Törtracionális egyenletek meghatározása. Tört racionális egyenletek. Megoldási algoritmus

\(\bullet\) A racionális egyenlet \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] formában ábrázolt egyenlet, ahol \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomok (az „X”-ek összege különböző hatványokban, szorozva különböző számokkal).
Az egyenlet bal oldalán található kifejezést racionális kifejezésnek nevezzük.
ODZ (régió elfogadható értékeket) egy racionális egyenletben az összes olyan \(x\) értéke, amelynél NEM tűnik el a nevező, azaz \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Például egyenletek \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] racionális egyenletek.
Az első egyenletben az ODZ mind \(x\) úgy, hogy \(x\ne 3\) (írd \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); a második egyenletben – ezek mind \(x\) úgy, hogy \(x\ne -1; x\ne 1\) (írd \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); és a harmadik egyenletben nincsenek megkötések az ODZ-re vonatkozóan, vagyis az ODZ mind \(x\) (ezek \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Tételek:
1) Két tényező szorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik egyenlő nullával, a másik pedig nem veszíti el értelmét, ezért a \(f(x)\cdot g(x)=0\ egyenlet ) egyenértékű a rendszerrel \[\begin(esetek) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\\ \ szöveg(ODZ egyenletek)\end(esetek)\] 2) Egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla, ezért a \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) egyenletrendszerrel ekvivalens \[\begin(esetek) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(esetek)\]\(\bullet\) Nézzünk néhány példát.

1) Oldja meg a \(x+1=\dfrac 2x\) egyenletet. Határozzuk meg ennek az egyenletnek az ODZ-jét - ez \(x\ne 0\) (mivel \(x\) van a nevezőben).
Ez azt jelenti, hogy az ODZ a következőképpen írható fel: .
Tegyük át az összes kifejezést egy részbe, és vezessünk tovább közös nevező: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( esetek) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(esetek)\] A rendszer első egyenletének megoldása a következő lesz: \(x=-2, x=1\) . Látjuk, hogy mindkét gyök nem nulla. Ezért a válasz: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Oldja meg az egyenletet! \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Keressük meg ennek az egyenletnek az ODZ-jét. Látjuk, hogy a \(x\) egyetlen értéke, amelynél a bal oldalnak nincs értelme, az \(x=0\) . Tehát az ODZ így írható: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Így ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

\[\begin(esetek) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra. \\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(igazított) \end(összegyűjtve) \jobbra.\\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(igazított) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(összegyűjtött) \begin(igazított) &x=2\\ &x=1 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\] Valójában annak ellenére, hogy \(x=0\) a második tényező gyöke, ha \(x=0\)-t behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor ennek nem lesz értelme, mert A \(\dfrac 40\) kifejezés nincs megadva.
Így ennek az egyenletnek a megoldása \(x\in \(1;2\)\) .

3) Oldja meg az egyenletet! \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] A \(4x^2-1\ne 0\) egyenletünkben, amelyből \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , azaz \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Vigyük át az összes kifejezést a bal oldalra, és hozzuk őket közös nevezőre:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Bal jobbra nyíl \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött) \begin( igazítva) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(igazított)\end(összegyűjtött) \jobbra.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Balra jobbra nyíl \quad x=-3\)

Válasz: \(x\in \(-3\)\) .

Megjegyzés. Ha a válasz véges számhalmazból áll, akkor ezeket pontosvesszővel elválasztva, kapcsos zárójelben írhatjuk fel, ahogy az előző példákban is látható.

A matematika egységes államvizsgáján minden évben találkoznak racionális egyenletek megoldását igénylő problémákkal, ezért a minősítő teszt letételére való felkészülés során a végzősöknek mindenképpen meg kell ismételnie az elméletet ebben a témában. Az alap- és szakvizsgát egyaránt teljesítő végzősöknek képesnek kell lenniük megbirkózni az ilyen feladatokkal. Az elmélet elsajátítása és a „Racionális egyenletek” témakörben végzett gyakorlati gyakorlatok elvégzése után a hallgatók képesek lesznek problémákat megoldani tetszőleges számú művelettel, és számíthatnak arra, hogy versenyképes pontszámokat kapnak az egységes államvizsgán.

Hogyan készüljünk fel a vizsgára a Shkolkovo oktatási portál segítségével?

Néha meglehetősen nehéznek bizonyul olyan forrás megtalálása, amely teljes mértékben bemutatja a matematikai problémák megoldásának alapvető elméleteit. Lehet, hogy a tankönyv egyszerűen nincs kéznél. A szükséges képletek megtalálása pedig néha még az interneten is meglehetősen nehézkes lehet.

A Shkolkovo oktatási portál mentesíti Önt a kereséstől a szükséges anyagotés segít felkészülni a tanúsítási teszt sikeres letételére.

Minden szükséges elmélet a „Racionális egyenletek” témában szakértőink elkészítették és bemutatták a leginkább hozzáférhető formában. A bemutatott információk áttanulmányozása után a hallgatók képesek lesznek pótolni a hiányosságokat a tudásban.

