Definisi gerakan seragam mengelilingi bulatan. Apakah halaju sudut dan bagaimana ia dikira? Unit pengukuran

Pergerakan jasad dalam bulatan dengan kelajuan mutlak yang tetap- ini ialah pergerakan di mana badan menerangkan lengkok yang sama pada sebarang selang masa yang sama.

Kedudukan badan pada bulatan ditentukan vektor jejari\(~\vec r\) dilukis dari pusat bulatan. Modulus vektor jejari adalah sama dengan jejari bulatan R(Rajah 1).

Dalam masa Δ t badan bergerak dari satu titik A betul-betul DALAM, menjadikan anjakan \(~\Delta \vec r\) sama dengan kord AB, dan melalui laluan yang sama dengan panjang lengkok l.

Vektor jejari berputar dengan sudut Δ φ . Sudut dinyatakan dalam radian.

Kelajuan \(~\vec \upsilon\) pergerakan badan sepanjang trajektori (bulatan) diarahkan tangen kepada trajektori. Ia dikenali sebagai kelajuan linear. Modulus halaju linear adalah sama dengan nisbah panjang lengkok bulat l kepada selang masa Δ t yang mana arka ini selesai:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Kuantiti fizik skalar, secara berangka sama dengan nisbah sudut putaran vektor jejari kepada tempoh masa semasa putaran ini berlaku, dipanggil halaju sudut:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Unit SI bagi halaju sudut ialah radian sesaat (rad/s).

Dengan gerakan seragam dalam bulatan, halaju sudut dan modul halaju linear adalah kuantiti tetap: ω = const; υ = const.

Kedudukan jasad boleh ditentukan jika modulus vektor jejari \(~\vec r\) dan sudut φ , yang disusun dengan paksi lembu(koordinat sudut). Jika pada saat awal masa t 0 = 0 koordinat sudut ialah φ 0 , dan pada masanya t ia adalah sama φ , maka sudut putaran Δ φ vektor jejari untuk masa \(~\Delta t = t - t_0 = t\) adalah sama dengan \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Kemudian dari formula terakhir kita boleh dapatkan persamaan kinematik pergerakan titik bahan sepanjang bulatan:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Ia membolehkan anda menentukan kedudukan badan pada bila-bila masa t. Memandangkan \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), kita memperoleh\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Anak panah kanan\]

\(~\upsilon = \omega R\) - formula untuk hubungan antara kelajuan linear dan sudut.

Selang masa Τ semasa badan membuat satu revolusi penuh dipanggil tempoh putaran:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

di mana N- bilangan pusingan yang dibuat oleh badan pada masa Δ t.

Dalam masa Δ t = Τ badan mengembara jalan \(~l = 2 \pi R\). Oleh itu,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Magnitud ν , songsangan bagi tempoh, menunjukkan bilangan pusingan yang dibuat oleh jasad bagi setiap unit masa, dipanggil kelajuan putaran:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Oleh itu,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

kesusasteraan

Aksenovich L. A. Fizik di sekolah menengah: Teori. Tugasan. Ujian: Buku teks. elaun untuk institusi yang menyediakan pendidikan am. persekitaran, pendidikan / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 18-19.

Satu kes khas pergerakan zarah yang penting di sepanjang trajektori tertentu ialah gerakan dalam bulatan. Kedudukan zarah pada bulatan (Rajah 46) boleh ditentukan dengan menunjukkan bukan jarak dari beberapa titik awal A, tetapi sudut yang dibentuk oleh jejari yang dilukis dari pusat O bulatan ke zarah dengan jejari dilukis ke titik permulaan A.

Bersama dengan kelajuan pergerakan sepanjang trajektori, yang ditakrifkan sebagai

adalah mudah untuk memperkenalkan halaju sudut, yang mencirikan kadar perubahan sudut

Kelajuan pergerakan sepanjang trajektori juga dipanggil kelajuan linear. Mari kita wujudkan hubungan antara halaju linear dan sudut. Panjang lengkok I yang mencantumkan sudut adalah sama dengan di mana jejari bulatan, dan sudut diukur dalam radian. Oleh itu, halaju sudut co berkaitan dengan halaju linear oleh hubungan

nasi. 46. ​​​​Sudut menentukan kedudukan titik pada bulatan

Pecutan apabila bergerak dalam bulatan, serta semasa pergerakan curvilinear sewenang-wenangnya, dalam kes umum mempunyai dua komponen: tangen, diarahkan secara tangen ke bulatan dan mencirikan kelajuan perubahan dalam nilai halaju, dan normal, diarahkan ke arah pusat bulatan dan mencirikan kelajuan perubahan arah kelajuan.

