Ketaksamaan rasional cara menyusun tanda. Menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang

Kaedah selang dianggap universal untuk menyelesaikan ketaksamaan. Kadang-kadang kaedah ini juga dipanggil kaedah jurang. Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional dengan satu pembolehubah dan untuk ketaksamaan jenis lain. Dalam bahan kami, kami cuba memberi perhatian kepada semua aspek isu.

Apa yang menanti anda dalam bahagian ini? Kami akan menganalisis kaedah selang dan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan menggunakannya. Marilah kita menyentuh aspek teori yang menjadi asas penggunaan kaedah tersebut.

Kami memberi perhatian khusus kepada nuansa topik yang biasanya tidak dibincangkan di dalamnya kurikulum sekolah. Sebagai contoh, pertimbangkan peraturan untuk menyusun tanda pada selang waktu dan kaedah selang itu sendiri masuk Pandangan umum tanpa kaitannya dengan ketidaksamaan rasional.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritma

Siapa masih ingat bagaimana kaedah selang diperkenalkan dalam kursus algebra sekolah? Biasanya semuanya bermula dengan menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >atau ≥). Di sini f(x) boleh menjadi polinomial atau nisbah polinomial. Polinomial, seterusnya, boleh diwakili sebagai:

• hasil darab binomial linear dengan pekali 1 untuk pembolehubah x;
• hasil darab trinomial kuadratik dengan pekali pendahulu 1 dan diskriminasi negatif puncanya.

Berikut adalah beberapa contoh ketidaksamaan tersebut:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Mari kita tulis algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan jenis ini, seperti yang telah kita berikan dalam contoh, menggunakan kaedah selang:

• kita dapati sifar pengangka dan penyebut, untuk ini kita menyamakan pengangka dan penyebut ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan kepada sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil;
• kita tentukan titik yang sepadan dengan sifar yang ditemui dan tandakannya dengan sempang pada paksi koordinat;
• mentakrifkan tanda ungkapan f(x) dari sebelah kiri ketaksamaan yang diselesaikan pada setiap selang dan letakkannya pada graf;
• sapukan teduhan ke atas kawasan yang diperlukan grafik, berpandukan peraturan berikut: jika ketaksamaan mempunyai tanda< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >atau ≥ , kemudian kami menyerlahkan dengan melorek kawasan yang ditandakan dengan tanda “+”.

Corak yang akan kami gunakan mungkin mempunyai pandangan skematik. Butiran yang berlebihan boleh membebankan lukisan dan menjadikannya sukar untuk diselesaikan. Kami akan kurang berminat dalam skala. Ia akan cukup untuk melekat lokasi yang betul mata apabila nilai koordinat mereka meningkat.

Apabila bekerja dengan ketaksamaan yang ketat, kami akan menggunakan tatatanda titik dalam bentuk bulatan dengan pusat yang tidak terisi (kosong). Dalam kes ketidaksamaan yang tidak ketat, kami akan menggambarkan mata yang sepadan dengan sifar penyebut sebagai kosong, dan semua yang lain sebagai hitam biasa.

Titik yang ditanda membahagikan garis koordinat kepada beberapa selang berangka. Ini membolehkan kita mendapatkan perwakilan geometri bagi set berangka, yang sebenarnya merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan ini.

Sains Kaedah Jurang

Pendekatan yang mendasari kaedah selang adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi selanjar: fungsi mengekalkan tanda malar pada selang (a, b) di mana fungsi ini berterusan dan tidak lenyap. Sifat yang sama adalah ciri sinar nombor(− ∞ , a) dan (a, + ∞).

Sifat fungsi ini disahkan oleh teorem Bolzano-Cauchy, yang diberikan dalam banyak buku teks untuk persediaan peperiksaan masuk.

Keteguhan tanda pada selang juga boleh dijustifikasikan berdasarkan sifat ketaksamaan berangka. Sebagai contoh, ambil ketaksamaan x - 5 x + 1 > 0. Jika kita mencari sifar pengangka dan penyebut dan memplotkannya pada garis nombor, kita akan mendapat satu siri selang: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) dan (5 , + ∞) .

