Statybos in neigiamas laipsnis– vienas pagrindinių matematikos elementų, su kuriuo dažnai susiduriama sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.

Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija

Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendra formulės forma bus tokia: a -n = 1/a n. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamo laipsnio, turite padalyti skaičių iš nurodyto skaičiaus, bet iki teigiamo laipsnio.

Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai

Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.

Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kaip padidinti skaičių nuo 0 iki 1 iki neigiamos laipsnio

Prisiminkite, kad kai skaičius tarp 0 ir 1 padidinamas iki teigiamo laipsnio, vertė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4

Analizė (veiksmų seka):

• Paverskite dešimtainę trupmeną 0,5 į trupmeną 1/2. Taip lengviau.
  Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8

Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:

• Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Tuo pačiu metu, nei daugiau laipsnio, tuo didesnė vertė.
• Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.

Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu

Šio tipo išraiškos yra tokios formos: a -m/n, kur a yra reguliarus skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3

Sprendimas (veiksmų seka):

• Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
• Taigi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atsakymas: 8 -1/3 = 2

Iš mokyklos visi žinome eksponentiškumo taisyklę: bet kuris skaičius, kurio rodiklis N, yra lygus rezultatui, padauginus šį skaičių iš N kartų. Kitaip tariant, 7 iki 3 laipsnio yra 7, padaugintas iš savęs tris kartus, tai yra, 343. Kita taisyklė yra ta, kad padidinus bet kokį kiekį iki laipsnio 0 gaunamas vienetas, o padidinus neigiamą dydį yra įprasto didinimo į laipsnį rezultatas. galia, jei ji yra lyginė, ir tas pats rezultatas su minuso ženklu, jei jis yra nelyginis.

Taisyklėse taip pat pateikiamas atsakymas, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Norėdami tai padaryti, turite sukurti įprastu būdu reikiamą reikšmę vienam indikatoriaus moduliui, tada padalinkite vienetą iš rezultato.

Iš šių taisyklių tampa aišku, kad norint atlikti tikras užduotis, susijusias su dideliais kiekiais, reikės techninėmis priemonėmis. Rankiniu būdu galite padauginti iš savęs didžiausią skaičių diapazoną iki dvidešimties iki trisdešimties, o tada ne daugiau kaip tris ar keturis kartus. Jau nekalbant apie tai, kad dalijame vieną iš rezultato. Todėl tiems, kurie neturi po ranka specialaus inžinerinio skaičiuotuvo, pasakysime, kaip „Excel“ pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio.

Problemų sprendimas Excel programoje

Norėdami išspręsti problemas, susijusias su eksponencija, programa „Excel“ leidžia naudoti vieną iš dviejų parinkčių.

Pirmasis yra formulės su standartiniu „dangtelio“ ženklu naudojimas. Į darbalapio langelius įveskite šiuos duomenis:

Lygiai taip pat galite pakelti norimą reikšmę iki bet kokios galios – neigiamos, trupmeninės. Atlikime šiuos veiksmus ir atsakykime į klausimą, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Pavyzdys:

Galite pataisyti =B2^-C2 tiesiai formulėje.

Antrasis variantas yra naudoti paruoštą funkciją „Laipsnis“, kuriai reikalingi du būtini argumentai - skaičius ir eksponentas. Norėdami pradėti jį naudoti, tiesiog įdėkite lygybės ženklą (=) į bet kurį laisvą langelį, nurodantį formulės pradžią, ir įveskite aukščiau pateiktus žodžius. Belieka pasirinkti du langelius, kurie dalyvaus operacijoje (arba rankiniu būdu nurodyti konkrečius skaičius) ir paspausti klavišą Enter. Pažvelkime į keletą paprasti pavyzdžiai.

			Formulė	Rezultatas
			LAIPSNIS (B2; C2)
			LAIPSNIS (B3; C3)	0,002915

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo, kaip naudojant „Excel“ skaičių pakelti į neigiamą laipsnį ir į įprastą laipsnį. Galų gale, norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti pažįstamą „dangčio“ simbolį ir programoje integruotą funkciją, kurią lengva prisiminti. Tai neabejotinas pliusas!

Pereikime prie daugiau sudėtingų pavyzdžių. Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti iki neigiamos trupmeninės laipsnio, ir pamatysime, kad programa Excel programa labai lengvai išsprendžiama.

Trupmeniniai rodikliai

Trumpai tariant, skaičiaus su trupmeniniu rodikliu apskaičiavimo algoritmas yra toks.

1. Paverskite trupmeną į teisingą arba netinkama trupmena.
2. Padidinkite mūsų skaičių iki gautos konvertuotos trupmenos skaitiklio.
3. Iš ankstesnėje pastraipoje gauto skaičiaus apskaičiuokite šaknį su sąlyga, kad šaknies rodiklis bus pirmajame etape gautos trupmenos vardiklis.