Az egységes államvizsgára való sikeres felkészüléshez a végzősöknek nemcsak a „Racionális egyenletek” témakör elméleti alapanyagának felfrissítésére van szükségük, hanem gyakorolniuk kell a feladatok elvégzését is. konkrét példák. Nagy választék feladatokat a „Katalógus” részben mutatjuk be.

Szakértőink minden gyakorlathoz az oldalon egy megoldási algoritmust írtak, és jelezték a helyes választ. A tanulók készségszintjüktől függően különböző nehézségi fokú problémák megoldását gyakorolhatják. A megfelelő részben található feladatok listája folyamatosan bővül és frissül.

Tanulmányozzon elméleti anyagot és fejlessze problémamegoldó készségeit a „Racionális egyenletek” témában, hasonlóan Egységes államvizsga tesztek, online is elvégezhető. Ha szükséges, a bemutatott feladatok bármelyike ​​hozzáadható a „Kedvencek” részhez. Miután ismét megismételte az alapelméletet a „Racionális egyenletek” témában, egy középiskolás diák a jövőben visszatérhet a problémához, hogy egy algebraórán megvitassa a megoldásának előrehaladását a tanárral.

A „racionális egyenletek polinomokkal” az egyik leggyakrabban előforduló téma a tesztben Egységes államvizsga-feladatok matematika. Emiatt érdemes megismételni őket Speciális figyelem. Sok diák szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja a diszkriminánst, a mutatókat jobb oldalról balra viszi át és az egyenletet közös nevezőre hozza, ezért az ilyen feladatok elvégzése nehézségeket okoz. Megoldás racionális egyenletek amikor weboldalunkon készül az egységes államvizsgára, segít gyorsan megbirkózni bármilyen bonyolultságú feladattal, és remekül teljesíti a tesztet.

Válassza a Shkolkovo oktatási portált az egységes matematika vizsgára való sikeres felkészüléshez!

Ismerni az ismeretlenek kiszámításának szabályait és könnyen megszerezni helyes eredményeket, használja online szolgáltatásunkat. A Shkolkovo portál egy egyedülálló platform, amely mindent tartalmaz, ami a felkészüléshez szükséges Egységes államvizsga anyagok. Tanáraink rendszereztek és érthető formában bemutatták az összes matematikai szabályt. Emellett meghívjuk az iskolásokat, hogy próbálják ki magukat standard racionális egyenletek megoldásában, amelyek alapja folyamatosan frissül, bővül.

A tesztelésre való hatékonyabb felkészülés érdekében javasoljuk, hogy kövesse speciális módszerünket, és kezdje a szabályok ismétlésével és az egyszerű problémák megoldásával, fokozatosan haladva a bonyolultabbak felé. Így a végzős képes lesz azonosítani a legnehezebb témákat magának, és ezek tanulmányozására összpontosítani.

Kezdje el a felkészülést az utolsó tesztre Shkolkovóval még ma, és az eredmények nem várnak sokáig! Válaszd a legtöbbet könnyű példa a javasoltak közül. Ha gyorsan elsajátította a kifejezést, lépjen tovább nehéz feladat. Így fejlesztheti tudását a matematika USE feladatok speciális szintű megoldásáig.

A képzés nem csak a moszkvai diplomások, hanem más városokból származó iskolások számára is elérhető. Töltsön el naponta néhány órát a tanulással például portálunkon, és hamarosan bármilyen bonyolultságú egyenletekkel megbirkózik!

Folytassuk a beszélgetést egyenletek megoldása. Ebben a cikkben részletesen foglalkozunk racionális egyenletekés az egyváltozós racionális egyenletek megoldásának elvei. Először is nézzük meg, hogy milyen típusú egyenleteket nevezünk racionálisnak, adjuk meg a teljes racionális és tört racionális egyenleteket, és adjunk példákat. Ezt követően racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmusokat kapunk, és természetesen tipikus példákra is megfontoljuk a megoldásokat minden szükséges magyarázattal.

Oldalnavigáció.

A megadott definíciók alapján több példát adunk racionális egyenletekre. Például x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , mind racionális egyenletek.

A bemutatott példákból jól látható, hogy a racionális egyenletek, valamint más típusú egyenletek lehetnek egy változós, vagy kettős, három stb. változók. A következő bekezdésekben a racionális egyenletek egy változós megoldásáról lesz szó. Egyenletek megoldása két változóbanés ők egy nagy szám külön figyelmet érdemelnek.

A racionális egyenleteket amellett, hogy elosztjuk az ismeretlen változók számával, egész és tört számokra is osztják. Adjuk meg a megfelelő definíciókat.

Meghatározás.

A racionális egyenletet ún egész, ha a bal és a jobb oldala is egész szám racionális kifejezés.

Meghatározás.

Ha egy racionális egyenletnek legalább az egyik része törtkifejezés, akkor egy ilyen egyenletet ún. töredékesen racionális(vagy töredékes racionális).

Nyilvánvaló, hogy az egész egyenletek nem tartalmaznak változóval való osztást, ellenkezőleg, a tört racionális egyenletek szükségszerűen tartalmazzák a változóval (vagy a nevezőben lévő változóval) való osztást. Tehát 3 x+2=0 és (x+y)·(3·x2 −1)+x=−y+0,5– ezek egész racionális egyenletek, mindkét részük egész kifejezés. A és x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 példák a tört racionális egyenletekre.

