs értelme egy algebrai kifejezésnek?

A numerikus kifejezéssel kapcsolatban minden világos. Ott nem lehet nullával osztani. És betűkkel ki lehet deríteni, hogy mi alapján osztunk?!

Vegyük például ezt a változókat tartalmazó kifejezést:

2: (A - 5)

Számít ez? Ki tudja? A- bármilyen szám...

Bármelyik, bármilyen... De van egy jelentése A, amelyre ez a kifejezés pontosan nincs értelme! És mi ez a szám? Igen! Ez az 5! Ha a változó A cserélje ki (azt mondják, hogy „helyettesítő”) az 5-ös számmal, zárójelben nullát kap. Ami nem osztható. Tehát kiderül, hogy a kifejezésünk nincs értelme, Ha a = 5. De más értékekért A számít ez? Be tudtok cserélni más számokat?

Biztosan. Ilyen esetekben egyszerűen azt mondják, hogy a kifejezés

2: (A - 5)

értelme van bármilyen értéknek A, kivéve a = 5 .

Az egész számkészlet, amit Tud adott kifejezésbe való behelyettesítést nevezzük vidék elfogadható értékeket ezt a kifejezést.

Amint látja, nincs semmi trükkös. Nézzük meg a változós kifejezést, és derítsük ki: a változó milyen értékénél kapjuk a tiltott műveletet (nullával osztás)?

És akkor mindenképpen nézd meg a feladat kérdését. Mit kérdeznek?

nincs értelme, tiltott jelentésünk lesz a válasz.

Ha azt kérdezed, hogy egy változó milyen értékénél a kifejezés jelentése van(érezze a különbséget!), a válasz az lesz az összes többi szám kivéve a tiltottakat.

Miért van szükségünk a kifejezés jelentésére? Ott van, nincs... Mi a különbség?! A lényeg az, hogy ez a fogalom nagyon fontossá válik a középiskolában. Nagyon fontos! Ez az alapja az olyan szilárd fogalmaknak, mint az elfogadható értékek tartománya vagy egy függvény tartománya. E nélkül egyáltalán nem lesz képes komoly egyenleteket vagy egyenlőtlenségeket megoldani. Mint ez.

Kifejezések konvertálása. Identitás transzformációk.

Megismerkedtünk a numerikus és algebrai kifejezésekkel. Megértettük, mit jelent a „kifejezésnek nincs jelentése” kifejezés. Most ki kell derítenünk, hogy mi az kifejezés konvertálása. A válasz a szégyenig egyszerű.) Ez bármilyen kifejezéssel rendelkező művelet. Ez minden. Ezeket az átalakításokat már első osztály óta csinálod.

Vegyük a 3+5 klassz numerikus kifejezést. Hogyan lehet átalakítani? Igen, nagyon egyszerű! Kiszámítja:

Ez a számítás a kifejezés transzformációja lesz. Ugyanazt a kifejezést másképp is írhatja:

Itt egyáltalán nem számoltunk semmit. Csak leírtam a kifejezést más formában. Ez is a kifejezés átalakítása lesz. Így írhatod:

És ez is egy kifejezés átalakulása. Annyi ilyen átalakítást végezhet, amennyit csak akar.

Bármi cselekvés a kifejezésre Bármi más formában való írását a kifejezés transzformációjának nevezzük. És ennyi. Minden nagyon egyszerű. De van itt egy dolog nagyon fontos szabály. Annyira fontos, hogy nyugodtan hívható fő szabály minden matematika. Ennek a szabálynak a megszegése elkerülhetetlenül hibákhoz vezet. belevágunk?)

Tegyük fel, hogy véletlenül átalakítottuk a kifejezésünket, így:

Átalakítás? Biztosan. Más formában írtuk a kifejezést, mi a baj?

Nem úgy van.) A lényeg az, hogy az átalakulások "találomra" egyáltalán nem érdekli őket a matematika.) Minden matematika olyan transzformációkra épül, amelyekben kinézet, de a kifejezés lényege nem változik. Három plusz öt bármilyen formában írható, de nyolcnak kell lennie.

Átváltozások, olyan kifejezések, amelyek nem változtatnak a lényegen hívják azonos.

Pontosan identitás-transzformációkés engedje meg, hogy lépésről lépésre átalakuljunk összetett példa egyszerű kifejezésbe, tartásba a példa lényege. Ha az átalakítások láncolatában hibát követünk el, NEM azonos transzformációt végzünk, akkor döntünk egy másik példa. Más válaszokkal, amelyek nem kapcsolódnak a helyes válaszokhoz.)

Bármilyen feladat megoldásánál ez a fő szabály: a transzformációk azonosságának megőrzése.