Sutikite, kad net dirbant su mažais skaičiais ir tinkamomis trupmenomis tokie skaičiavimai gali užtrukti daug laiko. Gerai, kad Excel skaičiuoklių procesoriui nesvarbu, koks skaičius pakeltas iki kokios galios. Pabandykite tai išspręsti darbe Excel lapas sekantis pavyzdys:

Naudodami aukščiau pateiktas taisykles galite patikrinti ir įsitikinti, kad skaičiavimas atliktas teisingai.

Straipsnio pabaigoje lentelės su formulėmis ir rezultatais pavidalu pateiksime keletą pavyzdžių, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį, taip pat keletą operacijų su trupmeniniais skaičiais ir laipsniais pavyzdžių.

Lentelės pavyzdys

Peržiūrėkite šiuos pavyzdžius „Excel“ darbalapyje. Kad viskas veiktų tinkamai, kopijuodami formulę turite naudoti mišrią nuorodą. Pataisykite stulpelio, kuriame yra keliamas skaičius, ir eilutės, kurioje yra indikatorius, numerį. Jūsų formulė turėtų atrodyti maždaug taip: „=$B4^C$3“.

Skaičius/laipsnis

Atkreipkite dėmesį, kad teigiami skaičiai (net ir ne sveikieji skaičiai) gali būti apskaičiuojami be problemų bet kuriam eksponentui. Padidinus bet kokius skaičius iki sveikųjų skaičių problemų nėra. Tačiau neigiamo skaičiaus padidinimas iki trupmeninės laipsnio jums bus klaida, nes neįmanoma laikytis mūsų straipsnio pradžioje nurodytos taisyklės dėl neigiamų skaičių didinimo, nes paritetas būdingas tik VISAM skaičiui.

Kaip žinote, matematikoje yra ne tik teigiami, bet ir neigiami skaičiai. Jei pažintis su teigiamomis galiomis prasideda nuo kvadrato ploto nustatymo, tai su neigiamomis galiomis viskas yra kiek sudėtingiau.

Tai turėtumėte žinoti:

1. Padidinus skaičių iki natūralus laipsnis vadinamas skaičiaus (straipsnyje nagrinėsime skaičiaus ir skaitmens ekvivalento sąvokas) daugyba iš savęs tokia suma kaip eksponentas (ateityje lygiagrečiai ir tiesiog vartosime žodį eksponentas). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN bendras vaizdas atrodo taip: m^n = m*m*m*…*m (n kartų).
2. Reikia atsižvelgti į tai, kad neigiamą skaičių pakėlus iki natūraliosios laipsnio, jis taps teigiamas, jei rodiklis lyginis.
3. Padidinus skaičių iki eksponento 0, gaunamas vienetas, jei jis nėra lygus nuliui. Nuo nulio iki nulio galia laikoma neapibrėžta. 17^0 = 1.
4. Tam tikros laipsnio šaknies išėmimas iš skaičiaus yra skaičiaus, kurį padidinus iki atitinkamo laipsnio, duos norimą reikšmę. Taigi, 125 kubo šaknis yra 5, nes 5^3 = 125.
5. Jei norite padidinti skaičių iki teigiamos trupmeninės laipsnio, tuomet turite pakelti skaičių iki vardiklio laipsnio ir iš jo ištraukti skaitiklio rodiklio šaknį. 6^5/7 = septintoji sandaugos šaknis 6*6*6*6*6.
6. Jei reikia pakelti skaičių iki neigiamo eksponento, tuomet reikia rasti atvirkštinę pateikto skaičiaus vertę. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Skaičiaus modulio nulio didinimas iki vieneto iki neigiamo laipsnio

Pirmiausia turėtume prisiminti kas yra modulis. Tai yra atstumas koordinačių tiesėje nuo mūsų pasirinktos reikšmės iki pradžios (koordinačių linijos nulio). Pagal apibrėžimą jis niekada negali būti neigiamas.

Vertė didesnė už nulį

Kai skaitmens reikšmė yra tarp nulio ir vieneto, neigiamas indikatorius rodo paties skaitmens padidėjimą. Taip atsitinka todėl, kad vardiklis mažėja, o išlieka teigiamas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Be to, kuo didesnis indikatoriaus modulis, tuo aktyviau figūra auga. Kadangi vardiklis linkęs į nulį, pati trupmena linkusi į plius begalybę.

Vertė mažesnė už nulį

Dabar pažiūrėkime, kaip padidinti iki neigiamo laipsnio, jei skaičius yra mažesnis už nulį. Principas yra toks pat kaip ir ankstesnėje dalyje, tačiau čia svarbu indikatoriaus ženklas.

Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

IN tokiu atveju, mes tai matome modulis toliau auga, tačiau ženklas priklauso nuo to, ar indikatorius yra lyginis, ar nelyginis.

Reikėtų pažymėti, kad jei pastatysime vienetą, jis visada išliks savimi. Jei jums reikia pakelti skaičių atėmus vieną, tada su lyginiu rodikliu jis pavirs vienu, o su nelyginiu - liks minus vienas.

Padidinimas iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio, jei modulis yra didesnis nei vienas

Skaičiams, kurių modulis yra didesnis nei vienas, turi savo veiksmų ypatumus. Visų pirma, reikia paversti visą trupmenos dalį į skaitiklį, tai yra, paversti ją netinkama trupmena. Jei turime dešimtainis, tada jį reikia konvertuoti į įprastą. Tai atliekama taip:

• 6 sveikieji skaičiai 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Dabar pažiūrėkime, kaip tokiomis sąlygomis skaičių pakelti iki neigiamo laipsnio. Jau iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime atspėti, ko turėtume tikėtis iš skaičiavimų rezultato. Kadangi supaprastinimų metu dviguba trupmena apverčiama, tuo greičiau mažės figūros modulis, kuo didesnis bus eksponento modulis.

Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kada užduotyje pateiktas skaičius yra teigiamas.

Visų pirma tampa aišku, kad galutinis rezultatas bus didesnis už nulį, nes padalijus du teigiamus visada gaunamas teigiamas. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius, kaip tai daroma:

• 6 sveikieji skaičiai nuo 1/20 iki minus penktojo laipsnio = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kaip matote, veiksmai nesukelia ypatingų sunkumų, o visos mūsų pradinės prielaidos pasirodė teisingos.

Dabar pereikime prie neigiamo skaitmens atvejo.

Pirmiausia galime daryti prielaidą, kad jei rodiklis yra lyginis, tada rezultatas bus teigiamas, jei rodiklis nelyginis, tada rezultatas bus neigiamas. Visi mūsų ankstesni skaičiavimai šioje dalyje bus laikomi galiojančiais dabar. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:

• -3 visa 1/2 iki minus šeštojo laipsnio = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Taigi visi mūsų samprotavimai pasirodė teisingi.

Konstrukcija neigiamo trupmeninio rodiklio atveju

Čia reikia atsiminti, kad tokia konstrukcija egzistuoja vardiklio galios šaknį išskirdami iš skaičiaus į skaitiklio laipsnį. Visi mūsų ankstesni samprotavimai šį kartą išlieka teisingi. Paaiškinkime savo veiksmus pavyzdžiu:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Šiuo atveju reikia nepamiršti, kad išgaunant šaknis aukštas lygis galima tik specialiai parinkta forma ir, greičiausiai, tiksliais skaičiavimais nepavyks atsikratyti radikalo ženklo (kvadratinės šaknies, kubinės šaknies ir kt.).

Nepaisant to, išsamiai išstudijavę ankstesnius skyrius, neturėtumėte tikėtis sunkumų atliekant mokyklinius skaičiavimus.

Pažymėtina, kad šio skyriaus aprašyme taip pat yra statyba su sąmoningai neracionaliu rodikliu, pavyzdžiui, jei indikatorius yra lygus minus PI. Turite veikti pagal aukščiau aprašytus principus. Tačiau skaičiavimai tokiais atvejais tampa tokie sudėtingi, kad tai gali atlikti tik galingi elektroniniai kompiuteriai.

Išvada

Veiksmas, kurį studijavome yra vienas iš labiausiai sudėtingiausios užduotys matematikoje(ypač trupmeninės-racionalios ar iracionalios reikšmės atveju). Tačiau išsamiai ir žingsnis po žingsnio išstudijavę šias instrukcijas, galite išmokti tai padaryti visiškai automatiškai be jokių problemų.

Šioje medžiagoje apžvelgsime, kas yra skaičiaus galia. Be pagrindinių apibrėžimų, suformuluosime, kokios yra galios su natūraliaisiais, sveikaisiais, racionaliaisiais ir neracionaliais rodikliais. Kaip visada, visos sąvokos bus iliustruotos su pavyzdinėmis problemomis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia suformuluokime pagrindinį laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti pagrindines daugybos taisykles. Iš anksto paaiškinkime, kad kol kas tai remsimės tikras numeris(žymimas raide a), o kaip rodiklis – natūralus (žymimas raide n).

1 apibrėžimas

Skaičiaus a, kurio natūralusis rodiklis n, laipsnis yra n-ojo veiksnių skaičiaus sandauga, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui a. Laipsnis parašytas taip: a n, o formulės pavidalu jo sudėtis gali būti pavaizduota taip:

Pavyzdžiui, jei eksponentas yra 1, o bazė yra a, tada pirmoji laipsnio a rašoma kaip a 1. Atsižvelgiant į tai, kad a yra koeficiento reikšmė, o 1 yra veiksnių skaičius, galime padaryti tokią išvadą a 1 = a.

