Bagaimana untuk menyusun nombor. Kalkulator untuk memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Contoh

Dalaman
12.06.2022

Dalam artikel ini anda akan menemui semua maklumat yang diperlukan untuk menjawab soalan, cara memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana. Pertama, idea umum tentang penguraian nombor kepada faktor perdana diberikan, dan contoh penguraian diberikan. Berikut menunjukkan bentuk kanonik penguraian nombor menjadi faktor perdana. Selepas ini, algoritma diberikan untuk menguraikan nombor arbitrari kepada faktor perdana dan contoh nombor mengurai menggunakan algoritma ini diberikan. Kaedah alternatif juga dipertimbangkan yang membolehkan anda memfaktorkan integer kecil ke dalam faktor perdana dengan cepat menggunakan ujian kebolehbahagi dan jadual pendaraban.

Navigasi halaman.

Apakah yang dimaksudkan dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana?

Pertama, mari kita lihat apakah faktor utama.

Adalah jelas bahawa oleh kerana perkataan "faktor" hadir dalam frasa ini, maka terdapat hasil darab beberapa nombor, dan perkataan kelayakan "mudah" bermakna setiap faktor ialah nombor perdana. Sebagai contoh, dalam hasil darab bentuk 2·7·7·23 terdapat empat faktor perdana: 2, 7, 7 dan 23.

Apakah yang dimaksudkan dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana?

Ini bermakna nombor ini mesti diwakili sebagai hasil darab faktor perdana dan nilai produk ini mestilah sama dengan nombor asal. Sebagai contoh, pertimbangkan hasil darab tiga nombor perdana 2, 3 dan 5, ia bersamaan dengan 30, oleh itu penguraian nombor 30 kepada faktor perdana ialah 2·3·5. Biasanya penguraian nombor menjadi faktor perdana ditulis sebagai kesamaan; dalam contoh kami, ia akan menjadi seperti ini: 30=2·3·5. Kami menekankan secara berasingan bahawa faktor utama dalam pengembangan boleh diulang. Ini jelas digambarkan oleh contoh berikut: 144=2·2·2·2·3·3. Tetapi perwakilan bentuk 45=3·15 bukanlah penguraian kepada faktor perdana, kerana nombor 15 ialah nombor komposit.

Soalan berikut timbul: "Apakah nombor yang boleh diuraikan menjadi faktor perdana?"

Untuk mencari jawapan kepadanya, kami mengemukakan alasan berikut. Nombor perdana, mengikut definisi, adalah antara yang lebih besar daripada satu. Memandangkan fakta ini dan , boleh dikatakan bahawa hasil darab beberapa faktor perdana ialah integer positif lebih besar daripada satu. Oleh itu, pemfaktoran kepada faktor perdana berlaku hanya untuk integer positif yang lebih besar daripada 1.

Tetapi bolehkah semua integer yang lebih besar daripada satu difaktorkan ke dalam faktor perdana?

Adalah jelas bahawa tidak mungkin untuk memfaktorkan integer mudah ke dalam faktor perdana. Ini kerana nombor perdana hanya mempunyai dua faktor positif - satu dan dirinya sendiri, jadi ia tidak boleh diwakili sebagai hasil darab dua atau lebih nombor perdana. Jika integer z boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana a dan b, maka konsep kebolehbahagi akan membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa z boleh dibahagikan dengan kedua-dua a dan b, yang mustahil disebabkan oleh kesederhanaan nombor z. Walau bagaimanapun, mereka percaya bahawa sebarang nombor perdana itu sendiri adalah penguraian.

Bagaimana pula dengan nombor komposit? Adakah nombor komposit diuraikan menjadi faktor perdana, dan adakah semua nombor komposit tertakluk kepada penguraian sedemikian? Teorem asas aritmetik memberikan jawapan afirmatif kepada beberapa soalan ini. Teorem asas aritmetik menyatakan bahawa sebarang integer a yang lebih besar daripada 1 boleh diuraikan menjadi hasil darab faktor perdana p 1, p 2, ..., p n, dan penguraian mempunyai bentuk a = p 1 · p 2 · … · p n, dan pengembangan ini adalah unik, jika anda tidak mengambil kira susunan faktor

Pemfaktoran kanonik nombor menjadi faktor perdana

Dalam pengembangan nombor, faktor perdana boleh diulang. Faktor perdana yang berulang boleh ditulis dengan lebih padat menggunakan . Biarkan dalam penguraian nombor faktor perdana p 1 berlaku s 1 kali, faktor perdana p 2 – s 2 kali, dan seterusnya, p n – s n kali. Maka pemfaktoran perdana bagi nombor a boleh ditulis sebagai a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bentuk rakaman ini adalah yang dipanggil pemfaktoran kanonik nombor menjadi faktor perdana.

