Exponenciális függvény tulajdonságainak meghatározása és grafika. lecke „Exponenciális függvény, tulajdonságai és grafikonja

Keressük meg a kifejezés értékét az x=2 változó különféle racionális értékeire; 0; -3; -

Figyeljük meg, hogy bármilyen számmal helyettesítjük is az x változót, mindig megtaláljuk ennek a kifejezésnek az értékét. Ez azt jelenti, hogy egy exponenciális függvényt vizsgálunk (E egyenlő három x hatványával), amely a racionális számok halmazán van definiálva: .

Készítsünk grafikont ennek a függvénynek az értékeinek táblázatának összeállításával.

Hajtsuk végre sima vonal, ezeken a pontokon áthaladva (1. ábra)

Ennek a függvénynek a grafikonját használva nézzük meg a tulajdonságait:

3. Növeli az egész definíciós területet.

1. értéktartomány nullától plusz végtelenig.

8. A függvény lefelé konvex.

Ha függvénygráfokat készítünk egy koordinátarendszerben; y=(y egyenlő kettővel x hatványával, y egyenlő öttel x hatványával, y egyenlő héttel x hatványával), akkor láthatja, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint y= (y egyenlő hárommal x hatványával) (.2. ábra), vagyis minden y = alakú függvénynek (az y egyenlő a x hatványával, egynél nagyobb esetén) lesz ilyen. tulajdonságait.

Ábrázoljuk a függvényt:

1. Értékeinek táblázat összeállítása.

Jelöljük a kapott pontokat a koordinátasíkon.

Rajzoljunk ezeken a pontokon átmenő sima vonalat (3. ábra).

Ennek a függvénynek a grafikonjával jelezzük a tulajdonságait:

1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza.

2. Se nem páros, se nem páratlan.

3. Csökken a teljes definíciós tartományban.

4. Nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel.

5. Korlátozottan lent, de nem korlátozva fent.

6. Folyamatos a definíció teljes területén.

7. értéktartomány nullától plusz végtelenig.

8. A függvény lefelé konvex.

Hasonlóképpen, ha függvénygráfokat ábrázolunk egy koordináta-rendszerben; y = (y egyenlő az x hatványának felével, y egyenlő x hatványának egyötödével, y egyenlő x hatványának egyhetedével), akkor észreveheti, hogy ugyanazok a tulajdonságok, mint y = (y egyenlő az x hatvány egyharmadával (4. ábra), vagyis minden y = alakú függvény rendelkezik ilyen tulajdonságokkal (az y egyenlő egy osztva a-val az x teljesítmény, nullánál nagyobb, de egynél kisebb értékkel)

Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben

Ez azt jelenti, hogy az y=y= függvények grafikonjai is szimmetrikusak lesznek (y egyenlő a-val az x hatványával és y egyenlő eggyel osztva a-val az x hatványra) ugyanazon a érték mellett.

Foglaljuk össze az elmondottakat az exponenciális függvény meghatározásával és főbb tulajdonságainak feltüntetésével:

Meghatározás: Az y= alakú függvényt, ahol (a egyenlő a-val az x hatványhoz, ahol a pozitív és különbözik egytől), exponenciális függvénynek nevezzük.

Emlékeznünk kell az y= exponenciális függvény és az y=, a=2,3,4,… hatványfüggvény közötti különbségekre. hallhatóan és vizuálisan is. Az exponenciális függvény x egy végzettség, és teljesítmény funkció x az alapja.

1. példa: Oldja meg az egyenletet (három x hatványhoz egyenlő kilenc)

(Y egyenlő három X hatványával, Y pedig kilenccel) 7. ábra

Vegyük észre, hogy van egy közös pontjuk M (2;9) (em kettő koordinátákkal; kilenc), ami azt jelenti, hogy a pont abszcisszája lesz ennek az egyenletnek a gyöke. Vagyis az egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2.

2. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y= függvény két grafikonját (az y öttel egyenlő x hatványával, az y pedig egy huszonötödével) 8. ábra. A grafikonok egy pontban metszik egymást (-2; (te koordinátákkal mínusz kettő; egy huszonötödik). Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke x = -2 (a szám mínusz kettő).

3. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y= függvény két grafikonját

(Y egyenlő hárommal X hatványával, Y pedig huszonhéttel).

9. ábra A függvény grafikonja az y=at függvény grafikonja felett található

x Ezért az egyenlőtlenség megoldása az intervallum (mínusz végtelentől háromig)

4. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y= függvény két grafikonját (az y egyenlő x hatványának egynegyedével, y pedig tizenhattal). (10. ábra). A grafikonok egy K pontban metszik egymást (-2;16). Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldása a (-2; (mínusz kettőtől a plusz végtelenig) intervallum, mivel az y= függvény grafikonja az x-ben lévő függvény grafikonja alatt található

Érvelésünk lehetővé teszi, hogy ellenőrizzük a következő tételek érvényességét:

1. téma: Ha igaz, akkor és csak akkor, ha m=n.

2. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz (* ábra)

4. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz (** ábra), az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz 3. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, ha m=n.

