Saya berharap bahawa selepas mengkaji artikel ini, anda akan belajar untuk mencari akar yang lengkap persamaan kuadratik.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi nombor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Sebagai contoh. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial pandangan standard

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap sebutan kedua mempunyai pekali genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang kita lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini dengan pelbagai formula kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik yang lengkap.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Contohnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminasi akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), ia akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminasi dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, dengan nilai diskriminasi, anda boleh memahami rupa graf yang lebih kurang (lihat di bawah).

Diskriminasi dan punca persamaan

Nilai diskriminasi menunjukkan bilangan persamaan kuadratik:
- jika \(D\) adalah positif, persamaan akan mempunyai dua punca;
- jika \(D\) sama dengan sifar – terdapat hanya satu punca;
- jika \(D\) negatif, tiada punca.

Ini tidak perlu diajar, tidak sukar untuk membuat kesimpulan sedemikian, hanya mengetahui bahawa dari diskriminasi (iaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam formula untuk mengira punca persamaan : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\). Mari kita lihat setiap kes dengan lebih terperinci .

Sekiranya diskriminasi itu positif

Dalam kes ini, puncanya ialah beberapa nombor positif, yang bermaksud \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai makna yang berbeza, kerana dalam formula pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambah , dan pada yang kedua ia ditolak. Dan kita mempunyai dua akar yang berbeza.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Penyelesaian :

Jawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminasi adalah sifar

Berapa banyak punca yang akan ada jika diskriminasi adalah sifar? Mari beralasan.

Rumus akar kelihatan seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminasi adalah sifar, maka akarnya juga sifar. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Iaitu, nilai akar persamaan akan sama, kerana menambah atau menolak sifar tidak mengubah apa-apa.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Penyelesaian :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis pekali:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Kami mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari punca-punca persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Dapat dua akar yang sama, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara berasingan - kami menulisnya sebagai satu.

Jawab : \(x=2\)

Diskriminasi, seperti persamaan kuadratik, mula dipelajari dalam kursus algebra dalam gred 8. Anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi dan menggunakan teorem Vieta. Kaedah mengkaji persamaan kuadratik, serta formula diskriminasi, agak tidak berjaya diajarkan kepada pelajar sekolah, seperti banyak perkara dalam pendidikan sebenar. Oleh itu mereka lulus tahun sekolah, pendidikan dalam gred 9-11 menggantikan " pendidikan tinggi"dan semua orang melihat lagi - "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik?", "Bagaimana untuk mencari punca persamaan?", "Bagaimana untuk mencari diskriminasi?" Dan...

Formula diskriminasi

Diskriminasi D bagi persamaan kuadratik a*x^2+bx+c=0 adalah sama dengan D=b^2–4*a*c.
Punca (penyelesaian) persamaan kuadratik bergantung pada tanda diskriminasi (D):
D>0 - persamaan mempunyai 2 punca nyata yang berbeza;
D=0 - persamaan mempunyai 1 punca (2 punca yang sepadan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula untuk mengira diskriminasi agak mudah, begitu banyak tapak web menawarkan kalkulator diskriminasi dalam talian. Kami belum mengetahui skrip jenis ini lagi, jadi jika sesiapa tahu cara melaksanakannya, sila tulis kepada kami melalui e-mel Alamat e-mel ini dilindungi daripada spambots. Anda mesti mendayakan JavaScript untuk melihatnya. .

Formula am untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik:

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula
Jika pekali pembolehubah kuasa dua dipasangkan, maka adalah dinasihatkan untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempatnya
Dalam kes sedemikian, punca-punca persamaan ditemui menggunakan formula

Cara kedua untuk mencari punca ialah Teorem Vieta.

Teorem ini dirumuskan bukan sahaja untuk persamaan kuadratik, tetapi juga untuk polinomial. Anda boleh membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lain. Walau bagaimanapun, untuk memudahkan, mari kita pertimbangkan bahagian yang berkenaan dengan persamaan kuadratik di atas, iaitu, persamaan bentuk (a=1)
Intipati formula Vieta ialah jumlah punca persamaan adalah sama dengan pekali pembolehubah, diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas. Teorem Vieta boleh ditulis dalam formula.
Derivasi formula Vieta agak mudah. Mari kita tulis persamaan kuadratik melalui faktor mudah
Seperti yang anda lihat, segala-galanya yang bijak adalah mudah pada masa yang sama. Adalah berkesan untuk menggunakan formula Vieta apabila perbezaan modulus akar atau perbezaan modulus akar ialah 1, 2. Sebagai contoh, persamaan berikut, mengikut teorem Vieta, mempunyai punca.




