വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിതം എങ്ങനെ ചേർക്കാം. ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ

പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - loga = loga (x: y).

സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ

ലോഗ്6 4 + ലോഗ്6 9.

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x >

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.

3.

4. എവിടെ .

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3. ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - loga = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ.

അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി അപൂർവ്വമായി കാണപ്പെടുന്നു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. തീരുമാനിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, പ്രധാനം ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റിചിലപ്പോൾ അത് മാത്രമാണ് സാധ്യമായ പരിഹാരം.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഇതും കാണുക:

a അടിസ്ഥാനമാക്കാനുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം തുല്യത തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പവർ x () കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, മുകളിലുള്ള സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ ബാക്കിയുള്ള വിദേശ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ (3.4) തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയും ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണാറുണ്ട്. ബാക്കിയുള്ളവ കുറച്ച് സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നാൽ പല ജോലികളിലും സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും അവ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാധാരണ കേസുകൾ

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ചിലത് ബേസ് പത്തോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലോ രണ്ടോ ആണെങ്കിലും ഉള്ളവയാണ്.
അടിസ്ഥാന പത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം സാധാരണയായി ദശാംശ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

റെക്കോർഡിംഗിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് റെക്കോർഡിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നത് ഒരു ഘാതം (ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) ആണ്.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

അടിസ്ഥാന രണ്ടിലേക്കുള്ള മറ്റൊരു പ്രധാന ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

ഇൻ്റഗ്രൽ അല്ലെങ്കിൽ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബന്ധമാണ്

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ മതിയാകും. മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന്, അതിൽ നിന്നുള്ള കുറച്ച് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞാൻ നൽകും സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസർവകലാശാലകളും.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട്

3.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

4. എവിടെ .

നോട്ടം കൊണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ ആവിഷ്കാരംനിരവധി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപീകരിക്കുന്നതിന് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി, അവസാന ടേം 5, 13 പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ അത് രേഖപ്പെടുത്തുകയും വിലപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: അതിൻ്റെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വഴി ലോഗരിതം എഴുതാൻ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കാം.

ഇത് ലോഗരിതങ്ങളുമായും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമായും ഉള്ള നമ്മുടെ പരിചയത്തിൻ്റെ തുടക്കം മാത്രമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശീലിക്കുക, നിങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ സമ്പുഷ്ടമാക്കുക - ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നേടുന്ന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ആവശ്യമായി വരും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ പഠിച്ച ശേഷം, നിങ്ങളുടെ അറിവ് തുല്യമായ മറ്റൊരു വിഷയത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കും - ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ...

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - loga = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log6 4 + log6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം എൻ ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്സ് , അതിലേക്ക് നിങ്ങൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് എ നമ്പർ ലഭിക്കാൻ എൻ

അത് നൽകി
,
,

ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു
, അതായത്.
- ഈ സമത്വമാണ് അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.

അടിസ്ഥാന 10 വരെയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളെ ഡെസിമൽ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിനുപകരമായി
എഴുതുക
.

അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇ അവയെ സ്വാഭാവികമെന്ന് വിളിക്കുകയും നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ.

ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതം ഏതൊരു അടിത്തറയ്ക്കും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം.

3) ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്

ഘടകം
ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ അടിത്തട്ടിൽ ലോഗരിതം വരെ ബി .

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 2-5 ഉപയോഗിച്ച്, ലോഗരിതത്തിലെ ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം കുറയ്ക്കാൻ പലപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലോഗരിതത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അധ്യായം 2. ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ.

1. പരിധികൾ

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധി
ഒരു പരിമിത സംഖ്യ എ ആണെങ്കിൽ, പോലെ xx 0 മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച ഓരോന്നിനും
, അങ്ങനെ ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്
അത് ഉടൻ
, അത്
.

പരിധിയുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൽ നിന്ന് അനന്തമായ അളവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:
, എവിടെ- b.m.v., i.e.
.

ഉദാഹരണം. പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക
.

പരിശ്രമിക്കുമ്പോൾ
, പ്രവർത്തനം വൈ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു:

1.1 പരിധികളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിൻ്റെ പരിധി ഈ സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്

.

പരിമിതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) പരിധി ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധികളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) തുല്യമാണ്.

