Bagaimana untuk meruntuhkan trinomial kuadratik. Contoh polinomial pemfaktoran

Memperluas polinomial untuk mendapatkan produk kadangkala kelihatan mengelirukan. Tetapi ia tidak begitu sukar jika anda memahami proses langkah demi langkah. Artikel ini menerangkan secara terperinci cara memfaktorkan trinomial kuadratik.

Ramai orang tidak faham cara memfaktorkan trinomial segi empat sama, dan mengapa ini dilakukan. Pada mulanya ia mungkin kelihatan seperti latihan yang sia-sia. Tetapi dalam matematik tiada apa yang dilakukan dengan sia-sia. Transformasi adalah perlu untuk memudahkan ungkapan dan kemudahan pengiraan.

Polinomial bentuk – ax²+bx+c, dipanggil trinomial kuadratik. Istilah "a" mestilah negatif atau positif. Dalam amalan, ungkapan ini dipanggil persamaan kuadratik. Oleh itu, kadang-kadang mereka mengatakannya secara berbeza: bagaimana untuk mengurai persamaan kuadratik.

Menarik! Polinomial dipanggil segi empat sama kerana sangat sebahagian besarnya– segi empat sama. Dan trinomial - kerana 3 komponen.

Beberapa jenis polinomial lain:

• binomial linear (6x+8);
• kuadrinomial padu (x³+4x²-2x+9).

Memfaktorkan trinomial kuadratik

Pertama, ungkapan itu sama dengan sifar, maka anda perlu mencari nilai akar x1 dan x2. Mungkin tiada akar, mungkin ada satu atau dua akar. Kehadiran akar ditentukan oleh diskriminasi. Anda perlu mengetahui formulanya mengikut hati: D=b²-4ac.

Jika keputusan D adalah negatif, tiada punca. Jika positif, terdapat dua punca. Jika hasilnya sifar, puncanya adalah satu. Akar juga dikira menggunakan formula.

Jika, apabila mengira diskriminasi, hasilnya adalah sifar, anda boleh menggunakan mana-mana formula. Dalam amalan, formula dipendekkan secara ringkas: -b / 2a.

Formula untuk makna yang berbeza diskriminasi berbeza.

Jika D positif:

Jika D ialah sifar:

Kalkulator dalam talian

Di Internet ada kalkulator dalam talian. Ia boleh digunakan untuk melakukan pemfaktoran. Sesetengah sumber memberi peluang untuk melihat penyelesaian langkah demi langkah. Perkhidmatan sedemikian membantu untuk memahami topik dengan lebih baik, tetapi anda perlu cuba memahaminya dengan baik.

Video berguna: Memfaktorkan trinomial kuadratik

Contoh

Kami menjemput anda untuk melihat contoh mudah, bagaimana memfaktorkan persamaan kuadratik.

Contoh 1

Ini jelas menunjukkan bahawa keputusan adalah dua x kerana D adalah positif. Mereka perlu digantikan ke dalam formula. Jika akarnya menjadi negatif, tanda dalam formula berubah kepada sebaliknya.

Kita tahu formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik: a(x-x1)(x-x2). Kami meletakkan nilai dalam kurungan: (x+3)(x+2/3). Tiada nombor sebelum penggal dalam kuasa. Ini bermakna ada satu di sana, ia turun.

Contoh 2

Contoh ini jelas menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang mempunyai satu punca.

Kami menggantikan nilai yang terhasil:

Contoh 3

Diberi: 5x²+3x+7

Pertama, mari kita mengira diskriminasi, seperti dalam kes sebelumnya.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminasi adalah negatif, yang bermaksud tidak ada akar.

Selepas menerima keputusan, anda harus membuka kurungan dan menyemak hasilnya. Trinomial asal sepatutnya muncul.

Penyelesaian alternatif

Sesetengah orang tidak pernah dapat berkawan dengan diskriminasi. Terdapat satu lagi cara untuk memfaktorkan trinomial kuadratik. Untuk kemudahan, kaedah ditunjukkan dengan contoh.

Diberi: x²+3x-10

Kami tahu bahawa kami harus mendapat 2 kurungan: (_)(_). Apabila ungkapan kelihatan seperti ini: x²+bx+c, pada permulaan setiap kurungan kita letakkan x: (x_)(x_). Dua nombor yang tinggal adalah hasil darab yang memberikan "c", iaitu dalam kes ini -10. Satu-satunya cara untuk mengetahui nombor ini adalah dengan pemilihan. Nombor yang digantikan mesti sepadan dengan sebutan yang tinggal.