Ezt a pontot lezárva figyeljünk arra, hogy az eddig ismert lineáris és másodfokú egyenletek teljes racionális egyenletek.

Egész egyenletek megoldása

A teljes egyenletek megoldásának egyik fő módja az, hogy azokat egyenértékűre redukáljuk algebrai egyenletek. Ez mindig megtehető az egyenlet következő ekvivalens transzformációinak végrehajtásával:

• először, az eredeti egész egyenlet jobb oldaláról származó kifejezést átvisszük a bal oldalra ellenkező előjellel, hogy a jobb oldalon nullát kapjunk;
• ezt követően az egyenlet bal oldalán a kapott standard nézet.

Az eredmény egy algebrai egyenlet, amely ekvivalens az eredeti egész egyenlettel. Így a legegyszerűbb esetekben a teljes egyenletek megoldása lineáris vagy másodfokú egyenletek megoldására, általános esetben pedig n fokú algebrai egyenlet megoldására redukálódik. Az érthetőség kedvéért nézzük meg a példa megoldását.

Példa.

Keresse meg az egész egyenlet gyökereit! 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Megoldás.

Redukáljuk ennek az egész egyenletnek a megoldását egy ekvivalens algebrai egyenlet megoldására. Ehhez először átvisszük a kifejezést a jobb oldalról a balra, aminek eredményeként az egyenlethez jutunk 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. Másodszor pedig a bal oldalon képzett kifejezést standard alakú polinommá alakítjuk a szükséges kitöltésével: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2 -5 x-6. Így az eredeti egész egyenlet megoldása az x 2 −5·x−6=0 másodfokú egyenlet megoldására redukálódik.

Kiszámoljuk a diszkriminánsát D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ez pozitív, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével találunk meg:

Hogy teljesen biztosak legyünk, tegyük meg az egyenlet talált gyökeinek ellenőrzése. Először ellenőrizzük a 6-os gyökeret, helyettesítsük az x változó helyett az eredeti egész egyenletben: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, ami ugyanaz, 63=63. Ez egy érvényes numerikus egyenlet, ezért az x=6 valóban az egyenlet gyöke. Most ellenőrizzük a gyökér −1, megvan 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, honnan, 0=0 . Ha x=−1, akkor az eredeti egyenlet is helyes numerikus egyenlőséggé változik, ezért x=−1 is az egyenlet gyöke.

Válasz:

6 , −1 .

Itt azt is meg kell jegyezni, hogy a „teljes egyenlet foka” kifejezés egy teljes egyenlet algebrai egyenlet formájában történő megjelenítéséhez kapcsolódik. Adjuk meg a megfelelő definíciót:

Meghatározás.

Az egész egyenlet ereje egy ekvivalens algebrai egyenlet fokának nevezzük.

E definíció szerint az egész egyenlet a előző példa második diplomája van.

Ez a teljes racionális egyenletek megoldásának vége is lehetett volna, ha nem egy dologra… Mint ismeretes, a másodiknál ​​magasabb fokú algebrai egyenletek megoldása jelentős nehézségekkel jár, és a negyediknél magasabb fokú egyenletek esetében nincs általános képletek gyökerei Ezért a harmadik, negyedik és több teljes egyenletének megoldására magas fokok Gyakran más megoldási módszerekhez kell folyamodnia.

Ilyen esetekben teljes racionális egyenletek megoldásának megközelítése az alapján faktorizációs módszer. Ebben az esetben a következő algoritmust kell betartani:

• először is biztosítják, hogy az egyenlet jobb oldalán legyen egy nulla, ehhez a teljes egyenlet jobb oldaláról balra visszük át a kifejezést;
• majd a bal oldalon kapott kifejezés több tényező szorzataként jelenik meg, ami lehetővé teszi, hogy továbblépjünk több egyszerűbb egyenlet halmazára.

Az adott algoritmus egy teljes egyenlet faktorizálással történő megoldására részletes magyarázatot igényel egy példa segítségével.

Példa.

Oldja meg az egész egyenletet (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Megoldás.

Először szokás szerint átvisszük a kifejezést az egyenlet jobb oldaláról a bal oldalra, nem felejtve el megváltoztatni az előjelet, így kapjuk (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Itt teljesen nyilvánvaló, hogy nem célszerű a kapott egyenlet bal oldalát standard alakú polinommá alakítani, mert így az alak negyedik fokának algebrai egyenlete lesz. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, melynek megoldása nehéz.

Az viszont nyilvánvaló, hogy a kapott egyenlet bal oldalán x 2 −10 x+13 , így szorzatként jeleníthetjük meg. Nekünk van (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. A kapott egyenlet ekvivalens az eredeti teljes egyenlettel, és helyettesíthető két másodfokú egyenletből álló x 2 −10·x+13=0 és x 2 −2·x−1=0 egyenletekkel. Nem nehéz megtalálni a gyökereiket ismert gyökképletekkel diszkrimináns segítségével, a gyökerek egyenlőek. Ezek az eredeti egyenlet kívánt gyökerei.