Mari kita ambil mana-mana selang dan tunjukkan padanya bahawa sepanjang keseluruhan selang ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan akan mempunyai tanda yang tetap. Biarkan ini selang (− ∞ , − 1) . Mari kita ambil sebarang nombor t daripada selang ini. Ia akan memenuhi syarat t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Menggunakan kedua-dua ketaksamaan yang terhasil dan sifat ketaksamaan berangka, kita boleh mengandaikan bahawa t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t pada selang (− ∞ , − 1) .

Menggunakan peraturan bahagi nombor negatif, kita boleh mengatakan bahawa nilai ungkapan t - 5 t + 1 akan menjadi positif. Ini bermakna bahawa nilai ungkapan x - 5 x + 1 akan menjadi positif untuk sebarang nilai x dari antara (− ∞ , − 1) . Semua ini membolehkan kita menegaskan bahawa pada selang yang diambil sebagai contoh, ungkapan itu mempunyai tanda yang tetap. Dalam kes kami, ini ialah tanda "+".

Mencari sifar bagi pengangka dan penyebut

Algoritma untuk mencari sifar adalah mudah: kita menyamakan ungkapan daripada pengangka dan penyebut kepada sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, anda boleh merujuk topik "Menyelesaikan persamaan dengan pemfaktoran." Dalam bahagian ini kita akan mengehadkan diri kita hanya untuk melihat contoh.

Pertimbangkan pecahan x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Untuk mencari sifar pengangka dan penyebut, kita menyamakannya dengan sifar untuk mendapatkan dan menyelesaikan persamaan: x (x − 0, 6) = 0 dan x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Dalam kes pertama, kita boleh pergi ke set dua persamaan x = 0 dan x − 0, 6 = 0, yang memberi kita dua punca 0 dan 0, 6. Ini adalah sifar bagi pengangka.

Persamaan kedua adalah bersamaan dengan set tiga persamaan x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Kami menjalankan satu siri transformasi dan dapatkan x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Punca bagi persamaan pertama ialah 0, persamaan kedua tidak mempunyai punca, kerana ia mempunyai diskriminasi negatif, punca persamaan ketiga ialah 5. Ini adalah sifar penyebut.

0 dalam dalam kes ini adalah kedua-dua sifar pengangka dan sifar penyebut.

Secara umum, apabila bahagian kiri ketaksamaan mengandungi pecahan yang tidak semestinya rasional, pengangka dan penyebut juga sama dengan sifar untuk mendapatkan persamaan. Menyelesaikan persamaan membolehkan anda mencari sifar pengangka dan penyebut.

Menentukan tanda selang adalah mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh mencari nilai ungkapan dari sebelah kiri ketaksamaan untuk mana-mana titik yang dipilih secara sewenang-wenangnya dari selang tertentu. Tanda nilai ungkapan yang terhasil pada titik yang dipilih secara sewenang-wenangnya dalam selang akan bertepatan dengan tanda keseluruhan selang.

Mari kita lihat kenyataan ini dengan contoh.

Mari kita ambil ketaksamaan x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan tidak mempunyai sifar dalam pengangka. Sifar penyebut akan menjadi nombor - 3. Kami mendapat dua selang pada garis nombor (− ∞ , − 3) dan (− 3 , + ∞) .

Untuk menentukan tanda selang, kami mengira nilai ungkapan x 2 - x + 4 x + 3 untuk mata yang diambil secara sewenang-wenangnya pada setiap selang.

Dari jurang pertama (− ∞ , − 3) mari kita ambil − 4. Pada x = − 4 kita ada (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Kami mendapat makna negatif, yang bermaksud keseluruhan selang adalah dengan tanda "-".

Untuk jurang (− 3 , + ∞) Mari kita laksanakan pengiraan dengan titik yang mempunyai koordinat sifar. Pada x = 0 kita mempunyai 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Dapat nilai positif, yang bermaksud bahawa keseluruhan selang akan mempunyai tanda "+".

