Persamaan rasional darjah lebih besar daripada 2. Pelajaran video “Persamaan rasional

Kami telah pun mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik. Sekarang mari kita lanjutkan kaedah yang dikaji kepada persamaan rasional.

Apakah ungkapan rasional? Kami telah pun menemui konsep ini. Ungkapan rasional ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, kuasanya dan simbol operasi matematik.

Sehubungan itu, persamaan rasional ialah persamaan dalam bentuk: , di mana - ungkapan rasional.

Sebelum ini, kami hanya mempertimbangkan persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan linear. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan kuadratik.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Suatu pecahan adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapat sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik. Sebelum menyelesaikannya, mari kita bahagikan semua pekalinya dengan 3. Kita dapat:

Kami mendapat dua punca: ; .

Oleh kerana 2 tidak pernah sama dengan 0, dua syarat mesti dipenuhi: . Oleh kerana tiada punca persamaan yang diperolehi di atas bertepatan dengan nilai tidak sah bagi pembolehubah yang diperoleh semasa menyelesaikan ketaksamaan kedua, kedua-duanya adalah penyelesaian kepada persamaan ini.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma penyelesaian persamaan rasional:

1. Gerakkan semua sebutan ke sebelah kiri supaya bahagian kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan mudahkan bahagian kiri, kurangkan semua pecahan kepada penyebut biasa.

3. Samakan pecahan yang terhasil kepada 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan punca-punca yang diperolehi dalam persamaan pertama dan penuhi ketaksamaan kedua dalam jawapan.

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian

Pada mulanya, kami mengalihkan semua istilah ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan. Kami mendapat:

Sekarang mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut biasa:

Persamaan ini bersamaan dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik.

Pekali persamaan ini: . Kami mengira diskriminasi:

Kami mendapat dua punca: ; .

Sekarang mari kita selesaikan ketaksamaan kedua: hasil darab faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tiada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat mesti dipenuhi: . Kami mendapati bahawa daripada dua punca persamaan pertama, hanya satu yang sesuai - 3.

Jawapan:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingati apa itu ungkapan rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional, yang mengurangkan kepada persamaan kuadratik.

Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi sebenar, dan juga melihat masalah pergerakan.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Pendidikan, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, darjah 8. Tutorial untuk institusi pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.

1. Perayaan idea pedagogi "Pelajaran awam" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Kerja rumah

Dalam artikel ini saya akan tunjukkan kepada anda algoritma untuk menyelesaikan tujuh jenis persamaan rasional, yang boleh dikurangkan kepada kuadratik dengan menukar pembolehubah. Dalam kebanyakan kes, transformasi yang membawa kepada penggantian adalah sangat tidak penting, dan agak sukar untuk meneka tentangnya sendiri.

Untuk setiap jenis persamaan, saya akan menerangkan cara membuat perubahan pembolehubah di dalamnya, dan kemudian menunjukkan penyelesaian terperinci dalam tutorial video yang sepadan.

Anda mempunyai peluang untuk terus menyelesaikan persamaan itu sendiri, dan kemudian semak penyelesaian anda dengan pelajaran video.

Jadi, mari kita mulakan.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Perhatikan bahawa di sebelah kiri persamaan terdapat hasil darab empat kurungan, dan di sebelah kanan terdapat nombor.

1. Mari kumpulkan kurungan dengan dua supaya jumlah sebutan bebas adalah sama.

2. Perbanyakkan mereka.

3. Mari kita perkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan kami, kami akan mengumpulkan kurungan pertama dengan yang ketiga, dan yang kedua dengan yang keempat, kerana (-1)+(-4)=(-7)+2:

Pada ketika ini penggantian pembolehubah menjadi jelas:

Kami mendapat persamaan

Jawapan:

2 .

Persamaan jenis ini adalah serupa dengan yang sebelumnya dengan satu perbezaan: di sebelah kanan persamaan ialah hasil darab nombor dan . Dan ia diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza:

1. Kami mengumpulkan kurungan dengan dua supaya hasil darab istilah bebas adalah sama.

2. Darab setiap pasangan kurungan.

3. Kami mengambil x daripada setiap faktor.

4. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan .

5. Kami memperkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan ini, kami mengumpulkan kurungan pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kerana:

Ambil perhatian bahawa dalam setiap kurungan pekali pada dan sebutan bebas adalah sama. Mari kita ambil faktor daripada setiap kurungan:

Oleh kerana x=0 bukan punca persamaan asal, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan . Kita mendapatkan:

Kami mendapat persamaan:

Jawapan:

3 .

Perhatikan bahawa penyebut kedua-dua pecahan ialah trinomial segi empat sama, yang mana pekali pendahuluan dan jangka bebas adalah sama. Mari kita keluarkan x daripada kurungan, seperti dalam persamaan jenis kedua. Kita mendapatkan:

Bahagikan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan x:

Sekarang kita boleh memperkenalkan penggantian berubah-ubah:

Kami memperoleh persamaan untuk pembolehubah t:

4 .

Perhatikan bahawa pekali persamaan adalah simetri sehubungan dengan pusat. Persamaan ini dipanggil boleh dikembalikan .

Untuk menyelesaikannya,

1. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (Kita boleh lakukan ini kerana x=0 bukan punca persamaan.) Kita dapat:

2. Mari kumpulkan istilah dengan cara ini:

3. Dalam setiap kumpulan, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

4. Mari perkenalkan pengganti:

5. Ungkapkan melalui t ungkapan:

Dari sini

Kami mendapat persamaan untuk t:

Jawapan:

5. Persamaan homogen.

Persamaan yang mempunyai struktur homogen boleh ditemui semasa menyelesaikan eksponen, logaritma dan persamaan trigonometri, jadi anda perlu dapat mengenalinya.

Persamaan homogen mempunyai struktur berikut:

Dalam kesamaan ini, A, B dan C ialah nombor, dan segi empat sama dan bulatan menandakan ungkapan yang sama. Iaitu, di sebelah kiri persamaan homogen terdapat jumlah monomial yang mempunyai darjah yang sama (dalam dalam kes ini darjah monomial ialah 2), dan tiada istilah bebas.

Untuk menyelesaikan persamaan homogen, bahagikan kedua-dua belah dengan

Perhatian! Apabila membahagikan sisi kanan dan kiri persamaan dengan ungkapan yang mengandungi yang tidak diketahui, anda boleh kehilangan punca. Oleh itu, adalah perlu untuk menyemak sama ada punca-punca ungkapan yang kita bahagikan kedua-dua belah persamaan adalah punca-punca persamaan asal.

Jom jalan dulu. Kami mendapat persamaan:

Sekarang kami memperkenalkan penggantian berubah-ubah:

Mari kita permudahkan ungkapan dan dapatkan persamaan biquadratik untuk t:

Jawapan: atau

7 .

Persamaan ini mempunyai struktur berikut:

Untuk menyelesaikannya, anda perlu memilih segi empat sama lengkap di sebelah kiri persamaan.

Untuk memilih segi empat sama penuh, anda perlu menambah atau menolak dua kali ganda produk. Kemudian kita mendapat kuasa dua jumlah atau perbezaan. Ini penting untuk penggantian pembolehubah yang berjaya.

Mari kita mulakan dengan mencari dua kali ganda produk. Ini akan menjadi kunci untuk menggantikan pembolehubah. Dalam persamaan kami, dua kali hasil darab adalah sama dengan

Sekarang mari kita fikirkan apa yang lebih mudah untuk kita miliki - kuasa dua jumlah atau perbezaan. Mari kita pertimbangkan dahulu jumlah ungkapan:

Hebat! Ungkapan ini betul-betul sama dengan dua kali ganda produk. Kemudian, untuk mendapatkan kuasa dua jumlah dalam kurungan, anda perlu menambah dan menolak hasil darab:

\(\bullet\) Persamaan rasional ialah persamaan yang diwakili dalam bentuk \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] dengan \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomial (jumlah "X" dalam pelbagai kuasa, didarab dengan pelbagai nombor).
Ungkapan di sebelah kiri persamaan dipanggil ungkapan rasional.
ODZ (wilayah nilai yang boleh diterima) bagi persamaan rasional ialah semua nilai \(x\) yang penyebutnya TIDAK hilang, iaitu, \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Contohnya, persamaan \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] adalah persamaan rasional.
Dalam persamaan pertama, ODZ adalah semua \(x\) sehingga \(x\ne 3\) (tulis \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); dalam persamaan kedua – ini semua adalah \(x\) supaya \(x\ne -1; x\ne 1\) (tulis \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); dan dalam persamaan ketiga tiada sekatan pada ODZ, iaitu, ODZ adalah semua \(x\) (mereka menulis \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teorem:
1) Hasil darab dua faktor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika satu daripadanya sama dengan sifar, dan satu lagi tidak kehilangan makna, oleh itu, persamaan \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) adalah bersamaan dengan sistem \[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right.\\ \ teks(persamaan ODZ)\tamat(kes)\] 2) Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar, oleh itu, persamaan \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) adalah bersamaan dengan sistem persamaan \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Mari lihat beberapa contoh.

1) Selesaikan persamaan \(x+1=\dfrac 2x\) . Mari kita cari ODZ bagi persamaan ini - ini ialah \(x\ne 0\) (kerana \(x\) berada dalam penyebut).
Ini bermakna ODZ boleh ditulis seperti berikut: .
Mari kita pindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian dan bawakannya ke penyebut yang sama: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( kes) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Penyelesaian kepada persamaan pertama sistem ialah \(x=-2, x=1\) . Kami melihat bahawa kedua-dua akar adalah bukan sifar. Oleh itu, jawapannya ialah: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Selesaikan persamaan \(\kiri(\dfrac4x - 2\kanan)\cdot (x^2-x)=0\). Mari cari ODZ bagi persamaan ini. Kami melihat bahawa satu-satunya nilai \(x\) yang bahagian kirinya tidak masuk akal ialah \(x=0\) . Jadi, ODZ boleh ditulis seperti ini: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Oleh itu, persamaan ini bersamaan dengan sistem:

\[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\\ x\ne 0 \end(huruf) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\mula(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(berkumpul) \mulakan(diselaraskan) &x=2\\ &x=1 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\] Sesungguhnya, walaupun fakta bahawa \(x=0\) ialah punca faktor kedua, jika anda menggantikan \(x=0\) ke dalam persamaan asal, maka ia tidak akan masuk akal, kerana ungkapan \(\dfrac 40\) tidak ditakrifkan.
Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah \(x\in \(1;2\)\) .

3) Selesaikan persamaan \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Dalam persamaan kita \(4x^2-1\ne 0\) , dari mana \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , iaitu, \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri dan bawanya ke penyebut biasa:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Anak panah kiri \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul) \begin( sejajar) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(berkumpul) \kanan.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Anak panah kiri \quad x=-3\)

Jawapan: \(x\in \(-3\)\) .

Komen. Jika jawapan terdiri daripada set nombor terhingga, maka ia boleh ditulis dipisahkan dengan koma bertitik dalam kurungan kerinting, seperti yang ditunjukkan dalam contoh sebelumnya.

Masalah yang memerlukan penyelesaian persamaan rasional dihadapi setiap tahun dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi apabila bersiap sedia untuk lulus ujian pensijilan, graduan semestinya mengulang teori mengenai topik ini sendiri. Graduan yang mengambil kedua-dua peringkat asas dan pengkhususan peperiksaan mesti dapat menangani tugas tersebut. Setelah menguasai teori dan menangani latihan praktikal mengenai topik "Persamaan Rasional," pelajar akan dapat menyelesaikan masalah dengan sebarang bilangan tindakan dan mengharapkan untuk menerima markah kompetitif pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Bagaimana untuk menyediakan peperiksaan menggunakan portal pendidikan Shkolkovo?

Kadang-kadang mencari sumber yang membentangkan sepenuhnya teori asas untuk menyelesaikan masalah matematik ternyata agak sukar. Buku teks mungkin tidak ada di tangan. Dan mencari formula yang diperlukan kadangkala agak sukar walaupun di Internet.

Portal pendidikan Shkolkovo akan membebaskan anda daripada keperluan untuk mencari bahan yang diperlukan dan akan membantu anda bersedia dengan baik untuk lulus ujian pensijilan.

Semua teori yang diperlukan mengenai topik "Persamaan Rasional" pakar kami menyediakan dan dibentangkan dalam bentuk yang paling mudah diakses. Selepas mengkaji maklumat yang disampaikan, pelajar akan dapat mengisi kekosongan pengetahuan.