Válasz:

Hasznos teljes racionális egyenletek megoldására is módszer egy új változó bevezetésére. Egyes esetekben lehetővé teszi, hogy olyan egyenletekre lépjen, amelyek foka alacsonyabb, mint az eredeti teljes egyenlet mértéke.

Példa.

Keresse meg a racionális egyenlet valódi gyökereit (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

Megoldás.

Ezt az egész racionális egyenletet algebrai egyenletre redukálni enyhén szólva nem túl jó ötlet, mivel ebben az esetben egy olyan negyedfokú egyenlet megoldásához fogunk jutni, amely nem rendelkezik racionális gyökerei. Ezért más megoldást kell keresnie.

Itt jól belátható, hogy bevezethet egy új y változót, és ezzel helyettesítheti az x 2 +3·x kifejezést. Ez a helyettesítés elvezet minket a teljes (y+1) 2 +10=−2·(y−4) egyenlethez, amely a −2·(y−4) kifejezés bal oldalra mozgatása és a kifejezés ezt követő átalakítása után ott képzett másodfokú egyenletre redukálódik y 2 +4·y+3=0. Ennek az y=−1 és y=−3 egyenletnek a gyökerei könnyen megtalálhatók, például kiválaszthatók a Vieta tételével fordított tétel alapján.

Most áttérünk az új változó bevezetésének módszerének második részére, vagyis a fordított csere végrehajtására. A fordított helyettesítés végrehajtása után két x 2 +3 x=−1 és x 2 +3 x=−3 egyenletet kapunk, amelyek átírhatók x 2 +3 x+1=0 és x 2 +3 x+3 alakra. =0 . A másodfokú egyenlet gyökeinek képletével megtaláljuk az első egyenlet gyökereit. A második másodfokú egyenletnek pedig nincs valódi gyöke, mivel a diszkriminánsa negatív (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Válasz:

Általában, amikor teljes, nagyfokú egyenletekkel van dolgunk, mindig készen kell állnunk a keresésre nem szabványos módszer vagy mesterséges módszerrel ezek megoldására.

Tört racionális egyenletek megoldása

Először is hasznos lesz megérteni, hogyan lehet megoldani a formájú tört racionális egyenleteket, ahol p(x) és q(x) egész racionális kifejezések. Ezután megmutatjuk, hogyan redukálhatjuk le más tört racionális egyenletek megoldását a megadott típusú egyenletek megoldására.

Az egyenlet megoldásának egyik megközelítése a következő állításon alapul: az u/v numerikus tört, ahol v nem nulla szám (egyébként definiálatlan számmal fogunk találkozni), akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számlálója egyenlő nullával, akkor akkor és csak akkor van, ha u=0 . Ezen kijelentés alapján az egyenlet megoldása két p(x)=0 és q(x)≠0 feltétel teljesülésére redukálódik.

Ez a következtetés megfelel a következőnek tört racionális egyenlet megoldására szolgáló algoritmus. Az alak tört racionális egyenletének megoldásához szüksége van

• oldja meg a teljes racionális egyenletet p(x)=0 ;
• és ellenőrizze, hogy a q(x)≠0 feltétel teljesül-e minden egyes talált gyökér esetében, miközben
• ha igaz, akkor ez a gyök az eredeti egyenlet gyöke;
• ha nem teljesül, akkor ez a gyök idegen, vagyis nem az eredeti egyenlet gyöke.

Nézzünk egy példát a bejelentett algoritmus használatára tört racionális egyenlet megoldása során.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Ez egy tört racionális egyenlet, és alakja, ahol p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Az ilyen típusú tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmus szerint először a 3 x−2=0 egyenletet kell megoldanunk. Ez lineáris egyenlet, melynek gyöke x=2/3.

Marad a gyökér ellenőrzése, vagyis annak ellenőrzése, hogy megfelel-e az 5 x 2 −2≠0 feltételnek. Behelyettesítjük a 2/3 számot az 5 x 2 −2 kifejezésbe x helyett, és azt kapjuk, hogy . A feltétel teljesül, tehát x=2/3 az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

2/3 .

A tört racionális egyenlet megoldását egy kicsit más pozícióból közelítheti meg. Ez az egyenlet ekvivalens a p(x)=0 egész egyenlettel az eredeti egyenlet x változóján. Vagyis ehhez ragaszkodhatsz tört racionális egyenlet megoldására szolgáló algoritmus :

• oldja meg a p(x)=0 egyenletet;
• keresse meg az x változó ODZ-jét;
• vegyen gyökereket az elfogadható értékek tartományába - ezek az eredeti tört racionális egyenlet kívánt gyökerei.

Például oldjunk meg egy tört racionális egyenletet ezzel az algoritmussal.

Példa.

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás.

Először az x 2 −2·x−11=0 másodfokú egyenletet oldjuk meg. Gyökerei a páros második együttható gyökképletével számíthatók ki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, És .

Másodszor, megtaláljuk az eredeti egyenlet x változójának ODZ-jét. Minden olyan számból áll, amelyekre x 2 +3·x≠0, ami megegyezik x·(x+3)≠0-val, ahonnan x≠0, x≠−3.

