Logaritmų apibrėžimas ir savybės. Logaritmų savybės ir jų sprendinių pavyzdžiai. Išsamus vadovas (2019 m.)

Palyginti su

galima nustatyti užduotį surasti bet kurį iš trijų skaičių iš kitų dviejų pateiktų. Jei duoti a ir tada N, jie randami eksponencijos būdu. Jei N ir tada a pateikiami paėmus x laipsnio šaknį (arba pakėlus jį į laipsnį). Dabar apsvarstykite atvejį, kai, esant a ir N, turime rasti x.

Tegul skaičius N yra teigiamas: skaičius a yra teigiamas ir nėra lygus vienetui: .

Apibrėžimas. Skaičiaus N logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti a, kad gautume skaičių N; logaritmas žymimas

Taigi lygybėje (26.1) eksponentas randamas kaip N logaritmas bazei a. Įrašai

turi tą pačią reikšmę. Lygybė (26.1) kartais vadinama pagrindine logaritmų teorijos tapatybe; tikrovėje išreiškia logaritmo sąvokos apibrėžimą. Autorius šis apibrėžimas Logaritmo a pagrindas visada yra teigiamas ir skiriasi nuo vienybės; logaritminis skaičius N yra teigiamas. Neigiami skaičiai ir nulis neturi logaritmų. Galima įrodyti, kad bet kuris skaičius, turintis tam tikrą bazę, turi tiksliai apibrėžtą logaritmą. Todėl lygybė reiškia. Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga čia yra esminė, kitaip išvada nebūtų pagrįsta, nes lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms.

1 pavyzdys. Rasti

Sprendimas. Norėdami gauti skaičių, turite pakelti bazę 2 iki galios Todėl.

Spręsdami tokius pavyzdžius galite užsirašyti tokia forma:

2 pavyzdys. Rasti .

Sprendimas. Mes turime

1 ir 2 pavyzdžiuose nesunkiai radome norimą logaritmą, pateikdami logaritmo skaičių kaip pagrindo laipsnį su racionaliuoju eksponentu. Bendruoju atveju, pavyzdžiui, ir pan., to padaryti negalima, nes logaritmas turi neracionalią reikšmę. Atkreipkime dėmesį į vieną su šiuo teiginiu susijusį klausimą. 12 pastraipoje mes pateikėme galimybę nustatyti bet kokį realų duotybės laipsnį teigiamas skaičius. Tai buvo būtina norint įvesti logaritmus, kurie paprastai gali būti neracionalūs skaičiai.

Pažvelkime į kai kurias logaritmų savybes.

Savybė 1. Jeigu skaičius ir bazė lygūs, tai logaritmas lygus vienetui, ir atvirkščiai, jei logaritmas lygus vienetui, tai skaičius ir bazė yra lygūs.

Įrodymas. Tegul Pagal logaritmo apibrėžimą turime ir iš kur

Ir atvirkščiai, tegul Tada pagal apibrėžimą

Savybė 2. Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui lygus nuliui.

Įrodymas. Pagal logaritmo apibrėžimą (bet kurio teigiamo pagrindo nulinė galia lygi vienetui, žr. (10.1)). Iš čia

Q.E.D.

Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei , tada N = 1. Iš tiesų, mes turime .

Prieš formuluodami kitą logaritmų savybę, susitarkime, kad du skaičiai a ir b yra toje pačioje trečiojo skaičiaus c pusėje, jei jie abu yra didesni už c arba mažesni už c. Jei vienas iš šių skaičių yra didesnis nei c, o kitas mažesnis už c, tada sakysime, kad jie yra kartu skirtingos pusės iš kaimo

Savybė 3. Jei skaičius ir bazė yra vienoje pusėje, tai logaritmas yra teigiamas; Jei skaičius ir bazė yra priešingose ​​vieneto pusėse, tada logaritmas yra neigiamas.

3 savybės įrodymas grindžiamas tuo, kad a galia yra didesnė už vienetą, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas. Laipsnis yra mažesnis už vieną, jei bazė yra didesnė už vieną, o rodiklis yra neigiamas arba bazė yra mažesnė už vieną, o rodiklis yra teigiamas.

Yra keturi atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:

Apsiribosime pirmojo iš jų analize, likusias skaitytojas apsvarstys pats.

Tegu tada lygybėje rodiklis negali būti nei neigiamas, nei lygus nuliui, todėl jis yra teigiamas, t. y. kaip reikia įrodyti.