Apskritai galime pasakyti, kad laipsnis yra patogi įrašymo forma didelis kiekis vienodi veiksniai. Taigi, formos įrašas 8 8 8 8 gali būti sutrumpintas iki 8 4 . Panašiai produktas padeda mums nerašyti daug terminų (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Tai jau aptarėme straipsnyje, skirtame natūraliųjų skaičių daugybai.

Kaip teisingai perskaityti laipsnio įrašą? Visuotinai priimtas variantas yra „a iki n laipsnio“. Arba galite pasakyti „n-oji a galia“ arba „antoji galia“. Jei, tarkime, pavyzdyje susidūrėme su įrašu 8 12 , galime skaityti „8 iki 12 laipsnio“, „8 iki 12 laipsnio“ arba „12 laipsnio 8“.

Antroji ir trečioji skaičių galios turi savo nusistovėjusius pavadinimus: kvadratas ir kubas. Jei matome antrąją laipsnį, pavyzdžiui, skaičių 7 (7 2), tada galime pasakyti „7 kvadratas“ arba „skaičiaus 7 kvadratas“. Panašiai trečiasis laipsnis skaitomas taip: 5 3 - tai yra „skaičiaus 5 kubas“ arba „5 kubas“. Tačiau taip pat galite naudoti standartinę formuluotę „į antrą / trečią galią“ tai nebus klaida.

1 pavyzdys

Pažvelkime į laipsnio su natūraliuoju rodikliu pavyzdį: už 5 7 penki bus bazė, o septyni bus eksponentas.

Pagrindas neturi būti sveikasis skaičius: laipsniui (4 , 32) 9 bazė bus trupmena 4, 32, o eksponentas bus devyni. Atkreipkite dėmesį į skliaustus: šis žymėjimas daromas visiems laipsniams, kurių bazės skiriasi nuo natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Kam skirti skliaustai? Jie padeda išvengti klaidų skaičiavimuose. Tarkime, kad turime du įrašus: (− 2) 3 Ir − 2 3 . Pirmasis iš jų reiškia neigiamą skaičių atėmus du, pakeltą iki laipsnio, kurio natūralusis rodiklis yra trys; antrasis yra skaičius, atitinkantis priešingą laipsnio reikšmę 2 3 .

Kartais knygose galite rasti šiek tiek kitokią skaičiaus galios rašybą - a^n(kur a yra bazė, o n yra rodiklis). Tai yra, 4^9 yra tas pats kaip 4 9 . Jei n yra kelių skaitmenų skaičius, jis paimtas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Bet mes naudosime žymėjimą a n kaip dažniau.

Nesunku atspėti, kaip apskaičiuoti eksponento vertę su natūraliuoju rodikliu pagal jo apibrėžimą: tereikia padauginti n-ąjį skaičių kartų. Daugiau apie tai rašėme kitame straipsnyje.

Laipsnio sąvoka yra atvirkštinė kita matematinė sąvoka – skaičiaus šaknis. Jei žinome laipsnio ir laipsnio reikšmę, galime apskaičiuoti jos bazę. Laipsnis turi tam tikrų specifinių savybių, naudingų sprendžiant problemas, kurias aptarėme atskiroje medžiagoje.

Rodikliai gali apimti ne tik natūraliuosius skaičius, bet ir apskritai bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes, įskaitant neigiamus vienetus ir nulius, nes jie taip pat priklauso sveikųjų skaičių rinkiniui.

2 apibrėžimas

Skaičiaus su teigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu galia gali būti pavaizduota kaip formulė: .

Šiuo atveju n yra bet koks teigiamas sveikasis skaičius.

Supraskime nulinio laipsnio sąvoką. Norėdami tai padaryti, naudojame metodą, kuriame atsižvelgiama į koeficiento savybę galioms su lygiomis bazėmis. Jis suformuluotas taip:

3 apibrėžimas

Lygybė a m: a n = a m − n bus teisinga tokiomis sąlygomis: m ir n yra natūralūs skaičiai, m< n , a ≠ 0 .

Paskutinė sąlyga yra svarbi, nes išvengiama padalijimo iš nulio. Jei m ir n reikšmės yra lygios, gauname tokį rezultatą: a n: a n = a n − n = a 0

Bet tuo pat metu a n: a n = 1 yra koeficientas vienodus skaičius a n ir a. Pasirodo, bet kurio nulinio skaičiaus nulinė galia yra lygi vienetui.

Tačiau toks įrodymas netaikomas nuo nulio iki nulio laipsnio. Norėdami tai padaryti, mums reikia kitos galių savybės - galių, turinčių vienodas bazes, savybių. Tai atrodo taip: a m · a n = a m + n .