Továbbra is ellenőrizni kell, hogy az első lépésben talált gyökerek szerepelnek-e az ODZ-ben. Nyilván igen. Ezért az eredeti tört racionális egyenletnek két gyöke van.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy ez a megközelítés jövedelmezőbb, mint az első, ha az ODZ könnyen megtalálható, és különösen előnyös, ha a p(x) = 0 egyenlet gyökei például irracionálisak vagy racionálisak, de meglehetősen nagy számlálóval és /vagy nevező, például 127/1101 és −31/59. Ez annak köszönhető, hogy ilyen esetekben a q(x)≠0 feltétel ellenőrzése jelentős számítási erőfeszítést igényel, és az ODZ segítségével könnyebb kizárni az idegen gyökereket.

Más esetekben az egyenlet megoldása során, különösen akkor, ha a p(x) = 0 egyenlet gyöke egész szám, előnyösebb az adott algoritmusok közül az elsőt használni. Vagyis célszerű azonnal megkeresni a teljes p(x)=0 egyenlet gyökereit, majd ellenőrizni, hogy teljesül-e rájuk a q(x)≠0 feltétel, ahelyett, hogy megkeresnénk az ODZ-t, majd megoldjuk az egyenletet. p(x)=0 ezen az ODZ-n. Ez annak köszönhető, hogy ilyen esetekben általában könnyebb ellenőrizni, mint megtalálni a DZ-t.

Tekintsük két példa megoldását a megadott árnyalatok illusztrálására.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Először is keressük meg az egész egyenlet gyökereit (2 x-1) (x-6) (x 2-5 x+14) (x+1)=0, amelyet a tört számlálójával állítunk össze. Ennek az egyenletnek a bal oldala egy szorzat, a jobb oldala pedig nulla, ezért a faktorizációs egyenletmegoldás módszere szerint ez az egyenlet négy egyenletből álló halmaznak felel meg: 2 x−1=0, x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Ezen egyenletek közül három lineáris, egy pedig másodfokú; meg tudjuk oldani őket. Az első egyenletből x=1/2, a másodikból - x=6, a harmadikból - x=7, x=−2, a negyedikből - x=−1.

A talált gyökökkel meglehetősen könnyű ellenőrizni, hogy az eredeti egyenlet bal oldalán lévő tört nevezője eltűnik-e, de az ODZ meghatározása éppen ellenkezőleg, nem olyan egyszerű, mert ehhez meg kell oldania egy ötödik fokú algebrai egyenlet. Ezért felhagyunk az ODZ keresésével a gyökerek ellenőrzése helyett. Ehhez a kifejezésben szereplő x változó helyett egyesével helyettesítjük őket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, amelyet behelyettesítés után kapunk, és hasonlítsa össze őket nullával: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15,7 4 +57,7 3 −13,7 2 +26,7+112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Így 1/2, 6 és -2 az eredeti tört racionális egyenlet kívánt gyöke, 7 és -1 pedig külső gyök.

Válasz:

1/2 , 6 , −2 .

Példa.

Keresse meg a tört racionális egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Először is keressük meg az egyenlet gyökereit (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ez az egyenlet két egyenletből álló halmaznak felel meg: négyzet 5 x 2 −7 x−1=0 és lineáris x−2=0. A másodfokú egyenlet gyökeinek képletével két gyöket találunk, és a második egyenletből x=2.

Elég kellemetlen ellenőrizni, hogy a nevező nullára megy-e az x talált értékeinél. És az x változó megengedett értékeinek tartományának meghatározása az eredeti egyenletben meglehetősen egyszerű. Ezért az ODZ-n keresztül fogunk eljárni.

Esetünkben az eredeti tört racionális egyenlet x változójának ODZ-je minden számból áll, kivéve azokat, amelyekre az x 2 +5·x−14=0 feltétel teljesül. Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei x=−7 és x=2, amiből levonjuk az ODZ-re vonatkozó következtetést: minden olyan x-ből áll, hogy .

Még ellenőrizni kell, hogy a talált gyökök és x=2 az elfogadható értékek tartományába tartoznak-e. A gyökök hozzátartoznak, tehát az eredeti egyenlet gyökei, és az x=2 nem tartozik hozzá, ezért ez egy idegen gyök.

Válasz:

Hasznos lesz külön foglalkozni azokkal az esetekkel is, amikor egy tört racionális alakegyenletben a számlálóban szám szerepel, vagyis amikor p(x) valamilyen számmal van ábrázolva. Ahol

• ha ez a szám nem nulla, akkor az egyenletnek nincs gyöke, mivel egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számlálója nulla;
• ha ez a szám nulla, akkor az egyenlet gyöke bármely szám az ODZ-ből.

Példa.

Megoldás.

Mivel az egyenlet bal oldalán lévő tört számlálója nem nulla számot tartalmaz, ezért bármely x esetén ennek a törtnek az értéke nem lehet nulla. Ezért ennek az egyenletnek nincs gyökere.

Válasz:

nincsenek gyökerei.

Példa.

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás.