Anda boleh menggunakan cara lain untuk menentukan tanda. Untuk melakukan ini, kita boleh mencari tanda pada salah satu selang dan menyimpannya atau menukarnya apabila melalui sifar. Untuk melakukan semuanya dengan betul, perlu mengikuti peraturan: apabila melalui sifar penyebut, tetapi bukan pengangka, atau pengangka, tetapi bukan penyebut, kita boleh menukar tanda kepada yang bertentangan, jika tahap ungkapan yang memberikan sifar ini adalah ganjil, dan kita tidak boleh menukar tanda , jika darjah genap. Jika kita telah menerima satu titik yang merupakan kedua-dua sifar pengangka dan penyebut, maka kita boleh menukar tanda kepada yang bertentangan hanya jika jumlah kuasa ungkapan yang memberikan sifar ini adalah ganjil.

Jika kita mengingati ketidaksamaan yang kita periksa pada permulaan perenggan pertama bahan ini, maka pada selang paling kanan kita boleh meletakkan tanda "+".

Sekarang mari kita lihat contoh.

Ambil ketaksamaan (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 dan selesaikannya menggunakan kaedah selang . Untuk melakukan ini, kita perlu mencari sifar pengangka dan penyebut dan menandakannya pada garis koordinat. Angka sifar pengangka akan menjadi mata 2 , 3 , 4 , titik penyebut 1 , 3 , 4 . Mari tandakannya pada paksi koordinat dengan sempang.

Kami menandakan sifar penyebut dengan titik kosong.

Memandangkan kami sedang berhadapan dengan ketidaksamaan yang tidak ketat, kami menggantikan sempang yang tinggal dengan titik biasa.

Sekarang mari letak titik pada selang waktu. Ruang paling kanan (4 , + ∞) akan menjadi tanda +.

Bergerak dari kanan ke kiri, kami akan meletakkan papan tanda untuk selang masa yang tinggal. Kami melalui titik dengan koordinat 4. Ini adalah kedua-dua sifar pengangka dan penyebut. Ringkasnya, sifar ini memberikan ungkapan (x − 4) 2 Dan x − 4. Mari tambah kuasa mereka 2 + 1 = 3 dan dapatkan nombor ganjil. Ini bermakna bahawa tanda semasa peralihan dalam kes ini berubah kepada sebaliknya. Selang (3, 4) akan mempunyai tanda tolak.

Kami lulus ke selang (2, 3) melalui titik dengan koordinat 3. Ini juga merupakan sifar untuk kedua-dua pengangka dan penyebut. Kami mendapatnya terima kasih kepada dua ungkapan (x − 3) 3 dan (x − 3) 5, jumlah kuasanya ialah 3 + 5 = 8. Mendapat nombor genap membolehkan kita membiarkan tanda selang tidak berubah.

Titik dengan koordinat 2 ialah sifar pembilang. Kuasa ungkapan x - 2 ialah 1 (ganjil). Ini bermakna apabila melalui titik ini tanda mesti ditukar kepada sebaliknya.

Kita mempunyai selang terakhir yang tinggal (− ∞ , 1) . Titik dengan koordinat 1 ialah sifar penyebut. Ia berasal dari ungkapan (x − 1) 4, dengan ijazah genap 4 . Oleh itu, tandanya tetap sama. Lukisan akhir akan kelihatan seperti ini:

Kaedah selang adalah amat berkesan apabila mengira nilai ungkapan melibatkan banyak kerja. Contohnya ialah keperluan untuk mengira nilai ungkapan

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

pada mana-mana titik dalam selang 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Sekarang mari kita mula menggunakan pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh dalam amalan.

Contoh 1

Selesaikan ketaksamaan (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Penyelesaian

Adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan. Cari sifar bagi pengangka dan penyebut. Sifar pengangka ialah 1 dan - 5, sifar penyebutnya ialah 7 dan 1. Mari kita tandai mereka pada garis nombor. Kami sedang berhadapan dengan ketaksamaan yang tidak ketat, jadi kami akan menandakan sifar penyebut dengan titik kosong, dan sifar pengangka - 5 - akan ditandakan dengan titik terisi biasa.