5. példa: Ábrázolja az y= függvényt

Módosítsuk a függvényt az y= fokú tulajdonság alkalmazásával

Építsünk kiegészítő rendszer koordináták és in új rendszer koordinátákat, megszerkesztjük az y = függvény grafikonját (az y egyenlő az x hatvány kettőjével) 11. ábra.

6. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y= függvény két grafikonját

(Y egyenlő héttel X hatványához, Y pedig nyolc mínusz X) 12. ábra.

A gráfok egy E pontban metszik egymást (1; (e koordinátákkal egy; hét). Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke x = 1 (x egyenlő eggyel).

7. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y= függvény két grafikonját

(Y egyenlő X hatványának egynegyedével, Y pedig X plusz öttel). Az y= függvény grafikonja az y=x+5 függvény grafikonja alatt található, ha az egyenlőtlenség megoldása az x intervallum (mínusz egytől plusz végtelenig).

EXPONENTÁRIS ÉS LOGARITMIKUS FUNKCIÓK VIII

179. § Az exponenciális függvény alapvető tulajdonságai

Ebben a részben az exponenciális függvény alapvető tulajdonságait tanulmányozzuk

y = a x (1)

Emlékezzünk erre alább A az (1) képletben bármilyen rögzítettet értünk pozitív szám, különbözik az 1-től.

1. tulajdonság. Az exponenciális függvény tartománya az összes valós szám halmaza.

Sőt, pozitívan A kifejezés A x bármelyre meghatározott valós szám x .

2. tulajdonság. Az exponenciális függvény csak pozitív értékeket fogad el.

Valóban, ha x > 0, akkor, amint az a 176. §-ban bebizonyosodott,

A x > 0.

Ha x <. 0, то

A x =

Ahol - x már több mint nulla. Ezért A - x > 0. De akkor

A x = > 0.

Végül, mikor x = 0

A x = 1.

Az exponenciális függvény 2. tulajdonságának egyszerű grafikus értelmezése van. Ez abban rejlik, hogy ennek a függvénynek a grafikonja (lásd 246. és 247. ábra) teljes egészében az abszcissza tengelye felett helyezkedik el.

3. tulajdonság. Ha A >1, akkor mikor x > 0 A x > 1, és mikor x < 0 A x < 1. Ha A < 1, тó, éppen ellenkezőleg, mikor x > 0 A x < 1, és mikor x < 0 A x > 1.

Az exponenciális függvény ezen tulajdonsága egyszerű geometriai értelmezést is lehetővé tesz. Nál nél A > 1 (246. ábra) görbék y = a x egyenes felett helyezkedik el nál nél = 1 at x > 0 és az egyenes alatti nál nél = 1 at x < 0.

Ha A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x egyenes alatt található nál nél = 1 at x > 0 és ezen egyenes felett a pontnál x < 0.

Adjuk meg a 3. tulajdonság szigorú bizonyítását. Hadd A > 1 és x - tetszőleges pozitív szám. Mutassuk meg

A x > 1.

Ha a szám x racionális ( x = m / n ), Ez A x = A m/ n = n √a m .

Mert a A > 1, akkor A m > 1, De az egynél nagyobb szám gyöke nyilvánvalóan nagyobb 1-nél is.

Ha x irracionális, akkor vannak pozitív racionális számok X" És X" , amelyek egy szám decimális közelítéseként szolgálnak x :

X"< х < х" .

De akkor a fok meghatározása szerint irracionális kitevővel

A x" < A x < A x"" .

Mint fentebb látható, a szám A x" több mint egy. Ezért a szám A x , nagyobb, mint A x" , nagyobbnak kell lennie 1-nél,

Tehát megmutattuk, hogy mikor a >1 és tetszőleges pozitív x

A x > 1.

Ha a szám x negatív volt, akkor mi lettünk volna

A x =

hol van a szám x már pozitív lenne. Ezért A - x > 1. Ezért

A x = < 1.

Így mikor A > 1 és tetszőleges negatív x

A x < 1.

Az az eset, amikor a 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

4. tulajdonság. Ha x = 0, akkor függetlenül a A x =1.

Ez a nulladik fok definíciójából következik; a nullától eltérő szám nulla hatványa egyenlő 1-gyel. Grafikusan ez a tulajdonság abban fejeződik ki, hogy bármely A ív nál nél = A x (lásd 246. és 247. ábra) metszi a tengelyt nál nél az 1-es ordinátával rendelkező pontban.

5. ingatlan. Nál nél A >1 exponenciális függvény = A x monoton növekszik, és a < 1 - monoton csökkenő.

Ez a tulajdonság egyszerű geometriai értelmezést is lehetővé tesz.

Nál nél A > 1 (246. ábra) görbe nál nél = A x növekedéssel x egyre magasabbra emelkedik, és mikor A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Adjuk meg az 5. tulajdonság szigorú bizonyítását.