Ennek a tört racionális egyenletnek a bal oldalán lévő tört számlálója nullát tartalmaz, így ennek a törtnek az értéke nulla minden olyan x esetén, amelyre értelme van. Más szavakkal, ennek az egyenletnek a megoldása a változó ODZ-jéből származó x bármely értéke.

Továbbra is meg kell határozni az elfogadható értékek ezen tartományát. Tartalmazza az összes x értékét, amelyre x 4 +5 x 3 ≠0. Az x 4 +5 x 3 =0 egyenlet megoldásai 0 és -5, mivel ez az egyenlet ekvivalens az x 3 (x+5)=0 egyenlettel, viszont ekvivalens két x egyenlet kombinációjával 3 =0 és x +5=0, ahonnan ezek a gyökerek láthatók. Ezért az elfogadható értékek kívánt tartománya tetszőleges x, kivéve x=0 és x=−5.

Így egy tört racionális egyenletnek végtelen sok megoldása van, amelyek tetszőleges számok, kivéve nullát és mínusz ötöt.

Válasz:

Végül itt az ideje, hogy beszéljünk tetszőleges alakú tört racionális egyenletek megoldásáról. Felírhatók a következőképpen: r(x)=s(x), ahol r(x) és s(x) racionális kifejezések, és legalább az egyikük tört. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy a megoldásuk a számunkra már ismert formájú egyenletek megoldásán múlik.

Ismeretes, hogy az egyenlet egyik részéből a másikba ellentétes előjelű tag átvitele ekvivalens egyenlethez vezet, ezért az r(x)=s(x) egyenlet ekvivalens az r(x)−s(x) egyenlettel. )=0.

Azt is tudjuk, hogy bármely , amely megegyezik ezzel a kifejezéssel, lehetséges. Így az r(x)−s(x)=0 egyenlet bal oldalán lévő racionális kifejezést mindig átalakíthatjuk a forma azonos racionális törtjére.

Tehát az eredeti r(x)=s(x) tört racionális egyenletről áttérünk az egyenletre, és a megoldása, mint fentebb megtudtuk, a p(x)=0 egyenlet megoldására redukálódik.

De itt figyelembe kell venni azt a tényt, hogy ha r(x)−s(x)=0-t -ra, majd p(x)=0-ra cserélünk, akkor az x változó megengedett értékeinek tartománya kibővülhet. .

Ebből következően az általunk kapott eredeti r(x)=s(x) és p(x)=0 egyenlet egyenlőtlennek bizonyulhat, és a p(x)=0 egyenlet megoldásával gyököket kaphatunk. amelyek az eredeti r(x)=s(x) egyenlet külső gyökei lesznek. Az idegen gyökök azonosítása és nem szerepeltetése a válaszban akár ellenőrzéssel, akár annak ellenőrzésével, hogy az eredeti egyenlet ODZ-jéhez tartoznak-e.

Foglaljuk össze ezeket az információkat algoritmus az r(x)=s(x) tört racionális egyenlet megoldására. Az r(x)=s(x) törtracionális egyenlet megoldásához szükségünk van

• Kapjon nullát a jobb oldalon, ha a kifejezést a jobb oldalról mozgatja az ellenkező előjellel.
• Végezzen műveleteket az egyenlet bal oldalán lévő törtekkel és polinomokkal, ezáltal alakítsa át az alak racionális törtrészévé.
• Oldja meg a p(x)=0 egyenletet!
• Idegen gyökök azonosítása és kiküszöbölése az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel vagy az eredeti egyenlet ODZ-jéhez való tartozásuk ellenőrzésével.

A nagyobb érthetőség kedvéért megmutatjuk a tört racionális egyenletek megoldásának teljes láncát:
.

Nézzünk meg néhány példát a megoldással részletes magyarázat a megoldás előrehaladását az adott információblokk tisztázása érdekében.

Példa.

Tört racionális egyenlet megoldása.

Megoldás.

Az imént kapott megoldási algoritmus szerint járunk el. És először az egyenlet jobb oldaláról balra mozgatjuk a tagokat, ennek eredményeként továbblépünk az egyenletre.

A második lépésben a kapott egyenlet bal oldalán lévő tört racionális kifejezést tört alakra kell konvertálnunk. Ehhez a racionális törteket közös nevezőre redukáljuk, és egyszerűsítjük a kapott kifejezést: . Elérkeztünk tehát az egyenlethez.

A következő lépésben a −2·x−1=0 egyenletet kell megoldanunk. Azt találjuk, hogy x=−1/2.

Azt kell még ellenőrizni, hogy a talált −1/2 szám nem-e az eredeti egyenlet külső gyöke. Ehhez ellenőrizheti vagy megkeresheti az eredeti egyenlet x változójának VA értékét. Mutassuk meg mindkét megközelítést.

Kezdjük az ellenőrzéssel. Az eredeti egyenletbe behelyettesítjük a −1/2 számot az x változó helyett, és ugyanazt kapjuk, −1=−1. A behelyettesítés megadja a helyes numerikus egyenlőséget, így x=−1/2 az eredeti egyenlet gyöke.