Mari kita berikan satu contoh penguraian kanonik nombor kepada faktor perdana. Beritahu kami penguraian 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, notasi kanoniknya mempunyai bentuk 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Pemfaktoran kanonik nombor menjadi faktor perdana membolehkan anda mencari semua pembahagi nombor dan bilangan pembahagi nombor itu.

Algoritma untuk memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana

Untuk berjaya menangani tugas menguraikan nombor menjadi faktor perdana, anda perlu mempunyai pengetahuan yang sangat baik tentang maklumat dalam artikel nombor perdana dan komposit.

Intipati proses penguraian nombor integer positif a yang melebihi satu adalah jelas daripada bukti teorem asas aritmetik. Intinya ialah mencari secara berurutan pembahagi perdana terkecil p 1, p 2, ..., p n nombor a, a 1, a 2, ..., a n-1, yang membolehkan kita memperoleh satu siri kesamaan. a=p 1 ·a 1, dengan a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , dengan a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , di mana a n =a n-1:p n . Apabila ternyata a n =1, maka kesamaan a=p 1 ·p 2 ·…·p n akan memberikan kita penguraian nombor a yang diingini kepada faktor perdana. Perlu juga diperhatikan di sini bahawa p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Tinggal untuk memikirkan cara mencari faktor perdana terkecil pada setiap langkah, dan kami akan mempunyai algoritma untuk menguraikan nombor menjadi faktor perdana. Jadual nombor perdana akan membantu kita mencari faktor perdana. Mari kita tunjukkan cara menggunakannya untuk mendapatkan pembahagi perdana terkecil bagi nombor z.

Kami mengambil nombor perdana secara berurutan daripada jadual nombor perdana (2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya) dan membahagikan nombor z yang diberi dengannya. Nombor perdana pertama yang z dibahagikan sama rata akan menjadi pembahagi perdana terkecilnya. Jika nombor z ialah perdana, maka pembahagi perdana terkecilnya ialah nombor z itu sendiri. Perlu diingat di sini bahawa jika z bukan nombor perdana, maka pembahagi perdana terkecilnya tidak melebihi nombor , di mana dari z. Oleh itu, jika antara nombor perdana tidak melebihi , tidak ada pembahagi tunggal bagi nombor z, maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa z ialah nombor perdana (lebih lanjut mengenai perkara ini ditulis dalam bahagian teori di bawah tajuk Nombor ini adalah perdana atau komposit ).

Sebagai contoh, kami akan menunjukkan cara mencari pembahagi perdana terkecil bagi nombor 87. Mari kita ambil nombor 2. Bahagikan 87 dengan 2, kita dapat 87:2=43 (baki 1) (jika perlu, lihat artikel). Iaitu, apabila membahagikan 87 dengan 2, bakinya ialah 1, jadi 2 bukan pembahagi nombor 87. Kami mengambil nombor perdana seterusnya dari jadual nombor perdana, ini adalah nombor 3. Bahagikan 87 dengan 3, kita dapat 87:3=29. Oleh itu, 87 boleh dibahagikan dengan 3, oleh itu, nombor 3 adalah pembahagi perdana terkecil bagi nombor 87.

Ambil perhatian bahawa dalam kes umum, untuk memfaktorkan nombor a ke dalam faktor perdana, kita memerlukan jadual nombor perdana hingga nombor tidak kurang daripada . Kita perlu merujuk kepada jadual ini pada setiap langkah, jadi kita perlu ada di tangan. Sebagai contoh, untuk memfaktorkan nombor 95 menjadi faktor perdana, kita hanya memerlukan jadual nombor perdana hingga 10 (memandangkan 10 lebih besar daripada ). Dan untuk menguraikan nombor 846,653, anda sudah memerlukan jadual nombor perdana sehingga 1,000 (kerana 1,000 lebih besar daripada ).