3 pavyzdys. Sužinokite, kurie iš toliau pateiktų logaritmų yra teigiami, o kurie neigiami:

Sprendimas, a) kadangi skaičius 15 ir pagrindas 12 yra toje pačioje pusėje;

b) kadangi 1000 ir 2 yra vienoje įrenginio pusėje; šiuo atveju nėra svarbu, kad bazė būtų didesnė už logaritminį skaičių;

c) kadangi 3,1 ir 0,8 yra priešingose ​​vienybės pusėse;

G); Kodėl?

d) ; Kodėl?

Tokios savybės 4-6 dažnai vadinamos logaritmavimo taisyklėmis: jos leidžia, žinant kai kurių skaičių logaritmus, rasti kiekvieno jų sandaugos, koeficiento ir laipsnio logaritmus.

4 savybė (produkto logaritmo taisyklė). Kelių teigiamų skaičių sandaugos logaritmas tam tikram pagrindui lygi sumaišių skaičių logaritmai į tą pačią bazę.

Įrodymas. Tegul pateikti skaičiai yra teigiami.

Jų sandaugos logaritmui rašome lygybę (26.1), kuri apibrėžia logaritmą:

Iš čia rasime

Palyginę pirmosios ir paskutinės išraiškos eksponentus, gauname reikiamą lygybę:

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra būtina; dviejų neigiamų skaičių sandaugos logaritmas turi prasmę, bet šiuo atveju gauname

Apskritai, jei kelių veiksnių sandauga yra teigiama, tada jo logaritmas yra lygus šių veiksnių absoliučių verčių logaritmų sumai.

5 savybė (datinių logaritmų ėmimo taisyklė). Teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų, paimtų į tą pačią bazę. Įrodymas. Mes nuolat randame

Q.E.D.

Savybė 6 (laipsnio logaritmo taisyklė). Bet kurio teigiamo skaičiaus laipsnio logaritmas yra lygus to skaičiaus logaritmui, padaugintam iš eksponento.

Įrodymas. Dar kartą parašykime pagrindinę numerio tapatybę (26.1):

Q.E.D.

Pasekmė. Teigiamo skaičiaus šaknies logaritmas yra lygus radikalo logaritmui, padalytam iš šaknies eksponento:

Šios išvados pagrįstumą galima įrodyti įsivaizduojant, kaip ir naudojant 6 savybę.

4 pavyzdys. Paimkite logaritmą į a bazę:

a) (manoma, kad visos b, c, d, e reikšmės yra teigiamos);

b) (manoma, kad ).

Sprendimas, a) Šioje išraiškoje patogu pereiti prie trupmeninių laipsnių:

Remdamiesi lygybėmis (26.5)-(26.7) dabar galime parašyti:

Pastebime, kad su skaičių logaritmais atliekami paprastesni veiksmai nei su pačiais skaičiais: dauginant skaičius jų logaritmai pridedami, dalinant – atimami ir t.t.

Štai kodėl skaičiavimo praktikoje naudojami logaritmai (žr. 29 pastraipą).

Atvirkštinis logaritmo veiksmas vadinamas potenciavimu, būtent: potencija yra veiksmas, kuriuo iš tam tikro skaičiaus logaritmo randamas pats skaičius. Iš esmės stiprinimas nėra joks ypatingas veiksmas: jis susijęs su bazės pakėlimu iki laipsnio (lygaus skaičiaus logaritmui). Terminas „potencijavimas“ gali būti laikomas termino „eksponentavimas“ sinonimu.

Potencuojant reikia naudoti logaritmavimo taisyklėms atvirkštines taisykles: logaritmų sumą pakeisti sandaugos logaritmu, logaritmų skirtumą – koeficiento logaritmu ir tt Ypač jei priešais yra koeficientas logaritmo ženklo, tada potencijavimo metu jis turi būti perkeltas į eksponento laipsnius po logaritmo ženklu.

5 pavyzdys. Raskite N, jei žinoma, kad

Sprendimas. Atsižvelgiant į ką tik nurodytą potenciavimo taisyklę, koeficientus 2/3 ir 1/3, stovinčius prieš logaritmų ženklus dešinėje šios lygybės pusėje, perkelsime į eksponentus po šių logaritmų ženklais; mes gauname

Dabar logaritmų skirtumą pakeičiame koeficiento logaritmu:

kad gautume paskutinę trupmeną šioje lygybių grandinėje, išlaisvinome ankstesnę trupmeną nuo iracionalumo vardiklyje (25 punktas).