Nilai komponen normal pecutan, yang dipanggil dalam kes ini (gerakan bulat) pecutan sentripetal, diberikan oleh formula am (3) § 8, di mana kini halaju linear boleh dinyatakan dalam sebutan halaju sudut menggunakan formula (3). ):

Di sini jejari bulatan, sudah tentu, sama untuk semua titik trajektori.

Dengan gerakan seragam dalam bulatan, apabila nilainya malar, halaju sudut co, seperti yang boleh dilihat dari (3), juga malar. Dalam kes ini, ia kadangkala dipanggil kekerapan kitaran.

Tempoh dan kekerapan. Untuk mencirikan gerakan bulat seragam, bersama-sama dengan c, adalah mudah untuk menggunakan tempoh revolusi T, yang ditakrifkan sebagai masa di mana satu revolusi penuh dibuat, dan kekerapan - timbal balik tempoh T, yang sama dengan bilangan revolusi per unit masa:

Daripada takrifan (2) halaju sudut ia mengikuti hubungan antara kuantiti

Hubungan ini membolehkan kita menulis formula (4) untuk pecutan sentripetal dalam bentuk berikut:

Ambil perhatian bahawa co halaju sudut diukur dalam radian sesaat, dan kekerapan diukur dalam pusingan sesaat. Dimensi dan adalah sama kerana kuantiti ini hanya berbeza dengan faktor berangka

Tugasan

Sepanjang jalan lingkaran. Rel kereta api mainan membentuk gelang jejari (Gamb. 47). Kereta itu bergerak di sepanjang mereka, ditolak oleh rod yang berputar pada halaju sudut malar mengelilingi titik yang terletak di dalam gelang hampir di landasan. Bagaimanakah kelajuan treler berubah semasa ia bergerak?

nasi. 47. Untuk mencari halaju sudut semasa memandu di sepanjang jalan lingkaran

Penyelesaian. Sudut yang dibentuk oleh rod dengan arah tertentu berubah mengikut masa mengikut hukum linear: . Sebagai arah dari mana sudut diukur, adalah mudah untuk mengambil diameter bulatan yang melalui titik (Rajah 47). Titik O ialah pusat bulatan. Adalah jelas bahawa sudut pusat yang menentukan kedudukan treler pada bulatan adalah dua kali ganda sudut tertera terletak pada lengkok yang sama: Oleh itu, halaju sudut dari treler apabila bergerak di sepanjang landasan adalah dua kali halaju sudut dengan mana rod berputar:

Oleh itu, halaju sudut dari treler ternyata tetap. Ini bermakna treler bergerak secara seragam di sepanjang rel. Kelajuan linearnya adalah malar dan sama dengan

Pecutan treler dengan gerakan bulat seragam itu sentiasa dihalakan ke arah pusat O, dan modulnya diberikan dengan ungkapan (4):

Lihat formula (4). Bagaimanakah ia harus difahami: adakah pecutan masih berkadar atau berkadar songsang?

Terangkan mengapa, semasa gerakan tidak sekata mengelilingi bulatan, halaju sudut co mengekalkan maknanya, tetapi kehilangan maknanya?

Halaju sudut sebagai vektor. Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk mempertimbangkan halaju sudut sebagai vektor yang magnitudnya sama dengan dan arah malarnya berserenjang dengan satah di mana bulatan itu terletak. Menggunakan vektor sedemikian, anda boleh menulis formula yang serupa dengan (3), yang menyatakan vektor halaju zarah yang bergerak dalam bulatan.

nasi. 48. Vektor halaju sudut

Mari letakkan asal di tengah O bulatan. Kemudian, apabila zarah bergerak, vektor jejarinya hanya akan berputar dengan halaju sudut co, dan modulnya akan sentiasa sama dengan jejari bulatan (Rajah 48). Dapat dilihat bahawa vektor halaju yang diarahkan secara tangen ke bulatan boleh diwakili sebagai hasil vektor vektor halaju sudut с dan vektor jejari zarah:

Karya seni vektor. Secara takrif, hasil silang dua vektor ialah vektor berserenjang dengan satah di mana vektor darab terletak. Arah produk vektor dipilih mengikut peraturan berikut. Faktor pertama secara mental berpaling ke arah yang kedua, seolah-olah ia adalah pemegang sepana. Produk vektor diarahkan ke arah yang sama di mana skru dengan benang sebelah kanan akan bergerak.

