Adakah nombor negatif rasional? Integer dan nombor rasional. Nombor sebenar

Nombor bulat

Takrif nombor asli ialah integer positif. Nombor asli digunakan untuk mengira objek dan untuk banyak tujuan lain. Ini adalah nombornya:

Ini adalah siri nombor semula jadi.
Sifar nombor asli? Tidak, sifar bukan nombor asli.
Berapakah bilangan asli yang ada? Terdapat bilangan nombor asli yang tidak terhingga.
Apakah nombor asli terkecil? Satu ialah nombor asli terkecil.
Apakah nombor asli terbesar? Adalah mustahil untuk menentukannya, kerana terdapat bilangan nombor asli yang tidak terhingga.

Jumlah nombor asli ialah nombor asli. Jadi, menambah nombor asli a dan b:

Hasil darab nombor asli ialah nombor asli. Jadi, hasil darab nombor asli a dan b:

c sentiasa nombor asli.

Perbezaan nombor asli Tidak selalu ada nombor asli. Jika minuend lebih besar daripada subtrahend, maka perbezaan nombor asli adalah nombor asli, jika tidak, ia tidak.

Hasil bagi nombor asli tidak selalunya nombor asli. Jika bagi nombor asli a dan b

di mana c ialah nombor asli, ini bermakna a boleh dibahagi dengan b. Dalam contoh ini, a ialah dividen, b ialah pembahagi, c ialah hasil bagi.

Pembahagi nombor asli ialah nombor asli yang nombor pertama boleh dibahagikan dengan keseluruhan.

Setiap nombor asli boleh dibahagi dengan satu dan dirinya sendiri.

Nombor asli perdana hanya boleh dibahagi dengan satu dan mereka sendiri. Di sini kami maksudkan dibahagikan sepenuhnya. Contoh, nombor 2; 3; 5; 7 hanya boleh dibahagikan dengan satu dan dirinya sendiri. Ini adalah nombor asli yang mudah.

Satu tidak dianggap sebagai nombor perdana.

Nombor yang lebih besar daripada satu dan bukan perdana dipanggil nombor komposit. Contoh nombor komposit:

Satu tidak dianggap sebagai nombor komposit.

Himpunan nombor asli ialah satu, nombor perdana dan nombor komposit.

Set nombor asli dilambangkan huruf latin N.

Sifat penambahan dan pendaraban nombor asli:

sifat komutatif penambahan

sifat bersekutu penambahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif pendaraban

sifat bersekutu pendaraban

(ab) c = a (bc);

sifat taburan pendaraban

A (b + c) = ab + ac;

Nombor bulat

Integer ialah nombor asli, sifar, dan lawan nombor asli.

Lawan nombor asli ialah integer negatif, contohnya:

1; -2; -3; -4;...

Set integer dilambangkan dengan huruf Latin Z.

Nombor rasional

Nombor rasional Ini adalah nombor bulat dan pecahan.

Sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan berkala. Contoh:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Daripada contoh adalah jelas bahawa sebarang integer ialah pecahan berkala dengan tempoh sifar.

Sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan m/n, dengan m ialah integer nombor,n semula jadi nombor. Mari kita bayangkan nombor 3,(6) daripada contoh sebelumnya sebagai pecahan sedemikian.

Nombor rasional

suku

1. Keteraturan. a Dan b terdapat peraturan yang membolehkan seseorang mengenal pasti secara unik satu dan hanya satu daripada tiga perhubungan di antara mereka: “< », « >" atau "=". Peraturan ini dipanggil peraturan pesanan dan dirumuskan seperti berikut: dua nombor bukan negatif dan dikaitkan dengan hubungan yang sama seperti dua integer dan ; dua nombor bukan positif a Dan b dikaitkan dengan hubungan yang sama dengan dua nombor bukan negatif dan ; kalau tiba-tiba a bukan negatif, tetapi b- negatif, kemudian a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Menambah Pecahan

2. Operasi penambahan. Untuk sebarang nombor rasional a Dan b ada kononnya peraturan penjumlahan c. Lebih-lebih lagi, nombor itu sendiri c dipanggil jumlah nombor a Dan b dan dilambangkan dengan , dan proses mencari nombor sedemikian dipanggil penjumlahan. Peraturan penjumlahan mempunyai bentuk berikut: .
3. Operasi pendaraban. Untuk sebarang nombor rasional a Dan b ada kononnya peraturan pendaraban, yang memberikan mereka beberapa nombor rasional c. Lebih-lebih lagi, nombor itu sendiri c dipanggil kerja nombor a Dan b dan dilambangkan dengan , dan proses mencari nombor sedemikian juga dipanggil pendaraban. Peraturan pendaraban kelihatan seperti ini: .
4. Transitiviti hubungan pesanan. Untuk sebarang tiga kali ganda nombor rasional a , b Dan c Jika a kurang b Dan b kurang c, Itu a kurang c, dan jika a sama b Dan b sama c, Itu a sama c. 6435">Komutatif penambahan. Menukar tempat istilah rasional tidak mengubah jumlah.
5. Asosiasi penambahan. Susunan di mana tiga nombor rasional ditambah tidak menjejaskan keputusan.
6. Kehadiran sifar. Terdapat nombor rasional 0 yang mengekalkan setiap nombor rasional lain apabila ditambah.
7. Kehadiran nombor berlawanan. Mana-mana nombor rasional mempunyai nombor rasional yang berlawanan, yang apabila ditambah kepada memberikan 0.
8. Komutatif pendaraban. Menukar tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
9. Perkaitan pendaraban. Urutan di mana tiga nombor rasional didarab tidak menjejaskan keputusan.
10. Ketersediaan unit. Terdapat nombor rasional 1 yang mengekalkan setiap nombor rasional lain apabila didarab.
11. Kehadiran nombor salingan. Mana-mana nombor rasional mempunyai nombor rasional songsang, yang apabila didarab dengan memberikan 1.
12. Pengagihan pendaraban berbanding penambahan. Operasi darab diselaraskan dengan operasi tambah melalui undang-undang taburan:
13. Sambungan hubungan tertib dengan operasi tambah. Ke bahagian kiri dan kanan ketidaksamaan rasional anda boleh menambah nombor rasional yang sama. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksiom Archimedes. Walau apa pun nombor rasionalnya a, anda boleh mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya melebihi a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ciri-ciri tambahan

