Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dengan penyelesaian terperinci. Kerja Kursus: Persamaan trigonometri dan ketaksamaan

Jenis cat untuk fasad
27.09.2019

Kebanyakan pelajar tidak menyukai ketaksamaan trigonometri. Tetapi sia-sia. Seperti yang pernah dikatakan oleh seorang watak,

"Anda tidak tahu cara memasaknya"

Jadi bagaimana untuk "memasak" dan dengan apa yang perlu dikemukakan ketidaksamaan dengan sinus kita akan memikirkan dalam artikel ini. Kami akan membuat keputusan dengan cara yang mudah– menggunakan bulatan unit.

Jadi, pertama sekali, kita memerlukan algoritma berikut.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus:

  1. pada paksi sinus kita plotkan nombor $a$ dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus sehingga ia bersilang dengan bulatan;
  2. titik persilangan garis ini dengan bulatan akan berlorek jika ketaksamaan tidak ketat, dan tidak berlorek jika ketaksamaan adalah ketat;
  3. kawasan penyelesaian ketaksamaan akan terletak di atas garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$>$”, dan di bawah garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$<$”;
  4. untuk mencari titik persilangan, kita selesaikan persamaan trigonometri $\sin(x)=a$, kita dapat $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
  5. menetapkan $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama (ia terletak sama ada pada suku pertama atau keempat);
  6. untuk mencari titik kedua, kita melihat ke arah mana kita melalui kawasan ke titik persimpangan kedua: jika dalam arah positif, maka kita harus mengambil $n=1$, dan jika dalam arah negatif, maka $n=- 1$;
  7. sebagai tindak balas, selang dikurangkan daripada titik persilangan yang lebih kecil $+ 2\pi n$ kepada yang lebih besar $+ 2\pi n$.

Had algoritma

Penting: d algoritma yang diberikan tidak berfungsi untuk ketaksamaan dalam bentuk $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Kes khas apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus

Ia juga penting untuk diperhatikan kes berikut, yang lebih mudah untuk diselesaikan secara logik tanpa menggunakan algoritma di atas.

Kes khas 1. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)\leq 1.$

Disebabkan oleh fakta bahawa julat nilai fungsi trigonometri$y=\sin(x)$ tidak lebih besar daripada modulo $1$, maka bahagian kiri ketaksamaan pada mana-mana$x$ daripada domain takrifan (dan domain takrif sinus adalah semua nombor nyata) tidak lebih daripada $1. Dan, oleh itu, dalam jawapan kita tulis: $x \in R$.

Akibat:

$\sin(x)\geq -1.$

Kes khas 2. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< 1.$

Menggunakan hujah yang serupa dengan kes khas 1, kami mendapati bahawa bahagian kiri ketaksamaan adalah kurang daripada $1$ untuk semua $x \dalam R$, kecuali untuk titik yang merupakan penyelesaian kepada persamaan $\sin(x) = 1$. Menyelesaikan persamaan ini, kita akan mempunyai:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Dan, oleh itu, dalam jawapan kita tulis: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Akibat: ketidaksamaan diselesaikan dengan cara yang sama

$\sin(x) > -1.$

Contoh penyelesaian ketaksamaan menggunakan algoritma.

Contoh 1: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

  1. Mari kita tandakan koordinat $\frac(1)(2)$ pada paksi sinus.
  2. Mari kita lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini.
  3. Mari tandakan titik persimpangan. Mereka akan teduh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.
  4. Tanda ketidaksamaan ialah $\geq$, yang bermaksud kita melukis kawasan di atas garisan, i.e. separuh bulatan yang lebih kecil.
  5. Kami mencari titik persimpangan pertama. Untuk melakukan ini, kami menukar ketaksamaan kepada kesamaan dan menyelesaikannya: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Kami selanjutnya menetapkan $n=0$ dan mencari titik persilangan pertama: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
  6. Kami mencari titik kedua. Kawasan kami menuju ke arah positif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Oleh itu, penyelesaiannya akan mengambil bentuk:

$x \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

Contoh 2: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Mari tandakan koordinat $-\frac(1)(2)$ pada paksi sinus dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini. Mari tandakan titik persimpangan. Mereka tidak akan teduh, kerana ketidaksamaan adalah ketat. Tanda ketaksamaan $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\kiri(-\frac(1)(2)\kanan))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Dengan mengandaikan lagi $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Kawasan kami pergi ke arah negatif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Jadi, penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah selang:

$x \dalam \kiri(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\kanan), \n \dalam Z.$

Contoh 3: Selesaikan ketaksamaan:

$1 – 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq 0.$

Contoh ini tidak boleh diselesaikan dengan segera menggunakan algoritma. Mula-mula anda perlu mengubahnya. Kami melakukan apa yang kami akan lakukan dengan persamaan, tetapi jangan lupa tentang tanda itu. Membahagi atau mendarab dengan nombor negatif membalikkannya!

Jadi, mari kita alihkan semua yang tidak mengandungi fungsi trigonometri ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

$- 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq -1.$

Mari bahagikan bahagian kiri dan kanan dengan $-2$ (jangan lupa tentang tanda!). Pasti akan:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \geq \frac(1)(2).$

Sekali lagi kita mempunyai ketidaksamaan yang tidak dapat kita selesaikan menggunakan algoritma. Tetapi di sini sudah cukup untuk menukar pembolehubah:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Kami memperoleh ketaksamaan trigonometri yang boleh diselesaikan menggunakan algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ketaksamaan ini telah diselesaikan dalam Contoh 1, jadi mari kita meminjam jawapan dari sana:

$t \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Namun, keputusan itu masih belum berakhir. Kita perlu kembali kepada pembolehubah asal.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \dalam \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Mari kita bayangkan selang sebagai sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \kanan.$

Di sebelah kiri sistem terdapat ungkapan ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), yang tergolong dalam selang. Sempadan kiri selang bertanggungjawab untuk ketaksamaan pertama, dan sempadan kanan bertanggungjawab untuk yang kedua. Selain itu, kurungan memainkan peranan penting: jika kurungan adalah persegi, maka ketidaksamaan akan dilonggarkan, dan jika ia bulat, maka ia akan menjadi ketat. tugas kami ialah mendapatkan $x$ di sebelah kiri dalam kedua-dua ketidaksamaan.

Mari kita alihkan $\frac(\pi)(6)$ dari sebelah kiri ke sebelah kanan, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \kanan.$

Memudahkan, kita akan mempunyai:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Mendarabkan sisi kiri dan kanan dengan $4$, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Memasang sistem ke dalam selang, kami mendapat jawapan:

$x \dalam \kiri[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

1.5 Ketaksamaan trigonometri dan kaedah untuk menyelesaikannya

1.5.1 Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah

Kebanyakan pengarang buku teks matematik moden mencadangkan mula mempertimbangkan topik ini dengan menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah. Prinsip menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah adalah berdasarkan pengetahuan dan kemahiran menentukan pada bulatan trigonometri nilai bukan sahaja sudut trigonometri utama, tetapi juga nilai lain.