Savybė 7. Jei bazė yra didesnė už vieną, tada didesnis skaičius turi didesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi mažesnį), jei bazė yra mažesnė už vieną, tai didesnis skaičius turi mažesnį logaritmą (o mažesnis skaičius turi didesnį).

Ši savybė taip pat suformuluota kaip taisyklė imant nelygybių logaritmus, kurių abi pusės yra teigiamos:

Logarituojant nelygybes į bazę, didesnę už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas, o logarituojant iki bazės, mažesnės už vieną, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą (taip pat žr. 80 pastraipą).

Įrodymas paremtas 5 ir 3 savybėmis. Apsvarstykite atvejį, kai If , tada ir, imant logaritmus, gauname

(a ir N/M yra toje pačioje vienybės pusėje). Iš čia

Toliau pateikiamas a atvejis, skaitytojas tai išsiaiškins pats.

1.1. Sveikojo skaičiaus rodiklio rodiklio nustatymas

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X – N kartų

1.2. Nulinis laipsnis.

Pagal apibrėžimą visuotinai priimta, kad bet kurio skaičiaus nulinė galia yra 1:

1.3. Neigiamas laipsnis.

X -N = 1/X N

1.4. Trupmeninė galia, šaknis.

X 1/N = N šaknis iš X.

Pavyzdžiui: X 1/2 = √X.

1.5. Galių pridėjimo formulė.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Laipsnių atėmimo formulė.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Galių dauginimo formulė.

X N*M = (X N) M

1.8. Formulė trupmenai pakelti į laipsnį.

(X/Y) N = X N / Y N

2. Skaičius e.

Skaičiaus e reikšmė lygi šiai ribai:

E = lim(1+1/N), kaip N → ∞.

17 skaitmenų tikslumu skaičius e yra 2,71828182845904512.

3. Eilerio lygybė.

Ši lygybė jungia penkis skaičius, kurie matematikoje atlieka ypatingą vaidmenį: 0, 1, e, pi, įsivaizduojamasis vienetas.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentinė funkcija exp(x)

exp(x) = e x

5. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Eksponentinė funkcija turi nepaprastą savybę: funkcijos išvestinė yra lygi pačiai eksponenlinei funkcijai:

(exp (x))" = exp (x)

6. Logaritmas.

6.1. Logaritminės funkcijos apibrėžimas

Jei x = b y, tai funkcija yra logaritmas

Y = Log b(x).

Logaritmas parodo, kokia galia turi būti padidintas skaičius – logaritmo bazė (b), kad gautume tam tikrą skaičių (X). Logaritmo funkcija apibrėžiama, kai X didesnis už nulį.

Pavyzdžiui: 10 žurnalas (100) = 2.

6.2. Dešimtainis logaritmas

Tai yra 10 bazės logaritmas:

Y = Log 10 (x) .

Žymima Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Dešimtainio logaritmo naudojimo pavyzdys yra decibelas.

6.3. Decibelas

Elementas paryškintas atskirame puslapyje Decibel

6.4. Dvejetainis logaritmas

Tai yra 2 bazinis logaritmas:

Y = 2 žurnalas (x).

Žymima Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Natūralus logaritmas

Tai logaritmas e pagrindu:

Y = Log e (x) .

Žymima Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Natūralusis logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos exp(X) funkcija.

6.6. Būdingi taškai

Loga(1) = 0
Žurnalas a (a) = 1

6.7. Produkto logaritmo formulė

Log a (x*y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Dalinio logaritmo formulė

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Galios formulės logaritmas

Prisijungti a (x y) = y* Prisijungti a (x)

6.10. Formulė konvertavimui į logaritmą su skirtinga baze

Log b (x) = (Žurnalas a (x)) / Log a (b)

Pavyzdys:

2 žurnalas (8) = 10 žurnalas (8) / 10 žurnalas (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Gyvenime naudingos formulės

Dažnai kyla problemų konvertuojant tūrį į plotą ar ilgį ir atvirkštinė problema – plotą paversti tūriu. Pvz., lentos parduodamos kubeliais (kubiniais metrais), ir reikia paskaičiuoti, kiek sienų ploto galima uždengti lentomis, esančiomis tam tikrame tūryje, žr. lentų skaičiavimą, kiek lentų yra kube. Arba, jei žinomi sienos matmenys, reikia apskaičiuoti plytų skaičių, žr. plytų skaičiavimą.

