നക്ഷത്ര വാർത്ത
ഏത് വസ്ത്രമാണ് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ വിവരിക്കുന്നത്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കണമെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുക: - കാലുകൾ ഏതൊക്കെ വശങ്ങളാണെന്നും ഹൈപ്പോടെനസ് ഏതെന്നും ഒരു ത്രികോണത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുക. തൊണ്ണൂറ് ഡിഗ്രി കോണിൽ രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് വശങ്ങൾ കാലുകളാണ്, ബാക്കിയുള്ള മൂന്നാമത്തേത് ഹൈപ്പോടെനസ് ആണ്. (cm) - ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ കാലും രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക, അതായത്, സ്വയം ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണം 1. ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കാൽ 12 സെൻ്റിമീറ്ററും മറ്റൊന്ന് 5 സെൻ്റീമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, ആദ്യം, കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്: 12 * 12 = 144 സെൻ്റീമീറ്റർ, 5 * 5 = 25 സെ.മീ. അടുത്തതായി, സ്ക്വയർ കാലുകളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുക. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്, കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടേണ്ടതുണ്ട് നീളംത്രികോണത്തിൻ്റെ ഈ വശം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, താഴെ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുക സ്ക്വയർ റൂട്ട്കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂല്യം. ഉദാഹരണം 1. 144+25=169. 169 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 13 ആണ്. അതിനാൽ, ഇതിൻ്റെ നീളം ഹൈപ്പോടെനസ്തുല്യ 13 സെ.മീ.
നീളം കണക്കാക്കാനുള്ള മറ്റൊരു വഴി ഹൈപ്പോടെനസ്ഒരു ത്രികോണത്തിലെ സൈനിൻ്റെയും ആംഗിളുകളുടെയും ടെർമിനോളജിയിൽ കിടക്കുന്നു. നിർവചനം അനുസരിച്ച്: ആംഗിൾ ആൽഫയുടെ സൈൻ - ഹൈപ്പോട്ടെനസിൻ്റെ എതിർ ലെഗ്. അതായത്, ചിത്രം നോക്കുമ്പോൾ, sin a = CB / AB. അതിനാൽ, AB = CB / sin ഉദാഹരണം 2. ആംഗിൾ 30 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കട്ടെ, എതിർവശം 4 സെൻ്റീമീറ്റർ ആകട്ടെ. പരിഹാരം: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0.5 = 8 cm ഉത്തരം: നീളം ഹൈപ്പോടെനസ് 8 സെൻ്റീമീറ്റർ തുല്യമാണ്.
കണ്ടെത്താൻ സമാനമായ ഒരു വഴി ഹൈപ്പോടെനസ്ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്. ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ അതിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. അതായത്, cos a = AC/AB, അതിനാൽ AB = AC/cos a. ഉദാഹരണം.
പരിഹാരം: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 cm ഉത്തരം: ഹൈപ്പോടെൻസിന് 4 സെൻ്റീമീറ്റർ നീളമുണ്ട്.
ഒരു കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയോ കോസൈൻ്റെയോ മൂല്യം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും പട്ടിക അല്ലെങ്കിൽ ബ്രാഡിസ് പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുക.
ടിപ്പ് 2: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്, അതിനാൽ അതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല ഗ്രീക്ക് ഭാഷഈ വാക്ക് "ഇറുകിയ" എന്നാണ് വിവർത്തനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. ഈ വശം എല്ലായ്പ്പോഴും 90 ° കോണിന് എതിർവശത്താണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, ഈ കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ വശങ്ങളുടെ നീളവും വ്യാപ്തിയും അറിയുക മൂർച്ചയുള്ള മൂലകൾഈ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകളിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കാം.