Sebagai contoh, mendarab nombor berikut memberikan -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Tidak.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Tidak.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Tidak.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. sesuai.

Ini bermakna bahawa penjelmaan ungkapan x2+3x-10 kelihatan seperti ini: (x-2)(x+5).

Penting! Anda harus berhati-hati untuk tidak mengelirukan tanda-tanda.

Pengembangan trinomial kompleks

Jika "a" lebih besar daripada satu, kesukaran bermula. Tetapi semuanya tidaklah sesukar yang disangka.

Untuk memfaktorkan, anda perlu terlebih dahulu melihat sama ada sesuatu boleh difaktorkan.

Contohnya, diberikan ungkapan: 3x²+9x-30. Di sini nombor 3 dikeluarkan daripada kurungan:

3(x²+3x-10). Hasilnya ialah trinomial yang sudah terkenal. Jawapannya kelihatan seperti ini: 3(x-2)(x+5)

Bagaimana hendak mengurai jika sebutan yang terdapat dalam segi empat sama adalah negatif? DALAM dalam kes ini Nombor -1 dikeluarkan daripada kurungan. Contohnya: -x²-10x-8. Ungkapan itu kemudiannya akan kelihatan seperti ini:

Skim ini berbeza sedikit daripada yang sebelumnya. Cuma ada beberapa perkara baru. Katakan ungkapan diberikan: 2x²+7x+3. Jawapan juga ditulis dalam 2 kurungan yang perlu diisi (_)(_). Dalam kurungan ke-2 ditulis x, dan pada 1 apa yang tinggal. Ia kelihatan seperti ini: (2x_)(x_). Jika tidak, skema sebelumnya diulang.

Nombor 3 diberikan oleh nombor:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Kami menyelesaikan persamaan dengan menggantikan nombor ini. Pilihan terakhir adalah sesuai. Ini bermakna bahawa penjelmaan ungkapan 2x²+7x+3 kelihatan seperti ini: (2x+1)(x+3).

Kes lain

Ia tidak selalu mungkin untuk menukar ungkapan. Dengan kaedah kedua, menyelesaikan persamaan tidak diperlukan. Tetapi kemungkinan mengubah istilah menjadi produk disemak hanya melalui diskriminasi.

Adalah berbaloi untuk berlatih menyelesaikan persamaan kuadratik supaya apabila menggunakan formula tidak ada kesukaran.

Video berguna: memfaktorkan trinomial

Kesimpulan

Anda boleh menggunakannya dalam apa cara sekalipun. Tetapi lebih baik untuk mengamalkan kedua-duanya sehingga ia menjadi automatik. Selain itu, mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik dengan baik dan polinomial faktor adalah perlu bagi mereka yang merancang untuk menghubungkan kehidupan mereka dengan matematik. Semua topik matematik berikut dibina atas perkara ini.

hidup pelajaran ini Kita akan belajar cara memfaktorkan trinomial kuadratik kepada faktor linear. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingati teorem Vieta dan sebaliknya. Kemahiran ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah mengembangkan trinomial kuadratik kepada faktor linear, dan juga akan memudahkan pengurangan pecahan yang terdiri daripada ungkapan.

Jadi mari kita kembali kepada persamaan kuadratik, di mana .

Apa yang kita ada di sebelah kiri dipanggil trinomial kuadratik.

Teorem adalah benar: Jika ialah punca trinomial kuadratik, maka identiti itu dipegang

Di manakah pekali pendahuluan, ialah punca-punca persamaan.

Jadi, kita mempunyai persamaan kuadratik - trinomial kuadratik, di mana punca-punca persamaan kuadratik juga dipanggil punca trinomial kuadratik. Oleh itu, jika kita mempunyai punca trinomial segi empat sama, maka trinomial ini boleh diuraikan kepada faktor linear.

Bukti:

Bukti fakta ini dilakukan menggunakan teorem Vieta, yang telah kita bincangkan dalam pelajaran sebelumnya.

Mari kita ingat apa yang teorem Vieta memberitahu kita:

Jika ialah punca bagi trinomial kuadratik yang , maka .