പരിമിതമായ എണ്ണം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ പരിധി ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധികളുടെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ പരിധി പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ പരിധി ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പരിധികളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്.

അതിശയകരമായ പരിധികൾ

,
, എവിടെ

1.2 പരിധി കണക്കുകൂട്ടൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ

എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ പരിധികളും അത്ര എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കില്ല. മിക്കപ്പോഴും, പരിധി കണക്കാക്കുന്നത് തരത്തിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വം വെളിപ്പെടുത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു: അഥവാ .

.

2. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നടത്താം
, സെഗ്മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി
.

വാദം കുറച്ച് വർദ്ധനവ് ലഭിച്ചു
. അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് ലഭിക്കും
.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു
.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം
ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, .

ഈ അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
. ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3 തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
വാദം വഴി ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഏകപക്ഷീയമായി പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കാം:

; ; ; .

നിർവ്വചനം 4ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം.

2.1 ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ അർത്ഥം.

ചില കർക്കശമായ ബോഡി അല്ലെങ്കിൽ മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു സമയത്ത് അനുവദിക്കുക ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റ്
അകലെ ആയിരുന്നു ആരംഭ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന്
.

കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം
അവൾ അകലം മാറി
. മനോഭാവം =- ശരാശരി വേഗതമെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ്
. അത് കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് ഈ അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്താം
.

തൽഫലമായി, ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ തൽക്ഷണ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പാതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

2.2 ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ മൂല്യം

നമുക്ക് ഗ്രാഫിക്കലായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ
.

അരി. 1. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

എങ്കിൽ
, പിന്നെ പോയിൻ്റ്
, വളവിലൂടെ നീങ്ങും, പോയിൻ്റിനെ സമീപിക്കും
.

അതുകൊണ്ട്
, അതായത്. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിനായുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയോടുകൂടിയ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ ടാൻജെൻ്റ് രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്
.

2.3 അടിസ്ഥാന ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകളുടെ പട്ടിക.

പവർ ഫംഗ്ഷൻ

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ

ലോഗരിഥമിക് പ്രവർത്തനം

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം

2.4 വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ.

ഡെറിവേറ്റീവ്

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

2.5 ഡെറിവേറ്റീവ് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം.

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ
രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ

ഒപ്പം
, എവിടെ വേരിയബിൾ ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് വാദമാണ്, അപ്പോൾ

ഒരു കോംപ്ലക്‌സ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഫലത്തിനും x നെ സംബന്ധിച്ച ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1.

ഉദാഹരണം 2.

3. ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ.

ഉണ്ടാകട്ടെ
, ചില ഇടവേളകളിൽ വേർതിരിക്കാം
അതിനെ പോകാൻ അനുവദിക്കുക ചെയ്തത് ഈ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്

,

അപ്പോൾ നമുക്ക് എഴുതാം

(1),

എവിടെ - ഒരു അനന്തമായ അളവ്,

എന്ന് മുതൽ

സമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും (1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
നമുക്ക് ഉണ്ട്:

എവിടെ
- ബി.എം.വി. ഉയർന്ന ആജ്ഞാപത്രം.

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

.

3.1 ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ മൂല്യം.

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ
.

ചിത്രം.2. ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

.

വ്യക്തമായും, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസം
ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിന് തുല്യമാണ്.

3.2 വിവിധ ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും വ്യത്യാസങ്ങളും.

ഉണ്ടെങ്കിൽ
, പിന്നെ
ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു
.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ n-ആം ക്രമത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
(n-1)th ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ എഴുതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിനെ സെക്കൻഡ് ഡിഫറൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ സെക്കൻഡ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

.

.

3.3 വ്യത്യസ്തത ഉപയോഗിച്ച് ജൈവ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ടാസ്ക് 1. സൂക്ഷ്മജീവികളുടെ ഒരു കോളനിയുടെ വളർച്ച നിയമം അനുസരിക്കുന്നതായി പഠനങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്
, എവിടെ എൻ - സൂക്ഷ്മാണുക്കളുടെ എണ്ണം (ആയിരങ്ങളിൽ), ടി - സമയം (ദിവസങ്ങൾ).

ബി) ഈ കാലയളവിൽ കോളനിയിലെ ജനസംഖ്യ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുമോ?

ഉത്തരം. കോളനിയുടെ വലിപ്പം കൂടും.

