Pavyzdžiai su neigiamais laipsniais. Skaičių galia: apibrėžimai, žymėjimas, pavyzdžiai

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba. Ši operacija yra pakartotinio skaičiaus dauginimo iš savęs rezultatas. Pavaizduokime jį formule: a1 * a2 * … * an = an.

Pavyzdžiui, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Apskritai, eksponencija dažnai naudojama įvairios formulės matematikoje ir fizikoje. Ši funkcija turi daugiau mokslinio tikslo nei keturios pagrindinės: sudėjimas, atimtis, daugyba, dalyba.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį nėra sudėtinga operacija. Jis susijęs su daugyba panašiai kaip ir tarp daugybos ir sudėjimo. Žymėjimas an yra trumpas n-ojo skaičių „a“ skaičius, padaugintas vienas iš kito.

Labiausiai apsvarstykite eksponentiškumą paprasti pavyzdžiai, pereinant prie sudėtingų.

Pavyzdžiui, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Keturi kvadratai (antrajai laipsniai) yra šešiolika. Jei nesuprantate daugybos 4 * 4, perskaitykite mūsų straipsnį apie daugybą.

Pažvelkime į kitą pavyzdį: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Penki kubeliai (iki trečios laipsnio) yra lygūs šimtui dvidešimt penkiems.

Kitas pavyzdys: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devyni kubeliai yra septyni šimtai dvidešimt devyni.

Eksponentiškumo formulės

Norėdami teisingai padidinti iki galios, turite atsiminti ir žinoti toliau pateiktas formules. Čia nėra nieko ypatingo natūralaus, svarbiausia suprasti esmę ir tada jie ne tik įsimins, bet ir atrodys lengvi.

Monomo pakėlimas į laipsnį

Kas yra monomialas? Tai yra bet kokio kiekio skaičių ir kintamųjų sandauga. Pavyzdžiui, du yra monomialas. Ir šis straipsnis yra būtent apie tokių monomijų iškėlimą į galias.

Naudojant eksponencijos formules, nebus sunku apskaičiuoti monomio eksponenciją.

Pavyzdžiui, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jei pakeliate vienanarį laipsnį, tada kiekvienas monomio komponentas pakeliamas į laipsnį.

Pakeliant kintamąjį, kuris jau turi galią, galios dauginamos. Pavyzdžiui, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Pakėlimas į neigiamą galią

Neigiamas laipsnis– abipusis skaičius. Koks yra abipusis skaičius? Bet kurio skaičiaus X atvirkštinė vertė yra 1/X. Tai yra, X-1 = 1/X. Tai yra neigiamo laipsnio esmė.

Apsvarstykite pavyzdį (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kodėl taip? Kadangi laipsnyje yra minusas, šią išraišką tiesiog perkeliame į vardiklį, o tada padidiname iki trečiosios laipsnio. Paprasta ar ne?

Didinimas iki trupmeninės galios

Pradėkime svarstyti klausimą nuo konkretus pavyzdys. 43/2. Ką reiškia 3/2 laipsnis? 3 – skaitiklis, reiškia skaičiaus (šiuo atveju 4) pakėlimą į kubą. Skaičius 2 yra vardiklis, tai yra antrosios skaičiaus šaknis (šiuo atveju 4).

Tada gauname kvadratinę šaknį iš 43 = 2^3 = 8. Atsakymas: 8.

Taigi trupmeninio laipsnio vardiklis gali būti 3 arba 4 arba bet koks skaičius iki begalybės, ir šis skaičius nustato laipsnį kvadratinė šaknis, išgautas iš nurodyto skaičiaus. Žinoma, vardiklis negali būti lygus nuliui.

Šaknies pakėlimas į galią

Jei šaknis pakelta laipsniu, lygiu pačios šaknies laipsniui, atsakymas bus radikali išraiška. Pavyzdžiui, (√x)2 = x. Taigi bet kuriuo atveju šaknies laipsnis ir šaknies pakėlimo laipsnis yra lygūs.

Jei (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Norėdami patikrinti sprendimą, išraišką konvertuojame į išraišką su trupmenine galia. Kadangi šaknis kvadratas, tai vardiklis lygus 2. O jei šaknis pakelta į ketvirtą laipsnį, tai skaitiklis lygus 4. Gauname 4/2=2. Atsakymas: x = 2.