Mari letakkan tanda selang menggunakan peraturan untuk menukar tanda apabila melalui sifar. Mari kita mulakan dengan selang paling kanan, yang mana kita mengira nilai ungkapan dari sebelah kiri ketaksamaan pada titik yang diambil secara sewenang-wenangnya dari selang. Kami mendapat tanda "+". Mari kita bergerak secara berurutan melalui semua titik pada garis koordinat, menyusun tanda, dan kita mendapat:

Kami bekerja dengan ketidaksamaan yang tidak ketat dengan tanda ≤. Ini bermakna kita perlu menandakan dengan lorekkan ruang yang ditandakan dengan tanda “-”.

Jawapan: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Penyelesaian ketidaksamaan rasional dalam kebanyakan kes memerlukan transformasi awal mereka kepada jenis yang betul. Hanya selepas ini adalah mungkin untuk menggunakan kaedah selang. Algoritma untuk menjalankan transformasi sedemikian dibincangkan dalam bahan "Menyelesaikan ketidaksamaan rasional."

Mari kita lihat contoh menukar trinomial kuadratik kepada ketaksamaan.

Contoh 2

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Penyelesaian

Mari kita lihat sama ada diskriminasi bagi trinomial kuadratik dalam tatatanda ketaksamaan sebenarnya negatif. Ini akan membolehkan kita menentukan sama ada bentuk ketaksamaan ini membolehkan kita menggunakan kaedah selang untuk penyelesaian.

Mari kita hitung diskriminasi untuk trinomial x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Sekarang mari kita hitung diskriminasi untuk trinomial x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Seperti yang anda lihat, ketidaksamaan memerlukan transformasi awal. Untuk melakukan ini, kami mewakili trinomial x 2 + 2 x − 8 sebagai (x + 4) · (x − 2), dan kemudian gunakan kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

Jawapan: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Kaedah selang umum digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , dengan f (x) ialah ungkapan arbitrari dengan satu pembolehubah x.

Semua tindakan dijalankan mengikut algoritma tertentu. Dalam kes ini, algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang umum akan berbeza sedikit daripada apa yang kita bincangkan sebelum ini:

• kita dapati domain takrifan fungsi f dan sifar bagi fungsi ini;
• tandakan titik sempadan pada paksi koordinat;
• plot sifar fungsi pada garis nombor;
• tentukan tanda-tanda selang;
• memohon teduhan;
• tulis jawapan.

Pada garis nombor, adalah perlu untuk menandakan, antara lain, titik individu domain definisi. Sebagai contoh, domain takrifan fungsi ialah set (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Ini bermakna kita perlu menandakan titik dengan koordinat − 5, 1, 3, 4 , 7 Dan 10 . mata − 5 dan 7 akan digambarkan sebagai kosong, selebihnya boleh diserlahkan dengan pensel warna untuk membezakannya daripada sifar fungsi.

Dalam kes ketaksamaan tidak ketat, sifar fungsi diplot oleh titik biasa (berlorek), dan dalam kes ketaksamaan ketat, dengan titik kosong. Jika sifar bertepatan dengan titik sempadan atau titik individu domain definisi, maka ia boleh dicat semula dengan warna hitam, menjadikannya kosong atau berlorek, bergantung pada jenis ketidaksamaan.

Rekod respons ialah set berangka yang merangkumi:

• ruang dengan teduhan;
• titik individu domain definisi dengan tanda tambah, jika kita berurusan dengan ketaksamaan yang tandanya > atau ≥, atau dengan tanda tolak, jika ketaksamaan mempunyai tanda< или ≤ .

Kini telah menjadi jelas bahawa algoritma yang kami bentangkan pada awal topik adalah kes khas algoritma untuk menggunakan kaedah selang umum.

Mari kita pertimbangkan contoh menggunakan kaedah selang umum.