Most megmutatjuk, hogyan történik az algoritmus utolsó pontja az ODZ-n keresztül. Az eredeti egyenlet megengedett értékeinek tartománya az összes szám halmaza, kivéve -1 és 0 (x=-1 és x=0 esetén a törtek nevezői eltűnnek). Az előző lépésben talált x=−1/2 gyök az ODZ-hez tartozik, ezért x=−1/2 az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

−1/2 .

Nézzünk egy másik példát.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Meg kell oldanunk egy tört racionális egyenletet, menjünk végig az algoritmus minden lépésén.

Először a jobb oldalról balra mozgatjuk a kifejezést, így kapjuk a .

Másodszor átalakítjuk a bal oldalon képzett kifejezést: . Ennek eredményeként az x=0 egyenlethez jutunk.

Gyökere nyilvánvaló - nulla.

A negyedik lépésben azt kell kideríteni, hogy a talált gyök kívül esik-e az eredeti tört racionális egyenlettől. Ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, megkapjuk a kifejezést. Nyilván nincs értelme, mert nullával való osztást tartalmaz. Ebből arra következtetünk, hogy a 0 egy idegen gyök. Ezért az eredeti egyenletnek nincs gyökere.

7, ami az egyenlethez vezet. Ebből arra következtethetünk, hogy a bal oldal nevezőjében lévő kifejezésnek egyenlőnek kell lennie a jobb oldaléval, azaz . Most kivonjuk a hármas mindkét oldalából: . Hasonlatosan, honnan, és tovább.

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindkét talált gyök az eredeti tört racionális egyenlet gyöke.

Válasz:

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv tanulóknak oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

A legkisebb közös nevezőt használjuk az egyenlet egyszerűsítésére. Ezt a módszert akkor használjuk, ha egy adott egyenletet nem tud felírni egy racionális kifejezéssel az egyenlet mindkét oldalán (és használja a keresztezett szorzási módszert). Ezt a módszert akkor használjuk, ha 3 vagy több törtből álló racionális egyenletet kapunk (két tört esetén jobb a keresztezett szorzást használni).

Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét (vagy legkisebb közös többszörösét). NOZ az legkisebb szám, amely egyenletesen osztható minden nevezővel.

• Néha az NPD nyilvánvaló szám. Például, ha adott az egyenlet: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, akkor nyilvánvaló, hogy a 3, 2 és 6 számok legkisebb közös többszöröse 6.
• Ha az NCD nem egyértelmű, írja fel a legnagyobb nevező többszöröseit, és keressen közöttük olyat, amelyik többszöröse lesz a többi nevezőnek. A NOD gyakran két nevező egyszerű szorzásával is megtalálható. Például, ha az egyenlet x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, akkor NOS = 8*9 = 72.
• Ha egy vagy több nevező tartalmaz változót, akkor a folyamat valamivel bonyolultabbá válik (de nem lehetetlen). Ebben az esetben a NOC egy olyan kifejezés (amely változót tartalmaz), amely el van osztva minden nevezővel. Például az 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) egyenletben, mert ezt a kifejezést minden nevező osztja: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Szorozzuk meg az egyes törtek számlálóját és nevezőjét egy olyan számmal, amely megegyezik a NOC-nak az egyes törtek megfelelő nevezőjével való osztásával. Mivel a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal szorozza meg, gyakorlatilag a törtet szorozza 1-gyel (például 2/2 = 1 vagy 3/3 = 1).

• Példánkban tehát szorozzuk meg x/3-at 2/2-vel, hogy 2x/6-ot kapjunk, és 1/2-t 3/3-mal, hogy 3/6-ot kapjunk (a 3x +1/6 törtet nem kell szorozni, mert a nevező 6).
• Hasonló módon járjon el, ha a változó a nevezőben van. Második példánkban NOZ = 3x(x-1), tehát 5/(x-1) szorozzuk meg (3x)/(3x)-val, hogy 5(3x)/(3x)(x-1) legyen; 1/x szorozva 3(x-1)/3(x-1)-el, és kapunk 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) megszorozva (x-1)/(x-1)-gyel, és kapsz 2(x-1)/3x(x-1).

Keresse meg x-et. Most, hogy a törteket közös nevezőre redukálta, megszabadulhat a nevezőtől. Ehhez szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel. Ezután oldja meg a kapott egyenletet, azaz keresse meg az „x”-et. Ehhez izolálja a változót az egyenlet egyik oldalán.

• Példánkban: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Összeadhat 2 törtet azonos nevezővel, ezért írja fel az egyenletet a következőképpen: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-tal, és szabaduljunk meg a nevezőktől: 2x+3 = 3x +1. Oldja meg és kapja meg, hogy x = 2.
• Második példánkban (változóval a nevezőben) az egyenlet így néz ki (közös nevezőre redukálás után): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk N3-mal, akkor megszabadulunk a nevezőtől, és megkapjuk: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), vagy 15x = 3x - 3 + 2x -2, ill. 15x = x - 5 Oldja meg és kapja meg: x = -5/14.

Előadás és óra a következő témában: "Racionális egyenletek. Algoritmus és példák a racionális egyenletek megoldására"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 8. osztályosoknak
A tankönyv kézikönyve Makarychev Yu.N. A tankönyv kézikönyve Mordkovich A.G.