Semua sifat lain yang wujud dalam nombor rasional tidak dibezakan sebagai yang asas, kerana, secara amnya, ia tidak lagi berdasarkan secara langsung pada sifat integer, tetapi boleh dibuktikan berdasarkan sifat asas yang diberikan atau secara langsung dengan definisi beberapa objek matematik. . Terdapat banyak sifat tambahan seperti itu. Masuk akal untuk menyenaraikan hanya beberapa daripada mereka di sini.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Kebolehkiraan sesuatu set

Penomboran nombor rasional

Untuk menganggarkan bilangan nombor rasional, anda perlu mencari kardinaliti set mereka. Adalah mudah untuk membuktikan bahawa set nombor rasional boleh dikira. Untuk melakukan ini, cukup untuk memberikan algoritma yang menghitung nombor rasional, iaitu, mewujudkan bijection antara set nombor rasional dan semula jadi.

Yang paling mudah daripada algoritma ini kelihatan seperti ini. Jadual pecahan biasa yang tidak berkesudahan disusun, pada setiap satu i-baris ke-dalam setiap satu j lajur ke yang mana pecahan itu terletak. Untuk kepastian, diandaikan bahawa baris dan lajur jadual ini dinomborkan bermula dari satu. Sel jadual dilambangkan dengan , di mana i- bilangan baris jadual di mana sel berada, dan j- nombor lajur.

Jadual yang terhasil dilalui menggunakan "ular" mengikut algoritma rasmi berikut.

Peraturan ini dicari dari atas ke bawah dan kedudukan seterusnya dipilih berdasarkan pada perlawanan pertama.

Dalam proses traversal sedemikian, setiap nombor rasional baru dikaitkan dengan nombor asli yang lain. Iaitu, pecahan 1/1 diberikan kepada nombor 1, pecahan 2/1 kepada nombor 2, dan lain-lain. Perlu diingatkan bahawa hanya pecahan tidak dapat dikurangkan dinomborkan. Tanda ketakterurangan formal ialah pembahagi sepunya terbesar bagi pengangka dan penyebut pecahan adalah sama dengan satu.

Mengikut algoritma ini, kita boleh menghitung semua nombor rasional positif. Ini bermakna set nombor rasional positif boleh dikira. Adalah mudah untuk mewujudkan bijection antara set nombor rasional positif dan negatif dengan hanya memberikan kepada setiap nombor rasional yang bertentangan. Itu. set nombor rasional negatif juga boleh dikira. Kesatuan mereka juga boleh dikira oleh harta set boleh dikira. Set nombor rasional juga boleh dikira sebagai gabungan set boleh dikira dengan satu terhingga.

Pernyataan tentang kebolehkiraan set nombor rasional mungkin menyebabkan sedikit kekeliruan, kerana pada pandangan pertama nampaknya ia jauh lebih luas daripada set nombor asli. Sebenarnya, ini tidak begitu dan terdapat nombor asli yang mencukupi untuk menghitung semua nombor rasional.

Kekurangan nombor rasional

Hipotenus bagi segi tiga tersebut tidak boleh dinyatakan dengan sebarang nombor rasional

Nombor rasional bentuk 1 / n pada umumnya n kuantiti yang kecil sewenang-wenangnya boleh diukur. Fakta ini mewujudkan tanggapan yang mengelirukan bahawa nombor rasional boleh digunakan untuk mengukur sebarang jarak geometri. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa ini tidak benar.

Nota

kesusasteraan

• I. Kushnir. Buku panduan matematik untuk murid sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Pengenalan kepada teori set dan topologi am. - M.: bab. ed. fizik dan matematik menyala. ed. "Sains", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Pengenalan kepada teori sistem algebra

Pautan

Yayasan Wikimedia. 2010.

Nombor- konsep matematik penting yang telah berubah selama berabad-abad.

Idea pertama tentang nombor timbul daripada mengira orang, haiwan, buah-buahan, pelbagai produk, dll. Hasilnya ialah nombor semula jadi: 1, 2, 3, 4, ...