Adtam egy példát a 3+5 numerikus kifejezéssel az érthetőség kedvéért. Az algebrai kifejezésekben az azonosságtranszformációkat képletek és szabályok adják meg. Tegyük fel, hogy az algebrában van egy képlet:

a(b+c) = ab + ac

Ez azt jelenti, hogy bármely példában a kifejezés helyett tehetjük a(b+c)írj nyugodtan kifejezést ab + ac. És fordítva. Ez azonos átalakulás. A matematika választási lehetőséget ad e két kifejezés között. És melyiket írja - honnan konkrét példa attól függ.

Egy másik példa. Az egyik legfontosabb és legszükségesebb transzformáció a tört alapvető tulajdonsága. További részletekért a linken olvashatsz, de itt csak a szabályra emlékeztetlek: Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk (osztjuk) ugyanazzal a számmal, vagy olyan kifejezéssel, amely nem egyenlő nullával, a tört nem változik.Íme egy példa a tulajdonságot használó identitásátalakításokra:

Ahogy valószínűleg sejtitek, ez a lánc a végtelenségig folytatható...) Nagyon fontos tulajdon. Ez az, ami lehetővé teszi, hogy mindenféle példaszörnyet fehérré és bolyhossá változzon.)

Számos képlet definiálja az azonos transzformációkat. De a legfontosabbak meglehetősen ésszerű számok. Az egyik alapvető átalakítás a faktorizáció. Minden matematikában használatos – az elemitől a haladóig. Kezdjük vele. A következő leckében.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A kifejezés a legtágabb matematikai fogalom. Lényegében ebben a tudományban minden belőlük áll, és minden műveletet ezeken is végrehajtanak. Más kérdés, hogy az adott típustól függően teljesen más módszereket, technikákat alkalmaznak. Tehát a trigonometriával, törtekkel vagy logaritmusokkal való munka három különböző művelet. Az értelmetlen kifejezés kétféle lehet: numerikus vagy algebrai. De hogy ez a fogalom mit jelent, hogyan néz ki a példája, és más szempontokat, arról a továbbiakban még szó lesz.

Numerikus kifejezések

Ha egy kifejezés számokból, zárójelekből, plusz-mínuszokból és egyéb aritmetikai műveletek szimbólumokból áll, akkor nyugodtan nevezhetjük numerikusnak. Ami egészen logikus: csak egy pillantást kell vetni az elsőként elnevezett összetevőjére.

A numerikus kifejezés bármi lehet: a lényeg, hogy ne tartalmazzon betűket. És a "bármi" alatt ebben az esetben minden érthető: egy önmagában álló egyszerű számtól a számok hatalmas listájáig és a végeredmény utólagos kiszámítását igénylő aritmetikai műveletek jeleiig. A tört akkor is numerikus kifejezés, ha nincs benne a, b, c, d stb., mert akkor teljesen más típusról van szó, amiről kicsit később lesz szó.

Az értelmetlen kifejezés feltételei

Ha egy feladat a „számítás” szóval kezdődik, akkor transzformációról beszélhetünk. Az a helyzet, hogy ez a cselekvés nem mindig tanácsos: nem mintha nagy szükség lenne rá, ha egy értelmetlen kifejezés kerül előtérbe. A példák végtelenül elképesztőek: néha ahhoz, hogy megértsük, hogy utolért minket, hosszan és unalmasan kell nyitogatni a zárójeleket, és számolni-számolni-számolni...

A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy nincs jelentésük azoknak a kifejezéseknek, amelyek végeredménye a matematikában tiltott cselekvésre vezethető vissza. Hogy őszinte legyek, akkor maga az átalakítás értelmetlenné válik, de ahhoz, hogy ezt megtudd, előbb végre kell hajtanod. Micsoda paradoxon!

A leghíresebb, de nem kevésbé fontos tiltott matematikai művelet a nullával való osztás.

Ezért például itt van egy kifejezés, amelynek nincs értelme:

(17+11):(5+4-10+1).

Ha egyszerű számításokkal a második zárójelet egy számjegyre csökkentjük, akkor az nulla lesz.

Ugyanezen elv alapján „tiszteletbeli címet” kap ez a kifejezés:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebrai kifejezések

Ez ugyanaz a numerikus kifejezés, ha tiltott betűket adunk hozzá. Ekkor válik teljes értékű algebraivá. Szintén minden méretben és formában jöhet. Az algebrai kifejezés egy tágabb fogalom, amely magában foglalja az előzőt is. De volt értelme nem ezzel, hanem egy számmal kezdeni a beszélgetést, hogy világosabb és könnyebben érthető legyen. Végül is, hogy egy algebrai kifejezésnek van-e értelme, az nem túl bonyolult kérdés, de több pontosítással rendelkezik.

Miert van az?