Bevezetés az irracionális egyenletekbe

Srácok, megtanultuk megoldani másodfokú egyenletek. De a matematika nem korlátozódik csak rájuk. Ma megtanuljuk, hogyan kell racionális egyenleteket megoldani. A racionális egyenletek fogalma sok tekintetben hasonló a fogalomhoz racionális számok. Csak a számok mellett most bevezettünk néhány $x$ változót. Így egy olyan kifejezést kapunk, amelyben az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és egész hatványra emelés műveletei jelen vannak.

Legyen $r(x)$ racionális kifejezés. Ilyen kifejezés lehet egy egyszerű polinom a $x$ változóban vagy polinomok aránya (egy osztási műveletet vezetünk be, mint a racionális számoknál).
Az $r(x)=0$ egyenletet nevezzük racionális egyenlet.
Bármely $p(x)=q(x)$ alakú egyenlet, ahol a $p(x)$ és a $q(x)$ racionális kifejezések, szintén racionális egyenlet.

Nézzünk példákat a racionális egyenletek megoldására.

1. példa
Oldja meg az egyenletet: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Megoldás.
Vigyük át az összes kifejezést a bal oldalra: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ha az egyenlet bal oldalát közönséges számok ábrázolnák, akkor a két törtet közös nevezőre redukálnánk.
Tegyük ezt: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
A következő egyenletet kaptuk: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a tört számlálója nulla, nevezője pedig nem nulla. Ezután a számlálót külön egyenlővé tesszük nullával, és megkeressük a számláló gyökereit.
$3(x^2+2x-3)=0$ vagy $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Most nézzük meg a tört nevezőjét: $(x-3)*x≠0$.
Két szám szorzata egyenlő nullával, ha ezek közül legalább az egyik nulla. Ekkor: $x≠0$ vagy $x-3≠0$.
$x≠0$ vagy $x≠3$.
A számlálóban és a nevezőben kapott gyökök nem esnek egybe. Tehát a számláló mindkét gyökerét felírjuk a válaszba.
Válasz: $x=1$ vagy $x=-3$.

Ha hirtelen a számláló egyik gyökere egybeesik a nevező gyökével, akkor ki kell zárni. Az ilyen gyökereket idegennek nevezzük!

Algoritmus racionális egyenletek megoldására:

1. Helyezze az egyenletben szereplő összes kifejezést az egyenlőségjel bal oldalára.
2. Alakítsa át az egyenletnek ezt a részét algebrai tört: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. A kapott számlálót egyenlővé tesszük nullával, azaz oldjuk meg a $p(x)=0$ egyenletet.
4. Egyenlítse a nevezőt nullával, és oldja meg a kapott egyenletet! Ha a nevező gyökerei egybeesnek a számláló gyökével, akkor azokat ki kell zárni a válaszból.

2. példa
Oldja meg az egyenletet: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Megoldás.
Oldjuk meg az algoritmus pontjai szerint.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Egyenlítse a számlálót nullával: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Egyenlítse a nevezőt nullával:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ és $x=-1$.
Az egyik gyök $x=1$ egybeesik a számláló gyökével, akkor nem írjuk le a válaszban.
Válasz: $x=-1$.

A racionális egyenletek megoldása kényelmes a változóváltás módszerével. Mutassuk meg ezt.

3. példa
Oldja meg az egyenletet: $x^4+12x^2-64=0$.

Megoldás.
Mutassuk be a helyettesítést: $t=x^2$.
Ekkor az egyenletünk a következő alakot veszi fel:
$t^2+12t-64=0$ - közönséges másodfokú egyenlet.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollár.
Vezessük be a fordított helyettesítést: $x^2=4$ vagy $x^2=-16$.
Az első egyenlet gyökerei egy $x=±2$ számpár. A második dolog az, hogy nincsenek gyökerei.
Válasz: $x=±2$.

4. példa
Oldja meg az egyenletet: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Megoldás.
Vezessünk be egy új változót: $t=x^2+x+1$.
Ekkor az egyenlet a következő formában lesz: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ezután az algoritmus szerint járunk el.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollár.
4. $t≠-2$ - a gyökerek nem esnek egybe.
Vezessünk be egy fordított helyettesítést.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Oldjuk meg az egyes egyenleteket külön-külön:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nem gyökerei
És a második egyenlet: $x^2+x-2=0$.
Ennek az egyenletnek a gyökerei a $x=-2$ és $x=1$ számok lesznek.
Válasz: $x=-2$ és $x=1$.

5. példa.
Oldja meg az egyenletet: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Megoldás.
Vezessük be a helyettesítést: $t=x+\frac(1)(x)$.
Akkor:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ vagy $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Megkaptuk az egyenletet: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Ennek az egyenletnek a gyöke a következő pár:
$t=-3$ és $t=2$.
Vezessük be a fordított helyettesítést:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Majd külön döntünk.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Oldjuk meg a második egyenletet:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Ennek az egyenletnek a gyöke a $x=1$ szám.
Válasz: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Önállóan megoldandó problémák

Egyenletek megoldása:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.