Kami kini mempunyai maklumat yang mencukupi untuk ditulis algoritma untuk memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana. Algoritma untuk mengurai nombor a adalah seperti berikut:

  • Mengisih nombor secara berurutan daripada jadual nombor perdana, kita dapati pembahagi perdana terkecil p 1 daripada nombor a, selepas itu kita mengira a 1 =a:p 1. Jika a 1 =1, maka nombor a ialah perdana, dan ia sendiri adalah penguraiannya kepada faktor perdana. Jika 1 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·a 1 dan teruskan ke langkah seterusnya.
  • Kami mencari pembahagi perdana terkecil p 2 daripada nombor a 1 , untuk melakukan ini kami menyusun nombor secara berurutan daripada jadual nombor perdana, bermula dengan p 1 , dan kemudian mengira a 2 =a 1:p 2 . Jika a 2 =1, maka penguraian nombor a yang diperlukan kepada faktor perdana mempunyai bentuk a=p 1 ·p 2. Jika a 2 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·p 2 ·a 2 dan teruskan ke langkah seterusnya.
  • Melalui nombor dari jadual nombor perdana, bermula dengan p 2, kita dapati pembahagi perdana terkecil p 3 daripada nombor a 2, selepas itu kita mengira a 3 =a 2:p 3. Jika a 3 =1, maka penguraian nombor a yang diperlukan kepada faktor perdana mempunyai bentuk a=p 1 ·p 2 ·p 3. Jika a 3 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dan teruskan ke langkah seterusnya.
  • Kami mencari pembahagi perdana terkecil p n nombor a n-1 dengan mengisih nombor perdana, bermula dengan p n-1, serta a n =a n-1:p n, dan a n adalah sama dengan 1. Langkah ini ialah langkah terakhir algoritma; di sini kita memperoleh penguraian nombor a yang diperlukan kepada faktor perdana: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Untuk kejelasan, semua keputusan yang diperoleh pada setiap langkah algoritma untuk menguraikan nombor menjadi faktor perdana dibentangkan dalam bentuk jadual berikut, di mana nombor a, a 1, a 2, ..., a n ditulis secara berurutan dalam lajur di sebelah kiri garis menegak, dan di sebelah kanan garisan - pembahagi perdana terkecil yang sepadan p 1, p 2, ..., p n.

Apa yang tinggal ialah mempertimbangkan beberapa contoh penggunaan algoritma yang terhasil untuk menguraikan nombor kepada faktor perdana.

Contoh pemfaktoran perdana

Sekarang kita akan melihat secara terperinci contoh pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana. Apabila mengurai, kami akan menggunakan algoritma dari perenggan sebelumnya. Mari kita mulakan dengan kes mudah, dan secara beransur-ansur merumitkannya untuk menghadapi semua kemungkinan nuansa yang timbul apabila menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Contoh.

Faktorkan nombor 78 ke dalam faktor perdananya.

Penyelesaian.

Kami memulakan pencarian pembahagi perdana terkecil pertama p 1 daripada nombor a=78. Untuk melakukan ini, kita mula menyusun nombor perdana secara berurutan dari jadual nombor perdana. Kita ambil nombor 2 dan bahagikan 78 dengannya, kita dapat 78:2=39. Nombor 78 dibahagikan dengan 2 tanpa baki, jadi p 1 =2 ialah pembahagi perdana pertama yang ditemui bagi nombor 78. Dalam kes ini, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Jadi kita sampai kepada kesamaan a=p 1 ·a 1 mempunyai bentuk 78=2·39. Jelas sekali, 1 =39 adalah berbeza daripada 1, jadi kita beralih ke langkah kedua algoritma.