A szó szerinti kifejezés vagy a változókat tartalmazó kifejezés szinonimák. Az első kifejezést könnyű megmagyarázni: végül is betűket tartalmaz! A második szintén nem az évszázad rejtélye: a betűk helyett különböző számokat lehet helyettesíteni, aminek következtében a kifejezés jelentése megváltozik. Nem nehéz kitalálni, hogy ebben az esetben a betűk a változók. Hasonlóan, a számok állandók.

És itt visszatérünk a fő témához: értelmetlen?

Példák algebrai kifejezésekre, amelyeknek nincs értelme

Az értelmetlenség feltétele algebrai kifejezés- hasonlóan, mint a numerikushoz, egyetlen kivétellel, vagy pontosabban összeadás. A konvertálásnál és a végeredmény kiszámításánál változókat kell figyelembe venni, így nem az a kérdés, hogy „melyik kifejezésnek nincs értelme?”, hanem „a változó milyen értékénél nem lesz értelme ennek a kifejezésnek?” és "van a változónak olyan értéke, amelynél a kifejezésnek már nincs értelme?"

Például (18-3):(a+11-9).

A fenti kifejezésnek nincs értelme, ha a egyenlő -2.

De az (a+3):(12-4-8)-ról nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy olyan kifejezés, aminek nincs értelme egyetlen a-nak sem.

Ugyanígy bármilyen b-t is behelyettesít a (b - 11): (12+1) kifejezésbe, annak továbbra is lesz értelme.

Tipikus problémák a "Kifejezés, aminek nincs értelme" témában

A 7. osztály többek között matematikából tanulja ezt a témát, és gyakran közvetlenül a megfelelő óra után, illetve „trükkös” kérdésként a modulokon, vizsgákon találunk rá feladatokat.

Íme, miért érdemes megfontolni tipikus feladatokés megoldási módszereket.

1. példa

Van értelme a kifejezésnek:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Az összes számítást zárójelben kell elvégezni, és a kifejezést a következő alakba kell vinni:

A végeredmény tartalmazza, ezért a kifejezés értelmetlen.

2. példa

Mely kifejezéseknek nincs értelme?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Minden kifejezéshez ki kell számítania a végső értéket.

Válasz: 1; 2.

3. példa

Keresse meg a következő kifejezések elfogadható értéktartományát:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

A megengedett értékek tartománya (VA) mindazok a számok, amelyeket ha változók helyett helyettesítünk, a kifejezésnek értelme lesz.

Vagyis a feladat így hangzik: keressen olyan értékeket, amelyeknél nem lesz nullával való osztás.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), vagy b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), vagy b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. példa

Milyen értékek mellett nem lesz értelme az alábbi kifejezésnek?

A második zárójel nulla, ha a játék értéke -3.

Válasz: y=-3

4. példa

Melyik kifejezésnek nincs értelme csak x = -14 esetén?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 és 3, mivel az első esetben, ha behelyettesíti az x = -14-et, akkor a második zárójel -28 lesz, és nem nulla, ahogy ez egy értelmetlen kifejezés definíciójában hangzik.

5. példa

Jöjjön ki és írjon le egy kifejezést, aminek nincs értelme.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebrai kifejezések két változóval

Annak ellenére, hogy minden értelmetlen kifejezésnek ugyanaz a lényege, összetettségüknek különböző szintjei vannak. Tehát azt mondhatjuk, hogy a numerikusak egyszerű példák, mert könnyebbek, mint az algebraiak. Ez utóbbiban a változók száma nehezíti a megoldást. De nem szabad egyformán kinézniük: a lényeg az, hogy emlékezzünk a megoldás általános elvére, és alkalmazzuk azt, függetlenül attól, hogy a példa hasonló-e egy szabványos problémához, vagy van-e ismeretlen kiegészítése.

Felmerülhet például a kérdés, hogyan lehet megoldani egy ilyen feladatot.

Keressen és írjon le egy olyan számpárt, amely érvénytelen a kifejezéshez:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 év)/(12x 2 - y).

Lehetséges válaszok:

De valójában csak ijesztőnek és nehézkesnek tűnik, mert valójában azt tartalmazza, ami már régóta ismert: négyzetre és kockára emelt számok, néhány aritmetikai művelet, mint az osztás, szorzás, kivonás és összeadás. A kényelem érdekében egyébként a problémát tört formára is csökkentheti.

A kapott tört számlálója nem boldog: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ez egy tény. De van egy másik oka is a boldogságnak: hozzá sem kell nyúlni a feladat megoldásához! A korábban tárgyalt definíció szerint nullával nem lehet osztani, és teljesen lényegtelen, hogy pontosan mi lesz osztva vele. Ezért ezt a kifejezést változatlanul hagyjuk, és ezekből az opciókból számpárokat helyettesítünk a nevezőbe. Már a harmadik pont is tökéletesen illeszkedik, egy kis zárójelet nullává változtat. De az otthagyás rossz ajánlás, mert valami más is megfelelő lehet. Valóban: az ötödik pont is jól illeszkedik és megfelel a körülményeknek.