Jei n lygus 0, tada a m · a 0 = a m(ši lygybė mums tai taip pat įrodo a 0 = 1). Bet jei ir taip pat yra lygus nuliui, mūsų lygybė įgauna formą 0 m · 0 0 = 0 m, Tai bus teisinga bet kuriai natūraliai n reikšmei ir nesvarbu, kokia tiksliai laipsnio reikšmė yra lygi 0 0 , tai yra, jis gali būti lygus bet kuriam skaičiui, ir tai neturės įtakos lygybės tikslumui. Todėl formos žymėjimas 0 0 neturi savo ypatingos reikšmės ir mes jos jai nepriskirsime.

Jei norite, tai nesunku patikrinti a 0 = 1 susilieja su laipsnio savybe (a m) n = a m n su sąlyga, kad laipsnio pagrindas nėra nulis. Taigi bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra vienas.

2 pavyzdys

Pažvelkime į pavyzdį su konkrečiais skaičiais: Taigi, 5 0 - vienetas, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ir reikšmė 0 0 neapibrėžtas.

Po nulinio laipsnio mes tiesiog turime išsiaiškinti, kas yra neigiamas laipsnis. Norėdami tai padaryti, mums reikia tos pačios laipsnių su lygiomis bazėmis sandaugos, kurią jau naudojome aukščiau: a m · a n = a m + n.

Įveskime sąlygą: m = − n, tada a neturi būti lygus nuliui. Tai seka a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Pasirodo, kad a n ir a−n turime abipusius abipusius skaičius.

Dėl to a neigiamai visumai galia yra ne kas kita, kaip trupmena 1 a n.

Ši formuluotė patvirtina, kad laipsniui su sveikuoju neigiamu rodikliu galioja visos tos pačios savybės, kurias turi laipsnis su natūraliuoju rodikliu (su sąlyga, kad bazė nėra lygi nuliui).

3 pavyzdys

Laipsnį a su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu n galima pavaizduoti kaip trupmeną 1 a n . Taigi, a - n = 1 a n subjektas a ≠ 0 ir n – bet koks natūralusis skaičius.

Iliustruojame savo idėją konkrečiais pavyzdžiais:

4 pavyzdys

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paskutinėje pastraipos dalyje stengsimės viską, kas pasakyta, aiškiai pavaizduoti vienoje formulėje:

4 apibrėžimas

Skaičiaus, kurio natūralusis rodiklis z, laipsnis yra: a z = a z, e su l ir z - teigiamas sveikasis skaičius 1, z = 0 ir a ≠ 0, (jei z = 0 ir a = 0, rezultatas yra 0 0, išraiškos reikšmės 0 0 nėra apibrėžtos) 1 a z, jei ir z yra neigiamas sveikas skaičius ir a ≠ 0 (jei z yra neigiamas sveikas skaičius ir a = 0, gausite 0 z, egoz reikšmė neapibrėžta)

Kas yra galios su racionaliuoju rodikliu?

Išnagrinėjome atvejus, kai eksponente yra sveikasis skaičius. Tačiau skaičių galite padidinti iki laipsnio, net jei jo eksponente yra trupmeninis skaičius. Tai vadinama galia su racionaliuoju rodikliu. Šiame skyriuje įrodysime, kad jis turi tas pačias savybes kaip ir kitos galios.

Kas nutiko racionalūs numeriai? Jų įvairovė apima tiek visą, tiek trupmeniniai skaičiai, o trupmeniniai skaičiai gali būti pavaizduoti kaip paprastosios trupmenos (tiek teigiamos, tiek neigiamos). Suformuluokime skaičiaus a laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu m / n, kur n yra natūralusis skaičius, o m yra sveikas skaičius.

Turime tam tikrą laipsnį su trupmeniniu rodikliu a m n . Kad galios galios savybė galiotų, lygybė a m n n = a m n · n = a m turi būti teisinga.

Atsižvelgiant į n-osios šaknies apibrėžimą ir tai, kad a m n n = a m, galime priimti sąlygą a m n = a m n, jei a m n turi prasmę nurodytoms m, n ir a reikšmėms.

Aukščiau pateiktos laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės bus teisingos esant sąlygai a m n = a m n .

Pagrindinė mūsų samprotavimų išvada yra tokia: tam tikro skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m / n yra n-oji skaičiaus a šaknis iki laipsnio m. Tai tiesa, jei nurodytoms m, n ir a reikšmėms išraiška a m n išlieka reikšminga.