Sementara itu, penyelesaian kepada ketaksamaan bentuk , , , boleh dijalankan seperti berikut: mula-mula kita dapati beberapa selang () di mana ketaksamaan ini dipenuhi, dan kemudian tulis jawapan akhir dengan menambah pada hujung selang yang ditemui a nombor yang merupakan gandaan tempoh sinus atau kosinus: ( ). Dalam kes ini, nilainya mudah dicari, kerana atau . Pencarian makna adalah berdasarkan gerak hati pelajar, keupayaan mereka untuk melihat kesamaan lengkok atau segmen, mengambil kesempatan daripada simetri bahagian individu graf sinus atau kosinus. Dan ini kadangkala di luar kemampuan sebilangan besar pelajar. Untuk mengatasi kesukaran yang dinyatakan, buku teks dalam beberapa tahun kebelakangan ini telah menggunakan pendekatan yang berbeza untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang mudah, tetapi ini tidak menghasilkan sebarang peningkatan dalam hasil pembelajaran.

Selama beberapa tahun, kami telah agak berjaya menggunakan formula untuk punca-punca persamaan yang sepadan untuk mencari penyelesaian kepada ketaksamaan trigonometri.

Kami mengkaji topik ini dengan cara berikut:

1. Kami membina graf dan y = a, dengan mengandaikan bahawa .

Kemudian kita tuliskan persamaan dan penyelesaiannya. Memberi n 0; 1; 2, kita dapati tiga punca persamaan yang disusun: . Nilai-nilai adalah absis tiga titik persilangan berturut-turut graf dan y = a. Adalah jelas bahawa ketaksamaan sentiasa berlaku pada selang (), dan ketaksamaan sentiasa berlaku pada selang ().

Dengan menambah pada hujung selang ini nombor yang merupakan gandaan tempoh sinus, dalam kes pertama kita memperoleh penyelesaian kepada ketaksamaan dalam bentuk: ; dan dalam kes kedua, penyelesaian kepada ketidaksamaan dalam bentuk:

Hanya berbeza dengan sinus dari formula, yang merupakan penyelesaian kepada persamaan, untuk n = 0 kita memperoleh dua punca, dan punca ketiga untuk n = 1 dalam bentuk . Dan sekali lagi, ia adalah tiga absis berturut-turut bagi titik persilangan graf dan . Dalam selang () ketaksamaan berlaku, dalam selang () ketaksamaan

Kini tidak sukar untuk menulis penyelesaian kepada ketidaksamaan dan . Dalam kes pertama kita mendapat: ;

dan pada yang kedua: .

rumuskan. Untuk menyelesaikan ketaksamaan atau, anda perlu mencipta persamaan yang sepadan dan menyelesaikannya. Daripada formula yang terhasil, cari punca dan , dan tulis jawapan kepada ketaksamaan dalam bentuk: .

Apabila menyelesaikan ketaksamaan , daripada formula untuk punca persamaan yang sepadan kita dapati punca dan , dan tulis jawapan kepada ketaksamaan dalam bentuk: .

Teknik ini membolehkan anda mengajar semua pelajar cara menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kerana Teknik ini bergantung sepenuhnya pada kemahiran yang pelajar mempunyai penguasaan yang kuat. Ini adalah kemahiran untuk menyelesaikan masalah mudah dan mencari nilai pembolehubah menggunakan formula. Di samping itu, menjadi tidak perlu untuk menyelesaikan sebilangan besar latihan dengan teliti di bawah bimbingan seorang guru untuk menunjukkan semua jenis teknik penaakulan bergantung pada tanda ketaksamaan, nilai modulus nombor a dan tandanya. . Dan proses menyelesaikan ketidaksamaan itu sendiri menjadi ringkas dan, yang sangat penting, seragam.

Satu lagi kelebihan kaedah ini ialah ia membolehkan anda menyelesaikan ketaksamaan dengan mudah walaupun bahagian kanan bukan nilai jadual sinus atau kosinus.

Mari kita tunjukkan ini dengan contoh khusus. Katakan kita perlu menyelesaikan ketaksamaan. Mari kita buat persamaan yang sepadan dan selesaikannya:

Mari cari nilai dan .

Apabila n = 1

Apabila n = 2

Kami menulis jawapan akhir untuk ketidaksamaan ini:

Dalam contoh yang dipertimbangkan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah, hanya terdapat satu kelemahan - kehadiran sejumlah formalisme. Tetapi jika semuanya dinilai hanya dari kedudukan ini, maka mungkin untuk menuduh formula akar persamaan kuadratik, dan semua formula untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, dan banyak lagi, formalisme.

Walaupun kaedah yang dicadangkan menduduki tempat yang layak dalam pembentukan kemahiran dalam menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kepentingan dan ciri kaedah lain untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri tidak boleh dipandang remeh. Ini termasuk kaedah selang.

Mari kita pertimbangkan intipatinya.



Set disunting oleh A.G. Mordkovich, walaupun anda tidak sepatutnya mengabaikan buku teks yang lain. § 3. Metodologi untuk mengajar topik "Fungsi Trigonometri" dalam kursus algebra dan permulaan analisis Dalam kajian fungsi trigonometri di sekolah, dua peringkat utama boleh dibezakan: ü Pengenalan awal dengan fungsi trigonometri...

Dalam menjalankan penyelidikan, tugas-tugas berikut telah diselesaikan: 1) Buku teks semasa algebra dan permulaan analisis matematik telah dianalisis untuk mengenal pasti kaedah yang dibentangkan di dalamnya untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional dan ketaksamaan. Analisis membolehkan kita membuat kesimpulan berikut: ·di sekolah menengah, perhatian yang tidak mencukupi diberikan kepada kaedah untuk menyelesaikan pelbagai persamaan tidak rasional, terutamanya...

1. Jika hujahnya rumit (berbeza dengan X), kemudian gantikannya dengan t.

2. Kami membina dalam satu satah koordinat toOy graf fungsi y=kos Dan y=a.

3. Kami dapati sedemikian dua titik persilangan graf yang bersebelahan, antara yang terletak di atas garis lurus y=a. Kami dapati abscissas mata ini.

4. Tuliskan ketaksamaan berganda untuk hujah tersebut t, dengan mengambil kira tempoh kosinus ( t akan berada di antara abscissas yang ditemui).

5. Buat penggantian terbalik (kembali kepada hujah asal) dan nyatakan nilainya X daripada ketaksamaan berganda, kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka.

Contoh 1.

Seterusnya, mengikut algoritma, kami menentukan nilai hujah tersebut t, di mana sinusoid berada lebih tinggi lurus. Mari tulis nilai ini sebagai ketaksamaan berganda, dengan mengambil kira keberkalaan fungsi kosinus, dan kemudian kembali kepada hujah asal X.

Contoh 2.

Memilih julat nilai t, di mana sinusoid berada di atas garis lurus.

Kami menulis nilai dalam bentuk ketaksamaan berganda t, memenuhi syarat. Jangan lupa bahawa tempoh terkecil fungsi y=kos sama 2π. Berbalik kepada pembolehubah X, secara beransur-ansur memudahkan semua bahagian ketaksamaan berganda.

Kami menulis jawapan dalam bentuk selang berangka tertutup, kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.

Contoh 3.