Felírjuk a választ: 3 és 5.

Végül

Amint látja, ez a téma nagyon érdekes és nem különösebben bonyolult. Nem lesz nehéz kitalálni. De soha nem árt begyakorolni pár példát!

A kifejezés a legtágabb matematikai fogalom. Lényegében ebben a tudományban minden belőlük áll, és minden műveletet ezeken is végrehajtanak. Más kérdés, hogy az adott típustól függően teljesen más módszereket, technikákat alkalmaznak. Tehát a trigonometriával, törtekkel vagy logaritmusokkal való munka három különböző művelet. Az értelmetlen kifejezés kétféle lehet: numerikus vagy algebrai. De hogy ez a fogalom mit jelent, hogyan néz ki a példája, és más szempontokat, arról a továbbiakban még szó lesz.

Numerikus kifejezések

Ha egy kifejezés számokból, zárójelekből, plusz-mínuszokból és egyéb aritmetikai műveletek szimbólumokból áll, akkor nyugodtan nevezhetjük numerikusnak. Ami egészen logikus: csak egy pillantást kell vetni az elsőként elnevezett összetevőjére.

A numerikus kifejezés bármi lehet: a lényeg, hogy ne tartalmazzon betűket. A „bármi” alatt pedig ebben az esetben mindent értünk: egy önmagában álló egyszerű számtól a számok hatalmas listájáig és a végeredmény utólagos kiszámítását igénylő aritmetikai műveletek jeleiig. A tört akkor is numerikus kifejezés, ha nincs benne a, b, c, d stb., mert akkor teljesen más típusról van szó, amiről kicsit később lesz szó.

Az értelmetlen kifejezés feltételei

Ha egy feladat a „számítás” szóval kezdődik, akkor transzformációról beszélhetünk. Az a helyzet, hogy ez a cselekvés nem mindig tanácsos: nem mintha nagy szükség lenne rá, ha egy értelmetlen kifejezés kerül előtérbe. A példák végtelenül elképesztőek: néha ahhoz, hogy megértsük, hogy utolért minket, hosszan és unalmasan kell nyitogatni a zárójeleket, és számolni-számolni-számolni...

A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy nincs jelentésük azoknak a kifejezéseknek, amelyek végeredménye a matematikában tiltott cselekvésre vezethető vissza. Hogy őszinte legyek, akkor maga az átalakítás értelmetlenné válik, de ahhoz, hogy ezt megtudd, előbb végre kell hajtanod. Micsoda paradoxon!

A leghíresebb, de nem kevésbé fontos tiltott matematikai művelet a nullával való osztás.

Ezért például itt van egy kifejezés, amelynek nincs értelme:

(17+11):(5+4-10+1).

Ha egyszerű számításokkal a második zárójelet egy számjegyre csökkentjük, akkor az nulla lesz.

Ugyanezen elv alapján „tiszteletbeli címet” kap ez a kifejezés:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebrai kifejezések

Ez ugyanaz a numerikus kifejezés, ha tiltott betűket adunk hozzá. Ekkor válik teljes értékű algebraivá. Szintén minden méretben és formában jöhet. Az algebrai kifejezés egy tágabb fogalom, amely magában foglalja az előzőt is. De volt értelme nem ezzel, hanem egy számmal kezdeni a beszélgetést, hogy világosabb és könnyebben érthető legyen. Végül is, hogy egy algebrai kifejezésnek van-e értelme, az nem túl bonyolult kérdés, de több pontosítással rendelkezik.

Miert van az?

A szó szerinti kifejezés vagy a változókat tartalmazó kifejezés szinonimák. Az első kifejezést könnyű megmagyarázni: végül is betűket tartalmaz! A második szintén nem az évszázad rejtélye: a betűk helyett különböző számokat lehet helyettesíteni, aminek következtében a kifejezés jelentése megváltozik. Nem nehéz kitalálni, hogy ebben az esetben a betűk a változók. Hasonlóan, a számok állandók.

És itt visszatérünk a fő témához: mi az a kifejezés, amelynek nincs jelentése?

Példák algebrai kifejezésekre, amelyeknek nincs értelme

Az algebrai kifejezés értelmetlenségének feltétele ugyanaz, mint a numerikusé, egyetlen kivétellel, pontosabban egy összeadással. A konvertálásnál és a végeredmény kiszámításánál változókat kell figyelembe venni, így nem az a kérdés, hogy „melyik kifejezésnek nincs értelme?”, hanem „a változó milyen értékénél nem lesz értelme ennek a kifejezésnek?” és "van a változónak olyan értéke, amelynél a kifejezésnek már nincs értelme?"