Dari segi sejarah, lanjutan pertama konsep nombor ialah penambahan nombor pecahan kepada nombor asli.

Pecahan bahagian (bahagian) unit atau beberapa bahagian yang sama dipanggil.

Ditunjuk oleh: , di mana m, n- nombor bulat;

Pecahan dengan penyebut 10 n, Di mana n- integer, dipanggil perpuluhan: .

Antara perpuluhan tempat istimewa menduduki pecahan berkala: - pecahan berkala tulen, - pecahan berkala campuran.

Perluasan lagi konsep nombor adalah disebabkan oleh perkembangan matematik itu sendiri (algebra). Descartes pada abad ke-17. memperkenalkan konsep nombor negatif.

Nombor integer (positif dan negatif), pecahan (positif dan negatif), dan sifar dipanggil nombor rasional. Sebarang nombor rasional boleh ditulis sebagai pecahan terhingga dan berkala.

Untuk mengkaji kuantiti pembolehubah yang terus berubah, ternyata perluasan baru konsep nombor - pengenalan nombor nyata (nyata) - dengan menambah nombor tidak rasional kepada nombor rasional: nombor tidak rasional ialah pecahan bukan berkala perpuluhan tak terhingga.

Nombor tidak rasional muncul apabila mengukur segmen tidak boleh dibandingkan (sisi dan pepenjuru segi empat sama), dalam algebra - apabila mengekstrak akar, contoh nombor transendental, tidak rasional ialah π, e .

Nombor semula jadi(1, 2, 3,...), keseluruhan(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rasional(boleh diwakili sebagai pecahan) dan tidak rasional(tidak boleh diwakili sebagai pecahan ) membentuk satu set nyata (nyata) nombor.

Nombor kompleks dibezakan secara berasingan dalam matematik.

Nombor kompleks timbul berkaitan dengan masalah menyelesaikan petak bagi kes itu D< 0 (здесь D– diskriminasi bagi persamaan kuadratik). Untuk masa yang lama, nombor ini tidak menemui aplikasi fizikal, itulah sebabnya ia dipanggil nombor "khayalan". Walau bagaimanapun, kini ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang fizik dan teknologi: kejuruteraan elektrik, hidro dan aerodinamik, teori keanjalan, dll.

Nombor kompleks ditulis dalam bentuk: z= a+ bi. Di sini a Dan b – nombor nyata, A i – unit khayalan, i.e.e. i 2 = -1. Nombor a dipanggil abscissa, a b –selaras nombor kompleks a+ bi. Dua nombor kompleks a+ bi Dan a–bi dipanggil konjugasi nombor kompleks.

sifat:

1. Nombor sebenar A boleh juga ditulis dalam bentuk nombor kompleks: a+ 0i atau a – 0i. Contohnya 5 + 0 i dan 5 – 0 i bermakna nombor 5 yang sama.

2. Nombor kompleks 0 + bi dipanggil khayalan semata-mata nombor. Rekod bi bermakna sama dengan 0 + bi.

3. Dua nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dianggap sama jika a= c Dan b= d. Jika tidak, nombor kompleks tidak sama.

Tindakan:

Penambahan. Jumlah nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dipanggil nombor kompleks ( a+ c) + (b+ d)i. Oleh itu, Apabila menambah nombor kompleks, absis dan ordinat mereka ditambah secara berasingan.

Penolakan. Perbezaan dua nombor kompleks a+ bi(berkurang) dan c+ di(subtrahend) dipanggil nombor kompleks ( a–c) + (b–d)i. Oleh itu, Apabila menolak dua nombor kompleks, absis dan ordinatnya ditolak secara berasingan.

Pendaraban. Hasil darab nombor kompleks a+ bi Dan c+ di dipanggil nombor kompleks:

(ac–bd) + (iklan+ bc)i. Takrifan ini mengikuti dua keperluan:

1) nombor a+ bi Dan c+ di mesti didarab seperti binomial algebra,

2) nombor i mempunyai sifat utama: i 2 = –1.

CONTOH ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Oleh itu, kerjadaripada dua nombor kompleks konjugat adalah sama dengan nombor nyata positif.

Bahagian. Bahagikan nombor kompleks a+ bi(boleh dibahagikan) oleh yang lain c+ di (pembahagi) - bermakna mencari nombor ketiga e+ f i(sembang), yang apabila didarab dengan pembahagi c+ di, menghasilkan dividen a+ bi. Jika pembahagi bukan sifar, pembahagian sentiasa mungkin.

CONTOH Cari (8 + i) : (2 – 3i) .

Penyelesaian. Mari kita tulis semula nisbah ini sebagai pecahan:

Mendarabkan pengangka dan penyebutnya dengan 2 + 3 i dan selepas melakukan semua transformasi, kami mendapat:

Tugasan 1: Tambah, tolak, darab dan bahagi z 1 pada z 2

Mengekstrak punca kuasa dua: Selesaikan persamaan x 2 = -a. Untuk menyelesaikan persamaan ini kami terpaksa menggunakan nombor jenis baharu - nombor khayalan . Oleh itu, khayalan nombor itu dipanggil kuasa kedua ialah nombor negatif. Mengikut takrifan nombor khayalan ini kita boleh takrifkan dan khayalan unit:

Kemudian untuk persamaan x 2 = – 25 kita dapat dua khayalan akar:

Tugasan 2: Selesaikan persamaan:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks. Nombor nyata diwakili oleh titik pada garis nombor:

Inilah maksudnya A bermaksud nombor –3, titik B–nombor 2, dan O-sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk tujuan ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleks a+ bi akan diwakili oleh titik P dengan absisA dan selarasb. Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks .

Modul nombor kompleks ialah panjang vektor OP, mewakili nombor kompleks pada koordinat ( menyeluruh) kapal terbang. Modulus nombor kompleks a+ bi dilambangkan | a+ bi| atau) surat r dan sama dengan:

Nombor kompleks konjugat mempunyai modulus yang sama.

Peraturan untuk melukis lukisan adalah hampir sama dengan lukisan dalam sistem koordinat Cartesan. Di sepanjang paksi anda perlu menetapkan dimensi, perhatikan:

e
unit sepanjang paksi sebenar; Rez

unit khayalan sepanjang paksi khayalan. saya z

Tugasan 3. Bina nombor kompleks berikut pada satah kompleks: , , , , , , ,

1. Nombor adalah tepat dan anggaran. Nombor yang kita temui dalam amalan adalah dua jenis. Ada yang memberikan nilai sebenar kuantiti, yang lain hanya anggaran. Yang pertama dipanggil tepat, yang kedua - anggaran. Selalunya adalah mudah untuk menggunakan nombor anggaran dan bukannya nombor tepat, terutamanya kerana dalam banyak kes adalah mustahil untuk mencari nombor yang tepat sama sekali.

Jadi, jika mereka mengatakan bahawa terdapat 29 pelajar dalam satu kelas, maka nombor 29 adalah tepat. Jika mereka mengatakan bahawa jarak dari Moscow ke Kyiv ialah 960 km, maka di sini angka 960 adalah anggaran, kerana, di satu pihak, alat pengukur kami tidak betul-betul tepat, sebaliknya, bandar-bandar itu sendiri mempunyai tahap tertentu.

Hasil tindakan dengan nombor anggaran juga merupakan nombor anggaran. Dengan melakukan beberapa operasi pada nombor tepat (bahagian, pengekstrakan akar), anda juga boleh mendapatkan nombor anggaran.

Teori pengiraan anggaran membolehkan:

1) mengetahui tahap ketepatan data, menilai tahap ketepatan keputusan;

2) mengambil data dengan tahap ketepatan yang sesuai yang mencukupi untuk memastikan ketepatan keputusan yang diperlukan;

3) merasionalkan proses pengiraan, membebaskannya daripada pengiraan yang tidak akan menjejaskan ketepatan keputusan.

2. Membundarkan. Satu sumber untuk mendapatkan nombor anggaran ialah pembundaran. Kedua-dua nombor anggaran dan tepat dibundarkan.

Membundarkan nombor yang diberikan kepada digit tertentu dipanggil menggantikannya dengan nombor baharu, yang diperoleh daripada nombor yang diberikan dengan membuang semua digitnya yang ditulis di sebelah kanan digit digit ini, atau dengan menggantikannya dengan sifar. Sifar ini biasanya digariskan atau ditulis lebih kecil. Untuk memastikan nombor yang dibundarkan sedekat mungkin dengan nombor yang dibundarkan, anda harus menggunakan peraturan berikut: untuk membundarkan nombor kepada satu daripada digit tertentu, anda mesti membuang semua digit selepas digit digit ini dan menggantikannya. mereka dengan sifar dalam nombor bulat. Perkara berikut diambil kira:

1) jika angka pertama (di sebelah kiri) daripada digit yang dibuang adalah kurang daripada 5, maka baki digit terakhir tidak diubah (bundarkan ke bawah);

2) jika digit pertama yang akan dibuang lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5, maka digit terakhir yang tinggal ditambah satu (membundarkan dengan lebihan).

Mari tunjukkan ini dengan contoh. Pusingan:

a) sehingga persepuluh 12.34;

b) kepada perseratus 3.2465; 1038.785;

c) sehingga perseribu 3.4335.

d) sehingga ribu 12375; 320729.

a) 12.34 ≈ 12.3;

b) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3.4335 ≈ 3.434.

d) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000.

3. Ralat mutlak dan relatif. Perbezaan antara nombor tepat dan nilai anggarannya dipanggil ralat mutlak nombor anggaran. Sebagai contoh, jika nombor tepat 1.214 dibundarkan kepada persepuluh yang terdekat, kita mendapat nombor anggaran 1.2. DALAM dalam kes ini kesilapan mutlak nombor anggaran 1.2 adalah sama dengan 1.214 - 1.2, i.e. 0.014.

Tetapi dalam kebanyakan kes, nilai sebenar nilai yang sedang dipertimbangkan tidak diketahui, tetapi hanya anggaran. Kemudian ralat mutlak tidak diketahui. Dalam kes ini, nyatakan had yang tidak melebihinya. Nombor ini dipanggil ralat mutlak mengehadkan. Mereka mengatakan bahawa nilai tepat nombor adalah sama dengan nilai anggarannya dengan ralat kurang daripada ralat marginal. Sebagai contoh, nombor 23.71 ialah nilai anggaran nombor 23.7125 dengan ketepatan 0.01, kerana ralat mutlak penghampiran ialah 0.0025 dan kurang daripada 0.01. Di sini ralat mutlak yang mengehadkan ialah 0.01 *.