Pernyataan berikut berikut daripada teorem ini:

Kami melihat bahawa, mengikut teorem Vieta, iaitu, dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula di atas, kami memperoleh ungkapan berikut

Q.E.D.

Ingat bahawa kita telah membuktikan teorem bahawa jika adalah punca-punca trinomial segi empat sama, maka pengembangan adalah sah.

Sekarang mari kita ingat contoh persamaan kuadratik, yang mana kita memilih punca menggunakan teorem Vieta. Daripada fakta ini kita boleh memperoleh persamaan berikut terima kasih kepada teorem terbukti:

Sekarang mari kita semak ketepatan fakta ini dengan hanya membuka kurungan:

Kami melihat bahawa kami memfaktorkan dengan betul, dan mana-mana trinomial, jika ia mempunyai akar, boleh difaktorkan mengikut teorem ini kepada faktor linear mengikut formula.

Walau bagaimanapun, mari kita semak sama ada pemfaktoran sedemikian mungkin untuk sebarang persamaan:

Ambil, sebagai contoh, persamaan. Mula-mula, mari kita semak tanda diskriminasi

Dan kita ingat bahawa untuk memenuhi teorem yang kita pelajari, D mesti lebih besar daripada 0, jadi dalam kes ini, pemfaktoran mengikut teorem yang kita pelajari adalah mustahil.

Oleh itu, kami merumuskan teorem baharu: jika trinomial segi empat sama tidak mempunyai punca, maka ia tidak boleh diuraikan kepada faktor linear.

Jadi, kita telah melihat teorem Vieta, kemungkinan menguraikan trinomial kuadratik kepada faktor linear, dan kini kita akan menyelesaikan beberapa masalah.

Tugasan No 1

Dalam kumpulan ini kita sebenarnya akan menyelesaikan masalah songsang kepada yang dikemukakan. Kami mempunyai persamaan, dan kami menemui puncanya dengan memfaktorkannya. Di sini kita akan melakukan sebaliknya. Katakan kita mempunyai punca-punca persamaan kuadratik

Masalah songsang ialah ini: tulis persamaan kuadratik menggunakan puncanya.

Terdapat 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.

Oleh kerana ialah punca-punca persamaan, maka ialah persamaan kuadratik yang puncanya diberi nombor. Sekarang mari buka kurungan dan semak:

Ini adalah cara pertama kami mencipta persamaan kuadratik dengan punca yang diberikan, yang tidak mempunyai punca lain, kerana mana-mana persamaan kuadratik mempunyai paling banyak dua punca.

Kaedah ini melibatkan penggunaan teorem Vieta songsang.

Jika ialah punca-punca persamaan, maka ia memenuhi syarat bahawa .

Untuk persamaan kuadratik terkurang , , iaitu dalam kes ini, dan .

Oleh itu, kami telah mencipta persamaan kuadratik yang mempunyai punca yang diberikan.

Tugasan No. 2

Ia adalah perlu untuk mengurangkan pecahan.

Kami mempunyai trinomial dalam pengangka dan trinomial dalam penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika kedua-dua pengangka dan penyebut difaktorkan, maka di antara mereka mungkin terdapat faktor yang sama yang boleh dikurangkan.

Pertama sekali, anda perlu memfaktorkan pengangka.

Mula-mula, anda perlu menyemak sama ada persamaan ini boleh difaktorkan, mari cari diskriminasi. Oleh kerana , tanda bergantung pada hasil darab (mesti kurang daripada 0), dalam contoh ini, iaitu persamaan yang diberikan mempunyai punca.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorem Vieta:

Dalam kes ini, kerana kita berurusan dengan akar, agak sukar untuk hanya memilih akar. Tetapi kita melihat bahawa pekali adalah seimbang, iaitu, jika kita menganggap bahawa , dan menggantikan nilai ini ke dalam persamaan, kita mendapat sistem seterusnya: , iaitu 5-5=0. Oleh itu, kami telah memilih salah satu punca persamaan kuadratik ini.

Kita akan mencari punca kedua dengan menggantikan apa yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan, contohnya, , i.e. .

Oleh itu, kami telah menemui kedua-dua punca persamaan kuadratik dan boleh menggantikan nilainya ke dalam persamaan asal untuk memfaktorkannya:

Mari kita ingat masalah asal, kita perlu mengurangkan pecahan.

