Kampas tarp lygiagrečių plokštumų yra lygus. Kampas tarp plokštumų. Plokštumų statmenumas

Straipsnyje kalbama apie kampo tarp plokštumų nustatymą. Pateikę apibrėžimą, pateikime grafinę iliustraciją ir apsvarstykite detalus metodas radimas koordinačių metodu. Gauname susikertančių plokštumų formulę, kuri apima normaliųjų vektorių koordinates.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Medžiagoje bus naudojami duomenys ir sąvokos, kurios anksčiau buvo tiriamos straipsniuose apie plokštumą ir liniją erdvėje. Pirma, būtina pereiti prie samprotavimo, kuris leidžia mums turėti tam tikrą požiūrį į kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymą.

Duotos dvi susikertančios plokštumos γ 1 ir γ 2. Jų sankryža bus žymima c. χ plokštumos konstrukcija yra susijusi su šių plokštumų susikirtimu. Plokštuma χ eina per tašką M kaip tiesė c. Plokštumų γ 1 ir γ 2 susikirtimas bus atliktas naudojant plokštumą χ. Tiesės, kertančios γ 1 ir χ, žymėjimą laikome tiese a, o tiesę, kertančią γ 2 ir χ – tiese b. Pastebime, kad tiesių a ir b sankirta suteikia tašką M.

Taško M vieta neturi įtakos kampui tarp susikertančių tiesių a ir b, o taškas M yra tiesėje c, per kurią eina plokštuma χ.

Būtina sukonstruoti plokštumą χ 1, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos χ. Plokštumų γ 1 ir γ 2 sankirta naudojant χ 1 įgaus tiesių a 1 ir b 1 žymėjimą.

Matyti, kad statant χ ir χ 1 tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, tada a 1, b 1 yra statmenos tiesei c. Radus tieses a ir a 1 plokštumoje γ 1 su statmena tiesei c, tada jas galima laikyti lygiagrečiomis. Lygiai taip pat b ir b 1 vieta γ 2 plokštumoje, statmena tiesei c, rodo jų lygiagretumą. Tai reiškia, kad reikia lygiagrečiai perkelti plokštumą χ 1 į χ, kur gauname dvi sutampančios tiesės a ir a 1, b ir b 1. Pastebime, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b 1 yra lygus susikertančių tiesių a ir b kampui.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Šį teiginį įrodo tai, kad tarp susikertančių tiesių a ir b yra kampas, kuris nepriklauso nuo taško M vietos, tai yra, susikirtimo taško. Šios linijos yra plokštumose γ 1 ir γ 2. Tiesą sakant, gautas kampas gali būti laikomas kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pereikime prie kampo tarp esamų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 nustatymo.

1 apibrėžimas

Kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 vadinamas kampas, sudarytas tiesių a ir b susikirtimo, kur plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta su plokštuma χ, statmena tiesei c.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Sprendimas gali būti pateiktas ir kita forma. Kai plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta, kur c yra tiesė, kurioje jos susikirto, pažymėkite tašką M, per kurį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir esančios plokštumose γ 1 ir γ 2, tada kampas tarp tiesės a ir b bus kampas tarp plokštumų. Praktiškai tai taikoma nustatant kampą tarp plokštumų.

Kertant susidaro kampas, mažesnis nei 90 laipsnių, tai yra laipsnio matas kampas galioja tokio tipo intervale (0, 90]. Kartu šios plokštumos vadinamos statmenomis, jei susikirtimo vietoje susidaro stačiakampis kampas tarp lygiagrečių plokštumų laikomas lygiu nuliui).

Įprastas būdas rasti kampą tarp susikertančių plokštumų – atlikti papildomas konstrukcijas. Tai padeda tiksliai nustatyti, o tai galima padaryti naudojant trikampio lygybės ar panašumo ženklus, kampo sinusus ir kosinusus.

Apsvarstykite, kaip išspręsti problemas naudojant pavyzdį iš Vieningo valstybinio egzamino uždavinių bloko C 2.

1 pavyzdys

Duotas stačiakampis gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kur kraštinė A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, taškas E dalija kraštinę A A 1 santykiu 4:3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Aiškumo dėlei būtina padaryti piešinį. Mes tai gauname

Vaizdinis vaizdas būtinas, kad būtų patogiau dirbti su kampu tarp plokštumų.