Hadd A > 1 és x 2 > x 1 . Mutassuk meg

A x 2 > A x 1

Mert a x 2 > x 1., akkor x 2 = x 1 + d , Ahol d - néhány pozitív szám. Ezért

A x 2 - A x 1 = A x 1 + d - A x 1 = A x 1 (A d - 1)

Az exponenciális függvény 2. tulajdonságával A x 1 > 0. Mivel d > 0, akkor az exponenciális függvény 3. tulajdonságával A d > 1. Mindkét tényező a termékben A x 1 (A d - 1) pozitívak, ezért ez a termék maga is pozitív. Eszközök, A x 2 - A x 1 > 0, vagy A x 2 > A x 1, amit bizonyítani kellett.

Így amikor a > 1 funkció nál nél = A x monoton növekszik. Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy amikor A < 1 функция nál nél = A x monoton csökken.

Következmény. Ha azonos pozitív szám 1-től eltérő két hatványa egyenlő, akkor a kitevőjük egyenlő.

Más szóval, ha

A b = A c (A > 0 és A =/= 1),

b = c .

Valóban, ha a számok b És Val vel nem voltak egyenlőek, akkor a függvény monotonitása miatt nál nél = A x közülük a nagyobb felelne meg A >1 nagyobb, és mikor A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A c , vagy A b < A c . Mindkettő ellentmond a feltételnek A b = A c . Ezt be kell vallani b = c .

6. ingatlan. Ha egy > 1, majd az érvelés korlátlan növelésével x (x -> ∞ ) függvényértékek nál nél = A x is korlátlanul nőnek (nál nél -> ∞ ). Amikor az argumentum korlátlanul csökken x (x -> -∞ ) ennek a függvénynek az értékei nullára hajlanak, miközben pozitívak maradnak (nál nél->0; nál nél > 0).

Figyelembe véve a függvény fentebb bizonyított monotonitását nál nél = A x , azt mondhatjuk, hogy a vizsgált esetben a függvény nál nél = A x monoton 0-ról növekszik ∞ .

Ha 0 <A < 1, akkor az x argumentum korlátlan növelésével (x -> ∞) az y = a x függvény értékei nullára hajlanak, miközben pozitívak maradnak (nál nél->0; nál nél > 0). Amikor az x argumentum korlátlanul csökken (x -> -∞ ) ennek a függvénynek az értékei korlátlanul nőnek (nál nél -> ∞ ).

A függvény monotonitása miatt y = a x azt mondhatjuk, hogy ebben az esetben a függvény nál nél = A x monoton csökken től ∞ 0-ra.

Az exponenciális függvény 6. tulajdonságát jól tükrözi a 246. és 247. ábra. Nem fogjuk szigorúan igazolni.

Csak annyit kell tennünk, hogy meghatározzuk az exponenciális függvény variációs tartományát y = a x (A > 0, A =/= 1).

Fentebb bebizonyítottuk, hogy a függvény y = a x csak pozitív értékeket vesz fel, és vagy monoton növekszik 0-ról ∞ (nál nél A > 1), vagy monoton csökken től ∞ 0-ra (0-nál< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x Vannak ugrások, amikor átöltözöl? Kell valami pozitív érték? Ez a probléma pozitívan megoldódott. Ha A > 0 és A =/= 1, akkor bármi legyen is a pozitív szám nál nél 0 biztosan megtalálható lesz x 0, olyan

A x 0 = nál nél 0 .

(A függvény monotonitása miatt y = a x meghatározott értéket x Természetesen a 0 lesz az egyetlen.)

Ennek a ténynek a bizonyítása meghaladja programunk kereteit. Geometriai értelmezése az, hogy bármely pozitív érték nál nél 0 függvénygrafikon y = a x határozottan metsz egy egyenest nál nél = nál nél 0 és ráadásul csak egy ponton (248. ábra).

Ebből a következő következtetést vonhatjuk le, amit 7-es tulajdonságként fogalmazunk meg.

7. ingatlan. Az y = a x exponenciális függvény változási területe (A > 0, A =/= 1)az összes pozitív szám halmaza.

Feladatok

1368. Keresse meg a következő függvények definíciós tartományait:

1369. Melyik szám nagyobb 1-nél és melyik kisebb 1-nél:

1370. Az exponenciális függvény milyen tulajdonsága alapján állapítható meg, hogy

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1.2

1371. Melyik szám nagyobb:

A) π - √3 vagy (1/ π ) - √3 ; c) (2/3) 1 + √6 vagy (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 vagy ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 vagy (√3) √3 - 2 ?

1372. Egyenértékűek-e az egyenlőtlenségek:

1373. Mit mondhatunk a számokról x És nál nél , Ha egy x = és y , Ahol A - adott pozitív szám?

1374. 1) Lehetséges-e a függvény összes értéke között nál nél = 2x Kiemel:

2) Lehetséges-e a függvény összes értéke között nál nél = 2 | x| Kiemel:

a) a legnagyobb érték; b) legkisebb érték?

Tudáshipermarket >>Matematika >>Matematika 10. osztály >>

Exponenciális függvény, tulajdonságai és grafikonja

Tekintsük a 2x kifejezést, és keressük meg értékeit az x változó különféle racionális értékeire, például x = 2 esetén;

Általában függetlenül attól, hogy milyen racionális értéket adunk az x változónak, mindig ki tudjuk számítani a megfelelőt számérték kifejezések 2 x. Így exponenciálisról beszélhetünk funkciókat y=2 x, a racionális számok Q halmazán definiálva:

Nézzük meg ennek a függvénynek néhány tulajdonságát.