Mari cuba selesaikan masalah dengan menggantikan .

Ia adalah perlu untuk tidak lupa bahawa dalam kes ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, iaitu , .

Jika syarat ini dipenuhi, maka kami telah mengurangkan pecahan asal kepada bentuk .

Masalah No. 3 (tugas dengan parameter)

Pada nilai parameter apakah jumlah punca persamaan kuadratik

Jika punca-punca persamaan ini wujud, maka , soalan: bila.

Memfaktorkan trinomial kuadratik adalah salah satu tugasan sekolah yang semua orang hadapi lambat laun. Bagaimana hendak melakukannya? Apakah formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik? Mari kita fikirkan langkah demi langkah menggunakan contoh.

Formula am

Trinomial kuadratik difaktorkan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini adalah masalah mudah yang boleh diselesaikan dengan beberapa kaedah - dengan mencari diskriminasi, menggunakan teorem Vieta, terdapat juga penyelesaian grafik. Dua kaedah pertama dipelajari di sekolah menengah.

Formula umum kelihatan seperti ini:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritma untuk menyelesaikan tugasan

Untuk memfaktorkan trinomial kuadratik, anda perlu mengetahui teorem Vita, mempunyai program penyelesaian di tangan, dapat mencari penyelesaian secara grafik, atau mencari punca persamaan darjah kedua menggunakan formula diskriminasi. Jika trinomial kuadratik diberikan dan ia perlu difaktorkan, algoritma adalah seperti berikut:

1) Samakan ungkapan asal kepada sifar untuk mendapatkan persamaan.

2) Bawa istilah yang serupa(jika ada keperluan seperti itu).

3) Cari punca menggunakan mana-mana kaedah yang diketahui. Kaedah grafik Lebih baik menggunakannya jika diketahui terlebih dahulu bahawa akarnya adalah integer dan nombor kecil. Perlu diingat bahawa bilangan punca adalah sama dengan darjah maksimum persamaan, iaitu persamaan kuadratik mempunyai dua punca.

4) Gantikan nilai X menjadi ungkapan (1).

5) Tuliskan pemfaktoran bagi trinomial kuadratik.

Contoh

Amalan membolehkan anda akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Contoh menggambarkan pemfaktoran bagi trinomial segi empat sama:

adalah perlu untuk mengembangkan ungkapan:

Mari kita gunakan algoritma kami:

1) x 2 -17x+32=0

2) istilah yang serupa dikurangkan

3) menggunakan formula Vieta, sukar untuk mencari akar untuk contoh ini, jadi lebih baik menggunakan ungkapan untuk diskriminasi:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Mari kita gantikan akar yang kita temui ke dalam formula asas untuk penguraian:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Maka jawapannya adalah seperti ini:

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

Mari kita semak sama ada penyelesaian yang ditemui oleh diskriminasi sepadan dengan formula Vieta:

14,845 . 2,155=32

Untuk akar ini, teorem Vieta digunakan, ia didapati dengan betul, yang bermaksud pemfaktoran yang kami perolehi juga betul.

Begitu juga, kami mengembangkan 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Dalam kes sebelumnya, penyelesaiannya bukan integer, tetapi nombor nyata, yang mudah dicari jika anda mempunyai kalkulator di hadapan anda. Sekarang mari kita lihat lebih lanjut contoh kompleks, di mana akarnya akan menjadi kompleks: faktor x 2 + 4x + 9. Menggunakan formula Vieta, akarnya tidak dapat ditemui, dan diskriminasi adalah negatif. Akar akan berada pada satah kompleks.

D=-20

Berdasarkan ini, kita memperoleh punca yang menarik minat kita -4+2i*5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 sejak (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kami memperoleh penguraian yang dikehendaki dengan menggantikan akar ke dalam formula am.

Contoh lain: anda perlu memfaktorkan ungkapan 23x 2 -14x+7.

Kami mempunyai persamaan 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Ini bermakna puncanya ialah 14+21.166i dan 14-21.166i. Jawapannya ialah:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Mari kita berikan satu contoh yang boleh diselesaikan tanpa bantuan diskriminasi.