Leidžiama naudoti svetainės medžiagą, jei yra įdiegta aktyvi nuoroda į šaltinį.

Šio straipsnio akcentas yra logaritmas. Čia pateiksime logaritmo apibrėžimą, parodysime priimtas paskyrimas, pateiksime logaritmų pavyzdžių, kalbėsime apie natūraliuosius ir dešimtainius logaritmus. Po to mes apsvarstysime pagrindinę logaritminę tapatybę.

Puslapio naršymas.

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmo sąvoka atsiranda sprendžiant problemą tam tikra atvirkštine prasme, kai reikia rasti eksponentą žinoma vertė laipsnis ir žinomas pagrindas.

Bet užtenka įvadų, laikas atsakyti į klausimą „kas yra logaritmas“? Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

B logaritmas iki a bazės, kur a>0, a≠1 ir b>0 yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte b.

Šiame etape pastebime, kad ištartas žodis „logaritmas“ turėtų iš karto iškelti du tolesnius klausimus: „koks skaičius“ ir „kokiu pagrindu“. Kitaip tariant, logaritmo tiesiog nėra, o tik skaičiaus logaritmas tam tikram pagrindui.

Įeikime tuoj pat logaritmo žymėjimas: skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a paprastai žymimas kaip log a b. Skaičiaus b logaritmas iki bazės e ir logaritmas iki 10 bazės turi savo specialius žymėjimus atitinkamai lnb ir logb, tai yra, jie rašo ne log e b, o lnb, o ne log 10 b, o lgb.

Dabar galime duoti:.
Ir įrašai nėra prasmės, nes pirmame iš jų po logaritmo ženklu yra neigiamas skaičius, antroje yra neigiamas skaičius bazėje, o trečioje yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu ir vienetas bazėje.

Dabar pakalbėkime apie logaritmų skaitymo taisyklės. Log a b skaitomas kaip „logaritmas iš b bazės a“. Pavyzdžiui, log 2 3 yra logaritmas iš trijų iki 2 pagrindo ir yra dviejų taškų dviejų trečdalių logaritmas iki penkių bazinės kvadratinės šaknies. Vadinamas logaritmas iki pagrindo e natūralusis logaritmas, o žymėjimas lnb yra "natūralus b logaritmas". Pavyzdžiui, ln7 yra natūralusis septynių logaritmas, ir mes jį skaitysime kaip natūralųjį pi logaritmą. 10 bazinis logaritmas taip pat turi specialų pavadinimą - dešimtainis logaritmas, o lgb skaitomas kaip „b dešimtainis logaritmas“. Pavyzdžiui, lg1 yra dešimtainis vieneto logaritmas, o lg2.75 yra dviejų taškų septynių penkių šimtųjų dalių dešimtainis logaritmas.

Atskirai verta pasilikti ties sąlygomis a>0, a≠1 ir b>0, kurioms esant pateikiamas logaritmo apibrėžimas. Paaiškinkime, iš kur atsiranda šie apribojimai. Tai padaryti padės formos lygybė, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.

Pradėkime nuo a≠1. Kadangi vienas bet kuriai laipsniai yra lygus vienetui, lygybė gali būti teisinga tik tada, kai b=1, bet log 1 1 gali būti bet kokia tikras numeris. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, daroma prielaida, kad a≠1.

Pagrįskime sąlygos a>0 tikslingumą. Esant a=0, pagal logaritmo apibrėžimą, turėtume lygybę, kuri įmanoma tik esant b=0. Bet tada log 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes nuo nulio iki bet kurios nulinės galios yra nulis. Sąlyga a≠0 leidžia išvengti šios dviprasmybės. Ir kai a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Galiausiai sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, nes , o laipsnio su teigiama baze a reikšmė visada yra teigiama.

Baigdami šį klausimą, tarkime, kad nurodytas logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikra bazės galia. Iš tiesų, logaritmo apibrėžimas leidžia teigti, kad jei b=a p, tai skaičiaus b logaritmas bazei a yra lygus p. Tai yra, lygybės log a a p =p yra teisinga. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 3 = 8, tada log 2 8 = 3. Daugiau apie tai kalbėsime straipsnyje.