1. tulajdonság.- funkció növelése. A bizonyítást két lépésben végezzük.
Első fázis. Bizonyítsuk be, hogy ha r pozitív racionális szám, akkor 2 r >1.
Két eset lehetséges: 1) r - természetes szám r = n; 2) közönséges irreducibilis töredék,

Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán van , jobb oldalán pedig 1. Ez azt jelenti, hogy az utolsó egyenlőtlenség átírható az alakba

Tehát mindenesetre fennáll a 2 r > 1 egyenlőtlenség, amit bizonyítani kellett.

Második fázis. Legyenek x 1 és x 2 számok, x 1 és x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(az x 2 - x 1 különbséget r betűvel jelöltük).

Mivel r egy pozitív racionális szám, akkor az első szakaszban igazolva 2 r > 1, azaz. 2 r -1 >0. A 2x" szám is pozitív, ami azt jelenti, hogy a 2 x-1 (2 Г -1) szorzat is pozitív. Így bebizonyítottuk, hogy egyenlőtlenség 2 Xg -2x" >0.

Tehát az x 1 egyenlőtlenségből< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

2. tulajdonság. alulról korlátozva és felülről nem korlátozva.
A függvény korlátossága alulról a 2 x >0 egyenlőtlenségből következik, amely a függvény definíciós tartományából származó x bármely értékére érvényes. Ugyanakkor bármilyen pozitív M számot veszünk is, mindig választhatunk olyan x kitevőt, hogy teljesüljön a 2 x >M egyenlőtlenség - ami a függvény korlátlanságát felülről jellemzi. Adjunk néhány példát.

3. tulajdonság. nem rendelkezik sem a legkisebb, sem a legnagyobb értékkel.

Ami ebben a funkcióban nincs legmagasabb érték, nyilván, hiszen, mint az imént láttuk, nincs fent korlátos. De alulról korlátozott, miért nincs minimális értéke?

Tegyük fel, hogy 2 r a függvény legkisebb értéke (r valamilyen racionális mutató). Vegyünk egy q racionális számot<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Mindez jó, mondod, de miért vesszük figyelembe az y-2 x függvényt csak a racionális számok halmazán, miért nem tekintjük úgy, mint a többi ismert függvényt a teljes számegyenesen vagy a szám valamely folytonos intervallumán. számsor? Mi akadályoz meg minket? Gondoljuk át a helyzetet.

A számsor nemcsak racionális, hanem irracionális számokat is tartalmaz. A korábban vizsgált függvényeknél ez nem zavart bennünket. Például az y = x2 függvény értékeit egyformán könnyen megtaláltuk x racionális és irracionális értékére is: elég volt az adott x értékét négyzetre emelni.

De az y=2 x függvénnyel a helyzet bonyolultabb. Ha az x argumentum racionális jelentést kap, akkor elvileg x kiszámítható (megyünk vissza a bekezdés elejére, ahol pontosan ezt tettük). Mi van akkor, ha az x argumentum irracionális jelentést kap? Hogyan kell például számolni? Ezt még nem tudjuk.
A matematikusok megtalálták a kiutat; így okoskodtak.

Ismeretes, hogy Tekintsük a racionális számok sorozatát - egy szám tizedes közelítését a hátrányból:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Nyilvánvaló, hogy 1,732 = 1,7320 és 1,732050 = 1,73205. Az ilyen ismétlődések elkerülése érdekében a sorozat 0-val végződő tagjait kihagyjuk.

Ekkor növekvő sorozatot kapunk:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Ennek megfelelően a sorrend növekszik

Ennek a sorozatnak minden tagja 22-nél kisebb pozitív szám, azaz. ez a sorrend korlátozott. Weierstrass tétele szerint (lásd 30. §), ha egy sorozat növekvő és korlátos, akkor konvergál. Ezenkívül a 30. §-ból tudjuk, hogy ha egy sorozat konvergál, azt csak egy határig teszi. Megállapodtak abban, hogy ezt az egyetlen határértéket egy numerikus kifejezés értékének kell tekinteni. És nem számít, hogy a 2 numerikus kifejezésnek még csak megközelítő értékét is nagyon nehéz megtalálni; fontos, hogy ez egy konkrét szám (elvégre nem féltünk kimondani, hogy pl. egy racionális egyenlet gyökere, egy trigonometrikus egyenlet gyöke, anélkül, hogy igazán belegondolnánk, mik is pontosan ezek a számok:
Tehát rájöttünk, hogy a matematikusok milyen jelentést adtak a 2^ szimbólumnak. Hasonlóképpen meghatározhatja, hogy mi és általában mi az a a, ahol a irracionális szám és a > 1.
De mi van, ha 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Most már nemcsak tetszőleges racionális kitevőjű hatványokról beszélhetünk, hanem tetszőleges valós kitevőjű hatványokról is. Bebizonyosodott, hogy a tetszőleges valós kitevővel rendelkező fokok rendelkeznek a fokozatok összes szokásos tulajdonságával: ha azonos bázisú hatványokat szorozunk, a kitevőket összeadjuk, osztáskor kivonjuk, fokot hatványra emelve szorozzuk, stb. De a legfontosabb, hogy most már az összes valós szám halmazán definiált y-ax függvényről beszélhetünk.
Térjünk vissza az y = 2 x függvényhez, és készítsük el a grafikonját. Ehhez készítsünk egy táblázatot az y=2x függvényértékekből:

Jelöljük a pontokat a koordinátasíkon (194. ábra), egy bizonyos vonalat jelölnek ki, rajzoljuk meg (195. ábra).