ടാസ്ക് 2. രോഗകാരിയായ ബാക്ടീരിയയുടെ ഉള്ളടക്കം നിരീക്ഷിക്കാൻ തടാകത്തിലെ വെള്ളം ഇടയ്ക്കിടെ പരിശോധിക്കുന്നു. വഴി ടി പരിശോധനയ്ക്ക് ശേഷം ദിവസങ്ങൾക്ക് ശേഷം, അനുപാതം അനുസരിച്ച് ബാക്ടീരിയയുടെ സാന്ദ്രത നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

.

തടാകത്തിൽ ബാക്ടീരിയയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാന്ദ്രത എപ്പോഴാണ് ഉണ്ടാവുക, അതിൽ നീന്താൻ കഴിയുമോ?

പരിഹാരം: ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാകുമ്പോൾ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിറ്റിൽ എത്തുന്നു.

,

പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിട്ട് 6 ദിവസത്തിനുള്ളിൽ ആയിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കാം.

ഉത്തരം: 6 ദിവസത്തിനു ശേഷം ബാക്ടീരിയയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാന്ദ്രത ഉണ്ടാകും.

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിൻ്റെയും വ്യവകലനത്തിൻ്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ 8-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വാരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിൻ്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിൻ്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകൾ. പുരാതന ടേബിളുകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഫോമിലെ ഡിഗ്രികൾക്ക് മാത്രമല്ല ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഇത് സാധ്യമാക്കി പ്രധാന സംഖ്യകൾ, മാത്രമല്ല ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്ക്.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിനായി പുതിയ സങ്കീർണ്ണ പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അത് മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു. ബീജഗണിതത്തിലെ പുതിയ ഓപ്പറേഷൻ അതിൻ്റെ പൂർത്തിയായ രൂപം നേടുന്നതിന് മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x എന്നത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദമെന്ന നിലയിൽ ഇത് ഇതായിരിക്കും: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് വരുത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല - ഒരു തുകയുടെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോളിനോമിയൽ വികാസത്തിൻ്റെ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതൽ, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത്.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് എല്ലാ ജോലികളും ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രത്യേകം സമാഹരിച്ച ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായുള്ള തിരയൽ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. വളരെക്കാലമായി, എഞ്ചിനീയർമാർ ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഉപകരണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷൻ്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷൻ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്തും ഇടത്തും പ്രയോഗിച്ചാൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് നേടിയെടുത്തത് വലിയ പ്രാധാന്യംവസ്തുക്കളെ വിവരിക്കാൻ യഥാർത്ഥ ലോകം. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മാനുഷിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്, അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിലാണ്. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം നൽകാം.

റോക്കറ്റിൻ്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിൻ്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ - എഞ്ചിൻ്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണ.
• M 1 - റോക്കറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിൻ്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിൻ്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിൻ്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന മേഖലകൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

പ്രിമിറ്റീവ് ലെവൽ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നാണ് ലോഗരിതം. പേര് വന്നത് ഗ്രീക്ക് ഭാഷ"നമ്പർ" അല്ലെങ്കിൽ "പവർ" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നത് അന്തിമ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അടിത്തറയിലെ സംഖ്യ എത്രത്തോളം ഉയർത്തണം എന്നാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

• ലോഗ് a b - a യെ അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• ലോഗ് ബി - ഡെസിമൽ ലോഗരിതം (ലോഗരിതം മുതൽ ബേസ് 10, a = 10);
• ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം(ലോഗരിതം ബേസ് e, a = e).

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ബേസ് എയിലേക്കുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റാണ്, അതിന് b അടിസ്ഥാനം a ആയി ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ലഭിച്ച ഫലം ഇതുപോലെയാണ് ഉച്ചരിക്കുന്നത്: "b യുടെ ലോഗരിതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ." ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സംഖ്യകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശക്തി നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ്. ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനോ പരിഹരിക്കുന്നതിനോ ചില അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളുണ്ട്, അതുപോലെ തന്നെ നൊട്ടേഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. അവ ഉപയോഗിച്ച്, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ലോഗരിതത്തിനുള്ള പരിഹാരം അതിൻ്റെ ലളിതമായ നൊട്ടേഷനാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ചുവടെ:

ഏതെങ്കിലും ഒരു എ ; a > 0; a ≠ 1 കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും x ന്; y > 0.