Például (18-3):(a+11-9).

A fenti kifejezésnek nincs értelme, ha a egyenlő -2.

De az (a+3):(12-4-8)-ról nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy olyan kifejezés, aminek nincs értelme egyetlen a-nak sem.

Ugyanígy bármilyen b-t is behelyettesít a (b - 11): (12+1) kifejezésbe, annak továbbra is lesz értelme.

Tipikus problémák a "Kifejezés, aminek nincs értelme" témában

A 7. osztály többek között matematikából tanulja ezt a témát, és gyakran közvetlenül a megfelelő óra után, illetve „trükkös” kérdésként a modulokon, vizsgákon találunk rá feladatokat.

Éppen ezért érdemes átgondolni a tipikus problémákat és azok megoldási módjait.

1. példa

Van értelme a kifejezésnek:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Az összes számítást zárójelben kell elvégezni, és a kifejezést a következő alakba kell vinni:

A végeredmény nullával való osztást tartalmaz, így a kifejezés értelmetlen.

2. példa

Mely kifejezéseknek nincs értelme?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Minden kifejezéshez ki kell számítania a végső értéket.

Válasz: 1; 2.

3. példa

Keresse meg a következő kifejezések elfogadható értéktartományát:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

A megengedett értékek tartománya (VA) mindazok a számok, amelyeket ha változók helyett helyettesítünk, a kifejezésnek értelme lesz.

Vagyis a feladat így hangzik: keressen olyan értékeket, amelyeknél nem lesz nullával való osztás.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), vagy b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), vagy b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. példa

Milyen értékek mellett nem lesz értelme az alábbi kifejezésnek?

A második zárójel nulla, ha a játék értéke -3.

Válasz: y=-3

4. példa

Melyik kifejezésnek nincs értelme csak x = -14 esetén?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 és 3, mivel az első esetben, ha behelyettesíti az x = -14-et, akkor a második zárójel -28 lesz, és nem nulla, ahogy ez egy értelmetlen kifejezés definíciójában hangzik.

5. példa

Jöjjön ki és írjon le egy kifejezést, aminek nincs értelme.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebrai kifejezések két változóval

Annak ellenére, hogy minden értelmetlen kifejezésnek ugyanaz a lényege, összetettségüknek különböző szintjei vannak. Tehát azt mondhatjuk, hogy a numerikusak egyszerű példák, mert könnyebbek, mint az algebraiak. Ez utóbbiban a változók száma nehezíti a megoldást. De ne legyenek zavaróak a megjelenésükben: a lényeg az, hogy emlékezzünk a megoldás általános elvére és alkalmazzuk azt, függetlenül attól, hogy a példa hasonló-e egy szabványos problémához, vagy van-e ismeretlen kiegészítése.

Felmerülhet például a kérdés, hogyan lehet megoldani egy ilyen feladatot.

Keressen és írjon le egy olyan számpárt, amely érvénytelen a kifejezéshez:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Lehetséges válaszok:

De valójában csak ijesztőnek és nehézkesnek tűnik, mert valójában azt tartalmazza, ami már régóta ismert: négyzetre és kockára emelt számok, néhány aritmetikai művelet, mint az osztás, szorzás, kivonás és összeadás. A kényelem érdekében egyébként a problémát tört formára is csökkentheti.

A kapott tört számlálója nem boldog: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ez egy tény. De van egy másik oka is a boldogságnak: hozzá sem kell nyúlni a feladat megoldásához! A korábban tárgyalt definíció szerint nullával nem lehet osztani, és teljesen lényegtelen, hogy pontosan mi lesz osztva vele. Ezért ezt a kifejezést változatlanul hagyjuk, és ezekből az opciókból számpárokat helyettesítünk a nevezőbe. Már a harmadik pont is tökéletesen illeszkedik, egy kis zárójelet nullává változtat. De az otthagyás rossz ajánlás, mert valami más is megfelelő lehet. Valóban: az ötödik pont is jól illeszkedik és megfelel a körülményeknek.

Felírjuk a választ: 3 és 5.

Végül

Amint látja, ez a téma nagyon érdekes és nem különösebben bonyolult. Nem lesz nehéz kitalálni. De soha nem árt begyakorolni pár példát!

A numerikus, betűkifejezések és változós kifejezések témakörének tanulmányozásakor figyelni kell a fogalomra kifejezés értéke. Ebben a cikkben arra a kérdésre fogunk válaszolni, hogy mi a numerikus kifejezés értéke, és mit nevezünk egy literális kifejezés értékének, illetve egy változókat tartalmazó kifejezésnek a kiválasztott változóértékekhez. A definíciók tisztázására példákat adunk.