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും (എ, ബി) നീളം അറിയാമെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ (സി) നീളം ഉപയോഗിക്കുക, ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പോസ്റ്റുലേറ്റ് - പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം. ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇത് പ്രസ്താവിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള നീളത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയുടെ റൂട്ട് കണക്കാക്കണം: C = √ ( A² + B²). ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കാലിൻ്റെ നീളം 15 ഉം - 10 സെൻ്റീമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളം ഏകദേശം 18.0277564 സെൻ്റീമീറ്ററായിരിക്കും, കാരണം √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ കാലുകളിലൊന്നിൻ്റെ (A) നീളവും അതിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണിൻ്റെ മൂല്യവും (α) അറിയാമെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ (C) നീളം ത്രികോണമിതിയിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ഉപയോഗിക്കാം. പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സൈൻ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നീളം വിഭജിക്കുക അറിയപ്പെടുന്ന പാർട്ടിഅറിയപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ സൈൻ പ്രകാരം: C=A/sin(α). ഉദാഹരണത്തിന്, കാലുകളിലൊന്നിൻ്റെ നീളം 15 സെൻ്റീമീറ്ററും ത്രികോണത്തിൻ്റെ എതിർ ശിഖരത്തിലെ കോൺ 30°യുമാണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം 15/sin(30°) മുതൽ 30 സെൻ്റീമീറ്ററിന് തുല്യമായിരിക്കും. =15/0.5=30.
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിശിത കോണുകളിൽ ഒന്നിൻ്റെ വലുപ്പവും (α) തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ (ബി) നീളവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ (സി) നീളം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊന്ന് ഉപയോഗിക്കാം. ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം- കോസൈൻ. നിങ്ങൾ നീളം വിഭജിക്കണം പ്രശസ്തമായ കാൽഅറിയപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ കോസൈൻ പ്രകാരം: C=B/ cos(α). ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ കാലിൻ്റെ നീളം 15 സെൻ്റീമീറ്ററും അതിനോട് ചേർന്നുള്ള നിശിത കോണും 30 ° ആണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം ഏകദേശം 17.3205081 സെൻ്റീമീറ്ററായിരിക്കും, കാരണം 15/cos(30°)=15/(0.5* √3)=30/√3≈17.3205081.
ഒരു ലൈൻ സെഗ്‌മെൻ്റിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം സൂചിപ്പിക്കാൻ ദൈർഘ്യം സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് നേരായതോ തകർന്നതോ അടച്ചതോ ആയ വരയാകാം. സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മറ്റ് ചില സൂചകങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ദൈർഘ്യം വളരെ ലളിതമായി കണക്കാക്കാം.
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, ചതുരത്തിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും ഉള്ളതിനാൽ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം S. നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ അത് ഉണ്ടാകില്ല.
ഹൈപ്പോടെനസ് എല്ലായ്പ്പോഴും ചതുരമാണെന്ന് എല്ലാ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും അറിയാം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്കാലുകൾ, അവ ഓരോന്നും ചതുരാകൃതിയിലാണ്. ഈ പ്രസ്താവനയെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതിയുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്. നമുക്ക് അത് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.
ഒരു വലത് ത്രികോണം എന്ന ആശയം
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, നമ്മൾ ആശയവും ഗുണങ്ങളും പരിഗണിക്കണം. മട്ട ത്രികോണം, സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്.
മൂന്ന് കോണുകളും മൂന്ന് വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് ത്രികോണം. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്, അതിൻ്റെ പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ഒരു വലത് കോണുണ്ട്, അതായത്, ഈ കോണിന് 90 o തുല്യമാണ്.
നിന്ന് പൊതു ഗുണങ്ങൾഎല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും, ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക 180 o ആണെന്ന് അറിയാം, അതായത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്, വലത് കോണുകളല്ലാത്ത രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 o - 90 o = 90 o ആണ്. അവസാന വസ്തുതഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വലത് അല്ലാത്ത ഏത് കോണും എപ്പോഴും 90 o-ൽ താഴെയായിരിക്കും എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
എതിരായി കിടക്കുന്ന വശം വലത് കോൺ, സാധാരണയായി ഹൈപ്പോടെനസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകളാണ്, അവ പരസ്പരം തുല്യമായിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അവ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ത്രികോണമിതിയിൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശം ഏത് കോണിനെതിരെ കിടക്കുന്നുവോ, ആ വശത്തിൻ്റെ നീളം കൂടും. ഇതിനർത്ഥം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് (90 o കോണിന് എതിർവശത്താണ്) എല്ലാ കാലുകളേക്കാളും വലുതായിരിക്കും (കോണുകൾക്ക് എതിർവശത്ത് കിടക്കുക)< 90 o).