• a log a b = b - അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി
• ലോഗ് a 1 = 0
• ലോഗ a = 1
• ലോഗ് എ (x y) = ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ
• ലോഗ് എ x/ y = ലോഗ് എ x - ലോഗ് എ വൈ
• ലോഗ് എ 1/x = -ലോഗ് എ x
• log a x p = p log a x
• ലോഗ് a k x = 1/k ലോഗ് a x , k ≠ 0 ന്
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല
• ലോഗ് എ x = 1/ലോഗ് x എ

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം - പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ

• ആദ്യം, ആവശ്യമായ സമവാക്യം എഴുതുക.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം 10 ആണെങ്കിൽ, എൻട്രി ചുരുക്കി, ദശാംശ ലോഗരിതം ലഭിക്കും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ e ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു, അതിനെ ഒരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയി ചുരുക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ ലോഗരിതംസിൻ്റെയും ഫലം b എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തുന്ന ശക്തിയാണ്.

നേരിട്ട്, ഈ ബിരുദം കണക്കാക്കുന്നതിലാണ് പരിഹാരം. ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് റൂൾ അനുസരിച്ച് ലളിതമാക്കണം, അതായത്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്. ലേഖനത്തിൽ അല്പം പിന്നോട്ട് പോയാൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റികൾ കണ്ടെത്താനാകും.

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളുള്ളതും എന്നാൽ ഒരേ ബേസുകളുള്ളതുമായ ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, യഥാക്രമം ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നമോ വിഭജനമോ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും (മുകളിൽ കാണുക).

ഒരു ലോഗരിതം ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഗണിക്കേണ്ട ചില പരിമിതികളുണ്ട്. അതായത്: ലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം മാത്രമാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, എന്നാൽ ഒന്നിന് തുല്യമല്ല. a പോലെ ബി എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യാപരമായി ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം പല ശക്തികളും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്. ഈ അവസ്ഥയിൽ, സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു ലോഗരിതം ആയി വിടുക.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ഗ്രാഫ്, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഡെറിവേറ്റീവ്, ഇൻ്റഗ്രൽ, വിപുലീകരണം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ പവർ സീരീസ്സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ln x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യവും.

നിർവ്വചനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഫംഗ്ഷൻ y = ln x, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിൻ്റെ വിപരീതം, x = e y, കൂടാതെ e എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്: ln x = ലോഗ് ഇ x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമുണ്ട്: (ln x)′ = 1/ x.

അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളത് നിർവചനങ്ങൾ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സംഖ്യയാണ് ഇ:
ഇ ≅ 2.718281828459045...;
.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = ln x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗ്രാഫ് (പ്രവർത്തനങ്ങൾ y = ln x y = x എന്ന നേർരേഖയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മിറർ പ്രതിഫലനം വഴി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾവേരിയബിൾ x. അതിൻ്റെ നിർവ്വചന മേഖലയിൽ ഇത് ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

x-ൽ 0 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പരിധി മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി (-∞) ആണ്.

x → + ∞ എന്ന നിലയിൽ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പരിധി പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി (+ ∞) ആണ്. വലിയ x-ന്, ലോഗരിതം വളരെ സാവധാനത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം x a പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള a ലോഗരിതത്തേക്കാൾ വേഗത്തിൽ വളരുന്നു.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, തീവ്രത, വർദ്ധനവ്, കുറയ്ക്കൽ

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ln x മൂല്യങ്ങൾ

ln 1 = 0

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രധാന സ്വത്തും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും

അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല

അടിസ്ഥാന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ലോഗരിതവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ "ലോഗരിതം" എന്ന വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിപരീത പ്രവർത്തനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ് ഘാതം.

എങ്കിൽ, പിന്നെ

എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഡെറിവേറ്റീവ് ln x

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
മോഡുലസ് x ൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
Nth ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

ഇൻ്റഗ്രൽ

ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നത്:
.
അതിനാൽ,

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ

സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ z ൻ്റെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:
.
നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം zമൊഡ്യൂൾ വഴി ആർവാദവും φ :
.
ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
അഥവാ
.
വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഇട്ടാൽ
, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്,
വ്യത്യസ്‌ത n-യ്‌ക്ക് ഇത് ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കും.

അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനല്ല.

പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

വിപുലീകരണം നടക്കുമ്പോൾ:

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.