Hogyan találjuk meg manuálisan egy szám négyzetgyökét. Hogyan találjuk meg a négyzetgyököt? Tulajdonságok, példák a gyökérkivonásra

Racionális számok

Egy pozitív szám nemnegatív négyzetgyökét nevezzük számtani négyzetgyökés gyökjellel jelöljük.

Komplex számok

A komplex számok területén mindig van két megoldás, amelyek csak előjelben térnek el egymástól (kivéve négyzetgyök nullától). A komplex számok gyökerét gyakran jelölik, de ezt a jelölést óvatosan kell használni. Gyakori hiba:

Egy komplex szám négyzetgyökének kivonásához célszerű a komplex szám írásának exponenciális formáját használni: ha

, ,

ahol a modulus gyökerét abban az értelemben értjük számtani érték, és k felveheti a k=0 és k=1 értékeket, így a válasz két különböző eredményt kap.

Általánosítások

A négyzetgyököket más objektumok alakegyenleteinek megoldásaként vezetik be: mátrixok, függvények, operátorok stb. Meglehetősen tetszőleges szorzóműveletek használhatók műveletként, például szuperpozíció.

Négyzetgyök az informatikában

Számos függvényszintű programozási nyelvben (valamint a jelölőnyelvekben, például a LaTeX-ben) a négyzetgyök függvényt a következőképpen írják: sqrt(angolról négyzetgyök"Négyzetgyök").

Algoritmusok a négyzetgyök meghatározásához

Egy adott szám négyzetgyökének megtalálását vagy kiszámítását nevezzük kitermelés(négyzetgyök.

Taylor sorozat bővítése

nál nél .

Aritmetikai négyzetgyök

Számnégyzetekre a következő egyenlőségek igazak:

Vagyis megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész részét, ha kivon belőle minden páratlan számot, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivont szám, vagy egyenlő nullával, és megszámolja a végrehajtott műveletek számát. Például így:

3 lépés befejeződött, a 9 négyzetgyöke 3.

Ennek a módszernek az a hátránya, hogy ha a kinyert gyökér nem egész szám, akkor csak a teljes részét tudhatja meg, de pontosabban nem. Ugyanakkor ez a módszer meglehetősen hozzáférhető azoknak a gyerekeknek, akik olyan egyszerű matematikai problémákat oldanak meg, amelyek a négyzetgyök kivonását igénylik.

Durva becslés

Sok számítási algoritmus négyzetgyök a pozitívtól valós szám S kezdeti értéket igényel. Ha a kezdeti érték túl messze van a gyökér valós értékétől, a számítások lelassulnak. Ezért hasznos egy hozzávetőleges becslés, amely lehet nagyon pontatlan, de könnyen kiszámítható. Ha S≥ 1, legyen D a számjegyek száma lesz S a tizedesvesszőtől balra. Ha S < 1, пусть D az egymást követő nullák száma a tizedesvesszőtől jobbra, mínusz előjellel. Akkor a durva becslés így néz ki:

Ha D páratlan, D = 2n+ 1, majd használd Ha D még, D = 2n+ 2, majd használd

Kettőt és hatot azért használnak És

Ha bináris rendszerben dolgozik (mint a számítógépeken belül), más értékelést kell használni (itt D a bináris számjegyek száma).

Geometriai négyzetgyök

A gyökér manuális kivonásához a hosszú osztáshoz hasonló jelölést használnak.

Felírjuk azt a számot, amelynek gyökerét keressük. Tőle jobbra fokozatosan megkapjuk a kívánt gyök számait. Vegyük egy véges számú tizedesjegyű szám gyökét. Kezdésként gondolatban vagy jegyekkel osztjuk az N számot két számjegyből álló csoportokra a tizedesvesszőtől balra és jobbra. Ha szükséges, a csoportokat nullákkal töltjük ki – az egész részt a bal oldalon, a tört részt a jobb oldalon. Tehát a 31234.567 03 12 34-ként ábrázolható. 56 70. Az osztástól eltérően a bontás ilyen 2 számjegyű csoportokban történik.

A sok tudás között, amely az írástudás jele, az ábécé áll az első helyen. A következő, egyformán „jeles” elem az összeadás-szorzás készsége és a velük szomszédos, de jelentésükben ellentétes, a kivonás-osztás aritmetikai műveletei. A távoli iskolai gyermekkorban tanult készségek éjjel-nappal hűségesen szolgálnak: tévé, újság, SMS, és mindenhol, ahol olvasunk, írunk, számolunk, összeadunk, kivonunk, szorozunk. És mondd, gyakran kellett gyökeret eresztened az életedben, kivéve a dachában? Például egy ilyen szórakoztató probléma, mint az 12345-ös szám négyzetgyöke... Van még puskapor a lombikokban? Tudjuk kezelni? Mi sem lehetne egyszerűbb! Hol van a számológépem... És nélküle gyenge a kézi küzdelem?

Először is tisztázzuk, mi ez - egy szám négyzetgyöke. Általánosságban elmondható, hogy „egy szám gyökerének felvétele” azt jelenti, hogy a hatványra emeléssel ellentétes számtani műveletet hajtunk végre – itt az ellentétek egysége az életben való alkalmazásban. Tegyük fel, hogy a négyzet egy szám önmagával való szorzása, azaz ahogy az iskolában tanítják, X * X = A vagy más jelöléssel X2 = A, és szavakban - „X négyzet egyenlő A-val”. Ekkor az inverz probléma így hangzik: az A szám négyzetgyöke az X szám, amely négyzetre vetve egyenlő A-val.