Sehingga persamaan 4, analisis sepatutnya kelihatan seperti ini. Hasil darab punca persamaan ialah 6, oleh itu puncanya boleh menjadi nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah punca ialah 7 (pekali pembolehubah dengan tanda bertentangan). Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada persamaan kuadratik ialah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih punca persamaan antara pembahagi istilah bebas, menyesuaikan tanda mereka untuk memenuhi formula Vieta. Pada mulanya, ini kelihatan sukar untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada beberapa persamaan kuadratik, teknik ini akan menjadi lebih berkesan daripada mengira diskriminasi dan mencari punca persamaan kuadratik dengan cara klasik.
Seperti yang anda lihat, teori sekolah mengkaji diskriminasi dan kaedah mencari penyelesaian kepada persamaan tidak mempunyai makna praktikal - "Mengapa pelajar sekolah memerlukan persamaan kuadratik?", "Apakah maksud fizikal diskriminasi?"

Mari cuba fikirkan Apakah yang diterangkan oleh diskriminasi itu?

Dalam kursus algebra mereka mempelajari fungsi, skema untuk mengkaji fungsi dan membina graf fungsi. Daripada semua fungsi, parabola menduduki tempat yang penting, persamaannya boleh ditulis dalam bentuk
Jadi makna fizik persamaan kuadratik ialah sifar parabola, iaitu titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis Ox.
Saya meminta anda mengingati sifat-sifat parabola yang diterangkan di bawah. Masanya akan tiba untuk mengambil peperiksaan, ujian, atau peperiksaan kemasukan dan anda akan berterima kasih atas bahan rujukan. Tanda pembolehubah kuasa dua sepadan dengan sama ada cabang parabola pada graf akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar

Makna fizikal diskriminasi:

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar (D>0) parabola mempunyai dua titik persilangan dengan paksi Lembu.
Jika diskriminasi adalah sifar (D=0) maka parabola pada bucu menyentuh paksi-x.
Dan kes terakhir, apabila diskriminasi kurang daripada sifar (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Bagaimana rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Dalam istilah matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Sebagai contoh:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik di sebelah kiri ini terdapat set penuh ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Dan jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang kepada kuasa pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan sebagainya. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikannya A sifar.) Kuasa X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan yang jelas dan mudah. Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk membawa persamaan yang diberikan kepada bentuk piawai, i.e. kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Semuanya sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk mengelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, berbuat demikian!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan. Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Mencubanya. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul? Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa ralat!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini:

Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. a, b dan c.

Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; A c? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna bahawa c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan, A b !

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian temukan dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
Tidak berfungsi? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya perhatikan, dengan cara itu, X yang mana akan menjadi yang pertama dan yang mana akan menjadi yang kedua - sama sekali tidak peduli. Ia mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang formula paling umum untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? Apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan lain. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi yang dipermudahkan, adalah kebiasaan untuk dibincangkan satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. Baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, apabila hanya menyelesaikan persamaan kuadratik, konsep diskriminasi sebenarnya tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa pengetahuan makna dan formula diskriminasi tidak cukup. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan sedemikian adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersatu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Anda faham bahawa kata kunci di sini ialah dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri. Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan terangkan semuanya! Menyemak perkara terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1, menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda . Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan.

Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya b Dengan bertentangan biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali b, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul!
Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1. Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Ralat akan semakin berkurangan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai pekali pecahan, hapuskan pecahan itu! Darabkan persamaan dengan penyebut sepunya seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi identiti." Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Petua praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kita menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya adalah sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Lakukannya!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan sakit kepala anda. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya ialah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau adakah ia tidak berjaya sama sekali? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda. Semua contoh ini dipecahkan di sana. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, kita juga bercakap tentang penggunaan transformasi yang sama dalam menyelesaikan pelbagai persamaan. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.