Nustatome tiesę, išilgai kurios įvyksta plokštumų A B C ir B E D 1 susikirtimas. Taškas B yra bendras taškas. Reikėtų rasti kitą bendrą susikirtimo tašką. Panagrinėkime tieses D A ir D 1 E, kurios yra toje pačioje plokštumoje A D D 1. Jų vieta nerodo lygiagretumo; tai reiškia, kad jie turi bendrą susikirtimo tašką.

Tačiau tiesė D A yra plokštumoje A B C, o D 1 E – B E D 1. Iš to gauname, kad tiesios linijos D A Ir D 1 E turi bendrą susikirtimo tašką, kuris yra bendras plokštumoms A B C ir B E D 1. Nurodo linijų susikirtimo tašką D A ir D1E raidė F. Iš to gauname, kad B F yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos A B C ir B E D 1.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Norint gauti atsakymą, reikia sukonstruoti tieses, esančias plokštumose A B C ir B E D 1, einančias per tašką, esantį tiesėje B F ir jai statmeną. Tada gautas kampas tarp šių tiesių laikomas norimu kampu tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Iš to matome, kad taškas A yra taško E projekcija į plokštumą A B C. Reikia nubrėžti tiesę, kertančią tiesę B F stačiu kampu taške M. Matyti, kad tiesė A M yra projekcija tiesės E M į plokštumą A B C, remiantis teorema apie tuos statmenis A M ⊥ B F . Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslėlį.

∠ A M E – norimas kampas, sudarytas iš plokštumų A B C ir B E D 1. Iš gauto trikampio A E M galime rasti kampo sinusą, kosinusą arba liestinę, o tada ir patį kampą, tik jei žinomos dvi jo kraštinės. Pagal sąlygą gauname, kad ilgis A E randamas tokiu būdu: tiesė A A 1 padalinta iš taško E santykiu 4:3, tai reiškia, kad bendras tiesės ilgis yra 7 dalys, tada A E = 4 dalys. Mes randame A M.

Reikia apsvarstyti taisyklingas trikampis A B F. Turime statųjį kampą A, kurio aukštis A M. Iš sąlygos A B = 2, tada ilgį A F galime rasti pagal trikampių D D 1 F ir A E F panašumą. Gauname, kad A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Naudojant Pitagoro teoremą reikia rasti trikampio A B F kraštinės B F ilgį. Gauname, kad B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Kraštinės A M ilgis randamas per trikampio A B F plotą. Turime, kad plotas gali būti lygus ir S A B C = 1 2 · A B · A F ir S A B C = 1 2 · B F · A M .

Gauname, kad A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Tada galime rasti trikampio A E M kampo liestinės reikšmę. Gauname:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Norimas kampas, gautas susikirtus plokštumų A B C ir B E D 1, lygus a r c t g 5, tada supaprastinus gauname a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Atsakymas: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kai kurie kampo tarp susikertančių linijų radimo atvejai nurodomi naudojant koordinačių plokštuma O x y z ir koordinačių metodas. Pažiūrėkime atidžiau.

Jei pateikiamas uždavinys, kuriame reikia rasti kampą tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, norimą kampą žymime α.

Tada duotoji koordinačių sistema parodo, kad turime susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 normaliųjų vektorių koordinates. Tada pažymime, kad n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z yra normalusis plokštumos γ 1 vektorius, o n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) – plokštuma γ 2. Panagrinėkime detalų kampo, esančio tarp šių plokštumų, nustatymą pagal vektorių koordinates.

Būtina nurodyti tiesę, išilgai kurios plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta su raide c. Tiesėje c turime tašką M, per kurį nubrėžiame c statmeną plokštumą χ. Plokštuma χ išilgai tiesių a ir b taške M kerta plokštumas γ 1 ir γ 2. iš apibrėžimo seka, kad kampas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 yra lygus atitinkamai šioms plokštumoms priklausančių susikertančių tiesių a ir b kampui.

χ plokštumoje nubrėžiame normaliuosius vektorius iš taško M ir pažymime juos n 1 → ir n 2 → . Vektorius n 1 → yra tiesėje, statmenoje tiesei a, o vektorius n 2 → yra tiesėje, statmenoje tiesei b. Iš čia gauname, kad duotoje plokštumoje χ yra normalusis tiesės a vektorius, lygus n 1 →, o tiesei b lygus n 2 →. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Iš čia gauname formulę, pagal kurią, naudodami vektorių koordinates, galime apskaičiuoti susikertančių tiesių kampo sinusą. Mes nustatėme, kad kampo tarp tiesių a ir b kosinusas yra toks pat kaip kosinusas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, gaunamas iš formulės cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kur mes turime, kad n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) yra pavaizduotų plokštumų vektorių koordinatės.