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ
ഈ സിദ്ധാന്തം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും മുമ്പ് ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലേഷൻ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എഴുതാൻ, ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക, അതിൽ a, b, c എന്നീ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം രണ്ട് കാലുകളും ഹൈപ്പോടെൻസും ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായി രൂപപ്പെടുത്തുന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം: c 2 = a 2 + b 2. ഇവിടെ നിന്ന് പരിശീലനത്തിന് പ്രധാനപ്പെട്ട മറ്റ് ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കും: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2), c = √(a 2 + b 2).
ഒരു വലത് കോണുള്ള സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അതായത്, a = b, ഫോർമുലേഷൻ: ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയിരിക്കുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ഇത് തുല്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: c = a√2.
ചരിത്രപരമായ പരാമർശം
ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം, ഓരോന്നിനും ചതുരാകൃതിയിലുള്ളത്, പ്രസിദ്ധമായതിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകൻ. ധാരാളം പപ്പൈറി പുരാതന ഈജിപ്ത്, അതുപോലെ തന്നെ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ കളിമൺ ഗുളികകളും ഈ ജനവിഭാഗങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിലെ ശ്രദ്ധേയമായ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ചതായി സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്ന് ഈജിപ്ഷ്യൻ പിരമിഡുകൾ, ഖഫ്രെയിലെ പിരമിഡ്, ഇതിൻ്റെ നിർമ്മാണം ബിസി 26-ആം നൂറ്റാണ്ടിലേതാണ് (പൈതഗോറസിൻ്റെ ജീവിതത്തിന് 2000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്), 3x4x5 വലത് ത്രികോണത്തിലെ വീക്ഷണാനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർമ്മിച്ചതാണ്.
എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ സിദ്ധാന്തം ഗ്രീക്കിൻ്റെ പേര് വഹിക്കുന്നത്? ഉത്തരം ലളിതമാണ്: ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി തെളിയിക്കുന്നത് പൈതഗോറസാണ്. അവശേഷിക്കുന്ന ബാബിലോണിയൻ, ഈജിപ്ഷ്യൻ ലിഖിത സ്രോതസ്സുകൾ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ പറയുന്നുള്ളൂ, പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തെളിവുകളൊന്നും നൽകുന്നില്ല.
പൈതഗോറസ് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രസ്തുത സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചുവെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഉയരം 90 o കോണിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് വരച്ച് അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിച്ചു.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം
നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലളിതമായ ജോലി: ചെരിഞ്ഞ സ്റ്റെയർകേസ് L ൻ്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിന് H = 3 മീറ്റർ ഉയരമുണ്ടെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, സ്റ്റെയർകേസ് അതിൻ്റെ പാദത്തിലേക്കുള്ള ചുവരിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം P = 2.5 മീറ്ററാണ്.
IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ H ഉം P ഉം കാലുകളാണ്, L ആണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. ഹൈപ്പോടെന്യൂസിൻ്റെ നീളം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: L 2 = H 2 + P 2, ഇവിടെ നിന്ന് L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 മീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ 3 മീറ്റർ 90, 5 സെ.മീ.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആനിമേറ്റഡ് തെളിവ് - അതിലൊന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്ന യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസാണ് ഇത് തെളിയിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ പേരിലാണ് ഇതിന് പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (മറ്റ് പതിപ്പുകളുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ബദൽ അഭിപ്രായം. പൊതുവായ കാഴ്ചപൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹിപ്പാസസ് രൂപപ്പെടുത്തിയത്).
സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കുന്നു:
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു സി,കാലുകളുടെ നീളവും ഇതുപോലെയാണ് എഒപ്പം b,നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ലഭിക്കും:
അങ്ങനെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു, മറ്റ് രണ്ടിൻ്റെയും നീളം അറിയുന്നു. അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കുന്ന കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.
സംഭാഷണ പ്രസ്താവനയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് (പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംഭാഷണം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു):
ഏതെങ്കിലും മൂന്നിന് പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ a, b, c അങ്ങനെയുള്ള a ? + ബി ? = c ?, a, b എന്നീ കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് c, ഹൈപ്പോട്ടെനസ്.
500-200 ബിസി "ചു പേയ്" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള ത്രികോണത്തിൻ്റെ (3, 4, 5) ദൃശ്യ തെളിവുകൾ. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കാം: പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ അനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.
ബിസി 2500-നടുത്ത് മെഗാലിത്തിക് ഘടനകൾ. ഈജിപ്തിലും വടക്കൻ യൂറോപ്പ്, പൂർണ്ണസംഖ്യകളാൽ നിർമ്മിച്ച വശങ്ങളുള്ള വലത് ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അക്കാലത്ത് പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ ബീജഗണിതത്തിൽ കണ്ടെത്തിയിരുന്നുവെന്ന് ബാർട്ടൽ ലീൻഡർട്ട് വാൻ ഡെർ വേർഡൻ അനുമാനിച്ചു.
ബിസി 2000 നും 1876 നും ഇടയിൽ എഴുതിയത്. മധ്യ ഈജിപ്ഷ്യൻ രാജ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള പാപ്പിറസ് ബെർലിൻ 6619പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളുടെ പരിഹാരമായ ഒരു പ്രശ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
മഹാനായ ഹമ്മുറാബിയുടെ ഭരണകാലത്ത്, ബാബിലോണിയൻ ഗുളിക പ്ലിംപ്ടൺ 322,ബിസി 1790 നും 1750 നും ഇടയിൽ എഴുതിയതിൽ പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള നിരവധി എൻട്രികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
ബുധായാന സൂത്രങ്ങളിൽ, ഏത് മുതലാണ് വ്യത്യസ്ത പതിപ്പുകൾബിസി എട്ടാം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടുകൾ ഇന്ത്യയിൽ, ബീജഗണിതത്തിൽ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളും പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രസ്താവനയും ഒരു സമഭുജ വലത് ത്രികോണത്തിനുള്ള ജ്യാമിതീയ തെളിവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
അപസ്തംബ സൂത്രങ്ങളിൽ (ഏകദേശം ബിസി 600) ഏരിയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ തെളിവ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ മുൻഗാമികളുടെ പാരമ്പര്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് വാൻ ഡെർ വേർഡൻ വിശ്വസിക്കുന്നു. ആൽബർട്ട് ബർക്കോ പറയുന്നതനുസരിച്ച്, ഇത് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ തെളിവാണ്, പൈതഗോറസ് അരാകോൺ സന്ദർശിച്ച് അത് പകർത്തിയതായി അദ്ദേഹം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.
പൈതഗോറസിൻ്റെ ജീവിതകാലം സാധാരണയായി ബിസി 569 - 475 എന്നാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. യൂക്ലിഡിനെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രോക്ലോവിൻ്റെ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കാൻ ബീജഗണിത രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പ്രൊക്ലസ് എഡി 410 നും 485 നും ഇടയിലാണ് ജീവിച്ചിരുന്നത്. തോമസ് ഗൈസിൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പൈതഗോറസ് കഴിഞ്ഞ് അഞ്ച് നൂറ്റാണ്ടുകൾ വരെ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ കർത്തൃത്വത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു സൂചനയും ഇല്ല. എന്നിരുന്നാലും, പ്ലൂട്ടാർക്ക് അല്ലെങ്കിൽ സിസറോയെപ്പോലുള്ള രചയിതാക്കൾ ഈ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറസിന് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, കർത്തൃത്വം പരക്കെ അറിയപ്പെടുന്നതും ഉറപ്പുള്ളതുമാണെന്ന മട്ടിലാണ് അവർ അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നത്.