Kami akan berminat dengan julat nilai t, di mana titik sinusoid akan terletak di atas garis lurus.

Nilai t tuliskannya dalam bentuk ketaksamaan berganda, tulis semula nilai yang sama untuk 2x dan menyatakan X. Mari kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka.

Dan lagi formula kos>a.

Jika kos>a, (-1≤A≤1), kemudian - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Gunakan formula untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dan anda akan menjimatkan masa pada ujian peperiksaan.

Dan sekarang formula , yang harus anda gunakan dalam UNT atau Peperiksaan Negeri Bersepadu apabila membuat keputusan ketaksamaan trigonometri baik hati kos

Jika kos , (-1≤A≤1), kemudian arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Gunakan formula ini untuk menyelesaikan ketaksamaan yang dibincangkan dalam artikel ini, dan anda akan mendapat jawapan dengan lebih pantas dan tanpa sebarang graf!

Dengan mengambil kira keberkalaan fungsi sinus, kami menulis ketidaksamaan berganda untuk nilai hujah t, memuaskan ketidaksamaan terakhir. Mari kembali kepada pembolehubah asal. Mari kita ubah ketaksamaan berganda yang terhasil dan nyatakan pembolehubah X. Mari kita tulis jawapan dalam bentuk selang.

Mari kita selesaikan ketidaksamaan kedua:

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kedua, kita perlu mengubah bahagian kiri ketaksamaan ini menggunakan formula sinus hujah berganda untuk mendapatkan ketaksamaan bentuk: sint≥a. Seterusnya kami mengikuti algoritma.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan ketiga:

Graduan dan pemohon yang dihormati! Perlu diingat bahawa kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, seperti kaedah grafik yang diberikan di atas dan, mungkin diketahui oleh anda, kaedah penyelesaian menggunakan bulatan trigonometri unit (bulatan trigonometri) hanya terpakai pada peringkat pertama mempelajari bahagian trigonometri. "Menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan." Saya fikir anda akan ingat bahawa anda mula-mula menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah menggunakan graf atau bulatan. Walau bagaimanapun, kini anda tidak akan terfikir untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan cara ini. Bagaimana anda menyelesaikannya? Betul, mengikut formula. Jadi ketaksamaan trigonometri harus diselesaikan menggunakan formula, terutamanya semasa ujian, apabila setiap minit adalah berharga. Jadi, selesaikan tiga ketaksamaan pelajaran ini menggunakan rumus yang sesuai.

Jika sint>a, di mana -1≤ a≤1, maka arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Belajar formula!

Dan akhirnya: adakah anda tahu bahawa matematik adalah definisi, peraturan dan FORMULA?!

Sudah tentu anda lakukan! Dan yang paling ingin tahu, setelah mempelajari artikel ini dan menonton video itu, berseru: "Berapa lama dan sukar! Adakah terdapat formula yang membolehkan anda menyelesaikan ketaksamaan tersebut tanpa sebarang graf atau bulatan?” Ya, sudah tentu ada!

UNTUK MENYELESAIKAN KETIDAKSAMAAN BORANG: dosa (-1≤A≤1) formula adalah sah:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Terapkan pada contoh yang dibincangkan dan anda akan mendapat jawapan dengan lebih cepat!

Kesimpulan: BELAJAR FORMULA, KAWAN!

Muka surat 1 daripada 1 1

KAEDAH PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

Perkaitan. Dari segi sejarah, persamaan trigonometri dan ketaksamaan telah diberi tempat yang istimewa dalam kurikulum sekolah. Kita boleh mengatakan bahawa trigonometri adalah salah satu bahagian terpenting dalam kursus sekolah dan keseluruhan sains matematik secara umum.

Persamaan trigonometri dan ketaksamaan menduduki salah satu tempat utama dalam kursus matematik sekolah menengah, baik dari segi kandungan bahan pendidikan dan kaedah aktiviti pendidikan dan kognitif yang boleh dan harus dibentuk semasa pengajian mereka dan digunakan untuk menyelesaikan sejumlah besar. masalah yang bersifat teori dan gunaan.

Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri mewujudkan prasyarat untuk mensistematikkan pengetahuan pelajar yang berkaitan dengan semua bahan pendidikan dalam trigonometri (contohnya, sifat fungsi trigonometri, kaedah mengubah ungkapan trigonometri, dll.) dan memungkinkan untuk mewujudkan hubungan yang berkesan dengan bahan yang dipelajari dalam algebra (persamaan, kesetaraan persamaan, ketaksamaan, transformasi serupa ungkapan algebra, dll.).

Dalam erti kata lain, pertimbangan teknik untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan melibatkan sejenis pemindahan kemahiran ini kepada kandungan baharu.

Kepentingan teori dan banyak aplikasinya adalah bukti perkaitan topik yang dipilih. Ini seterusnya membolehkan anda menentukan matlamat, objektif dan subjek penyelidikan kerja kursus.

Tujuan kajian: umumkan jenis ketaksamaan trigonometri yang ada, kaedah asas dan khas untuk menyelesaikannya, pilih satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri oleh murid sekolah.

Objektif kajian:

1. Berdasarkan analisis literatur yang ada mengenai topik kajian, sistematikkan bahan tersebut.

2. Sediakan satu set tugas yang diperlukan untuk menyatukan topik "Ketaksamaan trigonometri."

Objek kajian adalah ketaksamaan trigonometri dalam kursus matematik sekolah.

Subjek kajian: jenis ketaksamaan trigonometri dan kaedah untuk menyelesaikannya.

Kepentingan teori adalah untuk mensistemkan bahan.

Kepentingan praktikal: aplikasi pengetahuan teori dalam menyelesaikan masalah; analisis kaedah biasa utama untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Kaedah penyelidikan : analisis kesusasteraan saintifik, sintesis dan generalisasi pengetahuan yang diperoleh, analisis penyelesaian masalah, mencari kaedah optimum untuk menyelesaikan ketidaksamaan.

§1. Jenis ketaksamaan trigonometri dan kaedah asas untuk menyelesaikannya

1.1. Ketaksamaan trigonometri termudah

Dua ungkapan trigonometri yang dihubungkan dengan tanda atau > dipanggil ketaksamaan trigonometri.

Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri bermakna mencari set nilai yang tidak diketahui termasuk dalam ketaksamaan yang mana ketaksamaan itu dipenuhi.

Bahagian utama ketaksamaan trigonometri diselesaikan dengan mengurangkannya kepada penyelesaian yang paling mudah:


Ini mungkin kaedah pemfaktoran, perubahan pembolehubah (
,
dsb.), di mana ketidaksamaan biasa pertama kali diselesaikan, dan kemudian ketidaksamaan bentuk
dan lain-lain, atau kaedah lain.

Ketaksamaan yang paling mudah boleh diselesaikan dengan dua cara: menggunakan bulatan unit atau secara grafik.

biarlahf(x – salah satu fungsi trigonometri asas. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan
ia cukup untuk mencari penyelesaiannya pada satu tempoh, i.e. pada mana-mana bahagian yang panjangnya sama dengan tempoh fungsif x . Kemudian penyelesaian kepada ketidaksamaan asal akan ditemuix , serta nilai-nilai yang berbeza daripada yang ditemui oleh mana-mana nombor integer tempoh fungsi. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah grafik.

Mari kita berikan contoh algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan
(
) Dan
.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan
(
).

1. Merumus definisi sinus bagi suatu nomborx pada bulatan unit.

3. Pada paksi ordinat, tandakan titik dengan koordinata .

4. Lukis garis selari dengan paksi OX melalui titik ini dan tandakan titik persilangannya dengan bulatan.

5. Pilih lengkok bulatan, semua titik yang mempunyai ordinat kurang daripadaa .

6. Tunjukkan arah pusingan (lawan arah jam) dan tulis jawapan dengan menambah tempoh fungsi pada hujung selang2πn ,
.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan
.

1. Merumus definisi tangen bagi suatu nomborx pada bulatan unit.

2. Lukiskan bulatan unit.

3. Lukiskan garis tangen dan tanda satu titik dengan ordinat di atasnyaa .

4. Sambungkan titik ini dengan asalan dan tandakan titik persilangan segmen yang terhasil dengan bulatan unit.

5. Pilih lengkok bulatan, semua titik yang mempunyai ordinat pada garis tangen kurang daripadaa .

6. Tunjukkan arah lintasan dan tulis jawapan dengan mengambil kira domain takrifan fungsi, menambah noktahπn ,
(nombor di sebelah kiri entri sentiasa kurang daripada nombor di sebelah kanan).

Tafsiran grafik penyelesaian kepada persamaan dan formula termudah untuk menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk umum ditunjukkan dalam lampiran (Lampiran 1 dan 2).

Contoh 1. Selesaikan ketidaksamaan
.

Lukis garis lurus pada bulatan unit
, yang memotong bulatan pada titik A dan B.

Semua maknay pada selang NM adalah lebih besar , semua titik lengkok AMB memenuhi ketidaksamaan ini. Pada semua sudut putaran, besar , tetapi lebih kecil ,
akan mengambil nilai yang lebih tinggi (tetapi tidak lebih daripada satu).

Rajah 1

Oleh itu, penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah semua nilai dalam selang
, iaitu
. Untuk mendapatkan semua penyelesaian kepada ketidaksamaan ini, cukup untuk menambah pada hujung selang ini
, Di mana
, iaitu
,
. Perhatikan bahawa nilai
Dan
adalah punca-punca persamaan
,

mereka.
;
.

Jawapan:
,
.

1.2. Kaedah grafik

Dalam amalan, kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri sering ternyata berguna. Mari kita pertimbangkan intipati kaedah menggunakan contoh ketidaksamaan
:

1. Jika hujahnya rumit (berbeza denganX ), kemudian gantikannya dengant .

2. Kami membina dalam satu satah koordinattoOy graf fungsi
Dan
.

3. Kami dapati sedemikiandua titik persilangan graf yang bersebelahan, antara yanggelombang sinusterletaklebih tinggi lurus
. Kami dapati abscissas mata ini.

4. Tuliskan ketaksamaan berganda untuk hujah tersebutt , dengan mengambil kira tempoh kosinus (t akan berada di antara abscissas yang ditemui).

5. Buat penggantian terbalik (kembali kepada hujah asal) dan nyatakan nilainyaX daripada ketaksamaan berganda, kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka.

Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan: .

Apabila menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah grafik, adalah perlu untuk membina graf fungsi setepat mungkin. Mari kita ubah ketidaksamaan kepada bentuk:

Mari bina graf fungsi dalam satu sistem koordinat
Dan
(Gamb. 2).

Rajah.2

Graf fungsi bersilang pada titikA dengan koordinat
;
. Di antara
titik graf
di bawah titik graf
. Dan bila
nilai fungsi adalah sama. sebab tu
di
.

Jawapan:
.

1.3. Kaedah algebra

Selalunya, ketaksamaan trigonometri asal boleh dikurangkan kepada ketaksamaan algebra (rasional atau tidak rasional) melalui penggantian yang dipilih dengan baik. Kaedah ini melibatkan mengubah ketaksamaan, memperkenalkan penggantian atau menggantikan pembolehubah.

Mari kita lihat contoh khusus penggunaan kaedah ini.

Contoh 3. Pengurangan kepada bentuk termudah
.

(Gamb. 3)

Rajah.3

,
.

Jawapan:
,

Contoh 4. Selesaikan ketaksamaan:

ODZ:
,
.

Menggunakan formula:
,

Mari kita tulis ketaksamaan dalam bentuk:
.

Atau, percaya
selepas transformasi mudah kita dapat

,

,

.

Menyelesaikan ketaksamaan terakhir menggunakan kaedah selang, kami memperoleh:

Rajah.4

, masing-masing
. Kemudian daripada Rajah. 4 mengikut
, Di mana
.

Rajah.5

Jawapan:
,
.

1.4. Kaedah selang waktu

Skim umum untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan kaedah selang:

    Faktorkan menggunakan formula trigonometri.

    Cari titik ketakselanjaran dan sifar bagi fungsi dan letakkannya pada bulatan.

    Ambil apa-apa perkaraKEPADA (tetapi tidak ditemui lebih awal) dan ketahui tanda produk. Jika hasil darab adalah positif, maka letakkan satu titik di luar bulatan unit pada sinar yang sepadan dengan sudut. Jika tidak, letakkan titik di dalam bulatan.

    Jika satu titik berlaku bilangan kali genap, kami memanggilnya titik gandaan genap; jika bilangan kali ganjil, kami memanggilnya titik gandaan ganjil. Lukis lengkok seperti berikut: mulakan dari satu titikKEPADA , jika titik seterusnya ialah kepelbagaian ganjil, maka lengkok itu bersilang dengan bulatan pada titik ini, tetapi jika titik itu ialah kepelbagaian genap, maka ia tidak bersilang.

    Lengkok di belakang bulatan adalah selang positif; di dalam bulatan terdapat ruang negatif.

Contoh 5. Selesaikan ketidaksamaan

,
.

Mata siri pertama:
.

Mata siri kedua:
.

Setiap titik berlaku beberapa kali ganjil, iaitu, semua titik adalah berbilang ganjil.

Mari kita ketahui tanda produk di
: . Mari kita tandai semua titik pada bulatan unit (Gamb. 6):

nasi. 6

Jawapan:
,
;
,
;
,
.

Contoh 6 . Selesaikan ketidaksamaan.

Penyelesaian:

Mari cari sifar bagi ungkapan itu .

terimaaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Pada nilai siri bulatan unitX 1 diwakili oleh titik
. SiriX 2 memberikan mata
. SiriX 3 kita dapat dua mata
. Akhirnya, siriX 4 akan mewakili mata
. Mari kita plot semua titik ini pada bulatan unit, menunjukkan kepelbagaiannya dalam kurungan di sebelah setiap satu daripadanya.

Biar sekarang nombornya akan sama. Mari buat anggaran berdasarkan tanda:

Jadi, noktahA hendaklah dipilih pada sinar yang membentuk sudut dengan rasukOh, di luar bulatan unit. (Perhatikan bahawa rasuk tambahanTENTANG A Ia sama sekali tidak perlu untuk menggambarkannya dalam gambar. titikA dipilih lebih kurang.)