Kampas tarp susikertančių linijų apskaičiuojamas pagal formulę

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2 pavyzdys

Pagal sąlygą pateikiamas gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kur A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, o taškas E dalija kraštinę A A 1 4: 3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad jos kraštinės poromis statmenos. Tai reiškia, kad reikia įvesti koordinačių sistemą O x y z su viršūne taške C ir koordinačių ašimis O x, O y, O z. Būtina nustatyti kryptį į atitinkamas puses. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Susikertančios plokštumos A B C Ir B E D 1 sudaryti kampą, kurį galima rasti naudojant formulę α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kuriame n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) yra normalieji vektoriai šie lėktuvai. Būtina nustatyti koordinates. Iš paveikslo matome, kad koordinačių ašis O x y sutampa su plokštuma A B C, tai reiškia, kad normaliojo vektoriaus k → koordinatės lygios reikšmei n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Plokštumos B E D 1 normalusis vektorius laikomas vektorine sandauga B E → ir B D 1 →, kur jų koordinatės randamos pagal kraštutinių taškų B, E, D 1 koordinates, kurios nustatomos remiantis problema.

Gauname, kad B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Kadangi A E E A 1 = 4 3, iš taškų A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 koordinačių randame E 2, 3, 4. Mes nustatome, kad B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2, - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Rastąsias koordinates būtina pakeisti į kampo per lanko kosinusą skaičiavimo formulę. Mes gauname

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinačių metodas duoda panašų rezultatą.

Atsakymas: a r c cos 6 6 .

Paskutinė problema nagrinėjama siekiant rasti kampą tarp susikertančių plokštumų su esamomis žinomomis plokštumų lygtimis.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kampo sinusą, kosinusą ir kampo, kurį sudaro dvi susikertančios tiesės, apibrėžtos koordinačių sistemoje O x y z ir pateiktos lygtimis 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ir 3 y - z, reikšmę. - 1 = 0.

Sprendimas

Studijuojant temą bendroji lygtis formos A x + B y + C z + D = 0 tiesė atskleidė, kad A, B, C yra koeficientai, lygūs normaliojo vektoriaus koordinatėms. Tai reiškia, kad n 1 → = 2, - 4, 1 ir n 2 → = 0, 3, - 1 yra duotų tiesių normalieji vektoriai.

Norimo susikertančių plokštumų kampo apskaičiavimo formulėje būtina pakeisti plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Tada mes tai gauname

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Iš čia matome, kad kampo kosinusas yra cos α = 13 210. Tada susikertančių linijų kampas nėra bukas. Pakeitimas į trigonometrinė tapatybė, mes nustatome, kad kampo sinuso reikšmė yra lygi išraiškai. Paskaičiuokime ir surasime

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Atsakymas: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Apsvarstykite dvi plokštumas R 1 ir R 2 su normaliaisiais vektoriais n 1 ir n 2. Kampas φ tarp plokštumų R 1 ir R 2 išreiškiamas kampu ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) taip: jei ψ < 90°, tada φ = ψ (202 pav., a); jei ψ > 90°, tai ψ = 180° - ψ (202.6 pav.).

Akivaizdu, kad bet kuriuo atveju lygybė yra tiesa

cos φ = |cos ψ|

Kadangi kampo tarp nulinių vektorių kosinusas yra lygus šių vektorių skaliarinei sandaugai, padalintai iš jų ilgių sandaugos, turime

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

ir todėl kampo φ kosinusas tarp plokštumų R 1 ir R 2 galima apskaičiuoti naudojant formulę

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Jei plokštumos pateiktos bendrosiomis lygtimis

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

tada jų normaliųjų vektorių galime imti vektorius n 1 = (A1; B1; C1) ir n 2 = (A 2; B 2; C 2).

Užrašę dešinę (1) formulės pusę koordinatėmis, gauname

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

1 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp plokštumų

X - √2 y + z- 2 = 0 ir x+ √2 y - z + 13 = 0.

IN tokiu atveju A 1 = 1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 = 1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Iš (2) formulės gauname

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Todėl kampas tarp šių plokštumų yra 60°.

Plokštumos su normaliaisiais vektoriais n 1 ir n 2:

a) yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai vektoriai n 1 ir n 2 yra kolineariniai;

b) statmenas tada ir tik tada, kai vektoriai n 1 ir n 2 yra statmenos, t.y. kai n 1 n 2 = 0.