Oldalnavigáció.

Mi az értéke egy numerikus kifejezésnek?

A numerikus kifejezésekkel való ismerkedés szinte az iskola első matematika óráitól kezdődik. Szinte azonnal megjelenik a „numerikus kifejezés értéke” fogalma. Olyan kifejezésekre vonatkozik, amelyek számtani műveletekkel összekötött számokból állnak (+, −, ·, :). Adjuk meg a megfelelő definíciót.

Meghatározás.

Numerikus kifejezés értéke– ez az a szám, amelyet az eredeti numerikus kifejezésben szereplő összes művelet végrehajtása után kapunk.

Vegyük például az 1+2 numerikus kifejezést. Ezt követően a 3-as számot kapjuk, amely az 1+2 numerikus kifejezés értéke.

A „numerikus kifejezés jelentése” kifejezésből gyakran kihagyják a „numerikus” szót, és egyszerűen csak „a kifejezés jelentését” mondják, mivel még mindig világos, hogy miről van szó a kifejezés jelentéséről.

A kifejezés jelentésének fenti meghatározása vonatkozik az összetettebb típusú numerikus kifejezésekre is, amelyeket középiskolában tanulnak. Itt meg kell jegyezni, hogy olyan numerikus kifejezésekkel találkozhat, amelyek értéke nem adható meg. Ennek az az oka, hogy egyes kifejezésekben nem lehet végrehajtani a rögzített műveleteket. Például ezért nem tudjuk megadni a 3:(2−2) kifejezés értékét. Az ilyen numerikus kifejezéseket ún értelmetlen kifejezéseket.

A gyakorlatban gyakran nem annyira a numerikus kifejezés az érdekes, mint inkább a jelentése. Vagyis felmerül a feladat egy adott kifejezés jelentésének meghatározása. Ilyenkor általában azt mondják, hogy meg kell találni a kifejezés értékét. Ez a cikk részletesen megvizsgálja a különféle típusú numerikus kifejezések értékének megtalálásának folyamatát, és számos példát vesz figyelembe a megoldások részletes leírásával.

Szó szerinti és változó kifejezések jelentése

A numerikus kifejezések mellett a szó szerinti kifejezéseket is tanulmányozzuk, vagyis azokat a kifejezéseket, amelyekben egy vagy több betű is jelen van a számokkal együtt. A szó szerinti kifejezésben lévő betűk különböző számokat jelenthetnek, és ha a betűket ezekkel a számokkal helyettesítjük, a szó szerinti kifejezés numerikus kifejezéssé válik.

Meghatározás.

A betűket helyettesítő számokat egy literális kifejezésben hívjuk ezeknek a betűknek a jelentése, és a kapott numerikus kifejezés értékét hívjuk egy literális kifejezés értéke adott betűértékekhez.

Tehát a szó szerinti kifejezéseknél nem csak a szó szerinti kifejezés jelentéséről beszélünk, hanem a szó szerinti kifejezés jelentéséről, a betűk adott (adott, jelzett stb.) értékei alapján.

Mondjunk egy példát. Vegyük a 2·a+b szó szerinti kifejezést. Legyen megadva az a és b betűk értéke, például a=1 és b=6. Az eredeti kifejezésben szereplő betűket értékükre cserélve 2·1+6 alakú numerikus kifejezést kapunk, értéke 8. Így a 8-as szám a 2·a+b szó szerinti kifejezés értéke az a=1 és b=6 betűk adott értékére. Ha más betűértékeket adnánk meg, akkor ezekre a betűértékekre kapnánk a betűkifejezés értékét. Például a=5 és b=1 esetén 2·5+1=11 értéket kapunk.

A középiskolai algebrában a betűkifejezésekben lévő betűk különböző jelentéseket vehetnek fel, az ilyen betűket változóknak, a betűkifejezéseket pedig változókkal rendelkező kifejezéseknek nevezzük. Ezekhez a kifejezésekhez a változókkal ellátott kifejezés értékének fogalmát vezetjük be a változók kiválasztott értékeihez. Találjuk ki, mi az.

Meghatározás.

A kiválasztott változóértékekhez tartozó változókat tartalmazó kifejezés értéke egy numerikus kifejezés értéke, amelyet a kiválasztott változó értékeinek az eredeti kifejezésbe való behelyettesítése után kapunk.

Magyarázzuk meg a megfogalmazott definíciót egy példával. Tekintsünk egy 3·x·y+y alakú x és y változójú kifejezést. Vegyünk x=2 és y=4 értékeket, cseréljük be ezeket a változó értékeket az eredeti kifejezésbe, és kapjuk a 3·2·4+4 numerikus kifejezést. Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét: 3·2·4+4=24+4=28. A talált érték 28 az eredeti kifejezés értéke a 3·x·y+y változókkal az x=2 és y=4 változók kiválasztott értékére.