Az y - 2 x függvény tulajdonságai:
1)
2) se nem páros, se nem páratlan; 248
3) növekszik;

5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel;
6) folyamatos;
7)
8) lefelé domború.

Az y-2 x függvény felsorolt ​​tulajdonságainak szigorú bizonyítása a felsőbb matematika során történik. Ezen tulajdonságok egy részét már korábban is tárgyaltuk, némelyiküket jól szemlélteti a megszerkesztett gráf (lásd 195. ábra). Például egy függvény paritásának vagy páratlanságának hiánya geometriailag összefügg a gráf szimmetriájának hiányával az y tengelyhez vagy az origóhoz képest.

Bármely y = a x alakú függvény, ahol a > 1, hasonló tulajdonságokkal rendelkezik. ábrán. 196 egy koordinátarendszerben állítottunk össze y=2 x, y=3 x, y=5 x függvények grafikonjait.

Tekintsük most a függvényt, és hozzunk létre egy értéktáblázatot hozzá:

Jelöljük a pontokat a koordinátasíkon (197. ábra), kijelölnek egy bizonyos vonalat, húzzuk meg (198. ábra).

Funkció tulajdonságai

1)
2) se nem páros, se nem páratlan;
3) csökken;
4) felülről nem, alulról korlátozva;
5) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb érték;
6) folyamatos;
7)
8) lefelé domború.
Bármely y = a x alakú függvény hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, ahol O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Figyelem: függvénygrafikonok azok. y=2 x, szimmetrikusan az y tengelyre (201. ábra). Ez az általános megállapítás következménye (lásd 13. §): az y = f(x) és y = f(-x) függvények grafikonjai szimmetrikusak az y tengelyre. Hasonlóképpen az y = 3 x és függvények grafikonjait

Összegezve az elmondottakat, megadjuk az exponenciális függvény definícióját, és kiemeljük legfontosabb tulajdonságait.

Meghatározás. Az alak függvényét exponenciális függvénynek nevezzük.
Az y = a x exponenciális függvény alapvető tulajdonságai

Az y=a x függvény grafikonja a> 1 esetén az ábrán látható. 201, és 0 esetén<а < 1 - на рис. 202.

ábrán látható görbe. A 201-et vagy a 202-t kitevőnek nevezzük. Valójában a matematikusok magát az exponenciális függvényt általában y = a x-nek nevezik. Tehát a "kitevő" kifejezést két értelemben használjuk: mind az exponenciális függvény elnevezésére, mind az exponenciális függvény grafikonjának megnevezésére. Általában egyértelmű a jelentés, hogy exponenciális függvényről vagy annak grafikonjáról beszélünk.

Ügyeljünk az y=ax exponenciális függvény gráfjának geometriai jellemzőire: az x tengely a gráf vízszintes aszimptotája. Igaz, ezt a kijelentést a következőképpen szokták tisztázni.
Az x tengely a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája

Más szavakkal

Első fontos megjegyzés. Az iskolások gyakran összekeverik a fogalmakat: hatványfüggvény, exponenciális függvény. Összehasonlítás:

Ezek példák a hatványfüggvényekre;

Ezek példák az exponenciális függvényekre.

Általában az y = x r, ahol r egy adott szám, egy hatványfüggvény (az x argumentum a fokszám alapjában található);
y = a", ahol a egy meghatározott szám (pozitív és 1-től eltérő), egy exponenciális függvény (az x argumentum a kitevőben található).

Az „egzotikus” függvény, mint például az y = x, nem tekinthető sem exponenciálisnak, sem hatványnak (ezt néha exponenciálisnak is nevezik).

Második fontos megjegyzés. Általában nem tekintünk olyan exponenciális függvényt, amelynek bázisa a = 1 vagy a bázisú, amely kielégíti az a egyenlőtlenséget.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 és a A tény az, hogy ha a = 1, akkor x bármely értékére teljesül az Ix = 1 egyenlőség. Így az y = a" exponenciális függvény, amelynek a = 1 "degenerálódik" egy y = 1 konstans függvénnyel - ez Ha a = 0, akkor 0x = 0 x bármely pozitív értékére, azaz az x > 0-ra definiált y = 0 függvényt kapjuk - ez sem érdekes. Ha végül a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Mielőtt rátérne a példák megoldására, vegye figyelembe, hogy az exponenciális függvény jelentősen eltér az eddig tanulmányozott függvényektől. Egy új tárgy alapos tanulmányozásához különböző szemszögekből, különböző helyzetekben kell megvizsgálnia, így sok példa lesz.
1. példa

Megoldás, a) Az y = 2 x és y = 1 függvények grafikonjait egy koordinátarendszerben megszerkesztve észrevesszük (203. ábra), hogy egy közös pontjuk van (0; 1). Ez azt jelenti, hogy a 2x = 1 egyenletnek egyetlen gyöke van x =0.