Katakan kita perlu mengembangkan persamaan kuadratik x 2 -32x+255. Jelas sekali, ia juga boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi, tetapi dalam kes ini lebih cepat untuk mencari akarnya.

x 1 =15

x 2 =17

Bermakna x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Memfaktorkan trinomial kuadratik mungkin berguna apabila menyelesaikan ketaksamaan daripada masalah C3 atau masalah dengan parameter C5. Selain itu, banyak masalah perkataan B13 akan diselesaikan dengan lebih cepat jika anda mengetahui teorem Vieta.

Teorem ini, tentu saja, boleh dipertimbangkan dari perspektif gred ke-8, di mana ia diajar buat kali pertama. Tetapi tugas kami adalah untuk membuat persediaan yang baik untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dan belajar menyelesaikan tugasan peperiksaan secekap mungkin. Oleh itu, pelajaran ini menganggap pendekatan yang sedikit berbeza daripada sekolah.

Formula untuk punca-punca persamaan menggunakan teorem Vieta Ramai orang tahu (atau sekurang-kurangnya pernah melihat):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

dengan `a, b` dan `c` ialah pekali bagi trinomial kuadratik `ax^2+bx+c`.

Untuk mempelajari cara menggunakan teorem dengan mudah, mari kita fahami dari mana asalnya (ini sebenarnya akan memudahkan untuk diingati).

Biarkan kita mempunyai persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk kemudahan selanjutnya, bahagikannya dengan `a` dan dapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik terkurang.

Idea pelajaran penting: sebarang polinomial kuadratik yang mempunyai akar boleh dikembangkan menjadi kurungan. Mari kita andaikan bahawa kita boleh diwakili sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa pemalar.

Mari lihat bagaimana kurungan dibuka:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Oleh itu, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ini sedikit berbeza daripada tafsiran klasik Teorem Vieta- di dalamnya kita mencari punca-punca persamaan. Saya bercadang untuk mencari terma untuk penguraian kurungan- dengan cara ini anda tidak perlu mengingati tentang tolak daripada formula (bermaksud `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ia cukup untuk memilih dua nombor sedemikian, jumlahnya sama dengan pekali purata, dan hasil darabnya sama dengan istilah bebas.

Jika kita memerlukan penyelesaian kepada persamaan, maka jelaslah: punca `x=-k` atau `x=-l` (kerana dalam kes ini salah satu kurungan akan menjadi sifar, yang bermaksud keseluruhan ungkapan akan menjadi sifar ).

Saya akan menunjukkan kepada anda algoritma sebagai contoh: Bagaimana untuk mengembangkan polinomial kuadratik ke dalam kurungan.

Contoh satu. Algoritma untuk pemfaktoran trinomial kuadratik

Laluan yang kita ada ialah sukuan trinomial `x^2+5x+4`.

Ia dikurangkan (pekali `x^2` adalah sama dengan satu). Dia mempunyai akar. (Yang pasti, anda boleh menganggarkan diskriminasi dan memastikan bahawa ia lebih besar daripada sifar.)

Langkah selanjutnya (anda perlu mempelajarinya dengan menyelesaikan semua tugas latihan):

1. Lengkapkan entri berikut: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Daripada titik, biarkan ruang kosong, kami akan menambah nombor dan tanda yang sesuai di sana.
2. Lihat semua pilihan yang mungkin, bagaimana anda boleh menguraikan nombor `4` kepada hasil darab dua nombor. Kami mendapat pasangan "calon" untuk punca persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
3. Tentukan pasangan mana anda boleh mendapatkan pekali purata. Jelas sekali ia adalah `1, 4`.
4. Tulis $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Langkah seterusnya ialah meletakkan tanda di hadapan nombor yang dimasukkan.

   Bagaimana untuk memahami dan mengingati selama-lamanya tanda apa yang harus muncul sebelum nombor dalam kurungan? Cuba bukanya (kurung). Pekali sebelum `x` kepada kuasa pertama ialah `(± 4 ± 1)` (kita belum tahu tanda-tandanya - kita perlu pilih), dan ia sepatutnya sama dengan `5`. Jelas sekali, akan ada dua tambah $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Lakukan operasi ini beberapa kali (hello, tugas latihan!) dan lebih banyak masalah ini tidak akan berlaku.

Jika anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, maka sekarang menyelesaikannya tidak akan sukar. Akarnya ialah `-4, -1`.