Ralat mutlak sempadan bagi nombor anggaran A dilambangkan dengan simbol Δ a. Rekod

x≈a(±Δ a)

hendaklah difahami seperti berikut: nilai sebenar kuantiti x adalah antara nombor A– Δ a Dan A+ Δ A, yang dipanggil sempadan bawah dan atas, masing-masing X dan menandakan NG x VG X.

Sebagai contoh, jika x≈ 2.3 (±0.1), kemudian 2.2<x< 2,4.

Begitu juga sebaliknya, jika 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7.35 (±0.05). Ralat mutlak mutlak atau marginal tidak mencirikan kualiti pengukuran yang dilakukan. Ralat mutlak yang sama boleh dianggap penting dan tidak ketara bergantung pada nombor yang mana nilai diukur dinyatakan. Sebagai contoh, jika kita mengukur jarak antara dua bandar dengan ketepatan satu kilometer, maka ketepatan tersebut cukup memadai untuk perubahan ini, tetapi pada masa yang sama, apabila mengukur jarak antara dua rumah di jalan yang sama, ketepatan tersebut akan menjadi tidak boleh diterima. Akibatnya, ketepatan nilai anggaran kuantiti bergantung bukan sahaja pada magnitud ralat mutlak, tetapi juga pada nilai kuantiti yang diukur. Oleh itu, ralat relatif adalah ukuran ketepatan.

Ralat relatif ialah nisbah ralat mutlak kepada nilai nombor anggaran. Nisbah ralat mutlak mengehadkan kepada nombor anggaran dipanggil ralat relatif mengehadkan; mereka menetapkannya seperti ini: . Ralat relatif dan marginal relatif biasanya dinyatakan sebagai peratusan. Sebagai contoh, jika ukuran menunjukkan bahawa jarak X antara dua titik adalah lebih daripada 12.3 km, tetapi kurang daripada 12.7 km, maka min aritmetik kedua-dua nombor ini diambil sebagai nilai anggarannya, i.e. separuh jumlah mereka, maka ralat mutlak marginal adalah sama dengan separuh perbezaan nombor-nombor ini. Dalam kes ini X≈ 12.5 (±0.2). Di sini ralat mutlak mengehadkan ialah 0.2 km, dan relatif mengehadkan

Artikel ini dikhaskan untuk mengkaji topik "Nombor rasional". Di bawah ialah definisi nombor rasional, contoh diberikan, dan cara menentukan sama ada nombor itu rasional atau tidak.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nombor rasional. Definisi

Sebelum memberikan definisi nombor rasional, mari kita ingat apakah set nombor lain yang ada dan bagaimana ia berkaitan antara satu sama lain.

Nombor asli, bersama-sama dengan lawannya dan nombor sifar, membentuk set integer. Seterusnya, set nombor pecahan integer membentuk set nombor rasional.

Definisi 1. Nombor rasional

Nombor rasional ialah nombor yang boleh diwakili sebagai positif pecahan sepunya a b , pecahan sepunya negatif - a b atau nombor sifar.

Oleh itu, kita boleh mengekalkan beberapa sifat nombor rasional:

1. Sebarang nombor asli ialah nombor rasional. Jelas sekali, setiap nombor asli n boleh diwakili sebagai pecahan 1 n.
2. Mana-mana integer, termasuk nombor 0, ialah nombor rasional. Sesungguhnya, mana-mana integer positif dan mana-mana integer negatif boleh dengan mudah diwakili sebagai pecahan biasa positif atau negatif, masing-masing. Contohnya, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Mana-mana pecahan sepunya positif atau negatif a b ialah nombor rasional. Ini mengikuti terus dari definisi yang diberikan di atas.
4. Sebarang nombor bercampur adalah rasional. Malah, nombor bercampur boleh diwakili sebagai pecahan tak wajar biasa.
5. Mana-mana pecahan perpuluhan terhingga atau berkala boleh diwakili sebagai pecahan. Oleh itu, setiap pecahan perpuluhan berkala atau terhingga ialah nombor rasional.
6. Perpuluhan tak terhingga dan bukan berkala bukanlah nombor rasional. Mereka tidak boleh diwakili dalam bentuk pecahan biasa.

Mari kita berikan contoh nombor rasional. Nombor 5, 105, 358, 1100055 adalah semula jadi, positif dan integer. Jelas sekali, ini adalah nombor rasional. Nombor - 2, - 358, - 936 adalah integer negatif dan ia juga rasional mengikut definisi. Pecahan sepunya 3 5, 8 7, - 35 8 juga merupakan contoh nombor rasional.

Definisi nombor rasional di atas boleh dirumuskan dengan lebih ringkas. Sekali lagi kita akan menjawab soalan, apakah itu nombor rasional?

Definisi 2. Nombor rasional

Nombor rasional ialah nombor yang boleh diwakili sebagai pecahan ± z n, di mana z ialah integer dan n ialah nombor asli.