ഏകദേശം 400 ബി.സി പ്രോക്ലസ് അനുസരിച്ച്, ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതിയും സംയോജിപ്പിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി പ്ലേറ്റോ നൽകി. ഏകദേശം 300 ബിസി, ഇൻ തുടക്കംയൂക്ലിഡ് ഇന്നുവരെ നിലനിൽക്കുന്ന ഏറ്റവും പഴയ അച്ചുതണ്ട് തെളിവ് നമ്മുടെ പക്കലുണ്ട്.
ബിസി 500 നും ഇടയിൽ എഴുതിയതാണ്. 200 ബിസി, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥമായ ചു പേയ് (? ?? ?), വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന് (3, 4, 5) ചൈനയിലെ ഗുഗു സിദ്ധാന്തം (????) എന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ദൃശ്യ തെളിവ് നൽകുന്നു. ). ഹാൻ രാജവംശത്തിൻ്റെ കാലത്ത്, 202 ബിസി മുതൽ. 220 AD വരെ പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ "ഗണിത കലയുടെ ഒമ്പത് ശാഖകൾ" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ വലത് ത്രികോണങ്ങളുടെ പരാമർശത്തോടൊപ്പം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി രേഖപ്പെടുത്തിയത് ചൈനയിലാണ്, അവിടെ ഗുഗു (????) സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ഇന്ത്യയിൽ ഇത് ഭാസ്‌കർ സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.
പൈതഗോറസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഒരിക്കൽ കണ്ടെത്തിയതാണോ അതോ ആവർത്തിച്ച് കണ്ടെത്തിയതാണോ എന്നത് പരക്കെ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ബോയർ (1991) വിശ്വസിക്കുന്നത് ഷുൽബ സൂത്രയിൽ കണ്ടെത്തിയ അറിവ് മെസപ്പൊട്ടേമിയൻ ഉത്ഭവം ആയിരിക്കാം എന്നാണ്.
ബീജഗണിത തെളിവ് 
നാല് വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ചതുരങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നത്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ നൂറിലധികം തെളിവുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു. ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു തെളിവ് ഇതാ:
ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് സമാനമായ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാം.
വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സിരണ്ട് നിശിതമായ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എന്നത് ഒരു ചതുരമാണ്, ഒരു നേർകോണാണ്.
മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്, "a + b" എന്ന വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആന്തരിക ചതുരത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുക .
ഏതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയാൽ 
സമാന ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അനുവദിക്കുക എബിസി- കോണുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം സിചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നേരെ. പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഉയരം വരയ്ക്കാം സി,പിന്നെ വിളിക്കാം എച്ച്വശവുമായി കവലയുടെ പോയിൻ്റ് എബി.ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നു ACHഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിസി,അവ രണ്ടും ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ളതിനാൽ (ഉയരത്തിൻ്റെ നിർവചനപ്രകാരം) അവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു കോണുമുണ്ട് എ,ഈ ത്രികോണങ്ങളിലെ മൂന്നാമത്തെ കോണും സമാനമായിരിക്കും. സമാധാനത്തിന് സമാനമായ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്ഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിസി.ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയോടെ: എങ്കിൽ
ഇങ്ങനെ എഴുതാം
ഈ രണ്ട് തുല്യതകൾ ചേർത്താൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും
HB + c തവണ AH = c തവണകൾ (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം:
യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ് 
യൂക്ലിഡിയൻ മൂലകങ്ങളിൽ യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം സമാന്തരരേഖകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്. അനുവദിക്കുക എ, ബി, സിവലത് കോണോടുകൂടിയ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എ.പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബമായി ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം എഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസിന് എതിർവശത്തേക്ക്. രേഖ ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്. പ്രധാന ആശയംതെളിവിൽ, മുകളിലെ ചതുരങ്ങൾ ഒരേ പ്രദേശത്തിൻ്റെ സമാന്തരരേഖകളായി മാറുന്നു, തുടർന്ന് മടങ്ങിവന്ന് താഴത്തെ ചതുരത്തിലും വീണ്ടും അതേ വിസ്തൃതിയിലും ദീർഘചതുരങ്ങളായി മാറുന്നു.
നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റുകൾ വരയ്ക്കാം CFഒപ്പം എ.ഡി.നമുക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ ലഭിക്കും ബി.സി.എഫ്ഒപ്പം ബി.ഡി.എ.
കോണുകൾ ക്യാബ്ഒപ്പം ബാഗ്- ഋജുവായത്; യഥാക്രമം പോയിൻ്റുകൾ സി, എഒപ്പം ജി- കോളിനിയർ. കൂടാതെ ബി, എഒപ്പം എച്ച്.
കോണുകൾ സി.ബി.ഡിഒപ്പം FBA- രണ്ടും നേർരേഖകളാണ്, പിന്നെ ആംഗിൾ എബിഡി കോണിന് തുല്യമാണ് FBC,കാരണം രണ്ടും ഒരു വലത് കോണിൻ്റെയും കോണിൻ്റെയും ആകെത്തുകയാണ് എബിസി.
ത്രികോണം എബിഡിഒപ്പം FBCരണ്ട് വശങ്ങളിൽ ലെവലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും.
പോയിൻ്റുകൾ മുതൽ എ, കെഒപ്പം എൽ- കോളിനിയർ, ദീർഘചതുരം BDLK യുടെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് മേഖലകൾക്ക് തുല്യമാണ് എബിഡി (ബിഡിഎൽകെ = BAGF = എബി 2)
അതുപോലെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു CKLE = എസിഐഎച്ച് = എസി 2
ഒരു വശത്ത് പ്രദേശം സി.ബി.ഡി.ഇദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് ബി.ഡി.എൽ.കെഒപ്പം CKLE,മറുവശത്ത് ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ബിസി 2,അഥവാ എബി 2 + എസി 2 = ബിസി 2.
വ്യത്യാസങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു 
വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ഉപയോഗം. വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വശത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വലുപ്പത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് പഠിച്ച് ഒരു ചെറിയ കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രയോഗിച്ചാൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.
വശത്തെ വർദ്ധനവിൻ്റെ ഫലമായി a,അനന്തമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾക്ക് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ
സമന്വയിപ്പിക്കൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
എങ്കിൽ എ= 0 അപ്പോൾ സി = b,അതിനാൽ "സ്ഥിരമായത്" ബി 2.പിന്നെ
കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സ്ക്വയറുകൾ ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം മൂലമാണ്, അതേസമയം തുക എന്നത് ജ്യാമിതീയ തെളിവുകളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമല്ല, വശങ്ങളുടെ ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ സ്വതന്ത്ര സംഭാവനയുടെ ഫലമാണ്. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ദാഒപ്പം ഡിസി- അതിനനുസരിച്ച് വശങ്ങളുടെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾ എഒപ്പം സി.എന്നാൽ പകരം നമ്മൾ എന്താണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? എഒപ്പം? സി,അപ്പോൾ അവർ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുകയാണെങ്കിൽ അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി ദാ / ഡിസി,ഡെറിവേറ്റീവ്, കൂടാതെ തുല്യമാണ് സി / a,ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിൻ്റെ അനുപാതം, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും.
വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു, ഇതിനെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്നും വിളിക്കുന്നു:
എങ്കിൽ - ഇവ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണെങ്കിൽ, ഈ ഫോർമുല യൂക്ലിഡിയൻ ദൂരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നു.