1. Galime apriboti laipsnio pagrindo reikšmę: paimkime a, kuri teigiamoms m reikšmėms bus didesnė arba lygi 0, o neigiamoms - griežtai mažesnė (nes kai m ≤ 0 mes gauname 0 m, tačiau toks laipsnis nėra apibrėžtas). Šiuo atveju laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu atrodys taip:

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n tam tikram teigiamam skaičiui a yra n-oji šaknis a pakelto iki laipsnio m. Tai galima išreikšti formule:

Laipsniui su nuline baze ši nuostata taip pat tinka, bet tik tuo atveju, jei jos rodiklis yra teigiamas skaičius.

Laipsnis su baziniu nuliu ir trupmeniniu teigiamu eksponentu m/n gali būti išreikštas kaip

0 m n = 0 m n = 0, jei m yra teigiamas sveikasis skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Esant neigiamam santykiui m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Atkreipkime dėmesį į vieną dalyką. Kadangi įvedėme sąlygą, kad a yra didesnis arba lygus nuliui, kai kurių atvejų atmetėme.

Išraiška a m n kartais vis dar turi prasmę kai kurioms neigiamoms a ir kai kurioms m reikšmėms. Taigi teisingi įrašai yra (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, kuriuose bazė yra neigiama.

2. Antrasis būdas yra atskirai apsvarstyti šaknį a m n su lyginiais ir nelyginiais rodikliais. Tada turėsime įvesti dar vieną sąlygą: laipsnis a, kurio eksponente yra redukuojama paprastoji trupmena, laikomas laipsniu a, kurio eksponente yra atitinkama neredukuojama trupmena. Vėliau paaiškinsime, kodėl mums reikia šios sąlygos ir kodėl ji tokia svarbi. Taigi, jei turime žymėjimą a m · k n · k , tai galime jį sumažinti iki a m n ir supaprastinti skaičiavimus.

Jei n yra nelyginis skaičius, o m reikšmė yra teigiama, o a yra bet koks neneigiamas skaičius, tada a m n yra prasminga. Sąlyga, kad a būtų neneigiama, būtina, nes lyginio laipsnio šaknis negalima išskirti iš neigiamo skaičiaus. Jei m reikšmė yra teigiama, tai a gali būti ir neigiama, ir nulis, nes Nelyginę šaknį galima paimti iš bet kurio realaus skaičiaus.

Sujungkime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus viename įraše:

Čia m/n reiškia neredukuojamą trupmeną, m yra bet koks sveikasis skaičius, o n yra bet koks natūralusis skaičius.

5 apibrėžimas

Bet kuriai įprastai redukcinei trupmenai m · k n · k laipsnį galima pakeisti a m n .

Skaičiaus a su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m / n galia gali būti išreikšta kaip m n šiais atvejais: - bet kokiam realiajam a, sveikieji skaičiai teigiamas vertes m ir nelyginės gamtinės vertės n. Pavyzdys: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Bet kokiems ne nuliui realiesiems a, sveikieji skaičiai neigiamos reikšmės m ir nelyginės n reikšmės, pavyzdžiui, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Bet kuriam neneigiamam a, teigiamas sveikasis skaičius m ir net n, pavyzdžiui, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Bet kurio teigiamo a, neigiamo sveikojo skaičiaus m ir net n atveju, pavyzdžiui, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Kitų verčių atveju laipsnis su trupmeniniu rodikliu nenustatomas. Tokių laipsnių pavyzdžiai: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Dabar paaiškinkime aukščiau aptartos sąlygos svarbą: kodėl trupmeną pakeisti redukuojamu laipsniu trupmena su neredukuojamu rodikliu. Jei nebūtume to padarę, turėtume tokias situacijas, tarkime, 6/10 = 3/5. Tada tai turėtų būti tiesa (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , bet - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ir (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu, kurį pateikėme pirmiausia, yra patogesnis praktiškai naudoti nei antrąjį, todėl jį naudosime ir toliau.

6 apibrėžimas

Taigi teigiamo skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n apibrėžiamas kaip 0 m n = 0 m n = 0. Esant neigiamam aįrašas a m n neturi prasmės. Teigiamų trupmeninių rodiklių nulio galia m/n apibrėžiamas kaip 0 m n = 0 m n = 0, neigiamiems trupmeniniams eksponentams nulio laipsnio neapibrėžiame.

Išvadose pažymime, kad bet kurį trupmenos rodiklį galite rašyti tiek kaip mišrų skaičių, tiek kaip dešimtainę trupmeną: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Skaičiuojant geriau pakeisti eksponentą paprastoji trupmena ir toliau naudoti laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Dėl aukščiau pateiktų pavyzdžių gauname:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kas yra galios su neracionaliais ir realiais rodikliais?

Kas yra tikrieji skaičiai? Jų aibėje yra ir racionalių, ir neracionalių skaičių. Todėl, norėdami suprasti, kas yra laipsnis su realiuoju laipsniu, turime apibrėžti laipsnius su racionaliais ir neracionaliais eksponentais. Racionalius jau minėjome aukščiau. Žingsnis po žingsnio spręskime neracionalius rodiklius.

5 pavyzdys

Tarkime, kad turime neracionalųjį skaičių a ir jo dešimtainių aproksimacijų seką a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Pavyzdžiui, paimkime reikšmę a = 1,67175331. . . , Tada

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Aproksimacijų sekas galime susieti su laipsnių seka a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jei pamenate, ką anksčiau kalbėjome apie skaičių didinimą iki racionalus laipsnis, tada galime patys apskaičiuoti šių galių reikšmes.

Paimkime pavyzdį a = 3, tada a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . ir tt

Laipsnių seka gali būti sumažinta iki skaičiaus, kuris bus laipsnio su baze a ir neracionaliuoju rodikliu a reikšmė. Kaip rezultatas: laipsnis su neracionaliu 3 1 formos eksponentu, 67175331. . gali būti sumažintas iki 6, 27.

7 apibrėžimas

Teigiamo skaičiaus a laipsnis su neracionaliuoju rodikliu a užrašomas kaip a . Jo reikšmė yra sekos riba a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kur a 0 , a 1 , a 2 , . . . yra nuoseklios iracionaliojo skaičiaus a dešimtainės aproksimacijos. Laipsnį su nuline baze taip pat galima apibrėžti teigiamiems neracionaliesiems eksponentams, kai 0 a = 0 Taigi, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Bet to negalima padaryti neigiamiems, nes, pavyzdžiui, reikšmė 0 - 5, 0 - 2 π nėra apibrėžta. Pavyzdžiui, vienetas, padidintas iki bet kokios neracionalios galios, lieka vienetu, o 1 2, 1 5 iš 2 ir 1 - 5 bus lygus 1.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019)

Kam reikalingi laipsniai? Kur tau jų prireiks? Kodėl turėtumėte skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias Kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins sėkmingas užbaigimas OGE arba vieningas valstybinis egzaminas ir priėmimas į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentiškumas yra matematinė operacija, kaip ir sudėtis, atimtis, daugyba ar padalijimas.

Dabar viską paaiškinsiu žmonių kalba, naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Būk atsargus. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti skirtingai: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

Ir kas dar gudrūs triukai ar sąskaitas sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos laipsnio yra... Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl jis vadinamas antruoju laipsniu? kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys vienas metras ir vienas metras. Baseinas yra jūsų vasarnamyje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet... baseinas neturi dugno! Baseino dugną reikia iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Rodydami pirštu galite tiesiog apskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei turite plyteles po vieną metrą, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Plytelė greičiausiai bus cm po cm Ir tada būsite kankinami „skaičiuojant pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginkite iš ir gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome iš savęs? Ką tai reiškia? Kadangi dauginame tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti į laipsnį yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų Vieningam valstybiniam egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, nuo trisdešimties iki antros galios bus (). Arba galime sakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norint suskaičiuoti jų skaičių, reikia aštuonis padauginti iš aštuonių arba... jei tai pastebėsite Šachmatų lenta- tai kvadratas su kraštine, tada galite kvadratu aštuoni. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Beje, tūriai ir skysčiai matuojami kubiniai metrai. Netikėta, tiesa?) Nupieškite baseiną: metro dugną ir metro gylį ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras, tilps į jūsų baseiną.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys...Kiek gavote? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, ar ne?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie taip pat supaprastintų. Viską sumažinome iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kartą suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kubeliai yra lygūs. Parašyta taip: .

Lieka tik prisimink laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo metantys rūkyti ir gudrūs žmonės, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne sukurti problemų jums, pateikiame dar porą pavyzdžių iš gyvenimo.

4 pavyzdys realiame gyvenime

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų turimas milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du padauginti iš dviejų... antraisiais - kas atsitiko, dar iš dviejų, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš karto. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris gali skaičiuoti greičiausiai, gaus šiuos milijonus... Verta prisiminti skaičių galias, ar nemanote?

5 realaus gyvenimo pavyzdys

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną uždirbtą milijoną uždirbate dar du. Puiku, ar ne? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtajai laipsniai jis lygus milijonui. Tik reikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Sąvokos ir sąvokos... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprasčiau - tai numeris, esantis apačioje, prie pagrindo.

Čia yra brėžinys, skirtas geram matavimui.

Na, apibendrintai, norint geriau apibendrinti ir atsiminti... Laipsnis su baze “ ” ir laipsniu “ ” skaitomas kaip “iki laipsnio” ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes rodiklis yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas tai yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai – tai tie skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis penkių taškų“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia norėdami nurodyti skolas: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, tai yra begalinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (ty sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam:
2. Skaičiaus kvadratas reiškia jį padauginti iš savęs:
3. Suskaidyti skaičių kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
.

Laipsnių savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime: kas tai yra Ir ?

A prioritetas:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie faktorių pridėjome daugiklius, o rezultatas yra daugikliai.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys!
Todėl mes sujungiame galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

2. štai ir viskas skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Galiomis natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.

Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Visas vadiname natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su " " ženklu) ir skaičiumi.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, paklauskime savęs: kodėl taip yra?

Panagrinėkime tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, kas buvo - . Iš kokio skaičiaus padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kuriam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniam laipsniui, jis turi būti lygus. Taigi, kiek tame yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė kelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai taip pat apima neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiama galia, darykime taip, kaip praeitą kartą: padauginkite kokį nors normalų skaičių iš to paties skaičiaus iki neigiamo laipsnio:

Iš čia lengva išreikšti tai, ko ieškote:

Dabar išplėskime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius, turintis neigiamą laipsnį, yra to paties skaičiaus su teigiamu laipsniu atvirkštinė vertė. Bet tuo pačiu Bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).

Apibendrinkime:

I. Išraiška byloje neapibrėžta. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, nelygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Problemų analizė savarankiškam sprendimui:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet vieningo valstybinio egzamino metu turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimus, jei negalėjote jų išspręsti, ir išmoksite lengvai su jais susidoroti egzamine!

Toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar pasvarstykime racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, ir.

Norėdami suprasti, kas tai yra "dalinis laipsnis", apsvarstykite trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, laipsnio šaknis yra atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima išplėsti: .

Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant galios į galią taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk negalima išgauti šaknies iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkime taisyklę: bet koks skaičius, pakeltas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išgauti net šaknų!

Tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O kaip su išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, redukuojamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, vėl pateksime į bėdą: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Racionalieji eksponentai yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, dabar ateina sunkiausia dalis. Dabar mes tai išsiaiškinsime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...skaičių iki nulio laipsnio- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent skaičius;

...neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis– tarsi kažkas atsitiko“ atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne dauginamas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į indikatorių. Ar jis tau nieko neprimena? Prisiminkime sutrumpinto kvadratų skirtumo daugybos formulę:

Tokiu atveju,

Paaiškėjo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sumažiname iki ta pati išvaizda: abu dešimtainiai arba abu įprastiniai. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliu rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

Statyba iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet koks laipsnis yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki th laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra neigiamas sveikasis skaičius numeris:

(nes negalima dalyti iš).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Galia su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

A prioritetas:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, tai yra:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje Būtinai turi būti tos pačios priežastys. Todėl mes sujungiame galias su baze, tačiau tai lieka atskiras veiksnys:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių sandaugai!

Jokiu būdu negalite to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pergrupuokime šį darbą taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs kartų, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus išėmimu iš skliaustų“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso: !

Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol mes tik aptarėme, koks jis turėtų būti indeksas laipsnių. Bet kas turėtų būti pagrindas? Galiomis natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? A? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Mes prisimename paprastą taisyklę nuo 6 klasės: „minusas už minusą suteikia pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime - .

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galime suformuluoti taip paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius, įmontuotas nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir rodiklį ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: juk nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Bazė nelygi, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisiminsime, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš pažvelgdami į paskutinę taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

Apskaičiuokite išraiškas:

Sprendimai :

Jei nepaisysime aštuntosios galios, ką čia pamatysime? Prisiminkime 7 klasės programą. Taigi, ar prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Sąlygų tvarka neteisinga. Jei jie būtų pakeisti, galėtų būti taikoma 3 taisyklė. Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar viskas pasirodo taip:

Stebuklingai terminai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ tolygiai taikomas bet kuriai išraiškai: skliausteliuose esančius ženklus galime lengvai pakeisti. Tačiau svarbu atsiminti: Visi ženklai keičiasi tuo pačiu metu! Jūs negalite jo pakeisti pakeisdami tik vieną mums nepatinkantį trūkumą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek iš viso yra raidžių? kartų pagal daugiklius – ką tai jums primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: Ten buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius natūraliais, sveikaisiais ir racionaliais rodikliais, kiekvieną kartą kurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliuoju rodikliu yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jie dar nepradėjo jo dauginti, vadinasi, pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias numeris“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu eksponentu - tarsi įvyktų koks nors „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Tai veikiau grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtingu rodikliu, tai yra, eksponentas net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Prisiminkime kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
2. Sumažiname trupmenas iki tos pačios formos: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Pavyzdžiui, gauname: .
3. Nieko ypatingo, naudojame įprastas laipsnių savybes:

SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Galia su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TU TURITE ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Žemiau komentaruose parašykite, ar patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!