Sekarang kita sedang mencari pembahagi perdana terkecil p 2 daripada nombor a 1 =39. Kami mula menghitung nombor daripada jadual nombor perdana, bermula dengan p 1 =2. Bahagikan 39 dengan 2, kita dapat 39:2=19 (baki 1). Oleh kerana 39 tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2, maka 2 bukan pembahaginya. Kemudian kita ambil nombor seterusnya dari jadual nombor perdana (nombor 3) dan bahagikan 39 dengannya, kita dapat 39:3=13. Oleh itu, p 2 =3 ialah pembahagi perdana terkecil bagi nombor 39, manakala a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Kami mempunyai kesamaan a=p 1 ·p 2 ·a 2 dalam bentuk 78=2·3·13. Oleh kerana 2 =13 adalah berbeza daripada 1, kita beralih ke langkah seterusnya dalam algoritma.

Di sini kita perlu mencari pembahagi perdana terkecil bagi nombor a 2 =13. Untuk mencari pembahagi perdana terkecil p 3 daripada nombor 13, kita akan menyusun nombor secara berurutan daripada jadual nombor perdana, bermula dengan p 2 =3. Nombor 13 tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana 13:3=4 (rehat. 1), juga 13 tidak boleh dibahagikan dengan 5, 7 dan 11, kerana 13:5=2 (rehat. 3), 13:7=1 (rehat. 6) dan 13:11=1 (rehat. 2). Nombor perdana seterusnya ialah 13, dan 13 boleh dibahagi dengannya tanpa baki, oleh itu, pembahagi perdana terkecil p 3 daripada 13 ialah nombor 13 itu sendiri, dan a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Oleh kerana a 3 =1, langkah algoritma ini adalah yang terakhir, dan penguraian nombor 78 yang diperlukan kepada faktor perdana mempunyai bentuk 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Jawapan:

78=2·3·13.

Contoh.

Nyatakan nombor 83,006 sebagai hasil darab faktor perdana.

Penyelesaian.

Pada langkah pertama algoritma untuk menguraikan nombor kepada faktor perdana, kita dapati p 1 =2 dan a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, daripadanya 83,006=2·41,503.

Pada langkah kedua, kita dapati bahawa 2, 3 dan 5 bukanlah pembahagi utama bagi nombor a 1 =41,503, tetapi nombor 7 ialah, kerana 41,503:7=5,929. Kami mempunyai p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Oleh itu, 83,006=2 7 5 929.

Pembahagi perdana terkecil bagi nombor a 2 =5 929 ialah nombor 7, sejak 5 929:7 = 847. Oleh itu, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, yang mana 83 006 = 2·7·7·847.

Seterusnya kita dapati bahawa pembahagi perdana terkecil p 4 daripada nombor a 3 =847 adalah bersamaan dengan 7. Kemudian a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, jadi 83 006=2·7·7·7·121.

Sekarang kita dapati pembahagi perdana terkecil bagi nombor a 4 =121, ia ialah nombor p 5 =11 (kerana 121 boleh dibahagi dengan 11 dan tidak boleh dibahagi dengan 7). Kemudian a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, dan 83 006=2·7·7·7·11·11.

Akhir sekali, pembahagi perdana terkecil bagi nombor a 5 =11 ialah nombor p 6 =11. Kemudian a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Oleh kerana 6 =1, langkah algoritma untuk menguraikan nombor kepada faktor perdana ini adalah yang terakhir, dan penguraian yang dikehendaki mempunyai bentuk 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Keputusan yang diperoleh boleh ditulis sebagai penguraian kanonik nombor kepada faktor perdana 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Jawapan:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ialah nombor perdana. Sesungguhnya, ia tidak mempunyai pembahagi utama tunggal tidak melebihi ( boleh dianggarkan secara kasar sebagai , kerana jelas bahawa 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Jawapan:

897 924 289 = 937 967 991 .

Menggunakan ujian kebolehbahagi untuk pemfaktoran perdana

Dalam kes mudah, anda boleh menguraikan nombor kepada faktor perdana tanpa menggunakan algoritma penguraian daripada perenggan pertama artikel ini. Sekiranya bilangannya tidak besar, maka untuk menguraikannya menjadi faktor utama, selalunya cukup untuk mengetahui tanda-tanda kebolehbahagiaan. Mari kita berikan contoh untuk penjelasan.

Sebagai contoh, kita perlu memfaktorkan nombor 10 ke dalam faktor perdana. Daripada jadual pendaraban kita tahu bahawa 2·5=10, dan nombor 2 dan 5 adalah jelas perdana, jadi pemfaktoran perdana bagi nombor 10 kelihatan seperti 10=2·5.