Contoh dua. Pemfaktoran trinomial kuadratik dengan pekali tanda yang berbeza

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Secara tidak langsung, diskriminasi adalah positif.

Kami mengikuti algoritma.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Terdapat hanya satu pemfaktoran dua kepada faktor integer: `2 · 1`.
3. Kami melangkau perkara - tiada apa untuk dipilih.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Hasil darab nombor kita ialah negatif (`-2` ialah sebutan bebas), yang bermaksud bahawa salah satu daripadanya akan menjadi negatif dan satu lagi akan menjadi positif.
   Oleh kerana jumlahnya adalah sama dengan `-1` (pekali `x`), maka `2` akan menjadi negatif (penjelasan intuitif ialah dua adalah lebih besar daripada dua nombor, ia akan "menarik" dengan lebih kuat dalam arah negatif). Kami mendapat $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Contoh ketiga. Memfaktorkan trinomial kuadratik

Persamaannya ialah `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Penguraian 84 kepada faktor integer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Oleh kerana kita memerlukan perbezaan (atau jumlah) nombor menjadi 5, pasangan `7, 12` adalah sesuai.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Harapan, pengembangan trinomial kuadratik ini ke dalam kurungan Ia jelas.

Jika anda memerlukan penyelesaian kepada persamaan, berikut ialah: `12, -7`.

Tugas latihan

Saya membawa kepada perhatian anda beberapa contoh yang mudah diselesaikan menggunakan teorem Vieta.(Contoh diambil dari majalah "Matematik", 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Beberapa tahun selepas artikel itu ditulis, koleksi 150 tugasan untuk penguraian muncul polinomial kuadratik oleh teorem Vieta.

Suka dan tanya soalan dalam komen!

Dunia tenggelam dalam sejumlah besar angka. Sebarang pengiraan berlaku dengan bantuan mereka.

Orang ramai belajar nombor untuk mengelakkan tertipu di kemudian hari. Ia memerlukan banyak masa untuk dididik dan memikirkan bajet anda sendiri.

Matematik adalah sains tepat yang bermain peranan besar dalam kehidupan. Di sekolah, kanak-kanak mempelajari nombor, dan kemudian, tindakan ke atasnya.

Operasi pada nombor adalah berbeza sama sekali: pendaraban, pengembangan, penambahan dan lain-lain. Selain formula mudah, tindakan yang lebih kompleks juga digunakan dalam kajian matematik. Terdapat sejumlah besar formula yang boleh digunakan untuk mengetahui sebarang nilai.

Di sekolah, sebaik sahaja algebra muncul, formula penyederhanaan ditambah kepada kehidupan pelajar. Terdapat persamaan di mana terdapat dua nombor yang tidak diketahui, tetapi cari dengan cara yang mudah tidak akan berfungsi. Trinomial ialah gabungan tiga monomial menggunakan kaedah mudah penolakan dan penambahan. Trinomial diselesaikan menggunakan teorem Vieta dan diskriminasi.

Formula untuk pemfaktoran trinomial kuadratik

Terdapat dua betul dan penyelesaian mudah contoh:

• diskriminasi;
• Teorem Vieta.

Trinomial segi empat sama mempunyai kuasa dua yang tidak diketahui dan juga nombor tanpa kuasa dua. Pilihan pertama untuk menyelesaikan masalah menggunakan formula Vieta. Ini adalah formula mudah, jika nombor yang mendahului yang tidak diketahui akan menjadi nilai minimum.

Untuk persamaan lain di mana nombor mendahului yang tidak diketahui, persamaan mesti diselesaikan melalui diskriminasi. Ini adalah penyelesaian yang lebih kompleks, tetapi diskriminasi digunakan lebih kerap daripada teorem Vieta.

Pada mulanya, untuk mencari semua pembolehubah persamaan adalah perlu untuk menaikkan contoh kepada 0. Penyelesaian kepada contoh boleh disemak dan anda boleh mengetahui sama ada nombor dilaraskan dengan betul.

Diskriminasi

1. Adalah perlu untuk menyamakan persamaan dengan 0.

2. Setiap nombor sebelum x akan dipanggil nombor a, b, c. Oleh kerana tiada nombor sebelum petak pertama x, ia adalah sama dengan 1.