Iš čia gauname reikalingus ir pakankamai sąlygų dviejų plokštumų lygiagretumas ir statmenumas, pateikiami bendrosiomis lygtimis.

Į lėktuvą

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

buvo lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad lygybės galiotų

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3) $$

Jei kuris nors iš koeficientų A 2 , B 2 , C 2 yra lygus nuliui, daroma prielaida, kad atitinkamas koeficientas A 1 , B 1 , C 1 taip pat lygus nuliui

Bent vienos iš šių dviejų lygybių gedimas reiškia, kad plokštumos nėra lygiagrečios, tai yra, jos susikerta.

Dėl plokštumų statmenumo

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ir A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

būtina ir pakanka, kad būtų galima lygybė

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

2 užduotis. Tarp šių lėktuvų porų:

2X + 5adresu + 7z- 1 = 0 ir 3 X - 4adresu + 2z = 0,

adresu - 3z+ 1 = 0 ir 2 adresu - 6z + 5 = 0,

4X + 2adresu - 4z+ 1 = 0 ir 2 X + adresu + 2z + 3 = 0

nurodyti lygiagrečiai arba statmenai. Pirmajai lėktuvų porai

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

y., statmenumo sąlyga tenkinama. Plokštumos statmenos.

Antrajai lėktuvų porai

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), nes \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

o koeficientai A 1 ir A 2 lygūs nuliui. Todėl antrosios poros plokštumos lygiagrečios. Dėl trečios poros

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), nes \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

ir A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, t.y. trečiosios poros plokštumos nėra nei lygiagrečios, nei statmenos.

Kampo tarp dviejų skirtingų plokštumų dydį galima nustatyti bet kuriai santykinei plokštumų padėčiai.

Trivialus atvejis, jei plokštumos lygiagrečios. Tada kampas tarp jų laikomas lygiu nuliui.

Nebanalus atvejis, jei plokštumos susikerta. Šis atvejis yra tolesnių diskusijų objektas. Pirmiausia mums reikia koncepcijos dvikampis kampas.

9.1 Dvikampis kampas

Dvikampis kampas yra dvi pusiau plokštumos, turinčios bendrą tiesę (kuri vadinama dvikampio kampo briauna). Fig. 50 parodytas dvikampis kampas, sudarytas iš pusplokštumų ir; šio dvikampio kampo briauna yra tiesi linija a, bendra šioms pusplokštumoms.

Ryžiai. 50. Dvikampis kampas

Dvikampis kampas gali būti matuojamas laipsniais arba radianais vienu žodžiu, įveskite dvikampio kampo vertę. Tai daroma taip.

Dvikampio kampo, kurį sudaro pusiau plokštumai ir briauna, paimame savavališką tašką M. Nubrėžkime spindulius MA ir MB, atitinkamai gulinčius šiose pusplokštumose ir statmenus kraštui (51 pav.).

Ryžiai. 51. Tiesinis dvikampis kampas

Gautas kampas AMB yra dvikampio kampo tiesinis kampas. Kampas " = \AMB yra būtent mūsų dvikampio kampo vertė.

Apibrėžimas. Dvikampio kampo kampinis dydis yra tam tikro dvikampio kampo tiesinio kampo dydis.

Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam (juk jie gaunami vienas nuo kito lygiagrečiu poslinkiu). Štai kodėl šis apibrėžimas teisinga: reikšmė „nepriklauso nuo konkretus pasirinkimas taškai M dvikampio kampo briaunoje.

9.2 Kampo tarp plokštumų nustatymas

Kai susikerta dvi plokštumos, gaunami keturi dvikampiai kampai. Jei jie visi yra vienodo dydžio (po 90), tada plokštumos vadinamos statmenomis; Tada kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių.

Jei ne visi dvikampiai kampai yra vienodi (tai yra du smailieji ir du bukieji), tai kampas tarp plokštumų yra smailaus dvibriaunio kampo reikšmė (52 pav.).

Ryžiai. 52. Kampas tarp plokštumų

9.3 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris problemas. Pirmasis yra paprastas, antrasis ir trečiasis yra maždaug C2 lygio vieningo valstybinio matematikos egzamino.

1 uždavinys. Raskite kampą tarp dviejų taisyklingo tetraedro paviršių.

Sprendimas. Tegul ABCD taisyklingas tetraedras. Nubrėžkime atitinkamų paviršių medianas AM ir DM bei tetraedro DH aukštį (53 pav.).