Contoh yang lain. Menggunakan jadual pendaraban, kita akan memfaktorkan nombor 48 ke dalam faktor perdana. Kita tahu bahawa enam adalah lapan - empat puluh lapan, iaitu, 48 = 6·8. Walau bagaimanapun, 6 atau 8 bukan nombor perdana. Tetapi kita tahu bahawa dua kali tiga ialah enam, dan dua kali empat ialah lapan, iaitu, 6=2·3 dan 8=2·4. Kemudian 48=6·8=2·3·2·4. Perlu diingat bahawa dua darab dua ialah empat, maka kita mendapat penguraian yang diingini kepada faktor perdana 48 = 2·3·2·2·2. Mari kita tulis pengembangan ini dalam bentuk kanonik: 48=2 4 ·3.

Tetapi apabila memfaktorkan nombor 3,400 ke dalam faktor perdana, anda boleh menggunakan kriteria kebolehbahagi. Tanda-tanda boleh bahagi dengan 10, 100 membolehkan kita menyatakan bahawa 3,400 boleh dibahagi dengan 100, dengan 3,400=34·100, dan 100 boleh dibahagikan dengan 10, dengan 100=10·10, oleh itu, 3,400=34·10·10. Dan berdasarkan ujian kebolehbahagi dengan 2, kita boleh mengatakan bahawa setiap faktor 34, 10 dan 10 boleh dibahagikan dengan 2, kita dapat 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Semua faktor dalam pengembangan yang terhasil adalah mudah, jadi pengembangan ini adalah yang diingini. Yang tinggal hanyalah menyusun semula faktor-faktor supaya ia pergi dalam tertib menaik: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Mari kita tulis juga penguraian kanonik nombor ini ke dalam faktor perdana: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Apabila menguraikan nombor yang diberikan kepada faktor perdana, anda boleh menggunakan kedua-dua tanda kebolehbahagi dan jadual pendaraban. Mari kita bayangkan nombor 75 sebagai hasil darab faktor perdana. Ujian kebolehbahagi dengan 5 membolehkan kita menyatakan bahawa 75 boleh dibahagi dengan 5, dan kita memperoleh bahawa 75 = 5·15. Dan daripada jadual pendaraban kita tahu bahawa 15=3·5, oleh itu, 75=5·3·5. Ini ialah penguraian nombor 75 yang diperlukan kepada faktor perdana.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya. dan lain-lain.Matematik. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am.
  • Vinogradov I.M. Asas teori nombor.
  • Mikhelovich Sh.H. Teori nombor.
  • Kulikov L.Ya. dan lain-lain.Koleksi masalah dalam algebra dan teori nombor: Buku teks untuk pelajar fizik dan matematik. keistimewaan institut pedagogi.

Apakah maksud pemfaktoran? Bagaimana hendak melakukannya? Apakah yang boleh anda pelajari daripada memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana? Jawapan kepada soalan-soalan ini digambarkan dengan contoh khusus.

Definisi:

Nombor yang mempunyai tepat dua pembahagi berbeza dipanggil perdana.

Nombor yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit.

Memfaktorkan nombor asli bermakna mewakilinya sebagai hasil darab nombor asli.

Memfaktorkan nombor asli kepada faktor perdana bermakna mewakilinya sebagai hasil darab nombor perdana.

Nota:

  • Dalam penguraian nombor perdana, salah satu faktor adalah sama dengan satu, dan satu lagi adalah sama dengan nombor itu sendiri.
  • Tidak masuk akal untuk bercakap tentang perpaduan pemfaktoran.
  • Nombor komposit boleh difaktorkan ke dalam faktor, setiap satunya berbeza daripada 1.

Mari kita faktorkan nombor 150. Sebagai contoh, 150 ialah 15 kali 10.

15 ialah nombor komposit. Ia boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana bagi 5 dan 3.

10 ialah nombor komposit. Ia boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana bagi 5 dan 2.

Dengan menulis penguraian mereka ke dalam faktor perdana dan bukannya 15 dan 10, kami memperoleh penguraian nombor 150.