Jika faktor dalam produk vektor ditukar, maka ia akan menukar arah ke arah yang bertentangan: Ini bermakna produk vektor adalah bukan komutatif.

Daripada Rajah. 48 dapat dilihat bahawa formula (8) akan memberikan arah yang betul untuk vektor jika vektor co diarahkan tepat seperti yang ditunjukkan dalam rajah ini. Oleh itu, kita boleh merumuskan peraturan berikut: arah vektor halaju sudut bertepatan dengan arah pergerakan skru dengan benang sebelah kanan, kepala yang berputar ke arah yang sama di mana zarah bergerak mengelilingi bulatan.

Secara takrif, modulus produk vektor adalah sama dengan hasil darab moduli vektor yang didarab dan sinus sudut a di antara mereka:

Dalam formula (8), vektor darab с dan berserenjang antara satu sama lain, oleh itu, kerana ia sepatutnya mengikut formula (3).

Apakah yang anda boleh katakan tentang hasil silang dua vektor selari?

Apakah arah vektor halaju sudut jarum jam? Bagaimanakah vektor ini berbeza untuk jarum minit dan jam?

Oleh kerana kelajuan linear seragam menukar arah, gerakan bulat tidak boleh dipanggil seragam, ia dipercepatkan secara seragam.

Halaju sudut

Mari kita pilih satu titik pada bulatan 1 . Mari bina jejari. Dalam satu unit masa, titik akan bergerak ke titik 2 . Dalam kes ini, jejari menerangkan sudut. Halaju sudut secara berangka sama dengan sudut putaran jejari per unit masa.

Tempoh dan kekerapan

Tempoh putaran T- ini adalah masa di mana badan membuat satu revolusi.

Kekerapan putaran ialah bilangan pusingan sesaat.

Kekerapan dan tempoh saling berkaitan oleh perhubungan

Hubungan dengan halaju sudut

Kelajuan linear

Setiap titik pada bulatan bergerak pada kelajuan tertentu. Kelajuan ini dipanggil linear. Arah vektor halaju linear sentiasa bertepatan dengan tangen kepada bulatan. Contohnya, percikan api dari bawah mesin pengisar bergerak, mengulangi arah kelajuan serta-merta.

Pertimbangkan satu titik pada bulatan yang membuat satu revolusi, masa yang dibelanjakan ialah tempoh T. Laluan yang dilalui oleh titik ialah lilitan.

Pecutan sentripetal

Apabila bergerak dalam bulatan, vektor pecutan sentiasa berserenjang dengan vektor halaju, dihalakan ke arah pusat bulatan.

Menggunakan formula sebelumnya, kita boleh memperoleh hubungan berikut

Titik yang terletak pada garis lurus yang sama yang terpancar dari pusat bulatan (contohnya, ini boleh menjadi titik yang terletak pada jejari roda) akan mempunyai halaju sudut, tempoh dan kekerapan yang sama. Iaitu, mereka akan berputar dengan cara yang sama, tetapi dengan kelajuan linear yang berbeza. Semakin jauh satu titik dari pusat, semakin cepat ia akan bergerak.

Hukum penambahan kelajuan juga sah untuk gerakan putaran. Jika gerakan badan atau kerangka rujukan tidak seragam, maka undang-undang terpakai untuk halaju serta-merta. Sebagai contoh, kelajuan seseorang berjalan di sepanjang pinggir karusel berputar adalah sama dengan jumlah vektor kelajuan linear putaran tepi karusel dan kelajuan orang itu.

Bumi mengambil bahagian dalam dua pergerakan putaran utama: diurnal (sekitar paksinya) dan orbital (sekitar Matahari). Tempoh putaran Bumi mengelilingi Matahari ialah 1 tahun atau 365 hari. Bumi berputar mengelilingi paksinya dari barat ke timur, tempoh putaran ini adalah 1 hari atau 24 jam. Latitud ialah sudut antara satah khatulistiwa dan arah dari pusat Bumi ke satu titik di permukaannya.

Menurut undang-undang kedua Newton, punca sebarang pecutan adalah daya. Jika jasad yang bergerak mengalami pecutan sentripetal, maka sifat daya yang menyebabkan pecutan ini mungkin berbeza. Sebagai contoh, jika jasad bergerak dalam bulatan di atas tali yang diikat padanya, maka daya yang bertindak ialah daya kenyal.