അനന്തമായ വെക്‌ടറുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ അനലോഗിനെ പാർസെവലിൻ്റെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം
അതുപോലെ, ത്രികോണം CBH എബിസിക്ക് സമാനമാണ്. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് 
1. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക. 
യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് വിസ്തീർണ്ണം വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C വലത്കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI, HAKJ, യഥാക്രമം. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. DECA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കും: ഒരേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം. നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി നിർവചിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA യുടെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (ത്രികോണ BDA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). ഈ സമത്വം വ്യക്തമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ ഇരുവശത്തും തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും. അതായത് - AB=AK, AD=AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK 90° ത്രികോണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ചോദ്യം ഒത്തുചേരും (സ്ക്വയറിൻറെ ശീർഷകത്തിലെ കോൺ 90° ആയതിനാൽ). ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG യുടെയും BHJI ചതുരത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്. അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. 
സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കാം, സെഗ്മെൻ്റ് CI ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ABHJ യെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (അതിനാൽ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം അളക്കൽ.
§ 58. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം 1.
__________
1 ഏകദേശം 2500 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് (ബിസി 564-473) ജീവിച്ചിരുന്ന ഒരു ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് പൈതഗോറസ്.
_________
വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം നമുക്ക് നൽകാം എ, ബിഒപ്പം കൂടെ(ഡ്രോയിംഗ് 267).
നമുക്ക് അതിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം. ഈ ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം യഥാക്രമം തുല്യമാണ് എ 2 , ബി 2 ഒപ്പം കൂടെ 2. അത് തെളിയിക്കട്ടെ കൂടെ 2 = എ 2 +ബി 2 .
നമുക്ക് MKOR, M"K"O"R" (ഡ്രോയിംഗുകൾ 268, 269) എന്ന രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം, അവ ഓരോന്നിൻ്റെയും വശം എബിസിയുടെ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് എടുക്കുക.
ഈ സ്ക്വയറുകളിലെ ഡ്രോയിംഗുകൾ 268, 269 എന്നിവയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന നിർമ്മാണങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, MCOR സ്ക്വയർ ഏരിയകളുള്ള രണ്ട് സ്ക്വയറുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നതായി നമുക്ക് കാണാം. എ 2 ഒപ്പം ബി 2 ഉം നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങളും, അവ ഓരോന്നും വലത് ത്രികോണമായ എബിസിക്ക് തുല്യമാണ്. M"K"O"R" എന്ന ചതുരത്തെ ഒരു ചതുരാകൃതിയായും (ഇത് ഡ്രോയിംഗ് 269 ൽ ഷേഡുള്ളതാണ്) നാല് വലത് ത്രികോണങ്ങളായും വിഭജിച്ചു, അവ ഓരോന്നും ABC ത്രികോണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഷേഡുള്ള ചതുർഭുജം ഒരു ചതുരമാണ്, കാരണം അതിൻ്റെ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ് (ഓരോന്നും ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. കൂടെ), കോണുകൾ ശരിയാണ് / 1 + / 2 = 90°, എവിടെ നിന്ന് / 3 = 90°).
അങ്ങനെ, കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക (ഡ്രോയിംഗിൽ 268 ഈ ചതുരങ്ങൾ ഷേഡുള്ളതാണ്) നാല് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവും വിസ്തീർണ്ണവും കൂടാതെ ചതുര MCOR ൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരം (ഡ്രോയിംഗ് 269-ൽ ഈ ചതുരവും ഷേഡുള്ളതാണ്) ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, M"K"O"R", MCOR ൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്, പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക സമാനമായ നാല് ത്രികോണങ്ങൾ. അതിനാൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
നമുക്ക് ഫോർമുല ലഭിക്കും കൂടെ 2 = എ 2 +ബി 2 എവിടെ കൂടെ- ഹൈപ്പോടെനസ്, എഒപ്പം ബി- ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകൾ.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചുരുക്കി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് കൂടെ 2 = എ 2 +ബി 2 നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കും:
എ 2 = കൂടെ 2 - ബി 2 ;
ബി 2 = കൂടെ 2 - എ 2 .