Dapat ditunjukkan bahawa definisi ini bersamaan dengan definisi nombor rasional sebelumnya. Untuk melakukan ini, ingat bahawa garis pecahan adalah bersamaan dengan tanda bahagi. Dengan mengambil kira peraturan dan sifat pembahagian integer, kita boleh menulis ketaksamaan saksama berikut:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Oleh itu, kita boleh menulis:

z n = z n , p r dan z > 0 0 , p r dan z = 0 - z n , p r dan z< 0

Sebenarnya, rakaman ini adalah bukti. Mari kita berikan contoh nombor rasional berdasarkan definisi kedua. Pertimbangkan nombor - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 dan - 1 3 5. Semua nombor ini adalah rasional kerana ia boleh ditulis sebagai pecahan dengan pengangka integer dan penyebut semula jadi: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Mari kita berikan satu lagi bentuk setara untuk definisi nombor rasional.

Definisi 3. Nombor rasional

Nombor rasional ialah nombor yang boleh ditulis sebagai berkala terhingga atau tak terhingga perpuluhan.

Takrifan ini mengikuti terus daripada takrifan pertama perenggan ini.

Mari kita rumuskan dan rumuskan ringkasan perkara ini:

1. Pecahan dan integer positif dan negatif membentuk set nombor rasional.
2. Setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan biasa, pengangkanya adalah integer dan penyebutnya ialah nombor asli.
3. Setiap nombor rasional juga boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan: terhingga atau berkala tak terhingga.

Nombor yang manakah rasional?

Seperti yang telah kita ketahui, sebarang nombor asli, integer, pecahan biasa wajar dan tak wajar, pecahan perpuluhan berkala dan terhingga ialah nombor rasional. Berbekalkan pengetahuan ini, anda boleh dengan mudah menentukan sama ada nombor tertentu adalah rasional.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, seseorang sering perlu berurusan bukan dengan nombor, tetapi dengan ungkapan berangka yang mengandungi akar, kuasa dan logaritma. Dalam sesetengah kes, jawapan kepada soalan "adakah nombor itu rasional?" adalah jauh dari jelas. Mari lihat kaedah untuk menjawab soalan ini.

Jika suatu nombor diberi sebagai ungkapan yang mengandungi nombor rasional sahaja dan operasi aritmetik antara mereka, maka hasil ungkapan itu ialah nombor rasional.

Sebagai contoh, nilai ungkapan 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ialah nombor rasional dan sama dengan 18.

Oleh itu, memudahkan kompleks ungkapan berangka membolehkan anda menentukan sama ada nombor yang diberikan adalah rasional.

Sekarang mari kita lihat tanda akar.

Ternyata nombor m n yang diberikan sebagai punca kuasa n bagi nombor m adalah rasional hanya apabila m ialah kuasa ke-n bagi beberapa nombor asli.

Mari kita lihat satu contoh. Nombor 2 tidak rasional. Manakala 9, 81 ialah nombor rasional. 9 dan 81 ialah kuasa dua sempurna bagi nombor 3 dan 9, masing-masing. Nombor 199, 28, 15 1 bukan nombor rasional, kerana nombor di bawah tanda akar bukan kuasa dua sempurna sebarang nombor asli.

Sekarang mari kita ambil kes yang lebih kompleks. Adakah 243 5 nombor rasional? Jika anda menaikkan 3 kepada kuasa kelima, anda mendapat 243, jadi ungkapan asal boleh ditulis semula seperti berikut: 243 5 = 3 5 5 = 3. Oleh itu, nombor ini adalah rasional. Sekarang mari kita ambil nombor 121 5. Nombor ini tidak rasional, kerana tidak ada nombor asli yang dinaikkan kepada kuasa kelima memberikan 121.

Untuk mengetahui sama ada logaritma nombor a kepada asas b ialah nombor rasional, anda perlu menggunakan kaedah percanggahan. Sebagai contoh, kita mengetahui sama ada ia rasional nombor log 2 5. Mari kita anggap bahawa nombor ini adalah rasional. Jika demikian, maka ia boleh ditulis dalam bentuk log pecahan biasa 2 5 = m n Mengikut sifat logaritma dan sifat darjah, kesamaan berikut adalah sah:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Jelas sekali, kesamaan terakhir adalah mustahil kerana bahagian kiri dan kanan masing-masing mengandungi nombor ganjil dan genap. Oleh itu, andaian yang dibuat adalah salah dan log 2 5 bukan nombor rasional.

Perlu diingat bahawa apabila menentukan rasional dan tidak rasional nombor, anda tidak seharusnya membuat keputusan secara tiba-tiba. Sebagai contoh, hasil darab nombor tak rasional tidak selalunya nombor tak rasional. Contoh yang baik: 2 · 2 = 2 .

Terdapat juga nombor tidak rasional, yang menaikkannya kepada kuasa tidak rasional memberikan nombor rasional. Dalam kuasa bentuk 2 log 2 3, asas dan eksponen ialah nombor tak rasional. Walau bagaimanapun, nombor itu sendiri adalah rasional: 2 log 2 3 = 3.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Dalam bahagian ini kita akan memberikan beberapa definisi nombor rasional. Walaupun terdapat perbezaan dalam perkataan, semua definisi ini mempunyai makna yang sama: nombor rasional menggabungkan integer dan nombor pecahan, sama seperti integer menggabungkan nombor asli, lawannya dan nombor sifar. Dengan kata lain, nombor rasional menyamaratakan nombor bulat dan pecahan.