Contoh 3

Selesaikan ketaksamaan x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Penyelesaian

Kami memperkenalkan fungsi f supaya f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Mari cari domain takrifan fungsi tersebut f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Sekarang mari kita cari sifar fungsi. Untuk melakukan ini, kami akan menyelesaikan persamaan tidak rasional:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Kami mendapat punca x = 12.

Untuk menetapkan titik sempadan pada paksi koordinat yang kami gunakan warna jingga. Mata - 6, 4 akan diisi, dan 7 akan dibiarkan kosong. Kita mendapatkan:

Mari kita tandai sifar fungsi dengan titik hitam kosong, kerana kita bekerja dengan ketaksamaan yang ketat.

Kami menentukan tanda-tanda pada selang masa individu. Untuk melakukan ini, ambil satu mata dari setiap selang, sebagai contoh, 16 , 8 , 6 Dan − 8 , dan hitung nilai fungsi di dalamnya f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Kami meletakkan tanda yang baru ditakrifkan dan menggunakan teduhan di atas ruang dengan tanda tolak:

Jawapannya ialah penyatuan dua selang dengan tanda “-”: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Sebagai tindak balas, kami memasukkan satu titik dengan koordinat - 6. Ini bukan sifar fungsi, yang tidak akan kami sertakan dalam jawapan apabila menyelesaikan ketidaksamaan yang ketat, tetapi titik sempadan domain definisi, yang termasuk dalam domain definisi. Nilai fungsi pada ketika ini adalah negatif, yang bermaksud bahawa ia memenuhi ketaksamaan.

Kami tidak memasukkan titik 4 dalam jawapan, sama seperti kami tidak memasukkan keseluruhan selang [4, 7). Pada ketika ini, sama seperti sepanjang keseluruhan selang yang ditunjukkan, nilai fungsi adalah positif, yang tidak memenuhi ketaksamaan yang diselesaikan.

Mari tuliskan ini sekali lagi untuk pemahaman yang lebih jelas: titik berwarna mesti disertakan dalam jawapan dalam kes berikut:

• titik-titik ini adalah sebahagian daripada jurang yang menetas,
• titik ini adalah titik individu dalam domain takrifan fungsi, nilai fungsi yang memenuhi ketaksamaan yang sedang diselesaikan.

Jawapan: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Kaedah selang waktu– cara mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional pecahan. Ini ialah nama untuk ketaksamaan yang mengandungi ungkapan rasional (atau pecahan-rasional) yang bergantung pada pembolehubah.

1. Pertimbangkan, sebagai contoh, ketaksamaan berikut

Kaedah selang membolehkan anda menyelesaikannya dalam beberapa minit.

Di sebelah kiri ketaksamaan ini ialah fungsi rasional pecahan. Rasional kerana ia tidak mengandungi punca, sinus atau logaritma - hanya ungkapan rasional. Di sebelah kanan ialah sifar.

Kaedah selang adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi rasional pecahan.

Fungsi rasional pecahan boleh menukar tanda hanya pada titik di mana ia sama dengan sifar atau tidak wujud.

Biar kami ingatkan anda cara memfaktorkan trinomial kuadratik, iaitu ungkapan bentuk .

Di mana dan akarnya persamaan kuadratik.

Kami melukis paksi dan meletakkan titik di mana pengangka dan penyebut pergi ke sifar.

Sifar penyebut dan adalah titik tertusuk, kerana pada titik ini fungsi di sebelah kiri ketaksamaan tidak ditakrifkan (anda tidak boleh membahagi dengan sifar). Sifar bagi pengangka dan - dilorekkan, kerana ketaksamaan tidak ketat. Bila dan ketaksamaan kita berpuas hati, kerana kedua-dua belahnya adalah sama dengan sifar.

Titik ini memecahkan paksi kepada selang.

Mari kita tentukan tanda fungsi rasional pecahan di sebelah kiri ketaksamaan kita pada setiap selang ini. Kami ingat bahawa fungsi rasional pecahan boleh menukar tanda hanya pada titik di mana ia sama dengan sifar atau tidak wujud. Ini bermakna bahawa pada setiap selang antara titik di mana pengangka atau penyebut pergi ke sifar, tanda ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan akan tetap - sama ada "tambah" atau "tolak".

