Gandaan sepunya nombor. Kalkulator dalam talian. Mencari (mengira) GCD dan LCM

mewarna
27.09.2019

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Sebagai contoh:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Sebagai contoh, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam dalam kes ini ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apa yang berikut daripada undang-undang pengedaran nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai NOC sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor utama lebih 30 ditambah dengan faktor 5 nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagi dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. ini produk paling sedikit daripada yang mungkin (150, 250, 300...), yang mana semua nombor yang diberikan adalah gandaan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis darjah terhebat semua pembahagi utama dan darabkannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari yang terbesar dengan cepat pembahagi biasa dan gandaan sepunya terkecil bagi dua atau sebarang nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM

Cari GCD dan LOC

Menjumpai GCD dan LOC: 5806

Cara menggunakan kalkulator

  • Masukkan nombor dalam medan input
  • Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
  • klik butang "Cari GCD dan LOC".

Bagaimana untuk memasukkan nombor

  • Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
  • Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar

Apakah GCD dan NOC?

Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: Kami melihat digit terakhir: 8 - ini bermakna nombor itu boleh dibahagikan dengan dua.

2. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor

Paling dengan cara yang mudah Mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor-nombor ini dan pilih yang terbesar daripadanya.

Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

  1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
  3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menuliskan gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

  1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
  2. GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk melakukan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar diuraikan kepada faktor perdana, kemudian hasil darab faktor perdana sepunya nombor ini ditemui. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

  1. Mula-mula, mari kita memfaktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
  3. Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
  4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
  5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Mari kita teruskan perbualan tentang gandaan sepunya terkecil, yang kita mulakan dalam bahagian "LCM - gandaan sepunya terkecil, definisi, contoh." Dalam topik ini, kita akan melihat cara untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, dan kita akan melihat persoalan tentang cara mencari LCM bagi nombor negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mengira Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) melalui GCD

Kami telah pun mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara menentukan LCM melalui GCD. Pertama, mari kita fikirkan bagaimana untuk melakukan ini nombor positif.

Definisi 1

Anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar menggunakan formula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Contoh 1

Anda perlu mencari LCM bagi nombor 126 dan 70.

Penyelesaian

Mari kita ambil a = 126, b = 70. Mari kita gantikan nilai ke dalam formula untuk mengira gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Cari gcd nombor 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, oleh itu GCD (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Jawapan: LCM(126, 70) = 630.

Contoh 2

Cari nombor 68 dan 34.

Penyelesaian

GCD dalam kes ini tidak sukar dicari, kerana 68 boleh dibahagi dengan 34. Mari kita hitung gandaan sepunya terkecil menggunakan formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Jawapan: LCM(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi integer positif a dan b: jika nombor pertama boleh dibahagi dengan kedua, LCM nombor tersebut akan sama dengan nombor pertama.

Mencari LCM dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana

Sekarang mari kita lihat kaedah mencari LCM, yang berdasarkan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 2

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah mudah:

  • kita menyusun hasil darab semua faktor perdana bagi nombor yang kita perlukan untuk mencari LCM;
  • kami mengecualikan semua faktor utama daripada produk terhasilnya;
  • produk yang diperoleh selepas menghapuskan faktor perdana sepunya akan sama dengan LCM nombor yang diberikan.

Kaedah mencari gandaan sepunya terkecil ini adalah berdasarkan kesamaan LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jika anda melihat formula, ia akan menjadi jelas: hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian dua nombor ini. Dalam kes ini, gcd bagi dua nombor adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir secara serentak dalam pemfaktoran kedua-dua nombor ini.

Contoh 3

Kami mempunyai dua nombor 75 dan 210. Kita boleh memfaktorkannya seperti berikut: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika anda mengarang hasil darab semua faktor bagi dua nombor asal, anda akan mendapat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor sepunya kepada kedua-dua nombor 3 dan 5, kita mendapat hasil darab dalam bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk nombor 75 dan 210.

Contoh 4

Cari LCM nombor 441 Dan 700 , memfaktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana.

Penyelesaian

Mari kita cari semua faktor perdana bagi nombor yang diberikan dalam keadaan:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapat dua rantai nombor: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7.

Hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian nombor ini akan mempunyai bentuk: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari cari faktor biasa. Ini adalah nombor 7. Mari kecualikan ia daripada jumlah produk: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Jawapan: LOC(441, 700) = 44,100.

Mari kita berikan satu lagi rumusan kaedah untuk mencari LCM dengan menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 3

Sebelum ini, kami mengecualikan daripada jumlah bilangan faktor yang sama kepada kedua-dua nombor. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeza:

  • Mari kita faktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana:
  • tambah kepada hasil darab faktor perdana nombor pertama dengan faktor yang hilang bagi nombor kedua;
  • kami memperoleh produk, yang akan menjadi LCM yang dikehendaki bagi dua nombor.

Contoh 5

Mari kembali ke nombor 75 dan 210, yang mana kita sudah mencari LCM dalam salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan kepada faktor mudah: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Kepada hasil darab faktor 3, 5 dan 5 nombor 75 menambah faktor yang hilang 2 Dan 7 nombor 210. Kita mendapatkan: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ini ialah LCM bagi nombor 75 dan 210.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mengira LCM bagi nombor 84 dan 648.

Penyelesaian

Mari kita faktorkan nombor daripada keadaan menjadi faktor mudah: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Mari tambahkan pada hasil darab faktor 2, 2, 3 dan 7 nombor 84 hilang faktor 2, 3, 3 dan
3 nombor 648. Kami mendapat produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.

Jawapan: LCM(84, 648) = 4,536.

Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor

Tidak kira berapa banyak nombor yang kita hadapi, algoritma tindakan kita akan sentiasa sama: kita akan mencari LCM bagi dua nombor secara berurutan. Terdapat teorem untuk kes ini.

Teorem 1

Mari kita andaikan kita mempunyai integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nombor ini didapati dengan mengira secara berurutan m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorem boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu mengira gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor 140, 9, 54 dan 250 .

Penyelesaian

Mari kita perkenalkan notasi: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Mari kita mulakan dengan mengira m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Mari gunakan algoritma Euclidean untuk mengira GCD bagi nombor 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Kami mendapat: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Oleh itu, m 2 = 1,260.

Sekarang mari kita hitung menggunakan algoritma yang sama m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Semasa pengiraan kita memperoleh m 3 = 3 780.

Kita hanya perlu mengira m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Kami mengikuti algoritma yang sama. Kami mendapat m 4 = 94 500.

LCM bagi empat nombor daripada keadaan contoh ialah 94500.

Jawapan: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Seperti yang anda lihat, pengiraan adalah mudah, tetapi agak intensif buruh. Untuk menjimatkan masa, anda boleh pergi dengan cara lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada anda algoritma tindakan berikut:

  • kita menguraikan semua nombor kepada faktor perdana;
  • kepada hasil darab faktor nombor pertama kita tambah faktor yang hilang daripada hasil darab nombor kedua;
  • kepada produk yang diperoleh pada peringkat sebelumnya kami menambah faktor yang hilang bagi nombor ketiga, dsb.;
  • produk yang terhasil akan menjadi gandaan sepunya terkecil semua nombor daripada keadaan.

Contoh 8

Anda perlu mencari LCM bagi lima nombor 84, 6, 48, 7, 143.

Penyelesaian

Mari faktorkan semua lima nombor menjadi faktor perdana: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nombor perdana, iaitu nombor 7, tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana. Nombor sedemikian bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor perdana.

Sekarang mari kita ambil hasil darab faktor perdana 2, 2, 3 dan 7 bagi nombor 84 dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang bagi nombor kedua. Kami menguraikan nombor 6 kepada 2 dan 3. Faktor ini sudah ada dalam hasil darab nombor pertama. Oleh itu, kami meninggalkan mereka.

Kami terus menambah pengganda yang hilang. Mari kita beralih kepada nombor 48, dari hasil darab faktor utamanya kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita menambah faktor perdana 7 daripada nombor keempat dan faktor 11 dan 13 daripada nombor kelima. Kami dapat: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ini ialah gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor asal.

Jawapan: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor negatif

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil nombor negatif, nombor ini mesti diganti terlebih dahulu dengan nombor dengan tanda bertentangan, dan kemudian pengiraan mesti dijalankan menggunakan algoritma di atas.