Sekarang dari titikA lukis garis berterusan beralun secara berurutan ke semua titik yang ditanda. Dan pada titik
garisan kami pergi dari satu kawasan ke kawasan lain: jika ia berada di luar bulatan unit, maka ia akan masuk ke dalamnya. Mendekati titik , garisan kembali ke kawasan dalam, kerana kepelbagaian titik ini adalah genap. Begitu juga pada titik (dengan kepelbagaian genap) garisan perlu dipusingkan ke kawasan luar. Jadi, kami melukis gambar tertentu yang ditunjukkan dalam Rajah. 7. Ia membantu untuk menyerlahkan kawasan yang dikehendaki pada bulatan unit. Mereka ditandakan dengan tanda "+".

Rajah.7

Jawapan akhir:

Catatan. Jika garisan beralun, selepas mengelilingi semua titik yang ditanda pada bulatan unit, tidak boleh dikembalikan ke titikA , tanpa melintasi bulatan di tempat yang "haram", ini bermakna ralat telah dibuat dalam penyelesaian, iaitu, bilangan akar ganjil telah terlepas.

Jawab: .

§2. Satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri

Dalam proses membangunkan keupayaan murid sekolah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, 3 peringkat juga boleh dibezakan.

1. persediaan,

2. membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah;

3. pengenalan ketaksamaan trigonometri jenis lain.

Tujuan peringkat persediaan adalah perlu untuk membangunkan kanak-kanak sekolah keupayaan untuk menggunakan bulatan atau graf trigonometri untuk menyelesaikan ketaksamaan, iaitu:

Keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan mudah bentuk
,
,
,
, menggunakan sifat-sifat fungsi sinus dan kosinus;

Keupayaan untuk membina ketaksamaan berganda untuk lengkok bulatan nombor atau untuk lengkok graf fungsi;

Keupayaan untuk melakukan pelbagai transformasi ungkapan trigonometri.

Adalah disyorkan untuk melaksanakan peringkat ini dalam proses sistematik pengetahuan murid sekolah tentang sifat-sifat fungsi trigonometri. Cara utama boleh menjadi tugas yang ditawarkan kepada pelajar dan dilakukan sama ada di bawah bimbingan guru atau secara bebas, serta kemahiran yang dibangunkan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

Berikut adalah contoh tugas tersebut:

1 . Tandakan satu titik pada bulatan unit , Jika

.

2. Pada suku satah koordinat yang manakah titik itu terletak? , Jika sama dengan:

3. Tandakan titik-titik pada bulatan trigonometri , Jika:

4. Tukarkan ungkapan tersebut kepada fungsi trigonometrisayakuarters.

A)
, b)
, V)

5. Arc MR diberikan.M – tengahsaya-suku tahun,R – tengahIIsuku tahun ke. Hadkan nilai pembolehubaht untuk: (membuat ketaksamaan berganda) a) arka MR; b) RM arka.

6. Tuliskan ketaksamaan berganda bagi bahagian graf yang dipilih:

nasi. 1

7. Selesaikan ketaksamaan
,
,
,
.

8. Tukar Ungkapan .

Pada peringkat kedua pembelajaran untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kami boleh menawarkan cadangan berikut yang berkaitan dengan metodologi untuk mengatur aktiviti pelajar. Dalam kes ini, adalah perlu untuk memberi tumpuan kepada kemahiran sedia ada pelajar dalam bekerja dengan bulatan atau graf trigonometri, yang dibentuk semasa menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah.

Pertama, seseorang boleh memotivasikan kesesuaian mendapatkan kaedah umum untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri termudah dengan mengubah, sebagai contoh, kepada ketaksamaan bentuk
. Menggunakan pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh pada peringkat persediaan, pelajar akan membawa ketidaksamaan yang dicadangkan ke borang
, tetapi mungkin sukar untuk mencari satu set penyelesaian kepada ketidaksamaan yang terhasil, kerana Tidak mustahil untuk menyelesaikannya hanya menggunakan sifat-sifat fungsi sinus. Kesukaran ini boleh dielakkan dengan beralih kepada ilustrasi yang sesuai (menyelesaikan persamaan secara grafik atau menggunakan bulatan unit).

Kedua, guru harus menarik perhatian pelajar kepada cara yang berbeza untuk menyelesaikan tugasan, memberikan contoh yang sesuai untuk menyelesaikan ketaksamaan secara grafik dan menggunakan bulatan trigonometri.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian berikut untuk ketaksamaan
.

1. Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan bulatan unit.

Dalam pelajaran pertama tentang menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kami akan menawarkan pelajar algoritma penyelesaian terperinci, yang dalam pembentangan langkah demi langkah mencerminkan semua kemahiran asas yang diperlukan untuk menyelesaikan ketidaksamaan.

Langkah 1.Mari kita lukis bulatan unit dan tanda satu titik pada paksi ordinat dan lukis garis lurus melaluinya selari dengan paksi-x. Garis ini akan memotong bulatan unit pada dua titik. Setiap titik ini mewakili nombor yang sinusnya sama dengan .

Langkah 2.Garis lurus ini membahagikan bulatan kepada dua lengkok. Mari kita pilih yang menggambarkan nombor yang mempunyai sinus lebih besar daripada . Sememangnya, lengkok ini terletak di atas garis lurus yang dilukis.

nasi. 2

Langkah 3.Pilih salah satu hujung arka yang ditanda. Mari tuliskan salah satu nombor yang diwakili oleh titik bulatan unit ini .

Langkah 4.Untuk memilih nombor yang sepadan dengan hujung kedua arka yang dipilih, kami "berjalan" di sepanjang arka ini dari hujung yang dinamakan ke yang lain. Pada masa yang sama, ingat bahawa apabila bergerak lawan jam, nombor yang akan kita lalui meningkat (apabila bergerak ke arah yang bertentangan, nombor akan berkurangan). Mari tuliskan nombor yang digambarkan pada bulatan unit pada hujung kedua lengkok yang ditanda .

Oleh itu, kita melihat ketidaksamaan itu
memenuhi nombor yang mana ketaksamaan adalah benar
. Kami menyelesaikan ketaksamaan untuk nombor yang terletak pada tempoh yang sama bagi fungsi sinus. Oleh itu, semua penyelesaian kepada ketidaksamaan boleh ditulis dalam borang

Pelajar harus diminta untuk memeriksa dengan teliti lukisan itu dan memikirkan mengapa semua penyelesaian kepada ketidaksamaan
boleh ditulis dalam bentuk
,
.

nasi. 3

Adalah perlu untuk menarik perhatian pelajar kepada fakta bahawa apabila menyelesaikan ketaksamaan untuk fungsi kosinus, kita melukis garis lurus selari dengan paksi ordinat.

    Kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan.

Kami membina graf
Dan
, memandangkan itu
.

nasi. 4

Kemudian kita tulis persamaan
dan keputusannya
,
,
, didapati menggunakan formula
,
,
.

(Memberin nilai 0, 1, 2, kita dapati tiga punca persamaan yang disusun). Nilai
ialah tiga absis berturut-turut bagi titik persilangan graf
Dan
. Jelas sekali, sentiasa dalam selang waktu
ketidaksamaan berlaku
, dan pada selang waktu
– ketidaksamaan
. Kami berminat dengan kes pertama, dan kemudian menambah pada hujung selang ini nombor yang merupakan gandaan tempoh sinus, kami memperoleh penyelesaian kepada ketaksamaan
sebagai:
,
.

nasi. 5

rumuskan. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan
, anda perlu mencipta persamaan yang sepadan dan menyelesaikannya. Cari punca daripada formula yang terhasil Dan , dan tulis jawapan kepada ketaksamaan dalam borang: ,
.

Ketiga, fakta tentang set punca ketaksamaan trigonometri yang sepadan sangat jelas disahkan apabila menyelesaikannya secara grafik.

nasi. 6

Adalah perlu untuk menunjukkan kepada pelajar bahawa giliran, yang merupakan penyelesaian kepada ketaksamaan, diulang melalui selang yang sama, sama dengan tempoh fungsi trigonometri. Anda juga boleh mempertimbangkan ilustrasi yang serupa untuk graf fungsi sinus.

Keempat, adalah dinasihatkan untuk menjalankan kerja mengemas kini teknik pelajar untuk menukar jumlah (perbezaan) fungsi trigonometri kepada produk, dan untuk menarik perhatian pelajar kepada peranan teknik ini dalam menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Kerja sedemikian boleh dianjurkan melalui penyelesaian bebas tugas yang dicadangkan oleh guru oleh pelajar, antaranya kami menyerlahkan perkara berikut:

Kelima, pelajar mesti dikehendaki untuk menggambarkan penyelesaian bagi setiap ketaksamaan trigonometri mudah menggunakan graf atau bulatan trigonometri. Anda pasti perlu memberi perhatian kepada kesesuaiannya, terutamanya penggunaan bulatan, kerana apabila menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, ilustrasi yang sepadan berfungsi sebagai cara yang sangat mudah untuk merekodkan set penyelesaian kepada ketidaksamaan tertentu.

Adalah dinasihatkan untuk memperkenalkan pelajar kepada kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang bukan yang paling mudah mengikut skema berikut: beralih kepada ketaksamaan trigonometri tertentu beralih kepada carian bersama persamaan trigonometri yang sepadan (guru - pelajar) untuk pemindahan bebas penyelesaian bagi kaedah yang ditemui untuk ketaksamaan lain daripada jenis yang sama.

Untuk mensistematikkan pengetahuan pelajar tentang trigonometri, kami mengesyorkan agar memilih ketaksamaan tersebut secara khusus, penyelesaiannya memerlukan pelbagai transformasi yang boleh dilaksanakan dalam proses menyelesaikannya, dan menumpukan perhatian pelajar pada ciri-ciri mereka.

Oleh sebab ketidaksamaan yang produktif, kita boleh mencadangkan, sebagai contoh, perkara berikut:

Sebagai kesimpulan, kami memberi contoh satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

1. Selesaikan ketaksamaan:

2. Selesaikan ketaksamaan: 3. Cari semua penyelesaian kepada ketaksamaan: 4. Cari semua penyelesaian kepada ketaksamaan:

A)
, memenuhi syarat
;

b)
, memenuhi syarat
.

5. Cari semua penyelesaian kepada ketaksamaan:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Selesaikan ketaksamaan:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d);

e);

dan)
.

7. Selesaikan ketaksamaan:

A)
;

b) ;

V);

G).

8. Selesaikan ketaksamaan:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d)
;

e);

dan)
;

h).

Adalah dinasihatkan untuk menawarkan tugasan 6 dan 7 kepada pelajar yang mempelajari matematik di peringkat lanjutan, tugasan 8 kepada pelajar dalam kelas dengan pengajian lanjutan matematik.

§3. Kaedah khas untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri

Kaedah khas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri - iaitu kaedah yang hanya boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Kaedah ini adalah berdasarkan penggunaan sifat fungsi trigonometri, serta penggunaan pelbagai formula dan identiti trigonometri.

3.1. Kaedah sektor

Mari kita pertimbangkan kaedah sektor untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Menyelesaikan ketaksamaan bentuk

, Di manaP ( x ) DanQ ( x ) – fungsi trigonometri rasional (sinus, kosinus, tangen dan kotangen dimasukkan ke dalamnya secara rasional), serupa dengan menyelesaikan ketaksamaan rasional. Adalah mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang pada garis nombor. Analognya untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri rasional ialah kaedah sektor dalam bulatan trigonometri, untuksinx Dancosx (
) atau separuh bulatan trigonometri untuktgx Danctgx (
).


Dalam kaedah selang, setiap faktor linear pengangka dan penyebut bentuk
pada paksi nombor sepadan dengan titik , dan apabila melalui titik ini
perubahan tanda. Dalam kaedah sektor, setiap faktor bentuk
, Di mana
- salah satu fungsisinx ataucosx Dan
, dalam bulatan trigonometri terdapat dua sudut yang sepadan Dan
, yang membahagikan bulatan kepada dua sektor. Apabila melalui Dan fungsi
perubahan tanda.

Perkara berikut mesti diingat:

a) Faktor bentuk
Dan
, Di mana
, kekalkan tanda untuk semua nilai . Faktor pengangka dan penyebut sedemikian dibuang dengan menukar (jika
) dengan setiap penolakan sedemikian, tanda ketidaksamaan diterbalikkan.

b) Faktor bentuk
Dan
juga dibuang. Selain itu, jika ini adalah faktor penyebut, maka ketaksamaan bentuk ditambah kepada sistem ketaksamaan yang setara.
Dan
. Jika ini adalah faktor pengangka, maka dalam sistem sekatan yang setara ia sepadan dengan ketaksamaan
Dan
dalam kes ketidaksamaan awal yang ketat, dan kesaksamaan
Dan
dalam kes ketidaksamaan awal yang tidak ketat. Apabila membuang pengganda
atau
tanda ketidaksamaan diterbalikkan.

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan: a)
, b)
. kita mempunyai fungsi b) . Selesaikan ketidaksamaan yang kita ada,

3.2. Kaedah bulatan sepusat

Kaedah ini adalah analog kaedah paksi nombor selari untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan rasional.

Mari kita pertimbangkan contoh sistem ketaksamaan.

Contoh 5. Selesaikan sistem ketaksamaan trigonometri mudah

Pertama, kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan secara berasingan (Rajah 5). Di penjuru kanan sebelah atas rajah kami akan menunjukkan hujah mana bulatan trigonometri sedang dipertimbangkan.

Rajah.5

Seterusnya, kami membina sistem bulatan sepusat untuk hujahX . Kami melukis bulatan dan lorekkannya mengikut penyelesaian ketaksamaan pertama, kemudian kami melukis bulatan jejari yang lebih besar dan lorekkannya mengikut penyelesaian kedua, kemudian kami membina bulatan untuk ketaksamaan ketiga dan bulatan asas. Kami melukis sinar dari pusat sistem melalui hujung lengkok supaya ia bersilang dengan semua bulatan. Kami membentuk penyelesaian pada bulatan asas (Rajah 6).

Rajah.6

Jawapan:
,
.

Kesimpulan

Semua objektif penyelidikan kursus telah selesai. Bahan teori disusun secara sistematik: jenis utama ketaksamaan trigonometri dan kaedah utama untuk menyelesaikannya diberikan (grafik, algebra, kaedah selang, sektor dan kaedah bulatan sepusat). Contoh penyelesaian ketaksamaan telah diberikan untuk setiap kaedah. Bahagian teori diikuti dengan bahagian praktikal. Ia mengandungi satu set tugas untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Kerja kursus ini boleh digunakan oleh pelajar untuk kerja bebas. Murid sekolah boleh menyemak tahap penguasaan topik ini dan berlatih menyelesaikan tugasan dengan kerumitan yang berbeza-beza.

Setelah mengkaji kesusasteraan yang berkaitan mengenai isu ini, kita dapat dengan jelas menyimpulkan bahawa keupayaan dan kemahiran untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dalam kursus sekolah algebra dan analisis asas adalah sangat penting, pembangunan yang memerlukan usaha yang besar di pihak guru matematik.

Oleh itu, kerja ini akan berguna untuk guru matematik, kerana ia memungkinkan untuk mengatur latihan pelajar dengan berkesan mengenai topik "Ketaksamaan trigonometri."

Penyelidikan boleh diteruskan dengan mengembangkannya kepada kerja kelayakan akhir.

Senarai sastera terpakai

    Bogomolov, N.V. Koleksi masalah dalam matematik [Teks] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.

    Vygodsky, M.Ya. Buku panduan matematik asas [Teks] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

    Zhurbenko, L.N. Matematik dalam contoh dan masalah [Teks] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

    Ivanov, O.A. Matematik asas untuk pelajar sekolah, pelajar dan guru [Teks] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

    Karp, A.P. Tugasan mengenai algebra dan permulaan analisis untuk menganjurkan ulangan dan pensijilan akhir dalam gred 11 [Teks] / A.P. ikan mas. – M.: Pendidikan, 2005. – 79 p.

    Kulanin, E.D. 3000 masalah persaingan dalam matematik [Teks] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

    Leibson, K.L. Koleksi tugas amali dalam matematik [Teks] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.

    Siku, V.V. Masalah dengan parameter dan penyelesaiannya. Trigonometri: persamaan, ketaksamaan, sistem. gred 10 [Teks] / V.V. siku. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

    Manova, A.N. Matematik. Tutor ekspres untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersatu: pelajar. manual [Teks] / A.N. Manova. – Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. – 541 p.

    Mordkovich, A.G. Algebra dan permulaan analisis matematik. 10-11 darjah. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am [Teks] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

    Novikov, A.I. Fungsi trigonometri, persamaan dan ketaksamaan [Teks] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

    Oganesyan, V.A. Kaedah pengajaran matematik di sekolah menengah: Metodologi am. Buku teks manual untuk pelajar fizik - tikar. fak. ped. Inst. [Teks] / V.A. Oganesyan. – M.: Pendidikan, 2006. – 368 p.

    Olehnik, S.N. Persamaan dan ketaksamaan. Kaedah penyelesaian bukan standard [Teks] / S.N. Olehnik. – M.: Faktorial Publishing House, 1997. – 219 hlm.

    Sevryukov, P.F. Persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen dan logaritma [Teks] / P.F. Sevryukov. – M.: Pendidikan Awam, 2008. – 352 p.

    Sergeev, I.N. Peperiksaan Negeri Bersatu: 1000 masalah dengan jawapan dan penyelesaian dalam matematik. Semua tugas kumpulan C [Teks] / I.N. Sergeev. – M.: Peperiksaan, 2012. – 301 p.

    Sobolev, A.B. Matematik asas [Teks] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Institusi Pendidikan Pendidikan Profesional Tinggi Negeri USTU-UPI, 2005. – 81 p.

    Fenko, L.M. Kaedah selang dalam menyelesaikan ketaksamaan dan mengkaji fungsi [Teks] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.

    Friedman, L.M. Asas teori kaedah pengajaran matematik [Teks] / L.M. Friedman. – M.: Rumah buku “LIBROKOM”, 2009. – 248 p.

Lampiran 1

Tafsiran grafik penyelesaian kepada ketaksamaan mudah

nasi. 1

nasi. 2

Rajah.3

Rajah.4

Rajah.5

Rajah.6

Rajah.7

Rajah 8

Lampiran 2

Penyelesaian kepada ketidaksamaan mudah

Semasa pelajaran praktikal, kami akan mengulangi jenis tugas utama dari topik "Trigonometri", selain itu menganalisis masalah peningkatan kerumitan dan mempertimbangkan contoh menyelesaikan pelbagai ketaksamaan trigonometri dan sistemnya.

Pelajaran ini akan membantu anda bersedia untuk salah satu jenis tugasan B5, B7, C1 dan C3.

Mari kita mulakan dengan mengkaji jenis tugas utama yang kami bincangkan dalam topik "Trigonometri" dan menyelesaikan beberapa masalah bukan standard.

Tugasan No 1. Tukar sudut kepada radian dan darjah: a) ; b) .

a) Mari kita gunakan formula untuk menukar darjah kepada radian

Mari kita gantikan nilai yang ditentukan ke dalamnya.

b) Gunakan formula untuk menukar radian kepada darjah

Mari kita lakukan penggantian .

Jawab. A); b) .

Tugasan No. 2. Kira: a); b) .

a) Oleh kerana sudut melangkaui jadual, kita akan mengurangkannya dengan menolak tempoh sinus. Kerana Sudut ditunjukkan dalam radian, maka kita akan menganggap tempoh sebagai .

b) Dalam kes ini keadaannya adalah serupa. Oleh kerana sudut ditunjukkan dalam darjah, kita akan menganggap tempoh tangen sebagai .

Sudut yang terhasil, walaupun lebih kecil daripada noktah, adalah lebih besar, yang bermaksud bahawa ia tidak lagi merujuk kepada utama, tetapi kepada bahagian lanjutan jadual. Untuk tidak sekali lagi melatih ingatan anda dengan menghafal jadual lanjutan nilai trigofungsi, mari kita tolak tempoh tangen sekali lagi:

Kami mengambil kesempatan daripada keganjilan fungsi tangen.

Jawab. a) 1; b) .

Tugasan No. 3. Kira , Jika .

Mari kita kurangkan keseluruhan ungkapan kepada tangen dengan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan . Pada masa yang sama, kita tidak boleh takut itu, kerana dalam kes ini, nilai tangen tidak akan wujud.

Tugasan No. 4. Permudahkan ungkapan.

Ungkapan yang ditentukan ditukar menggunakan formula pengurangan. Mereka hanya ditulis secara luar biasa menggunakan darjah. Ungkapan pertama secara amnya mewakili nombor. Mari permudahkan semua trigofungsi satu demi satu:

Kerana , kemudian fungsi bertukar kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku kedua, di mana tangen asal mempunyai tanda negatif.

Atas sebab yang sama seperti dalam ungkapan sebelumnya, fungsi berubah kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku pertama, di mana tangen asal mempunyai tanda positif.

Mari kita gantikan semuanya ke dalam ungkapan ringkas:

Masalah #5. Permudahkan ungkapan.

Mari kita tulis tangen bagi sudut dua dengan menggunakan formula yang sesuai dan ringkaskan ungkapan:

Identiti terakhir ialah salah satu formula penggantian universal untuk kosinus.

Masalah #6. Kira.

Perkara utama adalah tidak membuat kesilapan standard dengan tidak memberikan jawapan yang ungkapan itu sama dengan . Anda tidak boleh menggunakan sifat asas arctangent selagi terdapat faktor dalam bentuk dua di sebelahnya. Untuk menyingkirkannya, kami akan menulis ungkapan mengikut formula untuk tangen sudut berganda, sambil menganggap , sebagai hujah biasa.

Sekarang kita boleh menggunakan sifat asas arctangent; ingat bahawa tiada sekatan pada hasil berangkanya.

Masalah No 7. Selesaikan persamaan.

Apabila menyelesaikan persamaan pecahan yang sama dengan sifar, ia sentiasa ditunjukkan bahawa pengangka adalah sama dengan sifar, tetapi penyebutnya tidak, kerana Anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Persamaan pertama ialah kes khas persamaan termudah yang boleh diselesaikan menggunakan bulatan trigonometri. Ingat penyelesaian ini sendiri. Ketaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan termudah menggunakan formula am untuk akar tangen, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.

Seperti yang kita lihat, satu keluarga akar mengecualikan satu lagi keluarga dengan jenis akar yang sama yang tidak memenuhi persamaan. Itu. tiada akar.

Jawab. Tiada akar.

Masalah No 8. Selesaikan persamaan.

Mari kita segera ambil perhatian bahawa kita boleh mengambil faktor biasa dan mari kita lakukannya:

Persamaan telah dikurangkan kepada salah satu bentuk piawai, di mana hasil darab beberapa faktor bersamaan dengan sifar. Kita sudah tahu bahawa dalam kes ini, salah satu daripadanya adalah sama dengan sifar, atau yang lain, atau yang ketiga. Mari kita tulis ini dalam bentuk satu set persamaan:

Dua persamaan pertama adalah kes khas bagi yang paling mudah; kita telah menemui persamaan yang serupa berkali-kali, jadi kita akan segera menunjukkan penyelesaiannya. Kami mengurangkan persamaan ketiga kepada satu fungsi menggunakan formula sinus sudut berganda.

Mari kita selesaikan persamaan terakhir secara berasingan:

Persamaan ini tidak mempunyai punca, kerana nilai sinus tidak boleh melampaui .

Oleh itu, penyelesaiannya hanyalah dua keluarga akar pertama; mereka boleh digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada bulatan trigonometri:

Ini adalah keluarga semua bahagian, i.e.

Mari kita teruskan kepada menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Pertama, kami akan menganalisis pendekatan untuk menyelesaikan contoh tanpa menggunakan formula untuk penyelesaian umum, tetapi menggunakan bulatan trigonometri.

Masalah No 9. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita lukis garis bantu pada bulatan trigonometri yang sepadan dengan nilai sinus yang sama dengan , dan tunjukkan julat sudut yang memenuhi ketaksamaan.

Adalah sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana untuk menunjukkan selang sudut yang terhasil, i.e. apakah permulaannya dan apakah pengakhirannya. Permulaan selang akan menjadi sudut yang sepadan dengan titik yang akan kita masukkan pada awal selang jika kita bergerak melawan arah jam. Dalam kes kami, ini adalah titik yang berada di sebelah kiri, kerana bergerak lawan jam dan melepasi titik yang betul, kami, sebaliknya, meninggalkan julat sudut yang diperlukan. Oleh itu, titik yang betul akan sepadan dengan penghujung jurang.

Sekarang kita perlu memahami sudut permulaan dan akhir selang penyelesaian kita kepada ketaksamaan. Kesilapan biasa adalah dengan segera menunjukkan bahawa titik yang betul sepadan dengan sudut, yang kiri dan memberikan jawapan. Ini tidak benar! Sila ambil perhatian bahawa kami baru sahaja menunjukkan selang yang sepadan dengan bahagian atas bulatan, walaupun kami berminat dengan bahagian bawah, dengan kata lain, kami telah mencampurkan permulaan dan akhir selang penyelesaian yang kami perlukan.

Agar selang bermula dari sudut titik kanan dan berakhir dengan sudut titik kiri, adalah perlu bahawa sudut yang ditentukan pertama adalah kurang daripada yang kedua. Untuk melakukan ini, kita perlu mengukur sudut titik kanan dalam arah negatif rujukan, i.e. mengikut arah jam dan ia akan sama dengan . Kemudian, mula bergerak daripadanya mengikut arah jam positif, kita akan sampai ke titik kanan selepas titik kiri dan mendapatkan nilai sudut untuknya. Sekarang permulaan selang sudut kurang daripada akhir, dan kita boleh menulis selang penyelesaian tanpa mengambil kira tempoh:

Memandangkan selang tersebut akan diulang beberapa kali tidak terhingga selepas sebarang nombor bulat putaran, kami memperoleh penyelesaian umum dengan mengambil kira tempoh sinus:

Kami meletakkan tanda kurung kerana ketaksamaan adalah ketat, dan kami memilih titik pada bulatan yang sepadan dengan hujung selang.

Bandingkan jawapan yang anda terima dengan formula untuk penyelesaian umum yang kami berikan dalam kuliah.

Jawab. .

Kaedah ini bagus untuk memahami dari mana datangnya formula untuk penyelesaian umum bagi ketaksamaan trigon termudah. Di samping itu, ia berguna untuk mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua formula yang menyusahkan ini. Walau bagaimanapun, kaedah itu sendiri juga tidak mudah; pilih pendekatan untuk penyelesaian yang paling sesuai untuk anda.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, anda juga boleh menggunakan graf fungsi di mana garis bantu dibina, serupa dengan kaedah yang ditunjukkan menggunakan bulatan unit. Jika anda berminat, cuba fikirkan sendiri pendekatan penyelesaian ini. Dalam perkara berikut kita akan menggunakan formula am untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah.

Masalah No 10. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita gunakan formula untuk penyelesaian umum, dengan mengambil kira hakikat bahawa ketidaksamaan itu tidak ketat:

Dalam kes kami, kami mendapat:

Jawab.

Masalah No 11. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita gunakan formula penyelesaian am untuk ketaksamaan yang sepadan:

Jawab. .

Masalah No 12. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

Dalam ketidaksamaan ini, tidak perlu tergesa-gesa menggunakan formula untuk penyelesaian umum atau bulatan trigonometri; cukup untuk mengingati julat nilai sinus dan kosinus.

a) Sejak , maka ketidaksamaan itu tidak masuk akal. Oleh itu, tiada penyelesaian.

b) Kerana begitu juga, sinus sebarang hujah sentiasa memenuhi ketaksamaan yang dinyatakan dalam keadaan. Oleh itu, semua nilai sebenar hujah memenuhi ketidaksamaan.

Jawab. a) tiada penyelesaian; b) .

Masalah 13. Selesaikan ketidaksamaan .