Ryžiai. 53. Į 1 užduotį

Kadangi AM ir DM yra medianos, tai taip pat yra lygiakraščio aukščiai trikampiai ABC ir DBC. Todėl kampas " = \AMD yra dvikampio kampo, sudaryto iš paviršių ABC ir DBC, tiesinis kampas. Randame jį iš trikampio DHM:

Atsakymas: arccos 1 3 .

2 uždavinys. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD (su viršūne S) šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Taškas K yra krašto SA vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų

Sprendimas. Tiesė BC lygiagreti AD, taigi lygiagreti plokštumai ADS. Todėl plokštuma KBC kerta plokštumą ADS išilgai tiesės KL, lygiagrečią BC (54 pav.).

Ryžiai. 54. Į 2 užduotį

Šiuo atveju KL taip pat bus lygiagreti linijai AD; todėl KL vidurinė linija trikampis ADS, o taškas L yra DS vidurio taškas.

Raskime piramidės aukštį SO. Tegul N yra DO vidurys. Tada LN yra vidurinė trikampio DOS linija, taigi LN k SO. Tai reiškia, kad LN yra statmena plokštumai ABC.

Nuo taško N statmeną NM nuleidžiame iki tiesės BC. Tiesi linija NM bus pasvirusios LM projekcija į ABC plokštumą. Iš trijų statmenų teoremos išplaukia, kad LM taip pat yra statmena BC.

Taigi kampas " = \LMN yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų KBC ir ABC, tiesinis kampas. Šio kampo ieškosime iš stačiojo trikampio LMN.

Tegu piramidės briauna lygi a. Pirmiausia randame piramidės aukštį:

Sprendimas. Tegul L yra tiesių A1 K ir AB susikirtimo taškas. Tada plokštuma A1 KC kerta plokštumą ABC išilgai tiesės CL (55 pav.).

A C

Ryžiai. 55. Prie 3 uždavinio

Trikampiai A1 B1 K ir KBL yra lygūs kojos ir smailiu kampu. Todėl kitos kojos yra lygios: A1 B1 = BL.

Apsvarstykite trikampį ACL. Jame BA = BC = BL. Kampas CBL yra 120; todėl \BCL = 30 . Be to, \BCA = 60 . Todėl \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Taigi, LC? AC. Bet linija AC tarnauja kaip linijos A1 C projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad LC ? A1 C.

Taigi kampas A1 CA yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų A1 KC ir ABC, tiesinis kampas. Tai yra norimas kampas. Iš lygiašonio stačiojo trikampio A1 AC matome, kad jis lygus 45.

Koordinačių metodo naudojimas skaičiuojant kampą

tarp lėktuvų

Dauguma bendras metodas kampo radimastarp plokštumų – koordinačių metodas (kartais naudojant vektorius). Jis gali būti naudojamas, kai visi kiti buvo išbandyti. Bet yra situacijų, kai koordinačių metodą prasminga taikyti iš karto, būtent tada, kai koordinačių sistema yra natūraliai susijusi su problemos teiginyje nurodytu daugiakampiu, t.y. Aiškiai matomos trys poros statmenos linijos, kuriose galima nurodyti koordinačių ašis. Tokie daugiakampiai yra stačiakampė gretasienis ir taisyklinga keturkampė piramidė. Pirmuoju atveju koordinačių sistemą galima nurodyti briaunomis, besitęsiančiomis iš vienos viršūnės (1 pav.), antruoju - pagrindo aukščiu ir įstrižainėmis (2 pav.)

Koordinačių metodo taikymas yra toks.

Įvedama stačiakampė koordinačių sistema erdvėje. Patartina jį įvesti „natūraliai“ - „susieti“ su porų statmenų linijų, turinčių bendrą tašką, trejetu.

Kiekvienai plokštumai, tarp kurių ieškomas kampas, sudaroma lygtis. Lengviausias būdas sukurti tokią lygtį – žinoti trijų plokštumos taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates.

Plokštumos lygtis in bendras vaizdas atrodo kaip Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficientai A, B, Cs šioje lygtyje yra plokštumos normaliojo vektoriaus (vektoriaus, statmeno plokštumai) koordinatės. Tada nustatome normaliųjų vektorių ilgius ir skaliarinę sandaugą su plokštumais, tarp kurių ieškomas kampas. Jeigu šių vektorių koordinatės(A 1, B 1; C 1) ir (A 2; B 2; C 2 ), tada norimą kampąapskaičiuojamas pagal formulę

komentuoti. Reikia atsiminti, kad kampas tarp vektorių (priešingai nei kampas tarp plokštumų) gali būti bukas, o siekiant išvengti galimo neapibrėžtumo, skaitiklyje dešinėje formulės pusėje yra modulis.