Contoh 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) dan LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Tindakan sedemikian dibenarkan kerana jika kita menerimanya a Dan − a- nombor berlawanan,
kemudian set gandaan nombor a sepadan dengan set gandaan nombor − a.

Contoh 10

Ia adalah perlu untuk mengira LCM nombor negatif − 145 Dan − 45 .

Penyelesaian

Mari kita ganti nombor − 145 Dan − 45 kepada nombor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kami mengira LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, setelah sebelumnya menentukan GCD menggunakan algoritma Euclidean.

Kami mendapat bahawa LCM nombor ialah - 145 dan − 45 sama 1 305 .

Jawapan: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Untuk memahami cara mengira LCM, anda mesti terlebih dahulu menentukan maksud istilah "berbilang".


Gandaan A ialah nombor asli yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki. Oleh itu, nombor gandaan 5 boleh dianggap 15, 20, 25, dan seterusnya.


Terdapat bilangan pembahagi yang terhad bagi nombor tertentu, tetapi terdapat bilangan gandaan yang tidak terhingga.


Gandaan sepunya bagi nombor asli ialah nombor yang boleh dibahagi dengannya tanpa meninggalkan baki.

Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor

Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor (dua, tiga atau lebih) ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan semua nombor ini.


Untuk mencari LOC, anda boleh menggunakan beberapa kaedah.


Untuk nombor kecil, adalah mudah untuk menulis semua gandaan nombor ini pada satu baris sehingga anda menemui sesuatu yang biasa di kalangan mereka. Gandaan dilambangkan dengan huruf besar K.


Sebagai contoh, gandaan 4 boleh ditulis seperti ini:


K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K (6) = (12, 18, 24, ...)


Oleh itu, anda boleh melihat bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 4 dan 6 ialah nombor 24. Tatatanda ini dilakukan seperti berikut:


LCM(4, 6) = 24


Jika nombornya besar, cari gandaan sepunya bagi tiga atau lebih nombor, maka lebih baik menggunakan kaedah pengiraan LCM yang lain.


Untuk menyelesaikan tugasan, anda perlu memfaktorkan nombor yang diberikan ke dalam faktor perdana.


Mula-mula anda perlu menulis penguraian nombor terbesar pada baris, dan di bawahnya - selebihnya.


Penguraian setiap nombor mungkin mengandungi bilangan faktor yang berbeza.


Sebagai contoh, mari kita memfaktorkan nombor 50 dan 20 ke dalam faktor perdana.




Dalam pengembangan nombor yang lebih kecil, anda harus menyerlahkan faktor yang tiada dalam pengembangan nombor terbesar pertama, dan kemudian menambahnya padanya. Dalam contoh yang dibentangkan, dua hilang.


Kini anda boleh mengira gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 50.


LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Oleh itu, hasil darab faktor perdana bagi nombor yang lebih besar dan faktor nombor kedua yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor yang lebih besar akan menjadi gandaan sepunya terkecil.


Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, anda harus memfaktorkan kesemuanya ke dalam faktor perdana, seperti dalam kes sebelumnya.


Sebagai contoh, anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Oleh itu, hanya dua dua daripada pengembangan enam belas tidak termasuk dalam pemfaktoran nombor yang lebih besar (satu adalah dalam pengembangan dua puluh empat).


Oleh itu, mereka perlu ditambah kepada pengembangan bilangan yang lebih besar.


LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Terdapat kes khas untuk menentukan gandaan sepunya terkecil. Jadi, jika salah satu nombor boleh dibahagikan tanpa baki dengan yang lain, maka yang lebih besar daripada nombor ini akan menjadi gandaan sepunya terkecil.


Sebagai contoh, LCM bagi dua belas dan dua puluh empat ialah dua puluh empat.


Jika perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi yang sama, maka LCM mereka akan sama dengan hasil darabnya.


Contohnya, LCM (10, 11) = 110.

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Sebagai contoh:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Sebagai contoh, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam kes ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apakah yang berikut daripada hukum taburan nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana bagi nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan menjadi nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. Ini adalah hasil terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang merupakan gandaan semua nombor yang diberikan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis kuasa terbesar dari semua pembahagi utama dan melipatgandakannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.