Nombor 150 boleh difaktorkan dengan cara lain. Sebagai contoh, 150 ialah hasil darab nombor 5 dan 30.

5 ialah nombor perdana.

30 ialah nombor komposit. Ia boleh dianggap sebagai hasil darab 10 dan 3.

10 ialah nombor komposit. Ia boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana bagi 5 dan 2.

Kami memperoleh pemfaktoran 150 kepada faktor perdana dengan cara yang berbeza.

Ambil perhatian bahawa pengembangan pertama dan kedua adalah sama. Mereka berbeza hanya dalam susunan faktor.

Ia adalah kebiasaan untuk menulis faktor dalam tertib menaik.

Setiap nombor komposit boleh difaktorkan kepada faktor perdana dengan cara yang unik, sehingga tertib faktor.

Apabila memfaktorkan nombor besar kepada faktor perdana, gunakan tatatanda lajur:

Nombor perdana terkecil yang boleh dibahagi dengan 216 ialah 2.

Bahagikan 216 dengan 2. Kita dapat 108.

Nombor 108 yang terhasil dibahagikan dengan 2.

Mari buat pembahagian. Hasilnya ialah 54.

Mengikut ujian kebolehbahagi dengan 2, nombor 54 boleh dibahagi dengan 2.

Selepas membahagi, kita mendapat 27.

Nombor 27 berakhir dengan digit ganjil 7. Ia

Tidak boleh dibahagikan dengan 2. Nombor perdana seterusnya ialah 3.

Bahagikan 27 dengan 3. Kami mendapat 9. Purata terkecil

Nombor yang 9 boleh dibahagi dengan ialah 3. Tiga itu sendiri adalah nombor perdana, ia boleh dibahagi dengan sendiri dan satu. Jom bahagi 3 dengan diri sendiri. Akhirnya kami mendapat 1.

  • Nombor hanya boleh dibahagikan dengan nombor perdana yang merupakan sebahagian daripada penguraiannya.
  • Nombor hanya boleh dibahagikan kepada nombor komposit yang penguraian menjadi faktor perdana terkandung sepenuhnya di dalamnya.

Mari lihat contoh:

4900 boleh dibahagikan dengan nombor perdana 2, 5 dan 7 (ia termasuk dalam pengembangan nombor 4900), tetapi tidak boleh dibahagikan dengan, sebagai contoh, 13.

11 550 75. Hal ini demikian kerana penguraian nombor 75 terkandung sepenuhnya dalam penguraian nombor 11550.

Hasil pembahagian akan menjadi hasil darab faktor 2, 7 dan 11.

11550 tidak boleh dibahagikan dengan 4 kerana terdapat tambahan dua dalam pengembangan empat.

Cari hasil bahagi bagi nombor a dengan nombor b, jika nombor ini diuraikan menjadi faktor perdana seperti berikut: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Penguraian nombor b terkandung sepenuhnya dalam penguraian nombor a.

Hasil pembahagian a dengan b ialah hasil darab tiga nombor yang tinggal dalam pengembangan a.

Maka jawapannya ialah: 30.

Bibliografi

  1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
  2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik darjah 6. - Gimnasium. 2006.
  3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di sebalik halaman buku teks matematik. - M.: Pendidikan, 1989.
  4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugasan untuk kursus matematik untuk gred 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
  5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. Manual untuk pelajar darjah 6 di sekolah surat menyurat MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
  6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Buku teks-teman bicara untuk 5-6 darjah sekolah menengah. - M.: Pendidikan, Perpustakaan Guru Matematik, 1989.
  1. Portal Internet Matematika-na.ru ().
  2. Portal Internet Math-portal.ru ().

Kerja rumah

  1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No 127, No 129, No 141.
  2. Tugas-tugas lain: No. 133, No. 144.

Pelajaran di darjah 6 mengenai topik

"Pemfaktoran perdana"

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

Membangunkan pemahaman tentang penguraian nombor kepada faktor perdana, keupayaan untuk menggunakan algoritma yang sepadan secara praktikal.

Untuk membangunkan kemahiran menggunakan tanda boleh bahagi apabila menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Pendidikan:

Membangunkan kemahiran pengiraan, keupayaan untuk membuat generalisasi, menganalisis, mengenal pasti corak, dan membandingkan.