Tehát a 2x = 2° egyenletből x = 0 kapjuk.

b) Az y = 2 x és y = 4 függvények grafikonjait egy koordinátarendszerben megszerkesztve észrevesszük (203. ábra), hogy van egy közös pontjuk (2; 4). Ez azt jelenti, hogy a 2x = 4 egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2.

Tehát a 2 x = 2 2 egyenletből azt kapjuk, hogy x = 2.

c) és d) Ugyanezen megfontolások alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a 2 x = 8 egyenletnek egyetlen gyöke van, és ennek megtalálásához nem kell a megfelelő függvények gráfjait felépíteni;

világos, hogy x = 3, mivel 2 3 = 8. Hasonlóképpen megtaláljuk az egyenlet egyetlen gyökét

Tehát a 2x = 2 3 egyenletből x = 3, a 2 x = 2 x egyenletből pedig x = -4.
e) Az y = 2 x függvény grafikonja az y = 1 függvény grafikonja felett helyezkedik el x > 0 esetén - ez jól olvasható az ábrán. 203. Ez azt jelenti, hogy a 2x > 1 egyenlőtlenség megoldása az intervallum
f) Az y = 2 x függvény grafikonja az y = 4 függvény grafikonja alatt található x helyen<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Valószínűleg észrevette, hogy az 1. példa megoldása során levont következtetések alapja az y = 2 x függvény monotonitásának (növekedésének) tulajdonsága volt. Hasonló érvelés lehetővé teszi a következő két tétel érvényességének ellenőrzését.

Megoldás. A következőképpen járhatunk el: készítsük el az y-3 x függvény grafikonját, majd nyújtsuk ki az x tengelytől 3-szorosára, majd emeljük fel a kapott grafikont 2 léptékegységgel. De kényelmesebb használni azt a tényt, hogy 3-3* = 3 * + 1, és ezért elkészítjük az y = 3 x * 1 + 2 függvény grafikonját.

Menjünk tovább, mint már sokszor megtettük ilyen esetekben, egy segédkoordináta-rendszerre, amelynek origója a (-1; 2) pontban van - a szaggatott vonalak x = - 1 és 1x = 2 az ábrán. 207. Kapcsoljuk össze az y=3* függvényt az új koordinátarendszerrel. Ehhez válassza ki a funkció vezérlőpontjait , de nem a régi, hanem az új koordinátarendszerben fogjuk megépíteni (ezeket a pontokat a 207. ábra jelöli). Ezután a pontokból kitevőt készítünk - ez lesz a szükséges gráf (lásd 207. ábra).
Egy adott függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához a [-2, 2] szegmensen kihasználjuk, hogy az adott függvény növekszik, ezért a legkisebb, illetve a legnagyobb értékét a a szegmens bal és jobb vége.
Így:

4. példa Oldja meg az egyenletet és az egyenlőtlenségeket:

Megoldás, a) Szerkesszük meg az y=5* és y=6-x függvények gráfjait egy koordinátarendszerben (208. ábra). Egy ponton metszik egymást; a rajz alapján ez az (1; 5) pont. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy valójában az (1; 5) pont mind az y = 5* egyenletet, mind az y = 6-x egyenletet kielégíti. Ennek a pontnak az abszcisszája szolgál az adott egyenlet egyetlen gyökeként.

Tehát az 5 x = 6 - x egyenletnek egyetlen gyöke van x = 1.

b) és c) Az y-5x kitevő az y=6-x egyenes felett van, ha x>1, ez jól látható az ábrán. 208. Ez azt jelenti, hogy az 5*>6 egyenlőtlenség megoldása a következőképpen írható fel: x>1. És az 5x egyenlőtlenség megoldása<6 - х можно записать так: х < 1.
Válasz: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

5. példa Adott egy függvény Bizonyítsd
Megoldás. Feltételünk szerint.

Exponenciális függvény n szám szorzatának általánosítása egyenlő a-val:
y (n) = a n = a·a·a···a,
az x valós számok halmazához:
y (x) = ax.
Itt a egy rögzített valós szám, amelyet hívnak az exponenciális függvény alapja.
Az a bázisú exponenciális függvényt is nevezzük kitevő a bázisra.

Az általánosítás a következőképpen történik.
Természetes x = esetén 1, 2, 3,... , az exponenciális függvény x tényező szorzata:
.
Sőt, vannak tulajdonságai (1,5-8) (), amelyek a számok szorzásának szabályaiból következnek. Az egész számok nulla és negatív értékei esetén az exponenciális függvényt az (1,9-10) képletekkel határozzuk meg. Az x = m/n racionális számok törtértékei esetén az (1.11) képlet határozza meg. Real esetén az exponenciális függvény a sorozat határaként van definiálva:
,
ahol x-hez konvergál racionális számok tetszőleges sorozata: .
Ezzel a definícióval az exponenciális függvény minden -re definiálva van, és megfelel az (1,5-8) tulajdonságoknak, mint a természetes x esetében.