Jika jasad yang terletak di atas cakera berputar dengan cakera di sekeliling paksinya, maka daya sedemikian ialah daya geseran. Jika daya menghentikan tindakannya, maka badan akan terus bergerak dalam garis lurus

Pertimbangkan pergerakan titik pada bulatan dari A ke B. Kelajuan linear adalah sama dengan v A Dan v B masing-masing. Pecutan ialah perubahan dalam kelajuan per unit masa. Mari cari perbezaan antara vektor.

Biasanya, apabila kita bercakap tentang pergerakan, kita membayangkan objek bergerak dalam garis lurus. Kelajuan pergerakan sedemikian biasanya dipanggil linear, dan pengiraan nilai puratanya adalah mudah: ia cukup untuk mencari nisbah jarak yang dilalui ke masa di mana ia diliputi oleh badan. Jika objek bergerak dalam bulatan, maka dalam kes ini ia bukan linear yang ditentukan, tetapi Apakah kuantiti ini dan bagaimana ia dikira? Inilah sebenarnya yang akan dibincangkan dalam artikel ini.

Halaju sudut: konsep dan formula

Apabila bergerak di sepanjang bulatan, kelajuan pergerakannya boleh dicirikan oleh magnitud sudut putaran jejari yang menghubungkan objek yang bergerak ke pusat bulatan ini. Jelas bahawa nilai ini sentiasa berubah bergantung pada masa. Kelajuan proses ini berlaku tidak lebih daripada halaju sudut. Dalam erti kata lain, ini ialah nisbah sisihan vektor jejari sesuatu objek kepada tempoh masa yang diambil objek untuk membuat pusingan sedemikian. Formula halaju sudut (1) boleh ditulis seperti berikut:

w = φ / t, di mana:

φ - sudut putaran jejari,

t - tempoh masa putaran.

Unit pengukuran

Dalam Sistem Antarabangsa Unit Sepunya (SI), radian digunakan untuk mencirikan lilitan. Oleh itu, 1 rad/s ialah unit asas yang digunakan dalam pengiraan halaju sudut. Pada masa yang sama, tiada siapa yang melarang penggunaan darjah (ingat bahawa satu radian bersamaan dengan 180/pi, atau 57˚18’). Juga, halaju sudut boleh dinyatakan dalam bilangan pusingan seminit atau sesaat. Jika pergerakan di sekeliling bulatan berlaku secara seragam, maka nilai ini boleh didapati menggunakan formula (2):

di mana n ialah kelajuan putaran.

Jika tidak, dengan cara yang sama seperti untuk kelajuan biasa, purata atau kelajuan sudut serta-merta dikira. Perlu diingatkan bahawa kuantiti yang dipertimbangkan adalah satu vektor. Untuk menentukan arahnya, ia biasanya digunakan, yang sering digunakan dalam fizik. Vektor halaju sudut diarahkan ke arah yang sama dengan skru dengan benang sebelah kanan. Dalam erti kata lain, ia diarahkan sepanjang paksi di sekeliling badan berputar, ke arah dari mana putaran dilihat berlaku mengikut lawan jam.

Contoh pengiraan

Katakan anda perlu menentukan kelajuan linear dan sudut roda, jika diketahui bahawa diameternya adalah sama dengan satu meter, dan sudut putaran berubah mengikut undang-undang φ = 7t. Mari gunakan formula pertama kami:

w = φ / t = 7t / t = 7 s -1 .

Ini akan menjadi halaju sudut yang dikehendaki. Sekarang mari kita teruskan untuk mencari kelajuan pergerakan yang biasa kepada kita. Seperti yang diketahui, v = s/t. Memandangkan s dalam kes kita ialah roda (l = 2π*r), dan 2π ialah satu revolusi penuh, kita mendapat yang berikut:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 m/s

Berikut adalah satu lagi teka-teki mengenai topik ini. Adalah diketahui bahawa di khatulistiwa ia adalah 6370 kilometer. Ia diperlukan untuk menentukan kelajuan linear dan sudut pergerakan titik yang terletak pada selari ini, yang timbul akibat putaran planet kita di sekeliling paksinya. Dalam kes ini, kita memerlukan formula kedua:

w = 2π*n = 2*3.14 *(1/(24*3600)) = 7.268 *10 -5 rad/s.

Ia kekal untuk mengetahui apakah kelajuan linear bersamaan dengan: v = w*r = 7.268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.

Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersatu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Petugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang mudah dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.