Pendidikan:

Untuk memupuk perhatian, budaya pemikiran matematik, dan sikap serius terhadap kerja pendidikan.

Isi pelajaran:

1. Pengiraan lisan.

2. Pengulangan bahan yang dilindungi.

3. Penjelasan bahan baharu.

4. Membetulkan bahan.

5. Refleksi.

6. Merumuskan pelajaran.

Semasa kelas

Motivasi (penentuan nasib sendiri) untuk aktiviti pendidikan.

pengenalan:

Apa khabar semua. Topik pelajaran kami ialah "Memfaktorkan nombor menjadi faktor perdana." Anda sudah separa biasa dengannya. Dan untuk menetapkan matlamat pelajaran dengan lebih baik, kami akan berusaha sedikit secara lisan.

Ikuti langkah-langkah (secara lisan) .

Kira:

1. 15 x(325 -325) + 236x1 – 30:1 206

2. 207 – (0 x4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 – 0:60) + (150:1 -48x0) 210

4. (707:707 +211x1):1 -0:123 212

Pengulangan bahan yang dipelajari

Teruskan baris yang terhasil untuk 3 nombor

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Pilih nombor yang boleh dibahagikan daripada mereka

kepada: 2 (206; 208;210; 212;214;216;218)

oleh 3: (210;216)

pada 9: (216)

pada 5: (210)

oleh 4: (208; 212; 216)

Rumuskan tanda-tanda kebolehbahagiaan

Soalan: 1. Apakah nombor yang dipanggil perdana?

2. Apakah nombor yang dipanggil komposit?

3. Apakah jenis nombor 1?

4. Namakan semua nombor perdana dalam dua puluh pertama.

5. Berapakah bilangan nombor perdana?

6.Adakah nombor 32 perdana?

7. Adakah nombor 73 perdana?

Penjelasan bahan baru.

Jom selesaikan masalah yang sangat menarik.

Suatu ketika dahulu ada kesusahan dan seorang nenek. Mereka mempunyai ayam Ryaba. Ayam bertelur setiap ketujuh telur adalah emas, dan setiap pertiga adalah perak. Mungkinkah ini boleh dilakukan?

(Jawapan: tidak, kerana 21 biji telur boleh menjadi emas atau perak) Mengapa?

Apakah yang perlu kita pelajari di dalam kelas hari ini? (Uraikan sebarang nombor kepada faktor perdana)

Mengapa anda fikir kita memerlukan ini? (untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks dan juga mengurangkan pecahan)

Hari ini topik pelajaran kita akan membantu kita lebih memahami dan menyelesaikan masalah tersebut.

Selesaikan masalah: Anda perlu memilih plot tanah segi empat tepat dengan keluasan 18 meter persegi. m., Apakah yang boleh menjadi dimensi kawasan ini jika ia mesti dinyatakan dalam nombor asli?

Penyelesaian: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3

2. 18= 2 x 9 = 2x3x3

3. 18=3 x 6 = 3 x2x 3

Kerja dalam pasangan.

Apa yang telah kita lakukan? (Dibentangkan sebagai produk atau difaktorkan). Adakah mungkin untuk meneruskan penguraian? Tetapi sebagai? Apa yang kamu dapat?

Soalan: Bagaimana dengan pengganda ini?

Semua faktor ialah nombor perdana.

Buka buku teks Apa yang perlu saya lakukan? Siapa yang boleh menerangkan kepada saya bagaimana ini dilakukan? (Perbincangan secara berpasangan)

Menggunakan contoh yang dianalisis, kami akan menguraikan nombor 84 kepada faktor utama (algoritma penguraian):

84 2 756 2 - guru menunjukkan di papan tulis.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3

Faktorkan 756 ke dalam faktor perdananya. Bandingkan dengan penyelesaian saya. Apa yang awak perasan?

Pada halaman 194, cari jawapan kepada soalan berikut?

Sebarang nombor boleh dikembangkan menjadi hasil darab faktor perdana

satu-satunya cara.

Mengukuhkan bahan yang dipelajari .

1. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 20; 188; 254.

kami akan semak Slaid 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

Semua orang ditawarkan kad. Pelajar membuat keputusan dan menyemak dengan yang asal, yang ada di meja guru. Jika dilakukan dengan betul, berikan diri anda tanda tambah dalam jadual ringkasan. (Selesaikan dengan 3)

Kad No. 2. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 30; 136; 438.

Kad nombor 3. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 40; 125; 326.

Kad No. 4. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 50; 78; 285.

Kad No. 5. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 60; 654; 99.

Nombor kad 6. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana: 70; 65; 136.

Selepas siap kerja kita akan semak.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Pokoknya.

    Apakah yang dimaksudkan dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana?

(Untuk memfaktorkan nombor asli kepada faktor perdana bermakna mewakili nombor sebagai hasil darab nombor perdana.)

2) Adakah terdapat penguraian unik nombor asli kepada faktor perdana?

(Tidak kira bagaimana kita menguraikan nombor asli kepada faktor perdana, kita memperoleh satu-satunya penguraian; susunan faktor tidak diambil kira.)

Kerja rumah.

faktorkan sebarang 4 nombor menjadi faktor perdana.

(kecuali 0 dan 1) mempunyai sekurang-kurangnya dua pembahagi: 1 dan dirinya sendiri. Nombor yang tidak mempunyai pembahagi lain dipanggil ringkas nombor. Nombor yang mempunyai pembahagi lain dipanggil komposit(atau kompleks) nombor. Terdapat bilangan nombor perdana yang tidak terhingga. Berikut adalah nombor perdana tidak melebihi 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Pendaraban- salah satu daripada empat operasi aritmetik asas, operasi matematik binari di mana satu hujah ditambah sebanyak yang lain. Dalam aritmetik, pendaraban ialah satu bentuk ringkas untuk menambah bilangan sebutan yang sama.

Sebagai contoh, tatatanda 5*3 bermaksud "tambah tiga lima", iaitu 5+5+5. Hasil pendaraban dipanggil kerja, dan nombor yang perlu didarab ialah pengganda atau faktor. Faktor pertama kadangkala dipanggil " darab».

Setiap nombor komposit boleh difaktorkan menjadi faktor perdana. Dengan mana-mana kaedah, pengembangan yang sama diperoleh, jika anda tidak mengambil kira susunan di mana faktor ditulis.

Memfaktorkan nombor (Pemfaktoran).

Pemfaktoran (pemfaktoran)- penghitungan pembahagi - algoritma untuk pemfaktoran atau menguji keperibadian nombor dengan menyenaraikan sepenuhnya semua pembahagi berpotensi yang mungkin.

Iaitu, secara ringkas, pemfaktoran ialah nama proses pemfaktoran nombor, dinyatakan dalam bahasa saintifik.

Urutan tindakan apabila memfaktorkan faktor utama:

1. Semak sama ada nombor yang dicadangkan adalah perdana.

2. Jika tidak, maka, dipandu oleh tanda-tanda pembahagian, kami memilih pembahagi daripada nombor perdana, bermula dengan yang terkecil (2, 3, 5 ...).

3. Kami mengulangi tindakan ini sehingga hasil bahagi menjadi nombor perdana.

Setiap nombor komposit boleh diwakili secara unik sebagai hasil darab faktor perdana. Sebagai contoh,

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1050 = 2 3 5 5 7.

Untuk nombor kecil penguraian ini mudah dilakukan atas dasarJadual pendaraban. Untuk bilangan yang besar, kami mengesyorkan menggunakan kaedah berikut, yang akan kami pertimbangkan menggunakan contoh khusus. Mari kita memfaktorkan nombor 1463 menjadi faktor perdana. Untuk melakukan ini, gunakan jadual nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Kami mengisih nombor dalam jadual ini dan berhenti pada nombor yang merupakan pembahagi nombor ini. Dalam contoh kita, ini ialah 7. Bahagikan 1463 dengan 7 dan dapatkan 209. Sekarang kita ulangi proses mencari nombor perdana untuk 209 dan berhenti pada nombor 11, iaitu pembahaginya (lihat). Bahagikan 209 dengan 11 dan dapatkan 19, yang, mengikut jadual yang sama, ialah nombor perdana. Oleh itu, kami ada: