Yang bukan nombor rasional. Nombor. Nombor rasional

) ialah nombor dengan tanda positif atau negatif (integer dan pecahan) dan sifar. Konsep nombor rasional yang lebih tepat berbunyi seperti ini:

Nombor rasional- nombor yang diwakili sebagai pecahan biasa m/n, di mana pengangka m ialah integer, dan penyebut n- integer, contohnya 2/3.

Pecahan tak berkala tak terhingga TIDAK termasuk dalam set nombor rasional.

a/b, Di mana a∈ Z (a tergolong dalam integer), b∈ N (b tergolong dalam nombor asli).

Menggunakan nombor rasional dalam kehidupan sebenar.

DALAM kehidupan sebenar set nombor rasional digunakan untuk mengira bahagian beberapa objek boleh bahagi integer, Sebagai contoh, kek atau makanan lain yang dipotong-potong sebelum dimakan, atau untuk menganggarkan secara kasar perhubungan spatial objek lanjutan.

Sifat nombor rasional.

Sifat asas nombor rasional.

1. Keteraturan a Dan b terdapat peraturan yang membolehkan anda mengenal pasti dengan jelas 1 dan hanya satu daripada 3 hubungan antara mereka: “<», «>" atau "=". Peraturan ini ialah- peraturan pesanan dan rumuskannya seperti ini:

• 2 nombor positif a=m a /n a Dan b=m b /n b dikaitkan dengan hubungan yang sama dengan 2 integer m a⋅ n b Dan m b⋅ n a;
• 2 nombor negatif a Dan b dikaitkan dengan nisbah yang sama dengan 2 nombor positif |b| Dan |a|;
• Bila a positif dan b- negatif, kemudian a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operasi penambahan. Untuk semua nombor rasional a Dan b Terdapat peraturan penjumlahan, yang meletakkan mereka dalam surat-menyurat dengan tertentu nombor rasional c. Pada masa yang sama, nombor itu sendiri c- Ini jumlah nombor a Dan b dan ia dilambangkan sebagai (a+b) penjumlahan.

Peraturan Penjumlahan kelihatan seperti itu:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operasi pendaraban. Untuk semua nombor rasional a Dan b Terdapat peraturan pendaraban, ia mengaitkan mereka dengan nombor rasional tertentu c. Nombor c dipanggil kerja nombor a Dan b dan menandakan (a⋅b), dan proses mencari nombor ini dipanggil pendaraban.

Peraturan pendaraban kelihatan seperti itu: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitiviti hubungan pesanan. Bagi mana-mana tiga nombor rasional a, b Dan c Jika a kurang b Dan b kurang c, Itu a kurang c, dan jika a sama b Dan b sama c, Itu a sama c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatif penambahan. Menukar tempat istilah rasional tidak mengubah jumlah.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. pergaulan tambahan. Susunan di mana 3 nombor rasional ditambah tidak menjejaskan keputusan.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Kehadiran sifar. Terdapat nombor rasional 0, ia mengekalkan setiap nombor rasional lain apabila ditambah.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Ketersediaan nombor berlawanan . Mana-mana nombor rasional mempunyai nombor rasional yang bertentangan, dan apabila ia ditambah, hasilnya ialah 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutatif pendaraban. Menukar tempat faktor rasional tidak mengubah produk.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Perkaitan pendaraban. Urutan di mana 3 nombor rasional didarab tidak mempunyai kesan ke atas keputusan.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Ketersediaan unit. Terdapat nombor rasional 1, ia mengekalkan setiap nombor rasional lain dalam proses pendaraban.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Kehadiran nombor salingan. Setiap nombor rasional selain sifar mempunyai nombor rasional songsang, mendarab dengannya kita mendapat 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Pengagihan pendaraban berbanding penambahan. Operasi pendaraban berkaitan dengan penambahan menggunakan hukum taburan:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Hubungan antara hubungan tertib dan operasi tambah. Ke bahagian kiri dan kanan ketidaksamaan rasional tambah nombor rasional yang sama.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Hubungan antara hubungan tertib dan operasi darab. Bahagian kiri dan kanan ketaksamaan rasional boleh didarab dengan nombor rasional bukan negatif yang sama.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Aksiom Archimedes. Walau apa pun nombor rasionalnya a, adalah mudah untuk mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan lebih besar a.

Nombor rasional

suku

1. Keteraturan. a Dan b terdapat peraturan yang membolehkan anda mengenal pasti secara unik satu dan hanya satu daripada tiga perhubungan di antara mereka: “< », « >" atau "=". Peraturan ini dipanggil peraturan pesanan dan dirumuskan seperti berikut: dua nombor bukan negatif dan dikaitkan dengan hubungan yang sama seperti dua integer dan ; dua nombor bukan positif a Dan b dikaitkan dengan hubungan yang sama dengan dua nombor bukan negatif dan ; kalau tiba-tiba a bukan negatif, tetapi b- negatif, kemudian a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Menambah Pecahan

2. Operasi penambahan. Untuk sebarang nombor rasional a Dan b ada kononnya peraturan penjumlahan c. Pada masa yang sama, nombor itu sendiri c dipanggil jumlah nombor a Dan b dan dilambangkan dengan , dan proses mencari nombor sedemikian dipanggil penjumlahan. Peraturan penjumlahan mempunyai bentuk berikut: .
3. Operasi pendaraban. Untuk sebarang nombor rasional a Dan b ada kononnya peraturan pendaraban, yang memberikan mereka beberapa nombor rasional c. Pada masa yang sama, nombor itu sendiri c dipanggil kerja nombor a Dan b dan dilambangkan dengan , dan proses mencari nombor sedemikian juga dipanggil pendaraban. Peraturan pendaraban kelihatan seperti ini: .
4. Transitiviti hubungan pesanan. Untuk sebarang tiga kali ganda nombor rasional a , b Dan c Jika a kurang b Dan b kurang c, Itu a kurang c, dan jika a sama b Dan b sama c, Itu a sama c. 6435">Komutatif penambahan. Menukar tempat istilah rasional tidak mengubah jumlah.
5. Asosiasi penambahan. Susunan di mana tiga nombor rasional ditambah tidak menjejaskan keputusan.
6. Kehadiran sifar. Terdapat nombor rasional 0 yang mengekalkan setiap nombor rasional lain apabila ditambah.
7. Kehadiran nombor berlawanan. Mana-mana nombor rasional mempunyai nombor rasional yang berlawanan, yang apabila ditambah kepada memberikan 0.
8. Komutatif pendaraban. Menukar tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
9. Perkaitan pendaraban. Urutan di mana tiga nombor rasional didarab tidak menjejaskan keputusan.
10. Ketersediaan unit. Terdapat nombor rasional 1 yang mengekalkan setiap nombor rasional lain apabila didarab.
11. Kehadiran nombor salingan. Mana-mana nombor rasional mempunyai nombor rasional songsang, yang apabila didarab dengan memberikan 1.
12. Pengagihan pendaraban berbanding penambahan. Operasi darab diselaraskan dengan operasi tambah melalui undang-undang taburan:
13. Sambungan hubungan tertib dengan operasi tambah. Nombor rasional yang sama boleh ditambah pada bahagian kiri dan kanan ketaksamaan rasional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksiom Archimedes. Walau apa pun nombor rasionalnya a, anda boleh mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya melebihi a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ciri-ciri tambahan

Semua sifat lain yang wujud dalam nombor rasional tidak dibezakan sebagai yang asas, kerana, secara amnya, ia tidak lagi berdasarkan secara langsung pada sifat integer, tetapi boleh dibuktikan berdasarkan sifat asas yang diberikan atau secara langsung dengan definisi beberapa objek matematik. . Terdapat banyak sifat tambahan seperti itu. Masuk akal untuk menyenaraikan hanya beberapa daripada mereka di sini.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Kebolehkiraan sesuatu set

Penomboran nombor rasional

Untuk menganggarkan bilangan nombor rasional, anda perlu mencari kardinaliti set mereka. Adalah mudah untuk membuktikan bahawa set nombor rasional boleh dikira. Untuk melakukan ini, cukup untuk memberikan algoritma yang menghitung nombor rasional, iaitu, mewujudkan bijection antara set rasional dan nombor asli.

Algoritma yang paling mudah ini kelihatan seperti ini. Jadual pecahan biasa yang tidak berkesudahan disusun, pada setiap satu i-baris ke-dalam setiap satu j lajur ke yang mana pecahan itu terletak. Untuk kepastian, diandaikan bahawa baris dan lajur jadual ini dinomborkan bermula dari satu. Sel jadual dilambangkan dengan , di mana i- bilangan baris jadual di mana sel berada, dan j- nombor lajur.

Jadual yang terhasil dilalui menggunakan "ular" mengikut algoritma rasmi berikut.

Peraturan ini dicari dari atas ke bawah dan kedudukan seterusnya dipilih berdasarkan pada perlawanan pertama.

Dalam proses traversal sedemikian, setiap nombor rasional baru dikaitkan dengan nombor asli yang lain. Iaitu, pecahan 1/1 diberikan kepada nombor 1, pecahan 2/1 kepada nombor 2, dan lain-lain. Perlu diingatkan bahawa hanya pecahan tidak dapat dikurangkan dinomborkan. Tanda ketakterurangan formal ialah pembahagi sepunya terbesar bagi pengangka dan penyebut pecahan adalah sama dengan satu.

Mengikut algoritma ini, kita boleh menghitung semua nombor rasional positif. Ini bermakna set nombor rasional positif boleh dikira. Adalah mudah untuk mewujudkan bijection antara set nombor rasional positif dan negatif dengan hanya memberikan kepada setiap nombor rasional yang bertentangan. Itu. set nombor rasional negatif juga boleh dikira. Kesatuan mereka juga boleh dikira oleh harta set boleh dikira. Set nombor rasional juga boleh dikira sebagai gabungan set boleh dikira dengan satu terhingga.

Pernyataan tentang kebolehkiraan set nombor rasional mungkin menyebabkan sedikit kekeliruan, kerana pada pandangan pertama nampaknya ia jauh lebih luas daripada set nombor asli. Sebenarnya, ini tidak begitu dan terdapat nombor asli yang mencukupi untuk menghitung semua nombor rasional.

Kekurangan nombor rasional

Hipotenus bagi segi tiga tersebut tidak boleh dinyatakan dengan sebarang nombor rasional

Nombor rasional bentuk 1 / n pada umumnya n kuantiti kecil sewenang-wenangnya boleh diukur. Fakta ini mewujudkan tanggapan yang mengelirukan bahawa nombor rasional boleh digunakan untuk mengukur sebarang jarak geometri. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa ini tidak benar.

Nota

kesusasteraan

• I. Kushnir. Buku panduan matematik untuk murid sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Pengenalan kepada teori set dan topologi am. - M.: bab. ed. fizik dan matematik menyala. ed. "Sains", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Pengenalan kepada teori sistem algebra

Pautan

Yayasan Wikimedia. 2010.

Nombor rasional ialah nombor dalam bentuk , di mana
ialah integer, dan – semula jadi. Set nombor rasional dilambangkan dengan huruf . Dalam kes ini hubungan itu dipenuhi
, kerana sebarang integer
boleh diwakili dalam bentuk . Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa nombor rasional adalah semua integer, ditambah positif dan negatif pecahan sepunya.

perpuluhan - ini adalah pecahan biasa di mana penyebutnya adalah satu dengan sifar, iaitu, 10; 100; 1000, dsb. Pecahan perpuluhan ditulis tanpa penyebut. Pertama, seluruh bahagian nombor ditulis, koma diletakkan di sebelah kanannya; Digit pertama selepas titik perpuluhan bermaksud bilangan persepuluh, kedua – perseratus, ketiga – perseribu, dsb. Nombor selepas titik perpuluhan dipanggil tempat perpuluhan.

tak terhingga ialah pecahan perpuluhan yang mempunyai bilangan digit tak terhingga selepas titik perpuluhan.

Setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai terhingga atau tidak terhingga perpuluhan. Ini dicapai dengan membahagikan pengangka dengan penyebut.

Pecahan perpuluhan tak terhingga dipanggil berkala , jika, bermula dari tempat tertentu, satu digit atau kumpulan digit diulang, terus mengikut satu sama lain. Digit berulang atau kumpulan digit dipanggil noktah dan ditulis dalam kurungan. Sebagai contoh, .

Sebaliknya juga benar: mana-mana pecahan perpuluhan berkala tak terhingga boleh diwakili sebagai pecahan biasa.

Mari kita senaraikan beberapa maklumat tentang pecahan berkala.

1. Jika tempoh pecahan bermula sejurus selepas titik perpuluhan, maka pecahan itu dipanggil berkala semata-mata , jika tidak serta-merta selepas titik perpuluhan – berkala bercampur .

Contohnya, 1,(58) ialah pecahan berkala semata-mata, dan 2,4(67) ialah pecahan berkala bercampur.

2. Jika pecahan tidak boleh dikurangkan adalah sedemikian rupa sehingga penguraian penyebutnya kepada faktor perdana hanya mengandungi nombor 2 dan 5, kemudian perekodan nombor itu. sebagai perpuluhan, mewakili pecahan perpuluhan akhir; jika terdapat faktor perdana lain dalam pengembangan yang ditunjukkan, maka pecahan berkala perpuluhan tak terhingga akan diperolehi.

3. Jika pecahan tidak boleh dikurangkan adalah sedemikian rupa sehingga penguraian penyebutnya kepada faktor perdana tidak mengandungi nombor 2 dan 5, maka perekodan nombor itu dalam bentuk pecahan perpuluhan ia adalah pecahan perpuluhan berkala semata-mata; jika dalam pengembangan yang ditunjukkan, bersama dengan faktor perdana lain, terdapat 2 atau 5, maka hasilnya ialah pecahan perpuluhan berkala bercampur.

4. Pecahan berkala boleh mempunyai tempoh apa-apa panjang, iaitu, mengandungi sebarang bilangan digit.

1.3. Nombor tak rasional

Nombor tidak rasional dipanggil pecahan bukan berkala perpuluhan tak terhingga .

Contoh nombor tak rasional ialah punca nombor asli yang bukan kuasa dua nombor asli. Sebagai contoh,
,
. Nombor tidak rasional
;
. Set nombor tak rasional dilambangkan dengan huruf .

Contoh 1.10. Buktikan itu
ialah nombor tak rasional.

Penyelesaian. Mari kita berpura-pura itu
- nombor rasional. Jelas sekali, ia tidak keseluruhan, dan oleh itu
, Di mana
Dan – pecahan tidak boleh dikurangkan; bermakna nombor
Dan saling sederhana. Kerana
, Itu
, itu dia
.

Nombor- konsep matematik penting yang telah berubah sejak berabad-abad.

Idea pertama tentang nombor timbul daripada mengira orang, haiwan, buah-buahan, pelbagai produk, dll. Hasilnya ialah nombor semula jadi: 1, 2, 3, 4, ...

Dari segi sejarah, lanjutan pertama konsep nombor ialah penambahan nombor pecahan kepada nombor asli.

Pecahan bahagian (bahagian) unit atau beberapa bahagian yang sama dipanggil.

Ditunjuk oleh: , di mana m, n- nombor bulat;

Pecahan dengan penyebut 10 n, Di mana n- integer, dipanggil perpuluhan: .

Antara perpuluhan tempat istimewa menduduki pecahan berkala: - pecahan berkala tulen, - pecahan berkala campuran.

Perluasan lagi konsep nombor adalah disebabkan oleh perkembangan matematik itu sendiri (algebra). Descartes pada abad ke-17. memperkenalkan konsep nombor negatif.

Nombor integer (positif dan negatif), pecahan (positif dan negatif), dan sifar dipanggil nombor rasional. Sebarang nombor rasional boleh ditulis sebagai pecahan terhingga dan berkala.

Untuk mengkaji kuantiti berubah secara berterusan, ternyata perluasan konsep nombor baru - pengenalan nombor nyata (nyata) - dengan menambah nombor tidak rasional kepada nombor rasional: nombor tidak rasional ialah pecahan bukan berkala perpuluhan tak terhingga.

Nombor tidak rasional muncul apabila mengukur segmen tidak boleh dibandingkan (sisi dan pepenjuru segi empat sama), dalam algebra - apabila mengekstrak akar, contoh nombor transendental, tidak rasional ialah π, e .

Nombor semula jadi(1, 2, 3,...), keseluruhan(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rasional(boleh diwakili sebagai pecahan) dan tidak rasional(tidak boleh diwakili sebagai pecahan ) membentuk satu set nyata (nyata) nombor.

Nombor kompleks dibezakan secara berasingan dalam matematik.

Nombor kompleks timbul berkaitan dengan masalah menyelesaikan petak bagi kes itu D< 0 (здесь D– diskriminasi bagi persamaan kuadratik). Untuk masa yang lama, nombor ini tidak menemui aplikasi fizikal, itulah sebabnya ia dipanggil nombor "khayalan". Walau bagaimanapun, kini ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang fizik dan teknologi: kejuruteraan elektrik, hidro dan aerodinamik, teori keanjalan, dll.

Nombor kompleks ditulis dalam bentuk: z= a+ bi. Di sini a Dan b – nombor nyata, A i – unit khayalan, i.e.e. i 2 = -1. Nombor a dipanggil abscissa, a b –menyelaraskan nombor kompleks a+ bi. Dua nombor kompleks a+ bi Dan a–bi dipanggil konjugasi nombor kompleks.

Sifat:

1. Nombor sebenar A boleh juga ditulis dalam bentuk nombor kompleks: a+ 0i atau a – 0i. Contohnya 5 + 0 i dan 5 – 0 i bermakna nombor 5 yang sama.

2. Nombor kompleks 0 + bi dipanggil khayalan semata-mata nombor. Rekod bi bermakna sama dengan 0 + bi.

3. Dua nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dianggap sama jika a= c Dan b= d. Jika tidak, nombor kompleks tidak sama.

Tindakan:

Penambahan. Jumlah nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dipanggil nombor kompleks ( a+ c) + (b+ d)i. Oleh itu, Apabila menambah nombor kompleks, absis dan ordinat mereka ditambah secara berasingan.

Penolakan. Perbezaan dua nombor kompleks a+ bi(berkurang) dan c+ di(subtrahend) dipanggil nombor kompleks ( a–c) + (b–d)i. Oleh itu, Apabila menolak dua nombor kompleks, absis dan ordinat mereka ditolak secara berasingan.

Pendaraban. Hasil darab nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dipanggil nombor kompleks:

(ac–bd) + (iklan+ bc)i. Takrifan ini mengikuti dua keperluan:

1) nombor a+ bi Dan c+ di mesti didarab seperti binomial algebra,

2) nombor i mempunyai sifat utama: i 2 = –1.

CONTOH ( a+ bi)(a–bi)=a 2 +b 2 . Oleh itu, kerjadaripada dua nombor kompleks konjugat adalah sama dengan nombor nyata positif.

Pembahagian. Bahagikan nombor kompleks a+ bi(boleh dibahagikan) dengan yang lain c+ di (pembahagi) - bermaksud mencari nombor ketiga e+ f i(sembang), yang apabila didarab dengan pembahagi c+ di, menghasilkan dividen a+ bi. Jika pembahagi bukan sifar, pembahagian sentiasa mungkin.

CONTOH Cari (8 + i) : (2 – 3i) .

Penyelesaian. Mari kita tulis semula nisbah ini sebagai pecahan:

Mendarabkan pengangka dan penyebutnya dengan 2 + 3 i dan selepas melakukan semua transformasi, kami mendapat:

Tugasan 1: Tambah, tolak, darab dan bahagi z 1 pada z 2

Mengekstrak punca kuasa dua: Selesaikan persamaan x 2 = -a. Untuk menyelesaikan persamaan ini kami terpaksa menggunakan nombor jenis baharu - nombor khayalan . Oleh itu, khayalan dipanggil nombor itu kuasa kedua ialah nombor negatif. Mengikut takrifan nombor khayalan ini kita boleh takrifkan dan khayalan unit:

Kemudian untuk persamaan x 2 = – 25 kita dapat dua khayalan akar:

Tugasan 2: Selesaikan persamaan:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks. Nombor nyata diwakili oleh titik pada garis nombor:

Inilah maksudnya A bermakna nombor –3, titik B– nombor 2, dan O-sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk tujuan ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleks a+ bi akan diwakili oleh titik P dengan absisA dan selarasb. Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks .

Modul nombor kompleks ialah panjang vektor OP, mewakili nombor kompleks pada koordinat ( menyeluruh) kapal terbang. Modulus nombor kompleks a+ bi dilambangkan | a+ bi| atau) surat r dan sama dengan:

Nombor kompleks konjugat mempunyai modulus yang sama.

Peraturan untuk melukis lukisan adalah hampir sama dengan lukisan dalam sistem koordinat Cartesan Di sepanjang paksi anda perlu menetapkan dimensi, perhatikan:

e
unit sepanjang paksi sebenar; Rez

unit khayalan di sepanjang paksi khayalan. saya z

Tugasan 3. Bina nombor kompleks berikut pada satah kompleks: , , , , , , ,

1. Nombor adalah tepat dan anggaran. Nombor yang kita temui dalam amalan adalah dua jenis. Ada yang memberikan nilai sebenar kuantiti, yang lain hanya anggaran. Yang pertama dipanggil tepat, yang kedua - anggaran. Selalunya adalah mudah untuk menggunakan nombor anggaran dan bukannya nombor tepat, terutamanya kerana dalam banyak kes adalah mustahil untuk mencari nombor yang tepat sama sekali.

Jadi, jika mereka mengatakan bahawa terdapat 29 pelajar dalam satu kelas, maka nombor 29 adalah tepat. Jika mereka mengatakan bahawa jarak dari Moscow ke Kyiv adalah 960 km, maka di sini angka 960 adalah anggaran, kerana, di satu pihak, alat pengukur kami tidak betul-betul tepat, sebaliknya, bandar-bandar itu sendiri mempunyai tahap tertentu.

Hasil tindakan dengan nombor anggaran juga merupakan nombor anggaran. Dengan melakukan beberapa operasi pada nombor tepat (bahagian, pengekstrakan akar), anda juga boleh mendapatkan nombor anggaran.

Teori pengiraan anggaran membolehkan:

1) mengetahui tahap ketepatan data, menilai tahap ketepatan keputusan;

2) mengambil data dengan tahap ketepatan yang sesuai yang mencukupi untuk memastikan ketepatan keputusan yang diperlukan;

3) merasionalkan proses pengiraan, membebaskannya daripada pengiraan yang tidak akan menjejaskan ketepatan keputusan.

2. Membundarkan. Satu sumber untuk mendapatkan nombor anggaran ialah pembundaran. Kedua-dua nombor anggaran dan tepat dibundarkan.

Membundarkan nombor yang diberikan kepada digit tertentu dipanggil menggantikannya dengan nombor baharu, yang diperoleh daripada nombor yang diberikan dengan membuang semua digitnya yang ditulis di sebelah kanan digit digit ini, atau dengan menggantikannya dengan sifar. Sifar ini biasanya digariskan atau ditulis lebih kecil. Untuk memastikan nombor yang dibundarkan sedekat mungkin dengan nombor yang dibundarkan, anda harus menggunakan peraturan berikut: untuk membundarkan nombor kepada satu daripada digit tertentu, anda mesti membuang semua digit selepas digit digit ini dan menggantikannya. mereka dengan sifar dalam nombor bulat. Perkara berikut diambil kira:

1) jika angka pertama (di sebelah kiri) daripada digit yang dibuang adalah kurang daripada 5, maka baki digit terakhir tidak diubah (bundarkan ke bawah);

2) jika digit pertama yang akan dibuang lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5, maka digit terakhir yang tinggal ditambah satu (membundarkan dengan lebihan).