3. Sekarang penyelesaian kepada persamaan bermula melalui diskriminasi:

4. Sekarang kita telah menemui diskriminasi dan mencari dua x. Perbezaannya ialah dalam satu kes b akan didahului dengan tambah, dan dalam satu lagi dengan tolak:

5. Dengan menyelesaikan dua nombor keputusannya ialah -2 dan -1. Gantikan ke dalam persamaan asal:

6. Dalam contoh ini ternyata dua pilihan yang betul. Jika kedua-dua penyelesaian sesuai, maka setiap penyelesaian adalah benar.

Persamaan yang lebih kompleks juga diselesaikan menggunakan diskriminasi. Tetapi jika nilai diskriminasi itu sendiri kurang daripada 0, maka contoh itu tidak betul. Apabila mencari, diskriminasi sentiasa berada di akar, dan nilai negatif tidak boleh berada di akar.

Teorem Vieta

Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah mudah di mana x pertama tidak didahului oleh nombor, iaitu, a=1. Jika pilihan sepadan, maka pengiraan dijalankan menggunakan teorem Vieta.

Untuk menyelesaikan sebarang trinomial adalah perlu untuk menaikkan persamaan kepada 0. Langkah pertama diskriminasi dan teorem Vieta tidak berbeza.

2. Sekarang perbezaan antara kedua-dua kaedah bermula. Teorem Vieta bukan sahaja menggunakan pengiraan "kering", tetapi juga logik dan gerak hati. Setiap nombor mempunyai huruf a, b, c sendiri. Teorem menggunakan jumlah dan hasil darab dua nombor.

Ingat! Nombor b sentiasa mempunyai tanda berlawanan apabila ditambah, tetapi nombor c kekal tidak berubah!

Menggantikan nilai data dalam contoh , kita mendapatkan:

3. Menggunakan kaedah logik, kita menggantikan nombor yang paling sesuai. Mari kita pertimbangkan semua pilihan penyelesaian:

1. Nombornya ialah 1 dan 2. Apabila ditambah, kita mendapat 3, tetapi jika kita mendarab, kita tidak mendapat 4. Tidak sesuai.
2. Nilai 2 dan -2. Apabila didarabkan ia akan menjadi -4, tetapi apabila ditambah ia menjadi 0. Tidak sesuai.
3. Nombor 4 dan -1. Oleh kerana pendaraban melibatkan nilai negatif, ini bermakna salah satu nombor akan menjadi negatif. Sesuai untuk menambah dan mendarab. Pilihan yang betul.

4. Yang tinggal hanyalah menyemak dengan meletakkan nombor dan lihat jika pilihan yang dipilih adalah betul.

5. Terima kasih kepada semakan dalam talian, kami mengetahui bahawa -1 tidak sesuai dengan syarat contoh, dan oleh itu merupakan penyelesaian yang salah.

Apabila menambah nilai negatif dalam contoh, anda perlu meletakkan nombor dalam kurungan.

Sentiasa ada dalam matematik tugasan mudah dan kompleks. Sains itu sendiri merangkumi pelbagai masalah, teorem dan formula. Jika anda memahami dan menggunakan pengetahuan dengan betul, maka sebarang kesulitan dalam pengiraan akan menjadi remeh.

Matematik tidak memerlukan hafalan yang berterusan. Anda perlu belajar memahami penyelesaian dan mempelajari beberapa formula. Secara beransur-ansur, mengikut kesimpulan logik, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah dan persamaan yang serupa. Sains sedemikian mungkin kelihatan sangat sukar pada pandangan pertama, tetapi jika seseorang terjun ke dunia nombor dan masalah, maka pandangan akan berubah secara dramatik dalam sisi yang lebih baik.

Kepakaran teknikal sentiasa kekal yang paling dicari di dunia. Sekarang, di dunia teknologi moden, matematik telah menjadi sifat yang amat diperlukan dalam mana-mana bidang. Kita mesti sentiasa ingat sifat berfaedah matematik.

Mengembangkan trinomial menggunakan kurungan

Di samping menyelesaikan kaedah biasa, terdapat satu lagi - penguraian ke dalam kurungan. Digunakan menggunakan formula Vieta.

1. Samakan persamaan dengan 0.

kapak 2 +bx+c= 0

2. Punca-punca persamaan tetap sama, tetapi bukannya sifar, ia kini menggunakan formula pengembangan ke dalam kurungan.

kapak 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Penyelesaian x=-1, x=3