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ അജ്ഞാത വശം അതിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്:
a) കാലുകൾ നൽകിയാൽ എ= 4 സെ.മീ, ബി=3 സെൻ്റീമീറ്റർ, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്താം ( കൂടെ):
കൂടെ 2 = എ 2 +ബി 2, അതായത് കൂടെ 2
= 4 2 + 3 2 ; കൂടെ 2 = 25, എവിടെ നിന്ന് കൂടെ= √25 =5 (സെ.മീ);
b) ഹൈപ്പോടെനസ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ കൂടെ= 17 സെൻ്റിമീറ്ററും കാലും എ= 8 സെൻ്റീമീറ്റർ, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു കാൽ കണ്ടെത്താം ( ബി):
ബി 2 = കൂടെ 2 - എ 2, അതായത് ബി 2 = 17 2 - 8 2 ; ബി 2 = 225, എവിടെ നിന്ന് ബി= √225 = 15 (സെ.മീ.).
അനന്തരഫലം:
ABC, A എന്നീ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾക്ക് 1 B 1 C 1 ഹൈപ്പോടെനസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ കൂടെഒപ്പം കൂടെ 1 തുല്യമാണ്, കാലും ബി ABC ത്രികോണം കാലിനേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ് ബി 1 ത്രികോണം A 1 B 1 C 1,
പിന്നെ കാൽ എ ABC ത്രികോണം കാലിനേക്കാൾ ചെറുതാണ് എ 1 ത്രികോണം A 1 B 1 C 1. (ഈ അനന്തരഫലം ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക.)
വാസ്തവത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
എ 2 = കൂടെ 2 - ബി 2 ,
എ 1 2 = കൂടെ 1 2 - ബി 1 2
ലിഖിത സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ, മൈനുകൾ തുല്യമാണ്, ആദ്യ ഫോർമുലയിലെ സബ്ട്രഹെൻഡ് രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിലെ സബ്ട്രഹെൻഡിനേക്കാൾ വലുതാണ്, അതിനാൽ, ആദ്യ വ്യത്യാസം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്,
അതായത് എ 2 < എ 12 . എവിടെ എ< എ 1 .
വ്യായാമങ്ങൾ.
1. ഡ്രോയിംഗ് 270 ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിന് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക.
2. വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു കാൽ 12 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, മറ്റൊന്ന് 5 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ് ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം.
3. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് 10 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റേ കാലിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കുക.
4. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസ് 37 സെൻ്റീമീറ്ററാണ്, അതിൻ്റെ ഒരു കാല് 35 സെൻ്റീമീറ്ററാണ്, ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റേ കാലിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കുക.
5. തന്നിരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഇരട്ടി വലിപ്പമുള്ള ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുക.
6. തന്നിരിക്കുന്നതിൻ്റെ പകുതി വലിപ്പമുള്ള ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുക. കുറിപ്പ്.ഈ ചതുരത്തിൽ ഡയഗണലുകൾ വരയ്ക്കുക. ഈ ഡയഗണലുകളുടെ പകുതിയിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങൾ നമ്മൾ അന്വേഷിക്കുന്നവ ആയിരിക്കും.
7. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകൾ യഥാക്രമം 12 സെൻ്റിമീറ്ററും 15 സെൻ്റീമീറ്ററുമാണ്.
8. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസ് 20 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, അതിൻ്റെ ഒരു കാല് 15 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, മറ്റേ കാലിൻ്റെ നീളം 0.1 സെൻ്റീമീറ്റർ വരെ കണക്കാക്കുക.
9. ഗോവണിയുടെ താഴത്തെ അറ്റം കെട്ടിടത്തിൽ നിന്ന് 2.5 മീറ്റർ ആയിരിക്കണം എങ്കിൽ, 6 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ജാലകത്തിന് നേരെ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ ഗോവണി എത്ര നീളമുള്ളതായിരിക്കണം? (ചാർട്ട് 271.)