Išspręskite šią problemą naudodami koordinačių metodą.

1 uždavinys. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Taškas K yra kraštinės AD vidurys, taškas L yra briaunos CD vidurys. Kodėl lygus kampui tarp lėktuvų A 1 KL ir A 1 AD?

Sprendimas . Tegul koordinačių sistemos pradžia yra taške A, o koordinačių ašys eina išilgai spindulių AD, AB, AA 1 (3 pav.). Paimkime, kad kubo kraštinė būtų lygi 2 (patogu dalinti per pusę). Tada taškų koordinatės A1, K, L yra tokie: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Ryžiai. 3

Užrašykime plokštumos lygtį A 1 K L apskritai. Tada į jį pakeičiame pasirinktų šios plokštumos taškų koordinates. Gauname trijų lygčių sistemą su keturiais nežinomaisiais:

Išreikškime koeficientus A, B, C iki D ir pasiekiame lygtį

Abi dalis padalinus į D (kodėl D = 0?) ir padauginus iš -2, gauname plokštumos lygtį A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tada šios plokštumos normalusis vektorius turi koordinates (2: -2; 1). Plokštumos lygtis A 1 AD yra: y=0, ir normaliojo vektoriaus koordinates, pavyzdžiui, (0; 2: 0). Pagal pirmiau pateiktą kampo tarp plokštumų kosinuso formulę gauname:

\(\blacktriangleright\) Dvikampis kampas yra kampas, sudarytas iš dviejų pusplokštumų ir tiesės \(a\), kuri yra jų bendra riba.

\(\blacktriangleright\) Norėdami rasti kampą tarp plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) , turite rasti tiesinį kampą (ir aštrus arba tiesiai) dvikampis kampas, sudarytas iš plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) :

1 veiksmas: tegul \(\xi\cap\pi=a\) (plokštumų susikirtimo linija). Plokštumoje \(\xi\) pažymime savavališką tašką \(F\) ir nubrėžiame \(FA\perp a\) ;

2 veiksmas: atlikite \(FG\perp \pi\) ;

3 žingsnis: pagal TTP (\(FG\) – statmena, \(FA\) – įstrižinė, \(AG\) – projekcija) turime: \(AG\perp a\) ;

4 veiksmas: kampas \(\kampas FAG\) vadinamas dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos \(\xi\) ir \(\pi\) , tiesiniu kampu.

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis \(AG\) yra stačiakampis.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu sukonstruota plokštuma \(AFG\) yra statmena abiem plokštumoms \(\xi\) ir \(\pi\) . Todėl galime pasakyti kitaip: kampas tarp plokštumų\(\xi\) ir \(\pi\) yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių \(c\in \xi\) ir \(b\in\pi\), sudarančių plokštumą, statmeną ir \(\xi\ ) ir \(\pi\) .

1 užduotis #2875

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duota keturkampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios, o pagrindas yra kvadratas. Raskite \(6\cos \alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp gretimų šoninių paviršių.

Tegul \(SABCD\) yra duotoji piramidė (\(S\) yra viršūnė), kurios briaunos lygios \(a\) . Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Raskime kampą tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .

Atlikime \(CH\perp SD\) . Nes \(\triangle SAD=\triangle SCD\), tada \(AH\) taip pat bus \(\triangle SAD\) aukštis. Todėl pagal apibrėžimą \(\angle AHC=\alpha\) yra dvisienio kampo tiesinis kampas tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .
Kadangi pagrindas yra kvadratas, tada \(AC=a\sqrt2\) . Taip pat atkreipkite dėmesį, kad \(CH=AH\) yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra \(a\), aukštis, todėl \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Tada pagal kosinuso teoremą iš \(\trikampis AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Atsakymas: -2

2 užduotis #2876

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta kampu, kurio kosinusas lygus \(0,2\). Plokštumos \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikerta stačiu kampu, o plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra lygiagreti plokštumos \(\pi_2\) ir \(\ pi_3\) . Raskite kampo tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_3\) sinusą.

Tegul \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra tiesi \(a\), o \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikirtimo linija yra tiesė linija \(b\), o susikirtimo linija \(\pi_3\) ir \(\pi_1\) – tiesė \(c\) . Kadangi \(a\parallel b\) , tada \(c\parallel a\parallel b\) (pagal teoremą iš teorinės nuorodos skyriaus „Geometrija erdvėje“ \(\rightarrow\) „Įvadas į stereometriją, paralelizmas“).