A négyzetgyök felvétele

Az iskolai aritmetikai kurzusból ismertek az „oszlopos” számítási módszerek, amelyek az első négy számtani művelettel segítenek bármilyen számítás elvégzésében. Sajnos... A négyzetgyökökhöz, és nem csak a négyzetgyökökhöz, nem léteznek ilyen algoritmusok. És ebben az esetben hogyan lehet kivonni a négyzetgyököt számológép nélkül? A négyzetgyök definíciója alapján egyetlen következtetés vonható le - az eredmény értékét olyan számok szekvenciális felsorolásával kell kiválasztani, amelyek négyzete megközelíti a gyökkifejezés értékét. Ez minden! Egy-két óra eltelte előtt a jól ismert „oszlopos” szorzási módszerrel bármilyen négyzetgyököt kiszámolhat. Ha megvan a képességed, ez csak néhány percet vesz igénybe. Ezt még egy számológép vagy számítógép nem túl gyakorlott felhasználója is megteheti egy csapásra – előrelépés.

De komolyan, a négyzetgyök kiszámítása gyakran a „tüzérségi villa” technikával történik: először vegyünk egy számot, amelynek négyzete megközelítőleg megfelel a gyök kifejezésnek. Jobb, ha a „mi négyzetünk” valamivel kisebb ennél a kifejezésnél. Aztán saját ügyességüknek és értelmüknek megfelelően állítják be a számot, például megszorozzák kettővel, és... újra négyzetre emelik. Ha az eredmény több szám a gyökér alatt, egymás után módosítva az eredeti számot, fokozatosan közelítve a gyökér alatti „kollégához”. Mint látható - nincs számológép, csak az „oszlopban” való számolás képessége. Természetesen sok tudományosan bizonyított és optimalizált algoritmus létezik a négyzetgyök kiszámítására, de a „ otthoni használatra"A fenti technika 100%-os bizalmat ad az eredményben.

Igen, majdnem elfelejtettem, hogy megnövekedett írástudásunk megerősítésére számoljuk ki a korábban jelzett 12345 szám négyzetgyökét. Lépésről lépésre tesszük:

1. Vegyük tisztán intuitív módon X=100-at. Számítsuk ki: X * X = 10000. Az intuíció a legjobb – az eredmény kisebb, mint 12345.

2. Próbáljuk meg, szintén pusztán intuitív módon, X = 120. Ezután: X * X = 14400. És megint az intuíció rendben van - az eredmény több mint 12345.

3. Fent kaptunk egy 100-as és 120-as "villát". Válasszunk új számokat - 110 és 115. 12100-at és 13225-öt kapunk - a villa szűkül.

4. Próbáljuk meg a „talán” X=111-et. X * X = 12321-et kapunk. Ez a szám már egészen közel van az 12345-höz. A kívánt pontosságnak megfelelően az „illesztés” folytatható vagy leállítható a kapott eredménynél. Ez minden. Ahogy ígértem - minden nagyon egyszerű és számológép nélkül.

Csak egy kis történelem...

A püthagoreusok, az iskola diákjai és Pythagoras követői a négyzetgyökök használatának ötletével álltak elő Kr.e. 800 évvel. és éppen ott „futottunk bele” új felfedezésekbe a számok terén. És ez honnan jött?

1. A feladat megoldása a gyök kinyerésével egy új osztály számok formájában adja meg az eredményt. Irracionálisnak, más szóval „ésszerűtlennek” nevezték őket, mert. nem teljes számként vannak felírva. A legtöbb klasszikus példa ez a fajta a 2 négyzetgyöke. Ez az eset egy 1-gyel egyenlő oldalú négyzet átlójának kiszámításához tartozik – ez a Pitagorasz-iskola hatása. Kiderült, hogy egy nagyon meghatározott oldalméretű háromszögben a hipotenusz mérete olyan számmal van kifejezve, amelynek „nincs vége”. Így jelentek meg a matematikában

2. Ismeretes, hogy kiderült, hogy ez a matematikai művelet egy másik fogást is tartalmaz - a gyökér kinyerésekor nem tudjuk, hogy melyik pozitív vagy negatív szám a gyökkifejezés négyzete. Ezt a bizonytalanságot, egy művelet kétszeres eredményét rögzítjük így.

Az ezzel a jelenséggel kapcsolatos problémák tanulmányozása a matematikában a komplex változók elméletének nevezett irányvonalává vált, amelynek nagy gyakorlati jelentősége van a matematikai fizikában.

Különös, hogy ugyanaz a mindenütt jelenlévő I. Newton használta a gyök megjelölését az „Univerzális aritmetikában”, és pontosan modern megjelenés a gyökér jelölése 1690 óta ismert a francia Rolle „Algebrai kézikönyv” című könyvéből.

Ebben a cikkben bemutatjuk szám gyökének fogalma. Szekvenciálisan haladunk tovább: a négyzetgyökkel kezdjük, onnantól áttérünk a köbgyök leírására, majd az n-edik gyök meghatározásával általánosítjuk a gyök fogalmát. Egyúttal definíciókat, jelöléseket vezetünk be, példákat adunk a gyökökre és megadjuk a szükséges magyarázatokat, megjegyzéseket.

Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

Ahhoz, hogy megértsük egy szám gyökének definícióját, és különösen a négyzetgyökét, rendelkeznie kell . Ezen a ponton gyakran találkozunk a szám második hatványával - egy szám négyzetével.

Kezdjük azzal négyzetgyök definíciók.

Meghatározás

Négyzetgyök a olyan szám, amelynek négyzete egyenlő a-val.

Annak érdekében, hogy hozza négyzetgyök példák, vegyünk több számot, például 5, -0,3, 0,3, 0, és négyzetezzük őket, így a 25, 0,09, 0,09 és 0 számokat kapjuk (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 · 0,3 = 0,09 és 0 2 = 0,0 = 0). Ekkor a fenti definíció szerint az 5-ös szám a 25-ös szám négyzetgyöke, a -0,3 és 0,3 számok 0,09 négyzetgyöke, a 0 pedig a nulla négyzetgyöke.

Meg kell jegyezni, hogy egyetlen a számhoz sem létezik olyan, amelynek négyzete egyenlő a-val. Mégpedig bármelyikre negatív szám a nincs olyan b valós szám, amelynek négyzete egyenlő a-val. Valójában az a=b 2 egyenlőség lehetetlen bármely negatív a-ra, mivel b 2 nem negatív szám bármely b-re. És így, a valós számok halmazán nincs negatív szám négyzetgyöke. Más szóval, a valós számok halmazán a negatív szám négyzetgyöke nincs meghatározva, és nincs jelentése.

Ez egy logikus kérdéshez vezet: „Van-e az a négyzetgyöke bármely nem negatív a-nak”? A válasz igen. Ennek a ténynek az igazolása tekinthető konstruktív módon, a négyzetgyök értékének meghatározására szolgál.

Ekkor felmerül a következő logikus kérdés: „Hány négyzetgyöke van egy adott nemnegatív számnak a – egy, kettő, három vagy még több”? Íme a válasz: ha a nulla, akkor a nulla egyetlen négyzetgyöke nulla; ha a néhány pozitív szám, akkor az a szám négyzetgyökeinek száma kettő, a gyökei pedig . Indokoljuk meg ezt.

Kezdjük az a=0 esettel. Először is mutassuk meg, hogy a nulla valóban a nulla négyzetgyöke. Ez következik a 0 2 =0·0=0 nyilvánvaló egyenlőségből és a négyzetgyök definíciójából.

Most bizonyítsuk be, hogy 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke. Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy van valami nullától eltérő b szám, amely nulla négyzetgyöke. Ekkor teljesülnie kell a b 2 =0 feltételnek, ami lehetetlen, hiszen bármely nem nulla b esetén a b 2 kifejezés értéke pozitív. Ellentmondáshoz érkeztünk. Ez bizonyítja, hogy a 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke.

Térjünk át azokra az esetekre, amikor a pozitív szám. Fentebb azt mondtuk, hogy minden nemnegatív számnak mindig van négyzetgyöke, legyen a négyzetgyöke a b szám. Tegyük fel, hogy van egy c szám, amely egyben a négyzetgyöke is. Ekkor a négyzetgyök definíciója szerint a b 2 =a és c 2 =a egyenlőség igaz, amiből az következik, hogy b 2 −c 2 =a−a=0, de mivel b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , akkor (b−c)·(b+c)=0 . A kapott egyenlőség érvényes valós számokkal végzett műveletek tulajdonságai csak akkor lehetséges, ha b-c=0 vagy b+c=0 . Így a b és c számok egyenlőek vagy ellentétesek.

Ha feltételezzük, hogy van egy d szám, amely az a szám másik négyzetgyöke, akkor a már megadottakhoz hasonló érveléssel bebizonyítjuk, hogy d egyenlő b vagy c számmal. Tehát egy pozitív szám négyzetgyökeinek száma kettő, a négyzetgyökök pedig ellentétes számok.

A négyzetgyökökkel való munka megkönnyítése érdekében negatív gyök„elválik” a pozitívtól. Ebből a célból bevezetik a számtani négyzetgyök definíciója.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai négyzetgyöke a egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő a-val.

Az a számtani négyzetgyökének jelölése . Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük. Radikális jelnek is nevezik. Ezért néha hallható „gyökér” és „radikális”, ami ugyanazt az objektumot jelenti.

Az aritmetikai négyzetgyök jel alatti számot hívják gyökszám, a gyökjel alatti kifejezés pedig az radikális kifejezés, míg a „gyökszám” kifejezést gyakran a „gyökkifejezés” helyettesíti. Például a jelölésben a 151 szám gyökszám, a jelölésben pedig az a kifejezés egy gyök kifejezés.

Olvasáskor gyakran kimarad az „aritmetika” szó, például a szócikk „hét pont huszonkilenc négyzetgyökeként” olvasható. Az „aritmetika” szót csak akkor használják, ha ezt hangsúlyozni akarják arról beszélünk konkrétan egy szám pozitív négyzetgyökéről.

A bevezetett jelölés tükrében a számtani négyzetgyök definíciójából az következik, hogy bármely nemnegatív számra a.