Instrukcijos

Parašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada parašykite išraišką: ln b – natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, reikia iš dividendo, padauginto iš daliklio funkcijos, sandaugos atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš dividendo funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jei duota sudėtinga funkcija, tada reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau gautais rezultatais, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat kyla problemų apskaičiuojant išvestinę priemonę taške. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Video tema

Naudingas patarimas

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Tai žymiai sutaupys laiko.

Šaltiniai:

• konstantos išvestinė

Taigi, koks skirtumas? ir racionalioji lygtis nuo racionalaus? Jei nežinomas kintamasis yra po ženklu kvadratinė šaknis, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcijos

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių konstravimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra atsikratyti ženklo. Šis metodas nėra techniškai sudėtingas, tačiau kartais jis gali sukelti problemų. Pavyzdžiui, lygtis yra v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Išspręsti tokią lygtį nėra sunku; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vieną, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės. Ši vertė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos pusių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

Apsvarstykite kitą.
2х+vх-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkelti junginius lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet ir kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vх=y. Atitinkamai gausite 2y2+y-3=0 formos lygtį. Tai yra, įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vх=1; vх=-3/2. Antroji lygtis neturi šaknų iš pirmosios, kad x=1. Nepamirškite patikrinti šaknų.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas užsibrėžtas tikslas. Taigi, pasitelkus paprasčiausią aritmetinės operacijos užduotis bus išspręsta.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcijos

Paprasčiausias iš tokių transformacijų yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos kubas (skirtumas)). Be to, yra daug ir trigonometrines formules, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo sandauga iš antrojo ir pridėjus antrojo kvadratą, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite matematinės analizės vadovėlį arba aukštoji matematika, kuris yra apibrėžtas integralas. Kaip žinoma, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinama antiderivatine. Remiantis šiuo principu, konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka tokiu atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrando funkcija yra trigonometrinė funkcija, kurio argumente yra tam tikras daugianomas, tada pabandykite naudoti kintamojo pakeitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi ryšiu tarp naujų ir senų kintamųjų, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi jūs gausite naujos rūšies ankstesnio integralo, artimas ar net atitinkantis bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrosios rūšies integralas, vektorinė integralo forma, tuomet turėsite naudoti perėjimo nuo šių integralų prie skaliarinių taisyklių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektoriaus funkcijos rotoriaus srauto prie trigubo integralo per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą skaičių. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą iš apatinės ribos, į antidarinį. Jei viena iš integracijos ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinė funkcija reikia eiti iki ribos ir rasti tai, ko išsireiškimas siekia.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tada integralo ribas turėsite pavaizduoti geometriškai, kad suprastumėte, kaip įvertinti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

Mes ir toliau studijuojame logaritmus. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie logaritmų skaičiavimas, šis procesas vadinamas logaritmas. Pirmiausia suprasime logaritmų skaičiavimą pagal apibrėžimą. Toliau pažiūrėkime, kaip logaritmų reikšmės randamos naudojant jų savybes. Po to mes sutelksime dėmesį į logaritmų skaičiavimą pagal iš pradžių nurodytas kitų logaritmų reikšmes. Galiausiai, išmokime naudoti logaritmų lenteles. Visa teorija pateikiama su pavyzdžiais su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą

Paprasčiausiais atvejais galima atlikti gana greitai ir lengvai logaritmo radimas pagal apibrėžimą. Pažiūrėkime atidžiau, kaip vyksta šis procesas.

Jo esmė yra pavaizduoti skaičių b forma a c, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą skaičius c yra logaritmo reikšmė. Tai yra, pagal apibrėžimą, logaritmo radimą atitinka tokia lygybių grandinė: log a b=log a a c =c.

Taigi, apskaičiuojant logaritmą pagal apibrėžimą, reikia rasti tokį skaičių c, kad a c = b, o pats skaičius c yra norima logaritmo reikšmė.

Atsižvelgiant į ankstesnėse pastraipose pateiktą informaciją, kai skaičius po logaritmo ženklu pateikiamas tam tikra logaritmo bazės galia, galite iš karto nurodyti, kam logaritmas yra lygus - tai lygus rodikliui laipsnių. Parodykime pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Raskite log 2 2 −3 ir taip pat apskaičiuokite skaičiaus e 5,3 natūralųjį logaritmą.

Sprendimas.

Logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto pasakyti, kad log 2 2 −3 =−3. Iš tiesų, skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 2 iki –3 laipsnio.

Panašiai randame ir antrą logaritmą: lne 5.3 =5.3.

Atsakymas:

log 2 2 −3 =−3 ir lne 5,3 =5,3.

Jei skaičius b po logaritmo ženklu nenurodytas kaip logaritmo pagrindo laipsnis, tuomet reikia atidžiai pažiūrėti, ar įmanoma sugalvoti skaičiaus b atvaizdavimą a c forma. Dažnai šis vaizdavimas yra gana akivaizdus, ​​ypač kai skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 1, 2, 3, ...

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmus log 5 25 , ir .

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad 25=5 2, tai leidžia apskaičiuoti pirmąjį logaritmą: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pereikime prie antrojo logaritmo skaičiavimo. Skaičius gali būti pavaizduotas kaip 7 laipsnis: (jei reikia, žiūrėkite). Vadinasi, .

Trečiąjį logaritmą perrašykime tokia forma. Dabar jūs galite tai pamatyti , iš to darome išvadą . Todėl pagal logaritmo apibrėžimą .

Trumpai sprendimą būtų galima parašyti taip: .

Atsakymas:

log 5 25 = 2 , Ir .

Kai po logaritmo ženklu yra pakankamai didelis natūralusis skaičius, tada nepakenktų jį įtraukti į pagrindinius veiksnius. Dažnai padeda tokį skaičių pavaizduoti kaip tam tikrą logaritmo pagrindo laipsnį ir todėl apskaičiuoti šį logaritmą pagal apibrėžimą.

Pavyzdys.

Raskite logaritmo reikšmę.

Sprendimas.

Kai kurios logaritmų savybės leidžia iš karto nurodyti logaritmų reikšmę. Šios savybės apima vieneto logaritmo savybę ir skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybę: log 1 1=log a a 0 =0 ir log a a=log a a 1 =1. Tai yra, kai po logaritmo ženklu yra skaičius 1 arba skaičius a, lygus logaritmo pagrindui, tada šiais atvejais logaritmai yra atitinkamai lygūs 0 ir 1.

Pavyzdys.

Kam lygūs logaritmai ir log10?

Sprendimas.

Kadangi , tada iš logaritmo apibrėžimo išplaukia .

Antrame pavyzdyje skaičius 10 po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu, todėl dešimtainis dešimtainis logaritmas yra lygus vienetui, tai yra lg10=lg10 1 =1.

Atsakymas:

IR lg10=1 .

Atkreipkite dėmesį, kad logaritmų apskaičiavimas pagal apibrėžimą (kurį aptarėme ankstesnėje pastraipoje) reiškia, kad reikia naudoti lygybę log a a p =p, kuri yra viena iš logaritmų savybių.

Praktikoje, kai skaičius po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindas lengvai vaizduojami kaip tam tikro skaičiaus laipsnis, labai patogu naudoti formulę , kuris atitinka vieną iš logaritmų savybių. Pažvelkime į logaritmo, iliustruojančio šios formulės naudojimą, radimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą.

Sprendimas.

Atsakymas:

.

Skaičiavimams naudojamos ir aukščiau nepaminėtos logaritmų savybės, tačiau apie tai kalbėsime tolesnėse pastraipose.

Logaritmų paieška naudojant kitus žinomus logaritmus

Šioje pastraipoje pateikta informacija tęsia logaritmų savybių naudojimo juos skaičiuojant temą. Tačiau čia pagrindinis skirtumas yra tas, kad logaritmų savybės naudojamos pirminiam logaritmui išreikšti kitu logaritmu, kurio reikšmė yra žinoma. Pateiksime aiškumo pavyzdį. Tarkime, žinome, kad log 2 3≈1,584963, tada galime rasti, pavyzdžiui, log 2 6, atlikdami nedidelę transformaciją naudodami logaritmo savybes: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mums pakako panaudoti sandaugos logaritmo savybę. Tačiau daug dažniau reikia naudoti platesnį logaritmų savybių arsenalą, norint apskaičiuoti pirminį logaritmą per duotus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą nuo 27 iki 60, jei žinote, kad log 60 2=a ir log 60 5=b.

Sprendimas.

Taigi turime rasti žurnalą 60 27 . Nesunku pastebėti, kad 27 = 3 3, o pradinis logaritmas dėl laipsnio logaritmo savybės gali būti perrašytas į 3·log 60 3.