Pažymėkime taškus \(A\in a, B\in b\), kad \(AB\perp a, AB\perp b\) (tai įmanoma, nes \(a\parallel b\) ). Pažymėkime \(C\in c\), kad \(BC\perp c\) , taigi \(BC\perp b\) . Tada \(AC\perp c\) ir \(AC\perp a\) .
Iš tiesų, kadangi \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada \(b\) yra statmena plokštumai \(ABC\) . Kadangi \(c\parallel a\parallel b\), tai tiesės \(a\) ir \(c\) taip pat yra statmenos plokštumai \(ABC\), taigi bet kuriai tiesei iš šios plokštumos, ypač , eilutė \ (AC\) .

Tai seka \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Pasirodo, \(\trikampis ABC\) yra stačiakampis, o tai reiškia \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Atsakymas: 0,2

3 užduotis #2877

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotos tiesės \(a, b, c\), susikertančios viename taške, o kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\) . Raskite \(\cos^(-1)\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumos, kurią sudaro tiesės \(a\) ir \(c\), ir plokštumos, kurią sudaro tiesės \( b\ ) ir \(c\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul tiesės susikerta taške \(O\) . Kadangi kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\), visos trys tiesės negali būti toje pačioje plokštumoje. Pažymėkime tašką \(A\) tiesėje \(a\) ir nubrėžkime \(AB\perp b\) ir \(AC\perp c\) . Tada \(\trikampis AOB=\trikampis AOC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo. Todėl \(OB=OC\) ir \(AB=AC\) .
Atlikime \(AH\perp (BOC)\) . Tada pagal teoremą apie tris statmenis \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Kadangi \(AB=AC\) , tada \(\trikampis AHB=\trikampis AHC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir kojos. Todėl \(HB=HC\) . Tai reiškia, kad \(OH\) ​​yra kampo \(BOC\) pusiausvyra (nes taškas \(H) yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių).

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu mes taip pat sukūrėme dvisienio kampo, kurį sudaro plokštuma, sudaryta iš tiesių \(a\) ir \(c\), linijinį kampą ir plokštumą, kurią sudaro tiesės \(b\) ir \(c \) . Tai kampas \(ACH\) .

Raskime šį kampą. Kadangi tašką \(A\) pasirinkome savavališkai, parinksime jį taip, kad \(OA=2\) . Tada stačiakampiu \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Kadangi \(OH\) ​​​​on pusiausvyra, tada \(\angle HOC=30^\circ\) , todėl stačiakampyje \(\triangle HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Tada iš stačiakampio \(\trikampis ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Atsakymas: 3

4 užduotis #2910

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta išilgai tiesės \(l\), kurioje yra taškai \(M\) ir \(N\). Atkarpos \(MA\) ir \(MB\) yra statmenos tiesei \(l\) ir yra atitinkamai \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) plokštumose ir \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Raskite \(3\cos\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) .

Trikampis \(AMN\) yra stačiakampis, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), iš kur \ Trikampis \(BMN\) yra stačiakampis, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), iš kurio \Rašome trikampio \(AMB\) kosinuso teoremą: \ Tada \ Kadangi kampas \(\alpha\) tarp plokštumų yra aštrus kampas, ir \(\angle AMB\) pasirodė bukas, tada \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Tada \

Atsakymas: 1.25

5 užduotis #2911

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) yra gretasienis, \(ABCD\) yra kvadratas, kurio kraštinė yra \(a\), taškas \(M\) yra statmens, numesto iš taško \(A_1\) į plokštumą ((ABCD)\) , be to, \(M\) yra kvadrato \(ABCD\) įstrižainių susikirtimo taškas. Yra žinoma, kad \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Raskite kampą tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Pastatykime \(MN\) statmeną \(AB\), kaip parodyta paveikslėlyje.

Kadangi \(ABCD\) yra kvadratas su kraštinėmis \(a\) ir \(MN\perp AB\) ir \(BC\perp AB\) , tada \(MN\parallel BC\) . Kadangi \(M\) yra kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(M\) yra \(AC\) vidurys, todėl \(MN\) yra vidurinė linija ir \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) yra \(A_1N\) projekcija į plokštumą \((ABCD)\), o \(MN\) yra statmena \(AB\), tada pagal trijų statmenų teoremą \ (A_1N\) yra statmena \(AB \), o kampas tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) yra \(\kampas A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kampas A_1NM = 60^(\circ)\]

Atsakymas: 60

6 užduotis #1854

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(ABC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\triangle SAO\) ir \(\triangle SDO\) yra lygūs iš dviejų kraštinių, o kampas tarp jų (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\trikampis ASD\ ) – lygiašoniai. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rightarrow\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumoms \(ASD\) ir \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – tiesinis kampas, lygus norimam dvikampis kampas.