Oleh itu, untuk menentukan tanda fungsi pada setiap selang tersebut, kami mengambil sebarang titik kepunyaan selang ini. Yang sesuai untuk kita.
. Ambil, sebagai contoh, dan semak tanda ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan. Setiap "kurung" adalah negatif. Sebelah kiri ada tanda.

Selang seterusnya: . Jom semak tanda di . Kami mendapati bahawa bahagian kiri telah menukar tandanya kepada .

Jom ambil. Apabila ungkapan itu positif - oleh itu, ia adalah positif sepanjang keseluruhan selang dari hingga.

Apabila bahagian kiri ketaksamaan adalah negatif.

Dan akhirnya, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Kami telah menemui pada selang berapa ungkapan itu positif. Yang tinggal hanyalah menulis jawapan:

Jawapan: .

Sila ambil perhatian: tanda-tanda silih berganti antara selang waktu. Ini berlaku kerana apabila melalui setiap titik, tepat satu daripada faktor linear berubah tanda, dan selebihnya mengekalkannya tidak berubah.

Kami melihat bahawa kaedah selang adalah sangat mudah. Untuk menyelesaikan ketaksamaan pecahan-rasional menggunakan kaedah selang, kami mengurangkannya kepada bentuk:

Ataupun class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, atau atau .

(di sebelah kiri ialah fungsi rasional pecahan, di sebelah kanan ialah sifar).

Kemudian kita menandakan pada garis nombor titik di mana pengangka atau penyebut pergi ke sifar.
Titik-titik ini membahagikan keseluruhan garis nombor kepada selang, pada setiap satunya fungsi rasional pecahan mengekalkan tandanya.
Yang tinggal hanyalah untuk mengetahui tandanya pada setiap selang waktu.
Kami melakukan ini dengan menyemak tanda ungkapan pada mana-mana titik kepunyaan selang tertentu. Selepas itu, kami menulis jawapannya. Itu sahaja.

Tetapi persoalannya timbul: adakah tanda-tanda sentiasa silih berganti? Tidak tidak selalu! Anda mesti berhati-hati dan tidak meletakkan papan tanda secara mekanikal dan tanpa berfikir.

2. Mari kita pertimbangkan satu lagi ketidaksamaan.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ kiri(x-3 \kanan))>0"> !}

Letakkan titik pada paksi sekali lagi. Titik dan tertusuk kerana ia adalah sifar penyebut. Perkara itu juga dipotong, kerana ketidaksamaan adalah ketat.

Apabila pengangkanya positif, kedua-dua faktor dalam penyebut adalah negatif. Ini boleh disemak dengan mudah dengan mengambil sebarang nombor dari selang yang diberikan, contohnya, . Bahagian kiri mempunyai tanda:

Apabila pengangka positif; Faktor pertama dalam penyebut adalah positif, faktor kedua adalah negatif. Bahagian kiri mempunyai tanda:

Keadaannya sama! Pengangka adalah positif, faktor pertama dalam penyebut adalah positif, kedua adalah negatif. Bahagian kiri mempunyai tanda:

Akhir sekali, dengan class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Jawapan: .

Mengapakah pertukaran tanda terganggu? Kerana apabila melalui satu titik pengganda adalah "bertanggungjawab" untuknya tidak menukar tanda. Akibatnya, seluruh bahagian kiri ketidaksamaan kami tidak berubah tanda.

Kesimpulan: jika pengganda linear ialah kuasa genap (contohnya, kuasa dua), maka apabila melalui satu titik tanda ungkapan di sebelah kiri tidak berubah. Dalam kes tahap ganjil, tandanya, sudah tentu, berubah.

3. Mari kita pertimbangkan kes yang lebih kompleks. Ia berbeza daripada yang sebelumnya kerana ketidaksamaan tidak ketat:

Bahagian kiri adalah sama seperti dalam masalah sebelum ini. Gambar tanda akan sama:

Mungkin jawapannya akan sama? Tidak! Penyelesaian ditambah Ini berlaku kerana di kedua-dua belah kiri dan kanan ketaksamaan adalah sama dengan sifar - oleh itu, titik ini ialah penyelesaian.