Egy pozitív a szám négyzetgyökét a és számtani négyzetgyök jellel írjuk fel. Például 13 négyzetgyökei és . A nulla számtani négyzetgyöke nulla, azaz . Az a negatív számok esetében nem tulajdonítunk jelentést a jelölésnek, amíg nem tanulmányozzuk komplex számok. Például a és kifejezések értelmetlenek.

A négyzetgyök definíciója alapján bizonyítást nyernek a négyzetgyökök gyakorlatban gyakran használt tulajdonságai.

A bekezdés végén megjegyezzük, hogy az a szám négyzetgyökei x 2 =a alakú megoldások az x változóra vonatkozóan.

Egy szám kockagyöke

A kockagyök definíciója az a szám a négyzetgyök definíciójához hasonlóan adott. Csak egy szám kocka koncepcióján alapul, nem egy négyzeten.

Meghatározás

Kockagyöke a olyan szám, amelynek kocka egyenlő a-val.

Adjunk példák kockagyökerekre. Ehhez vegyünk több számot, például 7, 0, −2/3, és kockázzuk fel őket: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Ekkor a kockagyök definíciója alapján azt mondhatjuk, hogy a 7-es szám a 343-nak, a 0 a nulla, a −2/3 pedig a -8/27-nek a kockagyöke.

Megmutatható, hogy egy szám köbgyöke a négyzetgyöktől eltérően mindig létezik, nemcsak a nem negatív a-ra, hanem bármely a valós számra is. Ehhez ugyanazt a módszert használhatja, amelyet a négyzetgyökök tanulmányozása során említettünk.

Ráadásul egy adott a számnak csak egyetlen kockagyöke van. Bizonyítsuk be az utolsó állítást. Ehhez vegyünk három esetet külön: a pozitív szám, a=0 és a negatív szám.

Könnyen kimutatható, hogy ha a pozitív, akkor a kockagyöke nem lehet sem negatív szám, sem nulla. Valóban, legyen b a kockagyöke, akkor definíció szerint felírhatjuk a b 3 =a egyenlőséget. Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlőség nem igaz b-re és b=0-ra, mivel ezekben az esetekben b 3 =b·b·b negatív szám vagy nulla lesz. Tehát egy pozitív a szám kockagyöke pozitív szám.

Most tegyük fel, hogy a b számon kívül van még egy kockagyöke az a számnak, jelöljük c. Ekkor c 3 =a. Ezért b 3 −c 3 =a−a=0, de b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ez a rövidített szorzási képlet kockák különbsége), ahonnan (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. A kapott egyenlőség csak akkor lehetséges, ha b−c=0 vagy b 2 +b·c+c 2 =0. Az első egyenlőségből b=c, a második egyenlőségnek nincs megoldása, mivel a bal oldala pozitív szám bármely b és c pozitív számra, három pozitív tag b 2, b·c és c 2 összegeként. Ez bizonyítja az a pozitív szám kockagyökének egyediségét.

Ha a=0, akkor az a szám kockagyöke csak a nulla. Valóban, ha feltételezzük, hogy van egy b szám, amely nullától eltérő kockagyök, akkor a b 3 =0 egyenlőségnek teljesülnie kell, ami csak b=0 esetén lehetséges.

Negatív a esetén a pozitív a esetéhez hasonló érvek adhatók meg. Először is megmutatjuk, hogy egy negatív szám kockagyöke nem lehet egyenlő sem pozitív számmal, sem nullával. Másodszor, feltételezzük, hogy van egy negatív számnak egy második kockagyöke, és megmutatjuk, hogy az szükségszerűen egybeesik az elsővel.

Tehát minden adott a valós számnak mindig van egy kockagyöke, és egy egyedi.

Adjunk aritmetikai kockagyök definíciója.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai kockagyöke a egy nem negatív szám, amelynek kocka egyenlő a-val.

A nem negatív a szám aritmetikai kockagyökét , az előjelet a kockagyök előjelének, a 3-as számot ebben a jelölésben ún. gyökérindex. A gyökérjel alatti szám a gyökszám, a gyökérjel alatti kifejezés az radikális kifejezés.

Bár az aritmetikai kockagyök csak a nem negatív a számokra van definiálva, célszerű olyan jelöléseket is használni, amelyekben a számtani kockagyök jele alatt negatív számok találhatók. Ezeket a következőképpen fogjuk értelmezni: , ahol a pozitív szám. Például, .

A kockagyökerek tulajdonságairól a gyökerek általános cikktulajdonságainál fogunk beszélni.

A kockagyök értékének kiszámítását kockagyökér kivonásának nevezzük.

Ennek lezárásaként tegyük fel, hogy az a szám kockagyöke x 3 =a alakú megoldás.

n-edik gyök, n fokú számtani gyök

Általánosítsuk a számgyök fogalmát – vezetjük be n-edik gyökér meghatározása az n.

Meghatározás

n-edik gyöke az a olyan szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val.

Tól től ezt a meghatározást jól látható, hogy az a szám elsőfokú gyöke maga az a szám, hiszen a természetes kitevővel végzett fokszám vizsgálatakor 1 =a-t vettünk.