Untuk berjaya bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, graduan bukan sahaja perlu menyegarkan ingatan mereka tentang bahan teori asas mengenai topik "Persamaan Rasional", tetapi juga untuk berlatih menyelesaikan tugas pada contoh khusus. Pilihan yang banyak tugasan dibentangkan dalam bahagian "Katalog".

Untuk setiap latihan di tapak, pakar kami telah menulis algoritma penyelesaian dan menunjukkan jawapan yang betul. Pelajar boleh berlatih menyelesaikan masalah yang berbeza-beza tahap kesukaran bergantung pada tahap kemahiran mereka. Senarai tugas dalam bahagian yang sepadan sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Kaji bahan teori dan asah kemahiran menyelesaikan masalah mengenai topik "Persamaan Rasional", sama seperti yang termasuk dalam Ujian Peperiksaan Negeri Bersatu, boleh dilakukan secara online. Jika perlu, mana-mana tugasan yang dibentangkan boleh ditambah ke bahagian "Kegemaran". Setelah sekali lagi mengulangi teori asas mengenai topik "Persamaan Rasional," seorang pelajar sekolah menengah akan dapat kembali kepada masalah itu pada masa hadapan untuk membincangkan kemajuan penyelesaiannya dengan guru dalam pelajaran algebra.

"Persamaan rasional dengan polinomial" ialah salah satu topik yang paling kerap ditemui dalam ujian Tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu matematik. Atas sebab ini, mereka patut diulang Perhatian istimewa. Ramai pelajar berhadapan dengan masalah mencari diskriminasi, memindahkan penunjuk dari sebelah kanan ke kiri dan membawa persamaan kepada penyebut biasa, sebab itu menyelesaikan tugasan tersebut menyebabkan kesukaran. Menyelesaikan persamaan rasional sebagai persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu di laman web kami akan membantu anda dengan cepat mengatasi masalah apa-apa kerumitan dan lulus ujian dengan cemerlang.

Pilih portal pendidikan Shkolkovo untuk berjaya bersedia untuk Peperiksaan Matematik Bersepadu!

Untuk mengetahui peraturan pengiraan yang tidak diketahui dan mudah diperoleh keputusan yang betul, gunakan perkhidmatan dalam talian kami. Portal Shkolkovo adalah platform unik yang mengandungi semua yang perlu untuk disediakan Bahan Peperiksaan Negeri Bersatu. Guru-guru kami menyusun dan membentangkan semua peraturan matematik dalam bentuk yang boleh difahami. Di samping itu, kami menjemput pelajar sekolah untuk mencuba tangan mereka dalam menyelesaikan persamaan rasional piawai, yang asasnya sentiasa dikemas kini dan diperluaskan.

Untuk persediaan yang lebih berkesan untuk ujian, kami mengesyorkan mengikuti kaedah khas kami dan bermula dengan mengulangi peraturan dan menyelesaikan masalah mudah, secara beransur-ansur beralih kepada yang lebih kompleks. Oleh itu, graduan akan dapat mengenal pasti topik yang paling sukar untuk dirinya sendiri dan memberi tumpuan kepada mempelajarinya.

Mulakan persediaan untuk ujian akhir dengan Shkolkovo hari ini, dan hasilnya tidak lama lagi! Pilih yang paling banyak contoh mudah daripada yang dicadangkan. Jika anda menguasai ungkapan dengan cepat, teruskan ke lebih banyak lagi tugas yang susah. Dengan cara ini anda boleh meningkatkan pengetahuan anda sehingga ke tahap menyelesaikan tugasan USE dalam matematik pada tahap khusus.

Latihan disediakan bukan sahaja untuk graduan dari Moscow, tetapi juga kepada pelajar sekolah dari bandar lain. Luangkan beberapa jam sehari untuk belajar di portal kami, sebagai contoh, dan tidak lama lagi anda akan dapat mengatasi persamaan apa-apa kerumitan!

Penyebut sepunya terendah digunakan untuk memudahkan persamaan ini. Kaedah ini digunakan apabila anda tidak boleh menulis persamaan yang diberikan dengan satu ungkapan rasional pada setiap sisi persamaan (dan gunakan kaedah pendaraban silang silang). Kaedah ini digunakan apabila anda diberi persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kes dua pecahan, lebih baik menggunakan pendaraban silang silang).