Jawapan: .

Keadaan ini sering berlaku dalam masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Di sinilah pemohon jatuh ke dalam perangkap dan kehilangan mata. Berhati-hati!

4. Apa yang perlu dilakukan jika pengangka atau penyebut tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor linear? Pertimbangkan ketidaksamaan berikut:

Trinomial segi empat sama tidak boleh difaktorkan: diskriminasi adalah negatif, tiada punca. Tetapi ini bagus! Ini bermakna bahawa tanda ungkapan untuk semua adalah sama, dan khususnya, positif. Anda boleh membaca lebih lanjut mengenai ini dalam artikel tentang sifat fungsi kuadratik.

Dan kini kita boleh membahagikan kedua-dua belah ketidaksamaan kita dengan nilai yang positif untuk semua. Marilah kita sampai pada ketidaksamaan yang setara:

Yang mudah diselesaikan menggunakan kaedah selang.

Sila ambil perhatian bahawa kami membahagikan kedua-dua belah ketidaksamaan dengan nilai yang kami tahu pasti positif. Sudah tentu, secara umum, anda tidak sepatutnya mendarab atau membahagikan ketaksamaan dengan pembolehubah yang tandanya tidak diketahui.

5 . Mari kita pertimbangkan satu lagi ketidaksamaan, nampaknya agak mudah:

Saya hanya mahu mendarabkannya dengan . Tetapi kami sudah bijak, dan kami tidak akan melakukan ini. Lagipun, ia boleh menjadi positif dan negatif. Dan kita tahu bahawa jika kedua-dua belah ketidaksamaan didarab dengan nilai negatif, tanda ketidaksamaan berubah.

Kami akan melakukannya secara berbeza - kami akan mengumpul segala-galanya dalam satu bahagian dan membawa kepada penyebut biasa. Bahagian kanan akan kekal sifar:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Dan selepas itu - memohon kaedah selang waktu.

Bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang (algoritma dengan contoh)

Contoh . (tugasan daripada OGE) Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Penyelesaian:

Jawab : \((7;7+\sqrt(11))\)

Contoh . Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang \(≥0\)
Penyelesaian:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Di sini, pada pandangan pertama, semuanya kelihatan normal, dan ketidaksamaan pada mulanya dibawa ke bentuk yang diingini. Tetapi ini tidak begitu - selepas semua, dalam kurungan pertama dan ketiga pengangka, x muncul dengan tanda tolak. Kami mengubah kurungan, dengan mengambil kira hakikat bahawa darjah keempat adalah genap (iaitu, ia akan mengeluarkan tanda tolak), dan yang ketiga adalah ganjil (iaitu, ia tidak akan mengalih keluar). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Macam ni. Sekarang kita kembalikan kurungan "di tempatnya" yang telah diubah.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Sekarang semua kurungan kelihatan seperti yang sepatutnya (nama yang tidak ditandatangani didahulukan dan kemudian nombor). Tetapi tolak muncul di hadapan pengangka. Kami mengalihkannya dengan mendarabkan ketaksamaan dengan \(-1\), tidak lupa untuk membalikkan tanda perbandingan
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≤0\)		sedia. Kini ketidaksamaan kelihatan seperti sepatutnya. Anda boleh menggunakan kaedah selang.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Mari letakkan mata pada paksi, tanda dan cat pada selang masa yang diperlukan.
		Dalam selang dari \(4\) hingga \(6\), tanda tidak perlu ditukar, kerana tanda kurung \((x-6)\) adalah kepada kuasa genap (lihat titik 4 algoritma) . Bendera itu akan menjadi peringatan bahawa enam juga merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Mari kita tulis jawapannya.

Jawab : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\kiri\(6\kanan\)\)

Contoh.(Tugasan daripada OGE) Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Penyelesaian:

Jawab : \((-∞;-8]∪}