Fentebb megvizsgáltuk az n-edik gyökér speciális eseteit n=2 és n=3 - négyzetgyök és kockagyök esetén. Vagyis a négyzetgyök a másodfokú, a kockagyök pedig a harmadfokú gyök. Az n-edik fokú gyökök tanulmányozásához n=4, 5, 6, ... esetén célszerű két csoportra osztani őket: az első csoport - páros fokú gyökök (azaz n = 4, 6, 8 esetén , ...), a második csoport - páratlan fokos gyökök (azaz n=5, 7, 9, ... esetén). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a páros hatványok gyökerei hasonlóak a négyzetgyökökhöz, a páratlan hatványok pedig a köbgyökökhöz. Foglalkozzunk velük egyenként.

Kezdjük azokkal a gyökökkel, amelyek hatványai a páros számok 4, 6, 8, ... Mint már említettük, hasonlóak az a szám négyzetgyökéhez. Vagyis az a szám bármely páros fokának gyöke csak nemnegatív a esetén létezik. Sőt, ha a=0, akkor a gyöke egyedi és egyenlő nullával, ha pedig a>0, akkor az a számnak két páros fokú gyöke van, és ezek ellentétes számok.

Az utolsó állítást igazoljuk. Legyen b páros fokú gyök (2 m-nek jelöljük, ahol m néhány természetes szám) a számból. Tegyük fel, hogy van egy c szám – az a számtól 2·m fokú gyök. Ekkor b 2·m −c 2·m =a−a=0 . De ismerjük a b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) alakot. (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), akkor (b-c)·(b+c)· (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. Ebből az egyenlőségből az következik, hogy b−c=0, vagy b+c=0, vagy b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Az első két egyenlőség azt jelenti, hogy a b és c számok egyenlőek, vagy b és c ellentétesek. Az utolsó egyenlőség pedig csak b=c=0-ra érvényes, mivel annak bal oldalán van egy kifejezés, amely nemnegatív bármely b-re és c-re, mint nemnegatív számok összegére.

Ami a páratlan n n-edik fokú gyökereit illeti, ezek hasonlóak a köbgyökhöz. Vagyis az a szám bármely páratlan fokának gyöke létezik bármely a valós számra, és egy adott a számra egyedi.

Az a szám 2·m+1 páratlan fokú gyökének egyediségét az a szám kockagyökének egyediségének analógiájával bizonyítjuk. Csak itt egyenlőség helyett a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = formájú egyenlőséget használunk (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m). Az utolsó zárójelben lévő kifejezés átírható így b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Például m=2-vel megvan b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b–c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Ha a és b mindkettő pozitív vagy negatív, akkor a szorzatuk egy pozitív szám, akkor maga a b 2 +c 2 +b·c kifejezés zárójelben magas fokozat egymásba ágyazás, pozitív számok összegeként pozitív. Most, sorban haladva az előző beágyazási fokozatok zárójelben lévő kifejezéseire, meg vagyunk győződve arról, hogy ezek pozitív számok összegeként is pozitívak. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a b 2 m+1 −c 2 m+1 = egyenlőség (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 csak akkor lehetséges, ha b−c=0, vagyis ha a b egyenlő a c számmal.

Ideje megérteni az n-edik gyök jelölését. Erre a célra adott n-edik fokú számtani gyök meghatározása.

Meghatározás

Nemnegatív szám n-edik fokának számtani gyöke a egy nem negatív szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val.

Egy négyzetméteres telek területe 81 dm². Találd meg az oldalát. Tegyük fel, hogy a négyzet oldalhossza x deciméter. Ekkor a telek területe x² négyzetdeciméter. Mivel a feltétel szerint ez a terület 81 dm², akkor x² = 81. Egy négyzet oldalának hossza pozitív szám. Egy pozitív szám, amelynek négyzete 81, a 9. A feladat megoldásához meg kellett találni azt az x számot, amelynek négyzete 81, azaz meg kellett oldani az egyenletet x² = 81. Ennek az egyenletnek két gyökere van: x 1 = 9 és x 2 = - 9, mivel 9² = 81 és (- 9)² = 81. Mind a 9-et, mind a -9-et 81 négyzetgyökének nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az egyik négyzetgyök x= 9 pozitív szám. 81 számtani négyzetgyökének nevezzük, és √81-nek jelöljük, tehát √81 = 9.

Szám aritmetikai négyzetgyöke A egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő A.

Például a 6 és -6 számok a 36 négyzetgyökei. A 6 azonban 36 számtani négyzetgyöke, mivel a 6 egy nem negatív szám, és a 6² = 36. A - 6 nem egy számtani gyök.

Szám aritmetikai négyzetgyöke A a következőképpen jelöljük: √ A.

Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük; A- nevezték radikális kifejezésnek. Kifejezés √ A olvas így: egy szám aritmetikai négyzetgyöke A. Például √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Azokban az esetekben, amikor egyértelmű, hogy számtani gyökről beszélünk, röviden azt mondják: „a négyzetgyök A«.

A szám négyzetgyökének megtalálását négyzetgyökerezésnek nevezzük. Ez a művelet a négyzetesítés fordítottja.

Bármilyen szám négyzetre emelhető, de nem lehet négyzetgyököt kivonni egyetlen számból sem. Például lehetetlen kivonni a 4-es szám négyzetgyökét. Ha létezett ilyen gyök, akkor a betűvel jelölve x, akkor az x² = - 4 hibás egyenlőséget kapnánk, mivel a bal oldalon egy nemnegatív szám, a jobb oldalon egy negatív szám található.