Šiaip ar taip geriausias variantas tiesiog konvertuokite išraišką į išraišką su trupmenine galia. Jei trupmena neatšaukiama, tai yra atsakymas, jei nurodyto skaičiaus šaknis nėra izoliuota.

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki laipsnio

Kas yra kompleksinis skaičius? Kompleksinis skaičius yra išraiška, kurios formulė a + b * i; a, b – realūs skaičiai. i yra skaičius, kurį patraukus kvadratu, gaunamas skaičius -1.

Pažiūrėkime į pavyzdį. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Registruokitės į kursą „Pagreitinkite protinę aritmetiką, NE mintinė aritmetika"išmokti greitai ir taisyklingai sudėti, atimti, dauginti, padalyti, kvadratuoti skaičius ir net įvesti šaknis. Per 30 dienų išmoksite naudotis lengvais gudrybėmis, kad supaprastintumėte aritmetines operacijas. Kiekvienoje pamokoje yra naujų metodų, aiškūs pavyzdžiai ir naudingų užduočių.

Didinimas internete

Naudodamiesi mūsų skaičiuokle, galite apskaičiuoti skaičiaus didinimą iki laipsnio:

Didinimas 7 kl

Mokiniai pradeda kilti į valdžią tik septintoje klasėje.

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba. Ši operacija yra pakartotinio skaičiaus dauginimo iš savęs rezultatas. Pavaizduokime jį formule: a1 * a2 * … * an=an.

Pavyzdžiui, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Sprendimo pavyzdžiai:

Eksponentavimo pristatymas

Pristatymas apie kėlimą į galias, skirtas septintokams. Pristatymas gali paaiškinti kai kuriuos neaiškius dalykus, tačiau mūsų straipsnio dėka šie klausimai greičiausiai nebus išaiškinti.

Apatinė eilutė

Mes pažvelgėme tik į ledkalnio viršūnę, kad geriau suprastume matematiką – užsiregistruokite į mūsų kursą: Spartinanti mintinė aritmetika – NE mintinė aritmetika.

Kurso metu ne tik išmoksite dešimtis supaprastinto ir greito daugybos, sudėties, daugybos, dalybos, procentų skaičiavimo technikų, bet ir praktikuosite jas specialiose užduotyse ir lavinamuosiuose žaidimuose! Protinė aritmetika taip pat reikalauja daug dėmesio ir susikaupimo, kurie aktyviai lavinami sprendžiant įdomius uždavinius.

galima rasti naudojant daugybą. Pavyzdžiui: 5+5+5+5+5+5=5x6. Sakoma, kad tokia išraiška yra ta, kad lygių dalių suma yra sulankstoma į sandaugą. Ir atvirkščiai, jei skaitome šią lygybę iš dešinės į kairę, pamatysime, kad išplėtėme lygių dėmenų sumą. Panašiai galite sutraukti kelių vienodų koeficientų sandaugą 5x5x5x5x5x5=5 6.

Tai yra, užuot padauginę šešis identiškus koeficientus 5x5x5x5x5x5, jie rašo 5 6 ir sako „nuo penkių iki šeštojo laipsnio“.

Išraiška 5 6 yra skaičiaus laipsnis, kur:

5 - laipsnio pagrindas;

6 - eksponentas.

Veiksmai, kuriais lygių veiksnių sandauga sumažinama iki laipsnio, vadinami kėlimas į valdžią.

Apskritai laipsnis su baze "a" ir laipsniu "n" rašomas taip

Padidinti skaičių a iki laipsnio n reiškia rasti n faktorių sandaugą, kurių kiekvienas yra lygus a

Jei laipsnio „a“ bazė yra lygi 1, tai bet kurio natūraliojo skaičiaus n laipsnio reikšmė bus lygi 1. Pavyzdžiui, 1 5 =1, 1 256 =1

Jei skaičių „a“ padidinsite iki Pirmas laipsnis, tada gauname patį skaičių a: a 1 = a

Jei padidinsite bet kurį skaičių iki nulinis laipsnis, tada atlikdami skaičiavimus gauname vieną. a 0 = 1

Antroji ir trečioji skaičiaus laipsniai laikomi ypatingais. Jie sugalvojo jiems pavadinimus: vadinamas antrasis laipsnis skaičių kvadratu, trečias - kubasšis skaičius.

Bet kuris skaičius gali būti padidintas iki laipsnio – teigiamo, neigiamo arba nulio. Šiuo atveju šios taisyklės netaikomos:

Radus teigiamo skaičiaus laipsnį, gaunamas teigiamas skaičius.

Skaičiuojant nulį in natūralus laipsnis gauname nulį.

x m · x n = x m + n

pavyzdžiui: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Į dalyti galias tais pačiais pagrindais Mes nekeičiame bazės, bet atimame eksponentus:

x m / x n = x m - n , kur, m > n,

pavyzdžiui: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Skaičiuojant galios pakėlimas į galią Mes nekeičiame bazės, o dauginame rodiklius vienas iš kito.

(prie m ) n = y m n

pavyzdžiui: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m. m ,

pavyzdžiui: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Atliekant skaičiavimus pagal trupmenos pakėlimas į laipsnį trupmenos skaitiklį ir vardiklį pakeliame iki duoto laipsnio

(x/y)n = x n / y n

pavyzdžiui: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Skaičiavimų seka dirbant su laipsnį turinčiomis išraiškomis.

Atlikdami reiškinių be skliaustų, bet turinčių laipsnius, skaičiavimus, pirmiausia atlieka eksponavimo, tada daugybos ir dalybos, o tik tada sudėties ir atimties operacijas.

Jei reikia apskaičiuoti išraišką su skliaustais, pirmiausia atlikite skaičiavimus skliausteliuose aukščiau nurodyta tvarka, o tada likusius veiksmus ta pačia tvarka iš kairės į dešinę.

Labai plačiai praktiniuose skaičiavimuose, skaičiavimams supaprastinti naudojamos paruoštos galių lentelės.

Galia naudojama norint supaprastinti skaičių dauginant iš savęs. Pavyzdžiui, užuot rašę, galite rašyti 4 5 (\displaystyle 4^(5))(šio perėjimo paaiškinimas pateiktas pirmoje šio straipsnio dalyje). Laipsniai leidžia lengviau rašyti ilgai arba sudėtingos išraiškos arba lygtys; galias taip pat lengva pridėti ir atimti, todėl gaunama supaprastinta išraiška arba lygtis (pvz., 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Pastaba: jei reikia apsispręsti eksponentinė lygtis(tokioje lygtyje nežinomasis yra eksponente), skaitykite.

Žingsniai

Paprastų uždavinių sprendimas su laipsniais

Padauginkite galios bazę iš savęs iš kartų skaičiaus lygus rodikliui laipsnių. Jei jums reikia ranka išspręsti galios problemą, perrašykite laipsnį kaip daugybos operaciją, kur laipsnio bazė padauginama iš savęs. Pavyzdžiui, suteiktas laipsnis 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Tokiu atveju 3 galios bazė turi būti padauginta iš savęs 4 kartus: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Štai kiti pavyzdžiai:

Pirma, padauginkite pirmuosius du skaičius. Pavyzdžiui, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nesijaudinkite – skaičiavimo procesas nėra toks sudėtingas, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Pirmiausia padauginkite pirmuosius du ketvertus ir pakeiskite juos rezultatu. Kaip šitas:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Padauginkite rezultatą (mūsų pavyzdyje 16) iš kito skaičiaus. Kiekvienas paskesnis rezultatas proporcingai didės. Mūsų pavyzdyje padauginkite 16 iš 4. Taip:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4 = 64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5) = 256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Tęskite pirmųjų dviejų skaičių rezultatą daugindami iš kito skaičiaus, kol gausite galutinį atsakymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmuosius du skaičius, o tada gautą rezultatą padauginkite iš kito sekos skaičiaus. Šis metodas tinka bet kokiam laipsniui. Mūsų pavyzdyje turėtumėte gauti: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Išspręskite šias problemas. Patikrinkite savo atsakymą naudodami skaičiuotuvą.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Skaičiuoklėje ieškokite rakto, pažymėto „exp“ arba „ x n (\displaystyle x^(n))“ arba „^“. Naudodami šį klavišą padidinsite skaičių iki laipsnio. Apskaičiuoti laipsnį naudojant didelį rodiklį rankiniu būdu beveik neįmanoma (pavyzdžiui, laipsnis 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tačiau skaičiuotuvas gali lengvai susidoroti su šia užduotimi. „Windows 7“ standartinį skaičiuotuvą galima perjungti į inžinerinį režimą; Norėdami tai padaryti, spustelėkite „Peržiūrėti“ -> „Inžinerija“. Norėdami perjungti įprastą režimą, spustelėkite „View“ -> „Normal“.

   • Patikrinkite savo atsakymą naudodami paieškos variklis(„Google“ arba „Yandex“). Naudodami kompiuterio klaviatūros klavišą „^“, įveskite posakį į paieškos variklį, kuris akimirksniu parodys teisingą atsakymą (ir galbūt pasiūlys panašių posakių, kuriuos galėtumėte ištirti).

   Sudėjimas, atimtis, laipsnių daugyba

   1. Galite pridėti ir atimti laipsnius tik tuo atveju, jei jų bazės yra vienodos. Jei reikia pridėti laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, sudėties operaciją galite pakeisti daugybos operacija. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Atminkite, kad laipsnis 4 5 (\displaystyle 4^(5)) gali būti pavaizduotas formoje 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Taigi, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kur 1 +1 =2). Tai yra, suskaičiuokite panašių laipsnių skaičių ir padauginkite tą laipsnį iš šio skaičiaus. Mūsų pavyzdyje padidinkite 4 iki penktojo laipsnio, o gautą rezultatą padauginkite iš 2. Atminkite, kad sudėjimo operaciją galima pakeisti daugybos operacija, pvz. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Štai kiti pavyzdžiai:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, pridedami jų eksponentai (pagrindas nesikeičia). Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Tokiu atveju tereikia pridėti rodiklius, palikdami pagrindą nepakeistą. Taigi, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Štai vaizdinis šios taisyklės paaiškinimas:

      Didinant laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami. Pavyzdžiui, suteikiamas laipsnis. Kadangi eksponentai yra dauginami, tada (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Šios taisyklės esmė ta, kad jūs dauginate iš galių (x 2) (\displaystyle (x^(2))) ant savęs penkis kartus. Kaip šitas:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Kadangi bazė yra ta pati, eksponentai tiesiog susumuojami: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Laipsnis su neigiamu eksponentu turėtų būti paverstas trupmena (atvirkštinė galia). Nesvarbu, jei nežinote, kas yra abipusis laipsnis. Jei jums suteikiamas laipsnis su neigiamu rodikliu, pvz. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), įrašykite šį laipsnį į trupmenos vardiklį (į skaitiklį įdėkite 1), o eksponentą padarykite teigiamą. Mūsų pavyzdyje: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Štai kiti pavyzdžiai:

      Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami (pagrindas nesikeičia). Dalybos operacija yra priešinga daugybos operacijai. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Atimkite vardiklyje esantį rodiklį iš skaitiklio laipsnio (pagrindo nekeiskite). Taigi, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Vardiklio galią galima parašyti taip: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Atminkite, kad trupmena yra skaičius (laipsnis, išraiška) su neigiamu rodikliu.

   4. Žemiau yra keletas posakių, kurie padės išmokti spręsti problemas su eksponentais. Pateikti posakiai apima šioje dalyje pateiktą medžiagą. Norėdami pamatyti atsakymą, tiesiog paryškinkite tuščia vieta po lygybės ženklo.

   Užduočių sprendimas su trupmeniniais eksponentais

   Laipsnis su trupmeniniu rodikliu (pvz., ) konvertuojamas į šakninę operaciją. Mūsų pavyzdyje: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Čia nesvarbu, koks skaičius yra trupmeninio rodiklio vardiklyje. Pavyzdžiui, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- yra ketvirtoji „x“ šaknis, tai yra x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jei eksponentas yra netinkama trupmena, tada tokį laipsnį galima išskaidyti į du laipsnius, kad būtų supaprastintas problemos sprendimas. Čia nėra nieko sudėtingo – tereikia prisiminti galių dauginimo taisyklę. Pavyzdžiui, suteikiamas laipsnis. Paverskite tokią laipsnį į šaknį, kurios laipsnis yra lygus trupmeninio laipsnio vardikliui, o tada pakelkite šią šaknį iki laipsnio, lygaus trupmeninio laipsnio skaitikliui. Norėdami tai padaryti, atsiminkite tai 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Mūsų pavyzdyje:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Kai kurie skaičiuotuvai turi mygtuką eksponentams apskaičiuoti (pirmiausia turite įvesti bazę, tada paspausti mygtuką ir tada įvesti eksponentą). Jis žymimas kaip ^ arba x^y.
   3. Atminkite, kad bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau, pavyzdžiui, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Be to, bet koks skaičius, padaugintas arba padalytas iš vieno, yra lygus sau, pvz. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1 = 5) Ir 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1 = 5).
   4. Žinokite, kad laipsnis 0 0 neegzistuoja (tokia galia neturi sprendimo). Jei bandysite išspręsti tokį laipsnį skaičiuotuvu ar kompiuteriu, gausite klaidą. Tačiau atminkite, kad bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra 1, pavyzdžiui, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. IN aukštoji matematika, kuris veikia su įsivaizduojamais skaičiais: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Kur i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yra konstanta, maždaug lygi 2,7; a yra savavališka konstanta. Šios lygybės įrodymą galima rasti bet kuriame aukštosios matematikos vadovėlyje.

   Įspėjimai

   • Didėjant eksponentui, jo vertė labai padidėja. Taigi, jei atsakymas jums atrodo neteisingas, jis iš tikrųjų gali būti teisingas. Tai galite patikrinti nubraižydami bet kurį eksponentinė funkcija pvz 2x.

Pakėlimas į neigiamą laipsnį yra vienas pagrindinių matematikos elementų, su kuriuo dažnai susiduriama sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.

Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija

Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendra forma pagal formulę atrodys taip: a -n = 1/a n. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamo laipsnio, turite padalyti skaičių iš nurodyto skaičiaus, bet iki teigiamo laipsnio.

Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai

Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.

Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kaip padidinti iki neigiamo laipsnio - skaičiai nuo 0 iki 1

Atminkite, kad kai padidinate skaičių nuo 0 iki 1 iki teigiamo laipsnio, vertė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25

3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4

Analizė (veiksmų seka):

• Mes verčiame dešimtainis nuo 0,5 iki trupmenos 1/2. Taip lengviau.
  Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8

Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:

• Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Tuo pačiu metu, nei daugiau laipsnio, tuo didesnė vertė.
• Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.

Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu

Šio tipo išraiškos turi tokią formą: a -m/n, kur a yra reguliarus skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3

Sprendimas (veiksmų seka):

• Prisiminkime skaičiaus didinimo iki neigiamo laipsnio taisyklę. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
• Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atsakymas: 8 -1/3 = 2

Iš mokyklos visi žinome eksponentiškumo taisyklę: bet kuris skaičius, kurio rodiklis N, yra lygus rezultatui, padauginus šį skaičių iš N kartų. Kitaip tariant, 7 iki 3 laipsnio yra 7, padaugintas iš savęs tris kartus, tai yra, 343. Kita taisyklė yra ta, kad padidinus bet kokį kiekį iki laipsnio 0, gaunamas vienetas, o neigiamo dydžio padidinimas yra įprasto didinimo į laipsnį rezultatas. galia, jei ji yra lyginė, ir tas pats rezultatas su minuso ženklu, jei jis yra nelyginis.

Taisyklėse taip pat pateikiamas atsakymas, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Norėdami tai padaryti, turite sukurti įprastu būdu reikiamą reikšmę vienam indikatoriaus moduliui, tada padalinkite vienetą iš rezultato.

Iš šių taisyklių tampa aišku, kad norint atlikti tikras užduotis, susijusias su dideliais kiekiais, reikės techninėmis priemonėmis. Rankiniu būdu galite padauginti iš savęs didžiausią skaičių diapazoną iki dvidešimties iki trisdešimties, o tada ne daugiau kaip tris ar keturis kartus. Jau nekalbant apie tai, kad dalijame vieną iš rezultato. Todėl tiems, kurie neturi po ranka specialaus inžinerinio skaičiuotuvo, pasakysime, kaip „Excel“ pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio.

Problemų sprendimas Excel programoje

Norėdami išspręsti problemas, susijusias su eksponencija, programa „Excel“ leidžia naudoti vieną iš dviejų parinkčių.

Pirmasis yra formulės su standartiniu „dangtelio“ ženklu naudojimas. Į darbalapio langelius įveskite šiuos duomenis:

Lygiai taip pat galite pakelti norimą reikšmę iki bet kokios galios – neigiamos, trupmeninės. Atlikime šiuos veiksmus ir atsakykime į klausimą, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Pavyzdys:

Galite pataisyti =B2^-C2 tiesiai formulėje.

Antrasis variantas yra naudoti paruoštą funkciją „Laipsnis“, kuriai reikalingi du būtini argumentai - skaičius ir eksponentas. Norėdami pradėti jį naudoti, tiesiog įdėkite lygybės ženklą (=) į bet kurį laisvą langelį, nurodantį formulės pradžią, ir įveskite aukščiau pateiktus žodžius. Belieka pasirinkti du langelius, kurie dalyvaus operacijoje (arba rankiniu būdu nurodyti konkrečius skaičius) ir paspausti klavišą Enter. Pažvelkime į kelis paprastus pavyzdžius.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo, kaip naudojant „Excel“ skaičių pakelti į neigiamą laipsnį ir į įprastą laipsnį. Galų gale, norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti pažįstamą „dangčio“ simbolį ir programoje integruotą funkciją, kurią lengva prisiminti. Tai neabejotinas pliusas!

Pereikime prie daugiau sudėtingų pavyzdžių. Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti iki neigiamos trupmeninės laipsnio, ir pamatysime, kad Excel programoje ši problema labai lengvai išsprendžiama.

Trupmeniniai rodikliai

Trumpai tariant, skaičiaus su trupmeniniu rodikliu apskaičiavimo algoritmas yra toks.

1. Paverskite trupmeną į tinkamą arba netinkamą trupmeną.
2. Padidinkite mūsų skaičių iki gautos konvertuotos trupmenos skaitiklio.
3. Iš ankstesnėje pastraipoje gauto skaičiaus apskaičiuokite šaknį su sąlyga, kad šaknies rodiklis bus pirmajame etape gautos trupmenos vardiklis.

Sutikite, kad net ir dirbant su mažais skaičiais ir tinkamomis trupmenomis tokie skaičiavimai gali užtrukti daug laiko. Gerai, kad Excel skaičiuoklių procesoriui nesvarbu, koks skaičius pakeltas iki kokios galios. Pabandykite tai išspręsti darbe Excel lapas sekantis pavyzdys:

Naudodami aukščiau pateiktas taisykles galite patikrinti ir įsitikinti, kad skaičiavimas atliktas teisingai.

Straipsnio pabaigoje lentelės su formulėmis ir rezultatais pavidalu pateiksime keletą pavyzdžių, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį, taip pat kelis veikimo pavyzdžius. trupmeniniai skaičiai ir laipsnių.

Lentelės pavyzdys

Peržiūrėkite šiuos pavyzdžius „Excel“ darbalapyje. Kad viskas veiktų tinkamai, kopijuodami formulę turite naudoti mišrią nuorodą. Pataisykite stulpelio, kuriame yra keliamas skaičius, numerį ir eilutės, kurioje yra indikatorius, numerį. Jūsų formulė turėtų atrodyti maždaug taip: „=$B4^C$3“.

Atkreipkite dėmesį, kad teigiami skaičiai (net ir ne sveikieji skaičiai) gali būti apskaičiuojami be problemų bet kuriam eksponentui. Padidinus bet kokius skaičius iki sveikųjų skaičių problemų nėra. Tačiau neigiamo skaičiaus padidinimas iki trupmeninės laipsnio jums bus klaida, nes neįmanoma laikytis mūsų straipsnio pradžioje nurodytos taisyklės dėl neigiamų skaičių didinimo, nes paritetas būdingas tik VISAM skaičiui.

Skaičius, pakeltas į laipsnį Jie skambina numeriu, kuris kelis kartus padauginamas iš savęs.

Neigiamą reikšmę turinčio skaičiaus laipsnis (a–n) gali būti nustatytas panašiai kaip to paties skaičiaus su teigiamu eksponentu laipsnis (a n) . Tačiau tai taip pat reikalauja papildomo apibrėžimo. Formulė apibrėžiama taip:

a-n = (1/a n)

Neigiamų skaičių laipsnių savybės yra panašios į laipsnius su teigiamu laipsniu. Pateikta lygtis a m/a n= a m-n gali būti sąžiningas kaip

« Niekur, kaip matematikoje, išvados aiškumas ir tikslumas neleidžia žmogui išsisukti iš atsakymo kalbant apie klausimą.».

A. D. Aleksandrovas

adresu n daugiau m , ir su m daugiau n . Pažiūrėkime į pavyzdį: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pirmiausia turite nustatyti skaičių, kuris veikia kaip laipsnio apibrėžimas. b=a(-n) . Šiame pavyzdyje -n yra eksponentas b - norimą skaitinę reikšmę, a - laipsnio pagrindas natūralios formos skaitinė reikšmė. Tada nustatykite modulį, tai yra, absoliučią neigiamo skaičiaus vertę, kuri veikia kaip eksponentas. Apskaičiuokite tam tikro skaičiaus laipsnį, palyginti su absoliučiu skaičiumi, kaip rodiklį. Laipsnio reikšmė randama padalijus vieną iš gauto skaičiaus.

Ryžiai. 1

Apsvarstykite skaičiaus su neigiamu trupmeniniu rodikliu galią. Įsivaizduokime, kad skaičius a yra bet koks teigiamas skaičius, skaičiai n Ir m - sveikieji skaičiai. Pagal apibrėžimą a , kuris pakeltas į galią - lygus vienetui, padalytam iš to paties skaičiaus, turinčio teigiamą laipsnį (1 pav.). Kai skaičiaus laipsnis yra trupmena, tai tokiais atvejais naudojami tik skaičiai su teigiamais rodikliais.

Verta prisiminti kad nulis niekada negali būti skaičiaus rodiklis (dalybos iš nulio taisyklė).

Tokios sąvokos kaip skaičius paplitimas tapo tokiomis manipuliacijomis kaip matavimo skaičiavimai, taip pat matematikos kaip mokslo raida. Neigiamų reikšmių įvedimas atsirado dėl algebros, kuri suteikė bendrus aritmetinių problemų sprendimus, neatsižvelgiant į jų konkrečią reikšmę ir pradinius skaitmeninius duomenis, plėtrą. Indijoje dar VI-XI amžiuje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami sprendžiant problemas ir buvo interpretuojami taip pat, kaip ir šiandien. Europos moksle neigiami skaičiai pradėti plačiai naudoti R. Dekarto dėka, kuris geometriškai interpretavo neigiamus skaičius kaip atkarpų kryptis. Tai buvo Dekartas, kuris pasiūlė skaičių, pakeltą iki laipsnio, žymėti kaip dviejų aukštų formulę. a n .

Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos vieną po kito savo ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šansai vienodos identiškų kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra lygi 5a 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai įvairūs kintamieji Ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, turi būti sudaryti pridedant juos su jų ženklais.

Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra lygūs ne dvigubam a kvadratui, o dvigubam a kubui.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrių ženklai.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Galių dauginimas

Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, a 3 padauginus iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Paskutiniame pavyzdyje pateiktą rezultatą galima rūšiuoti pridedant identiškus kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.

Taigi, a n .a m = a m+n .

Jei a n , a imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek yra n laipsnis;

Ir a m imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek lygus laipsniui m;

Štai kodėl, laipsnius su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant galių laipsnius.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas lygi sumai arba jų kvadratų skirtumas.

Jei padauginsite dviejų skaičių, pakeltų iki, sumą ir skirtumą kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnių.

Taigi (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8.

Laipsnių skirstymas

Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš dividendo arba pateikiant juos trupmenos forma.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra lygus a 3.

Arba:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Rašant 5 padalijus iš 3 atrodo $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Arba:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 gaunamas -2.
Taip pat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atsakymas: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Sumažinkite eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atsakymas: $\frac(2x)(1)$ arba 2x.

3. Sumažinkite eksponentus a 2 /a 3 ir a -3 /a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra -2 pirmasis skaitiklis.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .

4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 /5a 7 ir 5a 5 /5a 7 arba 2a 3 /5a 2 ir 5/5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.

6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).

7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .

8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.

9. Padalinkite (h 3 – 1)/d 4 iš (d n + 1)/h.