Mari kita mulakan dengan definisi nombor rasional, yang dianggap paling semula jadi.

Definisi.

Nombor rasional ialah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan positif, pecahan negatif, atau nombor sifar.

Daripada definisi yang dinyatakan, nombor rasional ialah:

Sebarang nombor asli n. Sesungguhnya, anda boleh mewakili sebarang nombor asli sebagai pecahan biasa, contohnya, 3=3/1 .

· Mana-mana integer, khususnya nombor sifar. Malah, sebarang integer boleh ditulis sama ada sebagai pecahan positif, pecahan negatif atau sifar. Sebagai contoh, 26=26/1 , .

· Mana-mana pecahan sepunya (positif atau negatif). Ini secara langsung disahkan oleh definisi nombor rasional yang diberikan.

· Sebarang nombor bercampur. Sesungguhnya, anda sentiasa boleh mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tidak wajar. Contohnya, dan.

· Sebarang pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan berkala tak terhingga. Hal ini demikian kerana fakta bahawa pecahan perpuluhan yang ditunjukkan ditukar kepada pecahan biasa. Contohnya, a 0,(3)=1/3 .

Juga jelas bahawa mana-mana pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga BUKAN nombor rasional, kerana ia tidak boleh diwakili sebagai pecahan sepunya.

Sekarang kita boleh memberi dengan mudah contoh nombor rasional. Nombor 4 ,903 , 100 321 Ini adalah nombor rasional kerana ia adalah nombor asli. Nombor bulat 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 juga merupakan contoh nombor rasional. Pecahan sepunya 4/9 , 99/3 , juga merupakan contoh nombor rasional. Nombor rasional juga adalah nombor.

Daripada contoh di atas adalah jelas bahawa terdapat kedua-dua nombor rasional positif dan negatif, dan nombor rasional sifar adalah tidak positif mahupun negatif.

Takrifan nombor rasional di atas boleh dirumuskan dalam bentuk yang lebih ringkas.

Definisi.

Nombor rasional namakan nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan z/n, Di mana z ialah integer, dan n- nombor asli.

Mari kita buktikan bahawa takrifan nombor rasional ini bersamaan dengan takrifan sebelumnya. Kita tahu bahawa kita boleh menganggap garis pecahan sebagai tanda bahagi, kemudian dari sifat-sifat pembahagi integer dan peraturan untuk membahagi integer, kesahihan kesamaan berikut berikut. Maka, itulah buktinya.

Mari kita berikan contoh nombor rasional berdasarkan takrifan ini. Nombor −5 , 0 , 3 , dan merupakan nombor rasional, kerana ia boleh ditulis sebagai pecahan dengan pengangka integer dan penyebut asli bagi bentuk dan, masing-masing.

Takrif nombor rasional boleh diberikan dalam rumusan berikut.

Definisi.

Nombor rasional ialah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga.

Takrifan ini juga bersamaan dengan takrif pertama, kerana setiap pecahan biasa sepadan dengan pecahan perpuluhan terhingga atau berkala dan sebaliknya, dan sebarang integer boleh dikaitkan dengan pecahan perpuluhan dengan sifar selepas titik perpuluhan.

Contohnya, nombor 5 , 0 , −13 , adalah contoh nombor rasional, kerana ia boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berikut 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Dan −7,(18) .

Mari kita selesaikan teori perkara ini dengan pernyataan berikut:

· integer dan pecahan (positif dan negatif) membentuk set nombor rasional;

· setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan dengan pengangka integer dan penyebut asli, dan setiap pecahan tersebut mewakili nombor rasional tertentu;

· setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga, dan setiap pecahan tersebut mewakili nombor rasional tertentu.

Bahagian atas halaman

Penambahan nombor rasional positif adalah komutatif dan bersekutu,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Sebelum merumuskan definisi pendaraban nombor rasional positif, pertimbangkan masalah berikut: diketahui bahawa panjang segmen X dinyatakan sebagai pecahan dengan unit panjang E, dan panjang segmen unit diukur dengan unit E 1 dan dinyatakan sebagai pecahan. Bagaimana untuk mencari nombor yang akan mewakili panjang segmen X jika diukur menggunakan unit panjang E 1?

Oleh kerana X = E, maka nX = mE, dan daripada fakta bahawa E = E 1 ia mengikuti bahawa qE = pE 1. Mari kita darabkan kesamaan pertama yang diperoleh dengan q, dan yang kedua dengan m. Kemudian (nq)X = (mq)E dan (mq)E= (mp)E 1, dari mana (nq)X= (mp)E 1. Kesamaan ini menunjukkan bahawa panjang ruas x dengan panjang unit dinyatakan sebagai pecahan, yang bermaksud , =, i.e. mendarab pecahan melibatkan pergerakan dari satu unit panjang ke unit panjang yang lain apabila mengukur panjang segmen yang sama.