Kifejezés √ A csak akkor van értelme a ≥ 0. A négyzetgyök definíciója röviden a következőképpen írható fel: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Egyenlőség (√ A)² = Aérvényes a ≥ 0. Így annak biztosítására, hogy egy nem negatív szám négyzetgyöke A egyenlő b, vagyis abban, hogy √ A =b, ellenőriznie kell, hogy a következő két feltétel teljesül-e: b ≥ 0, b² = A.

Tört négyzetgyöke

Számoljunk. Figyeljük meg, hogy √25 = 5, √36 = 6, és nézzük meg, hogy fennáll-e az egyenlőség.

Mert és , akkor az egyenlőség igaz. Így, .

Tétel: Ha A≥ 0 és b> 0, azaz a tört gyöke egyenlő a számláló gyökével osztva a nevező gyökével. Bizonyítani kell, hogy: és .

√ óta A≥0 és √ b> 0, akkor .

A tört hatványra emelésének tulajdonságáról és a négyzetgyök definíciójáról a tétel bebizonyosodott. Nézzünk néhány példát.

Számítsa ki a bizonyított tétel segítségével! .

Második példa: Bizonyítsd be , Ha A ≤ 0, b < 0. .

Egy másik példa: Számítsa ki .

.

Négyzetgyök konverzió

A szorzó eltávolítása a gyökérjel alól. Legyen adott a kifejezés. Ha A≥ 0 és b≥ 0, akkor a szorzatgyök tétel segítségével felírhatjuk:

Ezt a transzformációt a faktor eltávolításának nevezzük a gyökérjelből. Nézzünk egy példát;

Számítsa ki x= 2. Közvetlen helyettesítés x= 2 a gyökkifejezésben összetett számításokhoz vezet. Ezeket a számításokat leegyszerűsíthetjük, ha először eltávolítjuk a gyökérjel alól a tényezőket: . Ha most x = 2-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk:.

Tehát, amikor eltávolítjuk a faktort a gyökjel alól, a gyökkifejezés olyan szorzat formájában jelenik meg, amelyben egy vagy több tényező nemnegatív számok négyzetei. Ezután alkalmazza a szorzatgyök tételt, és vegye ki az egyes tényezők gyökerét. Tekintsünk egy példát: Egyszerűsítsük az A = √8 + √18 - 4√2 kifejezést úgy, hogy az első két tagban szereplő tényezőket kivesszük a gyökjel alól, így kapjuk:. Hangsúlyozzuk az egyenlőséget csak akkor érvényes A≥ 0 és b≥ 0. ha A < 0, то .

Ideje rendezni gyökérkivonási módszerek. Ezek a gyökök tulajdonságain alapulnak, különösen az egyenlőségen, ami minden nem negatív b számra igaz.

Az alábbiakban egyenként megvizsgáljuk a gyökerek kinyerésének fő módszereit.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel - gyökök kivonása természetes számokból négyzettáblázat, kockatábla stb.

Ha a négyzetek, kockák stb. Ha nincs kéznél, logikus a gyökér kinyerésének módszere, amely magában foglalja a gyökszám prímtényezőkre bontását.

Külön érdemes megemlíteni, hogy mi lehetséges a páratlan kitevővel rendelkező gyökök esetében.

Végül vegyünk egy módszert, amely lehetővé teszi, hogy egymás után megtaláljuk a gyökérérték számjegyeit.

Kezdjük el.

Négyzettáblázat, kockák táblázata stb.

A legegyszerűbb esetekben a négyzetek, kockák stb. táblázatai lehetővé teszik a gyökerek kinyerését. Mik ezek a táblázatok?

A 0 és 99 közötti egész számokat tartalmazó négyzettáblázat (lásd alább) két zónából áll. A táblázat első zónája szürke háttéren található egy adott sor és egy adott oszlop kiválasztásával, amely lehetővé teszi számok összeállítását 0 és 99 között. Például válasszunk ki egy 8 tízes sort és egy 3 egységből álló oszlopot, ezzel rögzítettük a 83-as számot. A második zóna az asztal többi részét foglalja el. Minden cella egy bizonyos sor és egy bizonyos oszlop metszéspontjában található, és tartalmazza a megfelelő szám négyzetét 0 és 99 között. Az általunk választott 8-as tízes sor és az egyesek 3-as oszlopának metszéspontjában van egy 6889-es cella, amely a 83-as szám négyzete.

A kockatáblázatok, a 0-tól 99-ig terjedő számok negyedik hatványainak táblázatai és így tovább hasonlóak a négyzettáblázathoz, csak a második zónában vannak kockák, negyedik hatványok stb. megfelelő számokat.

Négyzettáblák, kockák, negyedik hatványok stb. lehetővé teszi négyzetgyökök, kockagyökök, negyedik gyökök stb. ennek megfelelően az e táblázatokban szereplő számokból. Magyarázzuk el azok használatának elvét a gyökerek kinyerésekor.

Tegyük fel, hogy ki kell vonnunk az a szám n-edik gyökerét, miközben az a számot az n-edik hatványok táblázata tartalmazza. A táblázat segítségével megtaláljuk a b számot úgy, hogy a=b n. Akkor , ezért a b szám az n-edik fok kívánt gyöke lesz.

Példaként mutassuk meg, hogyan lehet egy kockatáblát használni a 19 683 kockagyökének kinyerésére. A kockatáblázatban megtaláljuk a 19 683-as számot, ebből azt találjuk, hogy ez a szám a 27-es szám kockája, ezért .

