Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019). Išvestinė, pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos

15.10.2019

IN koordinačių plokštuma xOy apsvarstykite funkcijos grafiką y=f(x). Pataisykime esmę M(x 0 ; f (x 0)). Pridėkime abscisę x 0 prieaugis Δx. Gausime naują abscisę x 0 +Δx. Tai taško abscisė N, o ordinatė bus lygi f (x 0 + Δx). Pasikeitus abscisei, pasikeitė ir ordinatės. Šis pokytis vadinamas funkcijos padidėjimu ir žymimas Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Per taškus M Ir N nubrėžkime sekantą MN, kuris sudaro kampą φ su teigiama ašies kryptimi Oi. Nustatykime kampo liestinę φ iš taisyklingas trikampis MPN.

Leisti Δx linkęs į nulį. Tada sekantas MN bus linkę užimti liestinę padėtį MT, ir kampas φ taps kampu α . Taigi, kampo liestinė α yra kampo liestinės ribinė vertė φ :

Funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį, vadinama funkcijos išvestine tam tikrame taške:

Geometrinė išvestinės reikšmė slypi tame, kad funkcijos skaitinė išvestinė tam tikrame taške yra lygi kampo, kurį sudaro liestinė, nubrėžta per šį tašką, į duotąją kreivę ir teigiamą ašies kryptį. Oi:

Pavyzdžiai.

1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, jei pradinė argumento reikšmė buvo lygi 4 , ir naujas - 4,01 .

Sprendimas.

Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δх, taigi argumento prieaugis Δx=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atsakymas: argumentų prieaugis Δx=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.

Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.

Sprendimas.

Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė ( geometrine prasme išvestinė). Mes turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.

Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.

3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=x n.

Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.

Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.

Tai yra formulės.

Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:

1. Pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui.

2. X pirminis yra lygus vienetui.

3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.

4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.

5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.

6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.

7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.

8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.

9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.

10. Kotangento išvestinė lygi minus vienas, padalytas iš sinuso kvadrato.

Mes mokome diferenciacijos taisyklės.

1. Algebrinės sumos išvestinė lygi algebrinė suma terminų vediniai.

2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.

3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.

4. Ypatingas formulės atvejis 3.

Mokykimės kartu!

1 puslapis iš 1 1

Sprendžiant įvairios užduotys geometrija, mechanika, fizika ir kitos žinių šakos tapo būtinos naudojant tą patį šios funkcijos analizės procesą y=f(x) gauti naują funkciją, pavadintą išvestinė funkcija(arba tiesiog duotosios funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliu

Procesas, kurio metu iš tam tikros funkcijos f(x) gauti naują funkciją f“ (x), paskambino diferenciacija ir jis susideda iš šių trijų žingsnių: 1) pateikite argumentą x prieaugis  x ir nustatyti atitinkamą funkcijos prieaugį  y = f(x+ x) -f(x); 2) užmegzti ryšį

3) skaičiavimas x pastovus ir  x0, randame
, kurį žymime f“ (x), tarsi pabrėžiant, kad gaunama funkcija priklauso tik nuo reikšmės x, ties kuria einame iki ribos. Apibrėžimas: Išvestinė y " =f " (x) duota funkcija y=f(x) duotam x vadinama funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugio riba, su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, jei, žinoma, ši riba egzistuoja, t.y. baigtinis. Taigi,
, arba

Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę x, pavyzdžiui, kai x=a, požiūris
adresu  x0 nėra linkęs į baigtinę ribą, tada šiuo atveju jie sako, kad funkcija f(x) adresu x=a(arba taške x=a) neturi išvestinės arba taške nėra diferencijuojamas x=a.

2. Geometrinė išvestinės reikšmė.

Apsvarstykite funkcijos y = f (x), diferencijuojamos taško x 0 kaimynystėje, grafiką.

f(x)

Panagrinėkime savavališką tiesę, einančią per funkcijos grafiko tašką – tašką A(x 0 , f (x 0)) ir kertančią grafiką tam tikrame taške B(x;f(x)). Tokia linija (AB) vadinama sekantu. Iš ∆ABC: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Kadangi AC || Ox, tada ALO = BAC = β (kaip atitinka lygiagrečiai). Bet ALO yra sekanto AB polinkio kampas į teigiamą Ox ašies kryptį. Tai reiškia tanβ = k - nuolydis tiesi AB.