Ha más változóértékeket választ ki, például x=5 és y=0, akkor ezek a kiválasztott változóértékek megfelelnek a 3·5·0+0=0 változókifejezés értékének.

Megjegyzendő, hogy néha a változók eltérő kiválasztott értékei azonos kifejezési értékeket eredményezhetnek. Például x=9 és y=1 esetén a 3 x y+y kifejezés értéke 28 (mivel 3 9 1+1=27+1=28), fentebb pedig megmutattuk, hogy ugyanaz az érték a A változók értéke x=2 és y=4 .

A változó értékek a hozzájuk tartozók közül választhatók ki elfogadható értékek tartományai. Ellenkező esetben, ha ezeknek a változóknak az értékeit behelyettesíti az eredeti kifejezésbe, olyan numerikus kifejezést kap, amelynek nincs értelme. Például, ha az x=0 értéket választja, és ezt az értéket behelyettesíti az 1/x kifejezésbe, akkor az 1/0 numerikus kifejezést kapja, aminek nincs értelme, mivel a nullával való osztás nincs meghatározva.

Csak hozzá kell tenni, hogy vannak olyan változókkal rendelkező kifejezések, amelyek értéke nem függ a bennük szereplő változók értékétől. Például egy 2+x−x alakú x változót tartalmazó kifejezés értéke nem függ ennek a változónak az értékétől, hanem 2-vel egyenlő az x változó bármely kiválasztott értékére a megengedett értékek tartományából. , amely ebben az esetben az összes valós szám halmaza.

Bibliográfia.

• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: tankönyv 7. osztály számára Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Képlet

Összeadás, kivonás, szorzás, osztás - számtani műveletek (ill aritmetikai műveletek). Ezek az aritmetikai műveletek az aritmetikai műveletek előjeleinek felelnek meg:

+ (olvas " plusz") - az összeadási művelet jele,

- (olvas " mínusz") a kivonási művelet jele,

∙ (olvas " szaporodnak") a szorzási művelet jele,

: (olvas " feloszt") az osztási művelet jele.

A számtani előjelekkel összekapcsolt számokból álló rekordot nevezzük numerikus kifejezés. Egy numerikus kifejezés zárójeleket is tartalmazhat, például az 1290 bejegyzést : 2 - (3 + 20 ∙ 15) egy numerikus kifejezés.

A numerikus kifejezésben szereplő számokkal végzett műveletek eredményét hívjuk egy numerikus kifejezés értéke. Ezen műveletek végrehajtását egy numerikus kifejezés értékének kiszámításának nevezzük. Mielőtt leírná egy numerikus kifejezés értékét, tegye egyenlőségjel"=". Az 1. táblázat példákat mutat be a numerikus kifejezésekre és azok jelentésére.

A latin ábécé számokból és kisbetűiből álló rekordot, amelyeket számtani műveletek jelei kapcsolnak össze, az ún. szó szerinti kifejezés. Ez a bejegyzés zárójeleket tartalmazhat. Például rögzíteni a+b - 3 ∙c szó szerinti kifejezés. Betűk helyett különböző számokat helyettesíthet egy betűkifejezéssel. Ebben az esetben a betűk jelentése megváltozhat, ezért a betűkifejezésben szereplő betűket is hívják változók.

A betűk helyett számokkal helyettesítve a szó szerinti kifejezést, és kiszámítva a kapott numerikus kifejezés értékét, megtalálják adott betűértékek szó szerinti kifejezésének jelentése(a változók adott értékére). A 2. táblázat példákat mutat be betűkifejezésekre.

Előfordulhat, hogy a szó szerinti kifejezésnek nincs értelme, ha a betűk értékeinek helyettesítése olyan numerikus kifejezést eredményez, amelynek értéke nem található természetes számoknál. Ezt a numerikus kifejezést ún helytelen természetes számokhoz. Azt is mondják, hogy egy ilyen kifejezés jelentése " határozatlan" természetes számokhoz és maga a kifejezés "nincs értelme". Például a szó szerinti kifejezés a-b nem számít, ha a = 10 és b = 17. Valójában természetes számok esetében a minuend nem lehet kisebb, mint a részrész. Például, ha csak 10 almád van (a = 10), abból 17-et nem adhatsz el (b = 17)!

A 2. táblázat (2. oszlop) példát mutat egy szó szerinti kifejezésre. Hasonlóképpen töltse ki teljesen a táblázatot.

Természetes számok esetén a kifejezés 10 -17 helytelen (nincs értelme), azaz a 10 -17 különbség nem fejezhető ki természetes számként. Egy másik példa: nem lehet nullával osztani, tehát bármely b természetes szám esetén a hányados b: 0 határozatlan.