Mari tunjukkan ini dengan contoh. Pusingan:

a) sehingga persepuluh 12.34;

b) sehingga perseratus 3.2465; 1038.785;

c) sehingga perseribu 3.4335.

d) sehingga ribu 12375; 320729.

a) 12.34 ≈ 12.3;

b) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3.4335 ≈ 3.434.

d) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000.

3. Ralat mutlak dan relatif. Perbezaan antara nombor tepat dan nilai anggarannya dipanggil ralat mutlak nombor anggaran. Sebagai contoh, jika nombor tepat 1.214 dibundarkan kepada persepuluh yang terdekat, kita mendapat nombor anggaran 1.2. DALAM dalam kes ini kesilapan mutlak nombor anggaran 1.2 adalah sama dengan 1.214 - 1.2, i.e. 0.014.

Tetapi dalam kebanyakan kes, nilai sebenar nilai yang sedang dipertimbangkan tidak diketahui, tetapi hanya anggaran. Kemudian ralat mutlak tidak diketahui. Dalam kes ini, nyatakan had yang tidak melebihinya. Nombor ini dipanggil ralat mutlak mengehadkan. Mereka mengatakan bahawa nilai tepat nombor adalah sama dengan nilai anggarannya dengan ralat kurang daripada ralat marginal. Sebagai contoh, nombor 23.71 ialah nilai anggaran nombor 23.7125 dengan ketepatan 0.01, kerana ralat mutlak penghampiran ialah 0.0025 dan kurang daripada 0.01. Di sini ralat mutlak yang mengehadkan ialah 0.01 *.

Ralat mutlak sempadan bagi nombor anggaran A dilambangkan dengan simbol Δ a. Rekod

x≈a(±Δ a)

hendaklah difahami seperti berikut: nilai sebenar kuantiti x adalah antara nombor A– Δ a Dan A+ Δ A, yang dipanggil sempadan bawah dan atas, masing-masing X dan menandakan NG x VG X.

Contohnya, jika x≈ 2.3 (±0.1), kemudian 2.2<x< 2,4.

Begitu juga sebaliknya, jika 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7.35 (±0.05). Ralat mutlak mutlak atau marginal tidak mencirikan kualiti pengukuran yang dilakukan. Ralat mutlak yang sama boleh dianggap penting dan tidak penting bergantung pada nombor yang mana nilai diukur dinyatakan. Sebagai contoh, jika kita mengukur jarak antara dua bandar dengan ketepatan satu kilometer, maka ketepatan tersebut cukup memadai untuk perubahan ini, tetapi pada masa yang sama, apabila mengukur jarak antara dua rumah di jalan yang sama, ketepatan tersebut akan menjadi tidak boleh diterima. Akibatnya, ketepatan nilai anggaran kuantiti bergantung bukan sahaja pada magnitud ralat mutlak, tetapi juga pada nilai kuantiti yang diukur. Oleh itu, ralat relatif adalah ukuran ketepatan.

Ralat relatif ialah nisbah ralat mutlak kepada nilai nombor anggaran. Nisbah ralat mutlak mengehadkan kepada nombor anggaran dipanggil ralat relatif mengehadkan; mereka menetapkannya seperti ini: . Ralat relatif dan marginal relatif biasanya dinyatakan sebagai peratusan. Sebagai contoh, jika ukuran menunjukkan bahawa jarak X antara dua titik adalah lebih daripada 12.3 km, tetapi kurang daripada 12.7 km, maka min aritmetik kedua-dua nombor ini diambil sebagai nilai anggarannya, i.e. separuh jumlah mereka, maka ralat mutlak marginal adalah sama dengan separuh perbezaan nombor-nombor ini. Dalam kes ini X≈ 12.5 (±0.2). Di sini ralat mutlak mengehadkan ialah 0.2 km, dan relatif mengehadkan

Dalam bahagian ini kita akan memberikan beberapa definisi nombor rasional. Walaupun terdapat perbezaan dalam perkataan, semua definisi ini mempunyai makna yang sama: nombor rasional menyatukan nombor bulat dan pecahan, sama seperti integer menyatukan nombor asli, lawannya, dan nombor sifar. Dengan kata lain, nombor rasional menyamaratakan nombor bulat dan pecahan.

Mari kita mulakan dengan definisi nombor rasional, yang dianggap paling semula jadi.

Definisi.

Nombor rasional ialah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan positif, pecahan negatif, atau nombor sifar.

Daripada definisi yang dinyatakan, nombor rasional ialah:

Sebarang nombor asli n. Sesungguhnya, anda boleh mewakili sebarang nombor asli sebagai pecahan biasa, contohnya, 3=3/1 .