Nyilvánvaló, hogy az n-edik hatványtáblázatok nagyon kényelmesek a gyökerek kinyerésére. Ezek azonban gyakran nincsenek kéznél, és összeállításuk némi időt igényel. Ezenkívül gyakran olyan számokból kell gyököket kivonni, amelyek nem szerepelnek a megfelelő táblázatokban. Ilyen esetekben más gyökérkivonási módszerekhez kell folyamodnia.

Egy gyökszám faktorálása prímtényezőkké

Elég kényelmes módon, amely lehetővé teszi gyök kinyerését természetes számból (ha természetesen a gyökér kivonásra kerül), a gyökszám prímtényezőkre való felbontása. Övé a lényeg ez: utána elég könnyű hatalomként ábrázolni a szükséges mutatót, amely lehetővé teszi a gyökér értékének meghatározását. Tisztázzuk ezt a pontot.

Legyen egy a természetes szám n-edik gyöke, és az értéke egyenlő b-vel. Ebben az esetben az a=b n egyenlőség igaz. A b szám, mint minden természetes szám, minden p 1 , p 2 , …, p m prímtényezőjének szorzataként ábrázolható p 1 ·p 2 ·…·p m formában, és ebben az esetben az a gyökszám. a következőképpen van ábrázolva: (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Mivel egy szám prímtényezőkre bontása egyedi, az a gyökszám prímtényezőkre való felbontása (p 1 ·p 2 ·…·p m) n alakban lesz, ami lehetővé teszi a gyök értékének kiszámítását. mint .

Vegyük észre, hogy ha egy a gyökszám prímtényezőkre való bontása nem ábrázolható (p 1 ·p 2 ·…·p m) n formában, akkor egy ilyen a szám n-edik gyökét nem lehet teljesen kivonni.

Ezt a példák megoldása során derítsük ki.

Példa.

Vegyük a 144 négyzetgyökét.

Megoldás.

Ha megnézzük az előző bekezdésben megadott négyzettáblázatot, jól látható, hogy 144 = 12 2, amiből egyértelműen kiderül, hogy 144 négyzetgyöke egyenlő 12-vel.

De ennek fényében az érdekel minket, hogy a gyökér hogyan nyerhető ki a 144-es gyökszám prímtényezőkre való felosztásával. Nézzük ezt a megoldást.

Bontsuk le 144 elsődleges tényezőkhöz:

Azaz 144=2·2·2·2·3·3. A kapott bontás alapján a következő átalakítások hajthatók végre: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Ennélfogva, .

A fokok és a gyökerek tulajdonságait felhasználva a megoldást egy kicsit másképp is meg lehetne fogalmazni: .

Válasz:

Az anyag konszolidálásához tekintse meg további két példa megoldásait.

Példa.

Számítsa ki a gyökér értékét!

Megoldás.

A 243 gyökszám prímtényezős alakja 243=3 5 . És így, .

Válasz:

Példa.

A gyökér értéke egész szám?

Megoldás.

A kérdés megválaszolásához vegyük a gyökszámot prímtényezőkké, és nézzük meg, hogy ábrázolható-e egész szám kockaként.

Nálunk 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Az így kapott kiterjesztést nem lehet egész szám kockaként ábrázolni, mivel a 7-es prímtényező hatványa nem a három többszöröse. Ezért a 285 768-as kockagyök nem vonható ki teljesen.

Válasz:

Nem.

Gyökök kinyerése törtszámokból

Ideje kitalálni, hogyan lehet kinyerni a gyökeret törtszám. Írjuk fel a tört gyökszámot p/q-ként. A hányados gyökének tulajdonsága szerint a következő egyenlőség igaz. Ebből az egyenlőségből az következik szabály a tört gyökerének kinyerésére: A tört gyöke egyenlő a számláló gyökének hányadosával osztva a nevező gyökével.

Nézzünk egy példát a gyökér törtből való kinyerésére.

Példa.

Mi a négyzetgyöke közönséges tört 25/169 .

Megoldás.

A négyzettáblázat segítségével azt találjuk, hogy az eredeti tört számlálójának négyzetgyöke 5, a nevező négyzetgyöke pedig 13. Akkor . Ezzel befejeződik a 25/169 közönséges frakció gyökerének kinyerése.

Válasz:

A tizedes tört vagy vegyes szám gyökerét a gyökszámok közönséges törtekre cserélése után vonjuk ki.

Példa.

Vegyük a 474,552 tizedestört kockagyökét.

Megoldás.

Képzeljük el az eredetit decimális közönséges törtként: 474,552=474552/1000. Akkor . Marad a kapott tört számlálójában és nevezőjében lévő kockagyökök kinyerése. Mert 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 és 1 000 = 10 3, akkor És . Már csak a számítások elvégzése van hátra .

Válasz:

.

Negatív szám gyökének felvétele

Érdemes elidőzni a negatív számok gyökeinek kinyerésével. A gyökök tanulmányozása során azt mondtuk, hogy ha a gyökkitevő páratlan szám, akkor a gyökjel alatt negatív szám is lehet. Ezeknek a bejegyzéseknek a következő jelentést adtuk: -a negatív számra és 2 n-1 gyök páratlan kitevőjére, . Ez az egyenlőség ad szabály a páratlan gyökök negatív számokból való kiemelésére: a negatív szám gyökének kinyeréséhez ki kell venni az ellenkező pozitív szám gyökerét, és az eredmény elé mínuszjelet kell tenni.