A matematikai törvényeket, tulajdonságokat, egyes szabályokat és összefüggéseket gyakran szó szerinti formában írják le (azaz szó szerinti kifejezés formájában). Ezekben az esetekben a szó szerinti kifejezést ún képlet. Például ha egy hétszög oldalai egyenlőek a,b,c,d,e,f,g, majd a képletet (szó szerinti kifejezés) a kerületének kiszámításához p a következő formában van:

p =a+b+c +d+e+f+g

Ha a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, a hétszög kerülete p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Ha a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, a másik hétszög kerülete p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

1. blokk. Szókincs

Készítsen szótárt az új kifejezésekről és meghatározásokról a bekezdésből. Ehhez írjon szavakat az alábbi kifejezések listájából az üres cellákba. A táblázatban (a blokk végén) tüntesse fel a kifejezések számát a keretek számával összhangban. Javasoljuk, hogy a szótár celláinak kitöltése előtt alaposan tekintse át a bekezdést.

1. Műveletek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

2. „+” (plusz), „-” (mínusz), „∙” jelek (szorzás, „ : " (feloszt).

3. Olyan számokból álló rekord, amelyeket aritmetikai műveletek előjelei kapcsolnak össze, és amely zárójeleket is tartalmazhat.

4. Számokkal végzett műveletek eredménye numerikus kifejezésben.

5. Egy numerikus kifejezés értékét megelőző előjel.

6. A latin ábécé számokból és kisbetűiből álló rekord, amelyeket számtani műveletek jelei kapcsolnak össze (zárójelek is lehetnek).

7. Betűk általános neve alfabetikus kifejezésben.

8. Egy numerikus kifejezés értéke, amelyet a változók literális kifejezésbe való behelyettesítésével kapunk.

9. Olyan numerikus kifejezés, amelynek értéke a természetes számokra nem található.

10. Numerikus kifejezés, amelynek értéke természetes számokra megtalálható.

11. Matematikai törvények, tulajdonságok, néhány szabály és összefüggés, betű alakban írva.

12. Egy ábécé, amelynek kisbetűi ábécé szerinti kifejezések írására szolgálnak.

2. blokk. Match

Párosítsa a bal oldali oszlopban található feladatot a jobb oldali megoldással! Válaszát írja be az alábbi űrlapba: 1a, 2d, 3b...

3. blokk. Facet teszt. Numerikus és alfabetikus kifejezések

A szemponttesztek a matematikai feladatgyűjteményeket helyettesítik, de előnyösen különböznek attól, hogy számítógépen megoldhatók, a megoldások ellenőrizhetők, és a munka eredménye azonnal megtudható. Ez a teszt 70 feladatot tartalmaz. A problémákat azonban tetszés szerint megoldhatja, ehhez van egy értékelő táblázat, amely az egyszerű és a nehezebb feladatokat jelzi. Alább a teszt.

1. Adott egy háromszög oldalakkal c,d,m, cm-ben kifejezve
2. Adott egy négyszög oldalakkal b,c,d,m, m-ben kifejezve
3. Az autó sebessége km/h-ban b, az utazási idő órákban d
4. A turista által megtett távolság móra van Val vel km
5. A sebességgel haladó turista által megtett távolság m km/h az b km
6. Két szám összege 15-tel nagyobb, mint a második szám
7. A különbség kisebb, mint a 7-tel csökkentett
8. Az utasszállító hajónak két fedélzete van, azonos számú utasüléssel. A fedélzet mindegyik sorában mülések, sorok a fedélzeten n több, mint ülések egymás után
9. Petya m éves, Mása n éves, Katya pedig k évvel fiatalabb, mint Petya és Mása együtt
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Ennek a kifejezésnek a jelentése
2. A kerület szó szerinti kifejezése a
3. A kerület centiméterben kifejezve
4. Az autóval megtett távolság képlete
5. A sebesség v képlete, turistamozgás
6. Képlet idő t, turistamozgalom
7. Az autó által megtett távolság kilométerben
8. Turisztikai sebesség kilométer per óra
9. Turisztikai utazási idő órákban
10. Az első szám...
11. A részrész egyenlő...
12. A vonalhajó által szállítható legnagyobb utasszám kifejezése k járatok
13. A legtöbb utas, amit egy repülőgép szállíthat k járatok
14. Kátya korának betűkifejezése
15. Katya kora
16. A B pont koordinátája, ha a C pont koordinátája az t
17. A D pont koordinátája, ha a C pont koordinátája az t
18. Az A pont koordinátája, ha a C pont koordinátája az t
19. A BD szakasz hossza a számegyenesen
20. A CA szakasz hossza a számegyenesen
21. A DA szakasz hossza a számegyenesen