· Mana-mana integer, khususnya nombor sifar. Malah, sebarang integer boleh ditulis sama ada sebagai pecahan positif, pecahan negatif atau sifar. Sebagai contoh, 26=26/1 , .

· Mana-mana pecahan sepunya (positif atau negatif). Ini secara langsung disahkan oleh definisi nombor rasional yang diberikan.

· Sebarang nombor bercampur. Sesungguhnya, anda sentiasa boleh mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tidak wajar. Contohnya, dan.

· Sebarang pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan berkala tak terhingga. Ini adalah disebabkan oleh fakta bahawa pecahan perpuluhan yang ditunjukkan ditukar kepada pecahan biasa. Contohnya, a 0,(3)=1/3 .

Juga jelas bahawa mana-mana pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga BUKAN nombor rasional, kerana ia tidak boleh diwakili sebagai pecahan sepunya.

Sekarang kita boleh memberi dengan mudah contoh nombor rasional. Nombor 4 ,903 , 100 321 Ini adalah nombor rasional kerana ia adalah nombor asli. Nombor bulat 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 juga merupakan contoh nombor rasional. Pecahan sepunya 4/9 , 99/3 , juga merupakan contoh nombor rasional. Nombor rasional juga adalah nombor.

Daripada contoh di atas adalah jelas bahawa terdapat kedua-dua nombor rasional positif dan negatif, dan nombor rasional sifar adalah tidak positif mahupun negatif.

Takrifan nombor rasional di atas boleh dirumuskan dalam bentuk yang lebih ringkas.

Definisi.

Nombor rasional namakan nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan z/n, Di mana z ialah integer, dan n- nombor asli.

Mari kita buktikan bahawa takrifan nombor rasional ini bersamaan dengan takrifan sebelumnya. Kita tahu bahawa kita boleh menganggap garis pecahan sebagai tanda bahagi, kemudian dari sifat-sifat pembahagi integer dan peraturan untuk membahagi integer, kesahihan kesamaan berikut berikut. Maka, itulah buktinya.

Mari kita berikan contoh nombor rasional berdasarkan definisi ini. Nombor −5 , 0 , 3 , dan merupakan nombor rasional, kerana ia boleh ditulis sebagai pecahan dengan pengangka integer dan penyebut asli bagi bentuk dan, masing-masing.

Takrif nombor rasional boleh diberikan dalam rumusan berikut.

Definisi.

Nombor rasional ialah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga.

Takrifan ini juga bersamaan dengan takrifan pertama, kerana setiap pecahan biasa sepadan dengan pecahan perpuluhan terhingga atau berkala dan sebaliknya, dan sebarang integer boleh dikaitkan dengan pecahan perpuluhan dengan sifar selepas titik perpuluhan.

Contohnya, nombor 5 , 0 , −13 , adalah contoh nombor rasional, kerana ia boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berikut 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Dan −7,(18) .

Mari kita selesaikan teori perkara ini dengan pernyataan berikut:

· integer dan pecahan (positif dan negatif) membentuk set nombor rasional;

· setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan dengan pengangka integer dan penyebut asli, dan setiap pecahan tersebut mewakili nombor rasional tertentu;

· setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga, dan setiap pecahan tersebut mewakili nombor rasional tertentu.

Bahagian atas halaman

Penambahan nombor rasional positif adalah komutatif dan bersekutu,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Sebelum merumuskan definisi pendaraban nombor rasional positif, pertimbangkan masalah berikut: diketahui bahawa panjang segmen X dinyatakan sebagai pecahan dengan unit panjang E, dan panjang segmen unit diukur dengan unit E 1 dan dinyatakan sebagai pecahan. Bagaimana untuk mencari nombor yang akan mewakili panjang segmen X jika diukur menggunakan unit panjang E 1?

Oleh kerana X = E, maka nX = mE, dan daripada fakta bahawa E = E 1 ia mengikuti bahawa qE = pE 1. Mari kita darabkan kesamaan pertama yang diperoleh dengan q, dan yang kedua dengan m. Kemudian (nq)X = (mq)E dan (mq)E= (mp)E 1, dari mana (nq)X= (mp)E 1. Kesamaan ini menunjukkan bahawa panjang ruas x dengan panjang unit dinyatakan sebagai pecahan, yang bermaksud , =, i.e. mendarab pecahan melibatkan pergerakan dari satu unit panjang ke unit panjang yang lain apabila mengukur panjang segmen yang sama.

Definisi: Jika nombor positif a diwakili oleh pecahan, dan nombor rasional positif b ialah pecahan, maka hasil darabnya ialah nombor a b, yang diwakili oleh pecahan.

Mendarab nombor rasional positif komutatif, bersekutu dan pengagihan berkenaan dengan penambahan dan penolakan. Bukti sifat-sifat ini adalah berdasarkan definisi pendaraban dan penambahan nombor rasional positif, serta pada sifat-sifat yang sepadan bagi penambahan dan pendaraban nombor asli.