Dabar pažiūrėkime, kaip išreikšti log 60 3 žinomais logaritmais. Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybė leidžia parašyti lygybės log 60 60=1. Kita vertus, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Taigi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vadinasi, log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Galiausiai apskaičiuojame pradinį logaritmą: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Atsakymas:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Atskirai verta paminėti perėjimo prie naujos formos logaritmo bazės formulės reikšmę . Tai leidžia pereiti nuo logaritmų su bet kuria baze prie logaritmų su konkrečia baze, kurių reikšmės yra žinomos arba jas galima rasti. Paprastai iš pradinio logaritmo, naudojant perėjimo formulę, jie pereina prie logaritmų vienoje iš 2, e arba 10 bazių, nes šioms bazėms yra logaritmų lentelės, leidžiančios apskaičiuoti jų reikšmes tam tikru laipsniu. tikslumu. Kitoje pastraipoje parodysime, kaip tai daroma.

Logaritmų lentelės ir jų panaudojimas

Apytiksliai logaritmų reikšmių skaičiavimas gali būti naudojamas logaritmų lentelės. Dažniausiai naudojama bazinė 2 logaritmų lentelė, natūraliųjų logaritmų lentelė ir dešimtainiai logaritmai. Kai dirbama dešimtainė sistema Skaičiavimui patogu naudoti logaritmų lentelę, pagrįstą dešimtuku. Su jo pagalba išmoksime rasti logaritmų reikšmes.

Pateiktoje lentelėje galite rasti skaičių dešimtainių logaritmų reikšmes nuo 1 000 iki 9 999 (su trimis skaitmenimis po kablelio) dešimties tūkstantųjų tikslumu. Išanalizuosime logaritmo reikšmės radimo principą naudojant dešimtainių logaritmų lentelę į konkretus pavyzdys– taip aiškiau. Raskime log1.256.

Dešimtainių logaritmų lentelės kairiajame stulpelyje randame pirmuosius du skaičiaus 1,256 skaitmenis, tai yra, randame 1,2 (šis skaičius aiškumo dėlei apvestas mėlynai). Trečiasis skaičiaus 1,256 skaitmuo (5 skaitmuo) yra pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje kairėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas raudonai). Ketvirtasis pradinio skaičiaus 1,256 skaitmuo (6 skaitmuo) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje dešinėje dvigubos eilutės pusėje (šis skaičius apibrauktas žalia linija). Dabar skaičius randame logaritmų lentelės langeliuose pažymėtos eilutės ir pažymėtų stulpelių sankirtoje (šie skaičiai yra paryškinti oranžinė). Pažymėtų skaičių suma suteikia norimą dešimtainio logaritmo reikšmę ketvirtos skaitmens po kablelio tikslumu, tai yra, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ar galima naudojant aukščiau pateiktą lentelę rasti skaičių, turinčių daugiau nei tris skaitmenis po kablelio, dešimtainių logaritmų reikšmes, taip pat tų, kurios viršija diapazoną nuo 1 iki 9,999? Taip tu gali. Parodykime, kaip tai daroma pavyzdžiu.

Apskaičiuokime lg102.76332. Pirmiausia reikia užsirašyti numeris in Standartinė forma : 102.76332=1.0276332·10 2. Po to mantisa turėtų būti suapvalinta iki trečio skaičiaus po kablelio 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, o pradinis dešimtainis logaritmas yra maždaug lygus gauto skaičiaus logaritmui, tai yra, imame log102.76332≈lg1.028·10 2. Dabar taikome logaritmo savybes: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Galiausiai iš dešimtainių logaritmų lentelės randame logaritmo reikšmę lg1,028 lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Dėl to visas logaritmo skaičiavimo procesas atrodo taip: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Apibendrinant verta paminėti, kad naudodamiesi dešimtainių logaritmų lentele galite apskaičiuoti apytikslę bet kurio logaritmo vertę. Norėdami tai padaryti, pakanka naudoti perėjimo formulę, kad pereitumėte prie dešimtainių logaritmų, suraskite jų reikšmes lentelėje ir atlikite likusius skaičiavimus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime log 2 3 . Pagal perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę turime . Iš dešimtainių logaritmų lentelės randame log3≈0,4771 ir log2≈0,3010. Taigi, .

Bibliografija.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).