Definisi: Jika nombor positif a diwakili oleh pecahan, dan nombor rasional positif b ialah pecahan, maka hasil darabnya ialah nombor a b, yang diwakili oleh pecahan.

Mendarab nombor rasional positif komutatif, bersekutu dan pengagihan berkenaan dengan penambahan dan penolakan. Bukti sifat-sifat ini adalah berdasarkan definisi pendaraban dan penambahan nombor rasional positif, serta pada sifat-sifat yang sepadan bagi penambahan dan pendaraban nombor asli.

46. ​​Seperti yang diketahui penolakan- Ini adalah tindakan berlawanan penambahan.

Jika a Dan b - nombor positif, kemudian menolak nombor b daripada nombor a bermakna mencari nombor c yang, apabila ditambah dengan nombor b, memberikan nombor a.
a - b = c atau c + b = a
Takrif penolakan berlaku untuk semua nombor rasional. Iaitu, penolakan nombor positif dan negatif boleh digantikan dengan penambahan.
Untuk menolak nombor lain daripada satu nombor, anda perlu menambah nombor bertentangan dengan nombor yang ditolak.
Atau, dengan cara lain, kita boleh mengatakan bahawa menolak nombor b adalah penambahan yang sama, tetapi dengan nombor itu nombor berlawanan b.
a - b = a + (- b)
Contoh.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Contoh.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Perlu diingat ungkapan di bawah.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Peraturan untuk menolak nombor negatif
Menolak nombor b ialah menambahkannya dengan nombor berlawanan b.
Peraturan ini berlaku bukan sahaja apabila menolak nombor yang lebih kecil daripada nombor yang lebih besar, tetapi juga membolehkan anda menolak daripada nombor yang lebih kecil. bilangan yang lebih besar, iaitu, anda sentiasa boleh mencari perbezaan antara dua nombor.
Perbezaannya boleh menjadi nombor positif, nombor negatif, atau nombor sifar.
Contoh penolakan negatif dan nombor positif.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Adalah mudah untuk mengingati peraturan tanda, yang membolehkan anda mengurangkan bilangan kurungan.
Tanda tambah tidak mengubah tanda nombor, jadi jika ada tambah di hadapan kurungan, tanda dalam kurungan tidak berubah.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Tanda tolak di hadapan kurungan membalikkan tanda nombor dalam kurungan.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Dari persamaan jelas bahawa jika terdapat tanda yang sama sebelum dan di dalam kurungan, maka kita mendapat "+", dan jika tanda-tandanya berbeza, maka kita mendapat "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Peraturan tanda dikekalkan walaupun tidak ada satu nombor dalam kurungan, tetapi jumlah algebra nombor.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Sila ambil perhatian bahawa jika terdapat beberapa nombor dalam kurungan dan terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, maka tanda di hadapan semua nombor dalam kurungan ini mesti berubah.
Untuk mengingati peraturan tanda, anda boleh membuat jadual untuk menentukan tanda-tanda nombor.
Peraturan tanda untuk nombor+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Atau belajar peraturan mudah.
Dua negatif membuat afirmatif,
Tambah kali tolak sama dengan tolak.

Peraturan untuk membahagi nombor negatif.
Untuk mencari modulus bagi hasil, anda perlu membahagikan modulus dividen dengan modulus pembahagi.
Jadi, untuk membahagikan dua nombor dengan tanda yang sama, anda perlu:

· modul dividen dibahagikan dengan modul pembahagi;

· letakkan tanda “+” di hadapan keputusan.

Contoh pembahagian nombor dengan tanda yang berbeza:

Anda juga boleh menggunakan jadual berikut untuk menentukan tanda hasil.
Peraturan tanda untuk pembahagian
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Apabila mengira ungkapan "panjang" di mana hanya pendaraban dan pembahagian muncul, adalah sangat mudah untuk menggunakan peraturan tanda. Contohnya, untuk mengira pecahan
Sila ambil perhatian bahawa pengangka mempunyai 2 tanda tolak, yang apabila didarab akan memberikan tambah. Terdapat juga tiga tanda tolak dalam penyebut, yang apabila didarabkan akan memberikan tanda tolak. Oleh itu, pada akhirnya hasilnya akan berubah dengan tanda tolak.
Mengurangkan pecahan ( tindakan selanjutnya dengan moduli nombor) dilakukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya:
Hasil bagi sifar dibahagikan dengan nombor selain sifar ialah sifar.
0: a = 0, a ≠ 0
Anda TIDAK BOLEH membahagi dengan sifar!
Semua peraturan pembahagian dengan satu yang diketahui sebelum ini juga digunakan pada set nombor rasional.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, dengan a ialah sebarang nombor rasional.
Hubungan antara hasil pendaraban dan pembahagian, yang dikenali untuk nombor positif, kekal sama untuk semua nombor rasional (kecuali sifar):
jika a × b = c; a = c: b; b = c: a;
jika a: b = c; a = c × b; b = a: c
Kebergantungan ini digunakan untuk mencari faktor yang tidak diketahui, dividen dan pembahagi (semasa menyelesaikan persamaan), serta untuk menyemak keputusan pendaraban dan pembahagian.
Contoh mencari yang tidak diketahui.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Maklumat berkaitan.