Dabar sumažinsime ∆x, t.y. ∆х→ 0. Šiuo atveju taškas B pagal grafiką priartės prie taško A, o sekantė AB suksis. Sekanto AB ribinė padėtis taške ∆x→ 0 bus tiesė (a), vadinama funkcijos y = f (x) grafiko liestine taške A.

Jei lygybėje tgβ =∆y/∆x eisime į ribą kaip ∆x → 0, gausime
ortg =f "(x 0), kadangi
 - Ox ašies teigiamos krypties liestinės polinkio kampas
, pagal išvestinės apibrėžimą. Bet tg = k yra liestinės kampinis koeficientas, o tai reiškia, kad k = tg = f "(x 0).

Taigi, geometrinė išvestinės reikšmė yra tokia:

Funkcijos taške x išvestinė 0 lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui, nubrėžtam taške su abscise x 0 .

3. Fizinė vedinio reikšmė.

Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Tegu yra taško koordinatė bet kuriuo momentu x(t). Yra žinoma (iš fizikos kurso), kad vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį yra lygus per šį laikotarpį nuvažiuoto atstumo ir laiko santykiui, t.y.

Vav = ∆x/∆t. Eikime į ribą paskutinėje lygybėje kaip ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - momentinis greitis momentu t 0, ∆t → 0.

ir lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (pagal išvestinės apibrėžimą).

Taigi, (t) =x"(t).

Fizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinėy = f(x) taškex 0 yra funkcijos kitimo greitisf(x) taškex 0

Išvestinė naudojama fizikoje norint rasti greitį pagal žinomą koordinačių ir laiko funkciją, pagreitį pagal žinomą greičio ir laiko funkciją.

(t) = x"(t) - greitis,

a(f) = "(t) – pagreitis arba

Jei žinomas materialaus taško judėjimo apskritime dėsnis, tada galima rasti kampinį greitį ir kampinį pagreitį sukimosi metu:

φ = φ(t) – kampo pokytis laikui bėgant,

ω = φ"(t) – kampinis greitis,

ε = φ"(t) – kampinis pagreitis arba ε = φ"(t).

Jei žinomas nehomogeninio strypo masės pasiskirstymo dėsnis, tai galima rasti nehomogeninio strypo tiesinį tankį:

m = m(x) – masė,

x  , l - strypo ilgis,

p = m"(x) – tiesinis tankis.

Naudojant išvestinę, sprendžiami tamprumo ir harmoninių virpesių teorijos uždaviniai. Taigi, pagal Huko dėsnį

F = -kx, x – kintamoji koordinatė, k – spyruoklės elastingumo koeficientas. Padėję ω 2 =k/m, gauname spyruoklės švytuoklės diferencialinę lygtį x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

čia ω = √k/√m virpesių dažnis (l/c), k – spyruoklės standumas (H/m).

Formos y" + ω 2 y = 0 lygtis vadinama harmoninių virpesių (mechaninių, elektrinių, elektromagnetinių) lygtimi. Tokių lygčių sprendimas yra funkcija.

y = Asin(ωt + φ 0) arba y = Acos(ωt + φ 0), kur

A - virpesių amplitudė, ω - ciklinis dažnis,

φ 0 – pradinė fazė.

Data: 2014-11-20

Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Darinys yra viena iš pagrindinių sąvokų aukštoji matematika. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Pažinkime vieni kitus, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai išspręskite šias paprasčiausias užduotis;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Mes paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti darinį; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir taip toliau. Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti konkrečios funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Leiskite dar kartą priminti: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Išvestinė sudėtinga funkcija.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje yra be galo daug funkcijų. Tarp šios veislės yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. Ir matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Prieš mus jie apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestinius. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė - elementarią funkciją, dešinėje yra jo išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	žurnalas a x
5	ln x ( a = e)

Rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę šioje išvestinių lentelėje. Darinys galios funkcija- viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite nuspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Kaip suprantate, rasti išvestinės lentelės reikšmę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra galios funkcijos išvestinė dalis bendras vaizdas(trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į tą patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, leiskite man priminti, yra nauja funkcija.

Naudodami planšetinį kompiuterį randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iš karto pagerės!

Taip taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimena elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada šią funkciją visai įmanoma supaprastinti. Kaip šitas:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis tam tikrą laiką:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

IN tokiu atveju tarpinis argumentas yra 8x iki penktojo laipsnio. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame ją iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Už nugaros trumpalaikis Padėsime išspręsti sudėtingiausius testus ir išspręsti problemas, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Vieno kintamojo funkcijos išvestinė.

Įvadas.

Tikras metodologinius pokyčius skirtas Pramonės ir statybos fakulteto studentams. Jie buvo sudaryti atsižvelgiant į matematikos kurso programą skyriuje „Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas“.

Patobulinimai sudaro vieną metodinį vadovą, apimantį: trumpą teorinę informaciją; „standartinės“ problemos ir pratimai su išsamiais šių sprendimų sprendimais ir paaiškinimais; testavimo parinktys.

Kiekvienos pastraipos pabaigoje yra papildomų pratimų. Dėl šios raidos struktūros jie tinka savarankiškam skyriaus įvaldymui su minimalia mokytojo pagalba.

§1. Išvestinės apibrėžimas.

Mechaninė ir geometrinė reikšmė

išvestinė.

Išvestinės sąvoka – viena svarbiausių matematinės analizės sąvokų, ji atsirado dar XVII a. Išvestinės sąvokos formavimasis istoriškai siejamas su dviem problemomis: kintamo judėjimo greičio ir kreivės liestinės problema.

Šios problemos, nepaisant skirtingo turinio, lemia tą patį matematinį veiksmą, kuris turi būti atliktas su funkcija.Ši operacija gavo specialų pavadinimą matematikoje. Tai vadinama funkcijos diferenciacijos operacija. Diferencijavimo operacijos rezultatas vadinamas išvestine.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinė taške x0 yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra).
adresu
.

Išvestinė paprastai žymima taip:
.

Taigi, pagal apibrėžimą

Simboliai taip pat naudojami dariniams žymėti
.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Jei s=s(t) yra materialaus taško tiesinio judėjimo dėsnis, tai
yra šio taško greitis laiko momentu t.

Geometrinė išvestinės reikšmė.

Jei funkcija y=f(x) taške turi išvestinę , tada funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas taške
lygus
.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę
taške =2:

1) Duokime tašką = 2 prieaugis
. Pastebėti, kad.

2) Raskite funkcijos prieaugį taške =2:

3) Sukurkime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

Raskime santykio ribą ties
:

Taigi,
.

§ 2. Kai kurių išvestinių

paprasčiausias funkcijas.

Studentas turi išmokti skaičiuoti konkrečių funkcijų išvestines: y=x,y= ir apskritai = .

Raskime funkcijos y=x išvestinę.

tie. (x)′=1.

Raskime funkcijos išvestinę

Darinys

Leisti
Tada

Galios funkcijos išvestinių išraiškose nesunku pastebėti šabloną
su n=1,2,3.

Vadinasi,

. (1)

Ši formulė galioja bet kuriai realiai n.

Visų pirma, naudojant (1) formulę, turime:

;

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

Ši funkcija yra ypatingas formos funkcijos atvejis

adresu
.

Naudodami formulę (1), turime

Funkcijų y=sin x ir y=cos x išvestinės.

Tegu y=sinx.

Padalijus iš ∆x, gauname

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, turime

Tegul y=cosx.

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, gauname

;
. (2)

§3. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės.

Panagrinėkime diferenciacijos taisykles.

Teorema1 . Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai šiame taške jų suma taip pat yra diferencijuojama, o sumos išvestinė lygi terminų išvestinių sumai : (u+v)"=u"+v".(3)

Įrodymas: apsvarstykite funkciją y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumento x prieaugis ∆x atitinka funkcijų u ir v priedus ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Tada funkcija y padidės

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vadinasi,

Taigi, (u+v)"=u"+v.

Teorema2. Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai jų sandauga yra diferencijuojama tame pačiame taške Šiuo atveju sandaugos išvestinė randama pagal šią formulę: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Įrodymas: Tegu y=uv, kur u ir v yra kai kurios diferencijuojamos x funkcijos. Suteikime x ∆x prieaugį, tada u gaus ∆u prieaugį, v – ∆v, y – ∆y prieaugį.

Turime y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), arba

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Todėl ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Iš čia

Pereinant prie ribos ties ∆x→0 ir atsižvelgiant į tai, kad u ir v nepriklauso nuo ∆x, turėsime

3 teorema. Dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios vardiklis lygus daliklio kvadratui, o skaitiklis yra skirtumas tarp dividendo ir daliklio išvestinės sandaugos ir daliklio sandaugos. dividendas ir daliklio išvestinė, t.y.

Jeigu
Tai
(5)