46. ​​Seperti yang diketahui penolakan- Ini adalah tindakan berlawanan penambahan.

Jika a Dan b - nombor positif, kemudian menolak nombor b daripada nombor a bermakna mencari nombor c yang, apabila ditambah dengan nombor b, memberikan nombor a.
a - b = c atau c + b = a
Takrif penolakan berlaku untuk semua nombor rasional. Iaitu, penolakan nombor positif dan negatif boleh digantikan dengan penambahan.
Untuk menolak nombor lain daripada satu nombor, anda perlu menambah nombor bertentangan dengan nombor yang ditolak.
Atau, dengan cara lain, kita boleh mengatakan bahawa menolak nombor b adalah sama dengan penambahan, tetapi dengan nombor yang bertentangan dengan b.
a - b = a + (- b)
Contoh.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Contoh.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Perlu diingat ungkapan di bawah.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Peraturan untuk menolak nombor negatif
Menolak nombor b ialah menambahkannya dengan nombor berlawanan b.
Peraturan ini berlaku bukan sahaja apabila menolak nombor yang lebih kecil daripada nombor yang lebih besar, tetapi juga membolehkan anda menolak nombor yang lebih besar daripada nombor yang lebih kecil, iaitu, anda sentiasa boleh mencari perbezaan dua nombor.
Perbezaannya boleh menjadi nombor positif, nombor negatif, atau nombor sifar.
Contoh penolakan nombor negatif dan nombor positif.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Adalah mudah untuk mengingati peraturan tanda, yang membolehkan anda mengurangkan bilangan kurungan.
Tanda tambah tidak mengubah tanda nombor, jadi jika ada tambah di hadapan kurungan, tanda dalam kurungan tidak berubah.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Tanda tolak di hadapan kurungan membalikkan tanda nombor dalam kurungan.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Dari persamaan jelas bahawa jika terdapat tanda yang sama sebelum dan di dalam kurungan, maka kita mendapat "+", dan jika tandanya berbeza, maka kita mendapat "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Peraturan tanda juga terpakai jika kurungan mengandungi bukan hanya satu nombor, tetapi jumlah algebra nombor.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Sila ambil perhatian bahawa jika terdapat beberapa nombor dalam kurungan dan terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, maka tanda di hadapan semua nombor dalam kurungan ini mesti berubah.
Untuk mengingati peraturan tanda, anda boleh membuat jadual untuk menentukan tanda-tanda nombor.
Peraturan tanda untuk nombor+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Atau belajar peraturan mudah.
Dua negatif membuat afirmatif,
Tambah kali tolak sama dengan tolak.

Peraturan untuk membahagi nombor negatif.
Untuk mencari modulus bagi hasil, anda perlu membahagikan modulus dividen dengan modulus pembahagi.
Jadi, untuk membahagikan dua nombor dengan tanda yang sama, anda perlu:

· modul dividen dibahagikan dengan modul pembahagi;

· letakkan tanda “+” di hadapan keputusan.

Contoh pembahagian nombor dengan tanda yang berbeza:

Anda juga boleh menggunakan jadual berikut untuk menentukan tanda hasil.
Peraturan tanda untuk pembahagian
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Apabila mengira ungkapan "panjang" di mana hanya pendaraban dan pembahagian muncul, adalah sangat mudah untuk menggunakan peraturan tanda. Contohnya, untuk mengira pecahan
Sila ambil perhatian bahawa pengangka mempunyai 2 tanda tolak, yang apabila didarab akan memberikan tambah. Terdapat juga tiga tanda tolak dalam penyebut, yang apabila didarabkan akan memberikan tanda tolak. Oleh itu, pada akhirnya hasilnya akan berubah dengan tanda tolak.
Mengurangkan pecahan (tindakan lanjut dengan modul nombor) dilakukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya:
Hasil bagi sifar dibahagikan dengan nombor selain sifar ialah sifar.
0: a = 0, a ≠ 0
Anda TIDAK BOLEH membahagi dengan sifar!
Semua peraturan pembahagian dengan satu yang diketahui sebelum ini juga digunakan pada set nombor rasional.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, dengan a ialah sebarang nombor rasional.
Hubungan antara hasil pendaraban dan pembahagian, yang dikenali untuk nombor positif, kekal sama untuk semua nombor rasional (kecuali sifar):
jika a × b = c; a = c: b; b = c: a;
jika a: b = c; a = c × b; b = a: c
Kebergantungan ini digunakan untuk mencari faktor yang tidak diketahui, dividen dan pembahagi (semasa menyelesaikan persamaan), serta untuk menyemak keputusan pendaraban dan pembahagian.
Contoh mencari yang tidak diketahui.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Maklumat berkaitan.