Nézzük a példamegoldást.

Példa.

Keresse meg a gyökér értékét.

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti kifejezést úgy, hogy a gyökérjel alatt pozitív szám legyen: . Most cserélje ki a vegyes számot egy közönséges törtre: . Alkalmazzuk a szabályt a közönséges tört gyökének kinyerésére: . A kapott tört számlálójában és nevezőjében marad a gyökér kiszámítása: .

Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: .

Válasz:

.

A gyökérérték bitenkénti meghatározása

Általános esetben a gyök alatt olyan szám található, amelyet a fentebb tárgyalt technikákkal nem lehet egyetlen szám n-edik hatványaként sem ábrázolni. De ebben az esetben szükség van egy adott gyök jelentésének ismeretére, legalább egy bizonyos jelig. Ebben az esetben a gyökér kinyeréséhez olyan algoritmust használhat, amely lehetővé teszi a kívánt szám megfelelő számú számjegyének egymás utáni megszerzését.

Ennek az algoritmusnak az első lépése annak megállapítása, hogy mi a gyökérérték legjelentősebb bitje. Ehhez a 0, 10, 100, ... számokat egymás után n hatványra emeljük, egészen addig a pillanatig, amikor egy szám meghaladja a gyökszámot. Ekkor az a szám, amelyet az előző szakaszban n hatványra emeltünk, a megfelelő legjelentősebb számjegyet fogja jelölni.

Például vegye figyelembe az algoritmus ezen lépését, amikor kivonja az öt négyzetgyökét. Vegyük a 0, 10, 100, ... számokat, és négyzetezzük őket, amíg 5-nél nagyobb számot nem kapunk. Nálunk 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ami azt jelenti, hogy a legjelentősebb számjegy lesz az egyes számjegy. Ennek a bitnek az értéke, valamint az alacsonyabbak értéke a gyökérkivonási algoritmus következő lépéseiben található meg.

Az algoritmus minden további lépése a gyökér értékének egymás utáni tisztázására irányul úgy, hogy megkeresi a gyökér kívánt értékének következő bitjeinek értékét, kezdve a legmagasabbtól és a legalacsonyabbakig. Például a gyökér értéke az első lépésnél 2, a másodiknál ​​2,2, a harmadiknál ​​2,23, és így tovább: 2,236067977…. Leírjuk, hogyan találjuk meg a számjegyek értékeit.

A számjegyek a lehetséges értékek között kereshetők: 0, 1, 2, ..., 9. Ebben az esetben a megfelelő számok n-edik hatványait párhuzamosan számítjuk ki, és összehasonlítjuk a gyökszámmal. Ha a fokozat értéke egy bizonyos szakaszban meghaladja a gyökszámot, akkor az előző értéknek megfelelő számjegyet találtnak tekintjük, és ha ez nem történik meg, akkor áttérünk a gyökérkivonási algoritmus következő lépésére; akkor ennek a számjegynek az értéke 9.

Magyarázzuk meg ezeket a pontokat ugyanazzal a példával, amikor az öt négyzetgyökét kivonjuk.

Először megkeressük az egységszámjegyek értékét. A 0, 1, 2, ..., 9 értékeket 0 2, 1 2, ..., 9 2 kiszámításával addig járjuk, amíg az 5-ös gyökszámnál nagyobb értéket nem kapunk. Ezeket a számításokat célszerű táblázat formájában bemutatni:

Tehát az egységszámjegy értéke 2 (mivel 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Térjünk át a tizedes hely értékének megállapítására. Ebben az esetben a 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 számokat négyzetre emeljük, összehasonlítva a kapott értékeket az 5-ös gyökszámmal:

2.2 óta 2<5 , а 2,3 2 >5, akkor a tizedes hely értéke 2. Folytathatja a századik hely értékének meghatározását:

Így találtuk meg az öt gyökének következő értékét, amely 2,23-mal egyenlő. És így továbbra is megtalálhatja az értékeket: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Az anyag megszilárdítása érdekében a gyökér kinyerését századrészes pontossággal elemezzük a figyelembe vett algoritmus segítségével.

Először meghatározzuk a legjelentősebb számjegyet. Ehhez felkockázzuk a 0, 10, 100 stb. számokat. amíg nem kapunk 2 151 186-nál nagyobb számot. Nálunk 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , tehát a legjelentősebb számjegy a tízes számjegy.

Határozzuk meg az értékét.

103 óta<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, akkor a tízes hely értéke 1. Térjünk át az egységekre.

Így az egyes számjegyek értéke 2. Térjünk át a tizedekre.

Mivel még a 12,9 3 is kisebb, mint a 2 151,186 gyökszám, így a tizedes hely értéke 9. Marad az algoritmus utolsó lépése, amely megadja a gyökér értékét a szükséges pontossággal.

Ebben a szakaszban a gyökér értékét százados pontossággal találjuk meg: .

A cikk végén szeretném elmondani, hogy sok más módszer is létezik a gyökerek kinyerésére. De a legtöbb feladathoz elegendőek a fent tanulmányozottak.

Bibliográfia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11. évfolyamai számára.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).