Az exponenciális függvény definíciójának szigorú matematikai megfogalmazása és tulajdonságainak bizonyítása az „Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságainak bizonyítása” oldalon található.

Az exponenciális függvény tulajdonságai

Az y = a x exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik a valós számok halmazán ():
(1.1) meghatározott és folyamatos, for , for all ;
(1.2) egy ≠ esetén 1 sok jelentése van;
(1.3) szigorúan növekszik -nál, szigorúan csökken -nél,
állandó -nál;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Egyéb hasznos képletek.
.
Képlet az exponenciális függvényre való konvertáláshoz eltérő kitevőbázissal:

Ha b = e, akkor az exponenciális függvény kifejezését az exponenciálison keresztül kapjuk:

Magánértékek

, , , , .

Az ábrán az exponenciális függvény grafikonjai láthatók
y (x) = ax
négy értékre fokozati alapok: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 és egy = 1/8 . Látható, hogy egy > 1 az exponenciális függvény monoton növekszik. Minél nagyobb az a fok alapja, annál erősebb a növekedés. Nál nél 0 < a < 1 az exponenciális függvény monoton csökken. Minél kisebb az a kitevő, annál erősebb a csökkenés.

Növekvő csökkenő

Az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért nincs szélsősége. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

	y = a x , a > 1	y = fejsze, 0 < a < 1
Tartomány	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értéktartomány	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monoton növekszik	monoton csökken
Nullák, y = 0	Nem	Nem
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverz függvény

Az a bázisú exponenciális függvény inverze az a bázis logaritmusa.

Ha akkor
.
Ha akkor
.

Exponenciális függvény differenciálása

Egy exponenciális függvény megkülönböztetéséhez az alapját e számra kell redukálni, alkalmazni kell a derivált táblázatot és a differenciálási szabályt összetett funkció.

Ehhez a logaritmusok tulajdonságát kell használni
és a derivált táblázat képlete:
.

Adjunk meg egy exponenciális függvényt:
.
Hozzuk az alapra e:

Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálási szabályát. Ehhez vezesse be a változót

Akkor

A derivált táblázatból a következőt kapjuk (az x változót z-re cseréljük):
.
Mivel konstans, z deriváltja x-hez képest egyenlő
.
A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.

Exponenciális függvény deriváltja

.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

Példa exponenciális függvény differenciálására

Keresse meg egy függvény deriváltját
y = 35x

Megoldás

Fejezzük ki az exponenciális függvény alapját az e számon keresztül.
3 = e ln 3
Akkor
.
Adjon meg egy változót
.
Akkor

A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.
Mert a 5ln 3 konstans, akkor z deriváltja x-hez képest egyenlő:
.
Egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

Válasz

Integrál

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
f (z) = a z
ahol z = x + iy; én 2 = - 1 .
Fejezzük ki az a komplex állandót r modulussal és φ argumentummal:
a = r e i φ
Akkor


.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Általában
φ = φ 0 + 2 πn,
ahol n egész szám. Ezért az f függvény (z) szintén nem egyértelmű. Fő jelentőségét gyakran figyelembe veszik
.

A sorozat bővítése

.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Exponenciális függvény

Az y = a alakú függvény x , ahol a nagyobb, mint nulla, és a nem egyenlő eggyel, exponenciális függvénynek nevezzük. Az exponenciális függvény alapvető tulajdonságai:

1. Az exponenciális függvény definíciós tartománya a valós számok halmaza lesz.

2. Az exponenciális függvény értéktartománya az összes pozitív valós szám halmaza lesz. Néha ezt a halmazt R+-nak jelölik a rövidség kedvéért.

3. Ha egy exponenciális függvényben az a bázis nagyobb egynél, akkor a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik. Ha az a bázis exponenciális függvényében teljesül a következő feltétel: 0

4. A fokozatok összes alapvető tulajdonsága érvényes lesz. A fokozatok fő tulajdonságait a következő egyenlőségek képviselik:

a x *a y =a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x =a x /b x ;

(a x ) y =a (x * y) .

Ezek az egyenlőségek x és y minden valós értékére érvényesek.

5. Egy exponenciális függvény grafikonja mindig a (0;1) koordinátájú ponton halad át.

6. Attól függően, hogy az exponenciális függvény növekszik vagy csökken, a grafikonja kétféle lehet.

A következő ábra egy növekvő exponenciális függvény grafikonját mutatja: a>0.

A következő ábra egy csökkenő exponenciális függvény grafikonját mutatja: 0

Mind a növekvő exponenciális függvény grafikonja, mind a csökkenő exponenciális függvény grafikonja az ötödik bekezdésben leírt tulajdonság szerint átmegy a (0;1) ponton.

7. Egy exponenciális függvénynek nincsenek szélsőpontjai, vagyis nincs a függvény minimum- és maximumpontja. Ha egy függvényt egy adott szegmensen veszünk figyelembe, akkor a függvény ennek az intervallumnak a végén veszi fel a minimális és maximális értéket.