\(\trikampis SKO\) : \(Gerai = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – lygiašonis stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Atsakymas: 45

7 užduotis #1855

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(BSC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\trikampis SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ir \(\triangle SOC\) yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (\(SO \perp ABC) \) \(\rodyklė dešinėn\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rodyklė dešinėn\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \trikampis ASD\) ir \(\trikampis BSC\) yra lygiašoniai. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumai \(ASD\) . Taškas \(L\) yra \(BC\) vidurys, tada \(SL\) yra trikampio aukštis \(\triangle BSC\), o \(OL\) yra trikampio aukštis \( BOC\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOL\) (dar žinoma kaip plokštuma \(SOK\)) yra statmena plokštumai \(BSC\) . Taigi gauname, kad \(\kampas KSL\) yra tiesinis kampas, lygus norimam dvikampio kampui.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rodyklė dešinėn\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – lygiašonių trikampių aukščiai, kuriuos galima rasti naudojant Pitagoro teoremą: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Galima pastebėti, kad \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) trikampiui \(\trikampis KSL\) atvirkštinė Pitagoro teorema galioja \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Atsakymas: 90

Mokinių paruošimas laikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kaip taisyklė, prasideda kartojant pagrindines formules, įskaitant tas, kurios leidžia nustatyti kampą tarp plokštumų. Nepaisant to, kad ši geometrijos dalis yra pakankamai išsamiai aprašyta mokyklos mokymo programa, daugeliui absolventų reikia pakartoti pagrindinę medžiagą. Suprasdami, kaip rasti kampą tarp plokštumų, gimnazistai galės greitai apskaičiuoti teisingą atsakymą spręsdami problemą ir tikėtis, kad gaus neblogus balus išlaikę vieningą valstybinį egzaminą.

Pagrindiniai niuansai

Siekiant užtikrinti, kad klausimas, kaip rasti dvitaškį kampą, nesukeltų sunkumų, rekomenduojame vadovautis sprendimo algoritmu, kuris padės susidoroti su vieningo valstybinio egzamino užduotimis.

Pirmiausia turite nustatyti tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos susikerta.

Tada reikia pasirinkti tašką šioje tiesėje ir nubrėžti jam du statmenis.

Kitas žingsnis yra surasti trigonometrinė funkcija dvikampis kampas, suformuotas statmenų. Patogiausia tai padaryti naudojant gautą trikampį, kurio dalis yra kampas.

Atsakymas bus kampo reikšmė arba jo trigonometrinė funkcija.

Pasiruošimas egzamino testui su Shkolkovo yra jūsų sėkmės raktas

Dieną prieš pamokas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą Daugelis moksleivių susiduria su apibrėžimų ir formulių, leidžiančių apskaičiuoti kampą tarp 2 plokštumų, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada būna po ranka tiksliai tada, kai reikia. Ir rasti reikiamas formules bei jų pavyzdžius teisingas pritaikymas, įskaitant kampo tarp plokštumų radimą internete internete, kartais reikia praleisti daug laiko.

Shkolkovo matematikos portalas siūlo naują požiūrį į pasiruošimą valstybiniam egzaminui. Užsiėmimai mūsų svetainėje padės mokiniams patiems atpažinti sunkiausius skyrius ir užpildyti žinių spragas.

Viską paruošėme ir aiškiai pristatėme reikalingos medžiagos. Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinė informacija“.

Siekiant geriau suprasti medžiagą, taip pat siūlome atlikti atitinkamus pratimus. Didelis pasirinkimas Pavyzdžiui, įvairaus sudėtingumo užduotys pateikiamos skyriuje „Katalogas“. Visose užduotyse yra išsamus teisingo atsakymo paieškos algoritmas. Svetainėje esantis pratimų sąrašas nuolat pildomas ir atnaujinamas.

Praktikuodami sprendžiant problemas, kuriose reikia rasti kampą tarp dviejų plokštumų, mokiniai turi galimybę išsaugoti bet kurią užduotį internete kaip „Mėgstamiausius“. Dėl to jie galės grįžti pas jį reikalinga suma laiko ir aptarti su jo sprendimo eigą mokyklos mokytojas arba dėstytojas.