8. A függvény nem páros vagy páratlan. Az exponenciális függvény egy függvény Általános nézet. Ez látható a grafikonokból, egyik sem szimmetrikus sem az Oy tengelyhez, sem a koordináták origójához képest.

Logaritmus

A logaritmusokat mindig is figyelembe vették összetett téma iskolai matematika tanfolyamon. A logaritmusnak sokféle definíciója létezik, de valamiért a legtöbb tankönyv a legbonyolultabbat és a legsikeresebbet használja.

A logaritmust egyszerűen és világosan fogjuk meghatározni. Ehhez hozzunk létre egy táblázatot:

Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

Meghatározás

Logaritmus hogy az x argumentum a-ját alapozza meg az a hatalom, amelyre a számot emelni kell a hogy megkapja a számot x.

Kijelölés

log a x = b
ahol a az alap, x az argumentum, b - tulajdonképpen mi a logaritmus.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanilyen sikerrel log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám adott bázishoz való logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzüklogaritmus . Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nincs a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем több fokozat kettő, annál nagyobb a szám.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Ne feledje: a logaritmus egy hatvány , amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Kitaláltuk a definíciót – már csak meg kell tanulnunk számolni a logaritmusokat, pl. megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük A definícióból két fontos tény következik:

Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez a fok racionális kitevővel történő meghatározásából következik, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.

Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Ilyen korlátozások hívják elfogadható értékek tartománya(ODZ). Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nincs korlátozás a számra b (logaritmusérték) nem fedi egymást. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0,5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus VA értékét. A problémák szerzői már minden korlátozást figyelembe vettek. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DL követelmények kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most fontolja meg a tábornokot logaritmusszámítási séma. Három lépésből áll:

Adjon okot a és argumentum x egynél nagyobb minimális lehetséges bázisú hatvány formájában. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;

Megoldás egy változóhoz képest b egyenlet: x = a b ;

A kapott szám b lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Nagyon fontos az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét, és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanazzal tizedesjegyek: ha azonnal átalakítja őket normálra, sokkal kevesebb lesz a hiba.

Lássuk, hogyan működik ez a séma konkrét példák:

Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

A választ kaptuk: 2.

Számítsa ki a logaritmust:

Képzeljük el az alapot és az argumentumot három hatványaként: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4 ;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:

A választ kaptuk: −4.

−4

Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

A választ kaptuk: 3.

Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

A választ kaptuk: 0.

Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;

Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;

A válasz nem változik: napló 7 14.

napló 7 14

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. Ha a bővítésnek legalább két különböző tényezője van, a szám nem pontos hatvány.

Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - megint nem pontos fok;

8, 81 - pontos fokozat; 48, 35, 14 - nem.

Vegyük észre azt is, hogy mi magunk prímszámok mindig pontos fokozatai önmaguknak.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

Meghatározás

Tizedes logaritmus x argumentumból a 10-es bázis logaritmusa, azaz. az a hatvány, amelyre a 10-es számot emelni kell, hogy megkapjuk a számot x.

Kijelölés

lg x

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. Ez körülbelül a természetes logaritmusról.

Meghatározás

Természetes logaritmus x argumentumból a bázis logaritmusa e , azaz az a teljesítmény, amelyre egy számot emelni kell e hogy megkapja a számot x.

Kijelölés

ln x

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459...

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Csak emlékezz arra, hogy e - természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; ln e 2 = 2; 16-ban = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában a természetes logaritmus bármely racionális szám irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

Mert természetes logaritmusok a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem éppen közönséges számok, megvannak a maguk szabályai, amelyeket alaptulajdonságoknak nevezünk.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log egy x és naplózza a y-t . Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

log egy x + napló a y = log a ( x · y );

log egy x − log a y = log a ( x : y ).

Így, a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt ugyanaz az indok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha az egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a " leckét" "). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 6 4 + log 6 9.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Sokan erre a tényre épülnek tesztpapírok. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Akkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

természetesen Mindezeknek a szabályoknak van értelme, ha a logaritmus ODZ-jét betartják: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulj meg minden képletet nem csak balról jobbra alkalmazni, hanem fordítva is, pl. A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átmenet egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Tétel

Legyen megadva a logaritmus log egy x . Aztán bármilyen számra c úgy, hogy c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Különösen, ha feltesszük c = x, kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a hagyományos numerikus kifejezések. Csak döntéssel lehet felmérni, hogy mennyire kényelmesek logaritmikus egyenletekés egyenlőtlenségek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapok logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben a szám n az érvelés fokának jelzőjévé válik. Szám n teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Ezt így hívják:alapvető logaritmikus azonosság.

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat

Keresse meg a kifejezés jelentését:

Megoldás

Vegye figyelembe, hogy log 25 64 = log 5 8 - egyszerűen átvette a négyzetet az alapból és a logaritmus argumentumából. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

200

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot adok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.

log a a = 1 van logaritmikus egység. Emlékezz egyszer s mindenkorra: logaritmus bármilyen bázisra a ettől az alaptól egyenlő eggyel.

log a 1 = 0 az logaritmikus nulla. Alap a bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert egy 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését!