Dua dadu dilempar secara rawak. Kebarangkalian dadu

Meninggalkan balasan tetamu

Dengan satu dadu keadaan tidak senonoh mudah. Biar saya ingatkan anda bahawa kebarangkalian ditemui oleh formula P=m/n
P
=
m
n
, di mana n
n
ialah bilangan semua hasil asas yang sama mungkin bagi eksperimen yang melibatkan melambung kubus atau dadu, dan m
m
- bilangan hasil yang memihak kepada acara tersebut.

Contoh 1: Die dilempar sekali. Apakah kebarangkalian bahawa bilangan mata genap digulung?

Memandangkan dadu ialah kiub (mereka juga mengatakan dadu biasa, iaitu, dadu seimbang supaya ia mendarat pada semua sisi dengan kebarangkalian yang sama), kubus mempunyai 6 muka (dengan bilangan mata dari 1 hingga 6, biasanya ditunjukkan dengan mata), kemudian Dan jumlah nombor hasil dalam masalah n=6
n
=
6
. Satu-satunya hasil yang memihak kepada acara adalah apabila pihak dengan 2, 4 atau 6 mata (nombor genap sahaja) muncul terdapat m=3 sisi tersebut
m
=
3
. Maka kebarangkalian yang diperlukan ialah P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Contoh 2. Sebuah dadu dilempar. Cari kebarangkalian bergolek sekurang-kurangnya 5 mata.

Kami membuat alasan dengan cara yang sama seperti dalam contoh sebelumnya. Jumlah bilangan hasil yang sama mungkin apabila melontar dadu n=6
n
=
6
, dan syarat "sekurang-kurangnya 5 mata digulung", iaitu, "sama ada 5 atau 6 mata digulung" dipenuhi dengan 2 hasil, m=2
m
=
2
. Kebarangkalian yang diperlukan ialah P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Saya tidak nampak guna memberi lebih banyak contoh, mari kita beralih kepada dua dadu, di mana segala-galanya menjadi lebih menarik dan rumit.

Dua dadu

Bila kita bercakap tentang Untuk masalah yang melibatkan membaling 2 dadu, adalah sangat mudah untuk menggunakan jadual pemarkahan. Mari kita plot secara mendatar bilangan mata yang jatuh pada dadu pertama, dan secara menegak bilangan mata yang jatuh pada dadu kedua. Mari dapatkan sesuatu seperti ini (saya biasanya melakukannya dalam Excel, anda boleh memuat turun fail di bawah):

jadual mata untuk membaling 2 dadu
Apa yang ada dalam sel jadual, anda bertanya? Dan ini bergantung kepada masalah apa yang akan kami selesaikan. Akan ada tugas tentang jumlah mata - kami akan menulis jumlah di sana, tentang perbezaan - kami akan menulis perbezaan dan seterusnya. Mari kita mulakan?

Contoh 3: 2 dadu dilempar pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa jumlah itu akan menjadi kurang daripada 5 mata.

Mula-mula, mari kita lihat jumlah bilangan hasil percubaan. apabila kami melemparkan satu mati, semuanya jelas, 6 sisi - 6 hasil. Sudah terdapat dua dadu di sini, jadi hasilnya boleh diwakili sebagai pasangan tertib nombor dalam bentuk (x,y)
x
,
y
, di mana x
x
- berapa banyak mata telah dilancarkan pada mata pertama (dari 1 hingga 6), y
y
- berapa banyak mata yang dilempar pada dadu kedua (dari 1 hingga 6). Jelas sekali, akan ada n=6⋅6=36 pasangan nombor tersebut
n
=
6
⋅
6
=
36
(dan tepat 36 sel dalam jadual hasil sepadan dengannya).

Kini tiba masanya untuk mengisi meja. Dalam setiap sel kita masukkan jumlah bilangan mata yang digulung pada dadu pertama dan kedua dan kita mendapat gambar berikut:

jadual jumlah mata semasa membaling 2 dadu
Sekarang jadual ini akan membantu kami mencari bilangan hasil yang sesuai untuk acara "jumlah kurang daripada 5 mata akan muncul." Untuk melakukan ini, kita mengira bilangan sel di mana nilai jumlahnya kurang daripada 5 (iaitu, 2, 3 atau 4). Untuk kejelasan, mari kita warnakan sel-sel ini, akan ada m=6
m
=
6
:

jadual jumlah mata kurang daripada 5 apabila membaling 2 dadu
Maka kebarangkaliannya ialah: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Contoh 4. Dua dadu dibaling. Cari kebarangkalian bahawa hasil darab bilangan mata boleh dibahagi dengan 3.

Kami mencipta jadual produk mata yang digulung pada dadu pertama dan kedua. Kami segera menyerlahkan nombor yang merupakan gandaan 3:

Jadual hasil darab mata semasa membaling 2 dadu
Apa yang tinggal ialah menulis bahawa jumlah bilangan hasil ialah n=36
n
=
36
(cm. contoh sebelumnya, alasannya adalah sama), dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel berlorek dalam jadual di atas) m=20
m
=
20
. Maka kebarangkalian peristiwa itu akan sama dengan P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Seperti yang anda lihat, jenis masalah ini, dengan penyediaan yang betul (mari lihat beberapa masalah lagi), boleh diselesaikan dengan cepat dan ringkas. Untuk kepelbagaian, mari lakukan satu lagi tugasan dengan jadual yang berbeza (semua jadual boleh dimuat turun di bahagian bawah halaman).

Contoh 5: Sebiji dadu dilempar dua kali. Cari kebarangkalian bahawa perbezaan bilangan mata pada dadu pertama dan kedua ialah dari 2 hingga 5.

Mari tuliskan jadual perbezaan mata, serlahkan sel di dalamnya yang nilai perbezaannya adalah antara 2 dan 5:

jadual perbezaan mata semasa membaling 2 dadu
Jadi, jumlah bilangan hasil asas yang sama mungkin ialah n=36
n
=
36
, dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel berlorek dalam jadual di atas) m=10
m
=
10
. Maka kebarangkalian kejadian itu akan sama dengan P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Jadi, dalam kes apabila kita bercakap tentang membaling 2 dadu dan acara mudah, anda perlu membina jadual, pilih sel yang diperlukan di dalamnya dan bahagikan nombornya dengan 36, ini akan menjadi kebarangkalian. Sebagai tambahan kepada masalah pada jumlah, hasil dan perbezaan bilangan mata, terdapat juga masalah pada modulus perbezaan, bilangan mata terkecil dan terbesar yang dilukis (anda akan menemui jadual yang sesuai dalam fail Excel).

Dalam semua tugasan B6 pada teori kebarangkalian, yang dibentangkan dalam Bank tugas terbuka untuk, anda perlu mencari kebarangkalian sebarang acara.

Anda hanya perlu tahu satu sahaja formula, yang digunakan untuk mengira kebarangkalian:

Dalam formula ini p - kebarangkalian kejadian,

k- bilangan peristiwa yang "memuaskan" kami, dalam bahasa teori kebarangkalian mereka dipanggil hasil yang menggalakkan.

n- bilangan semua peristiwa yang mungkin, atau bilangan semua hasil yang mungkin.

Jelas sekali, bilangan semua peristiwa yang mungkin lebih besar daripada bilangan hasil yang menggalakkan, jadi kebarangkalian ialah nilai yang kurang daripada atau sama dengan 1.

Jika kebarangkalian nilai acara ialah 1, yang bermaksud bahawa peristiwa ini pasti akan berlaku. Peristiwa sedemikian dipanggil boleh dipercayai. Sebagai contoh, fakta bahawa selepas Ahad akan ada hari Isnin, malangnya, peristiwa yang boleh dipercayai dan kebarangkaliannya adalah sama dengan 1.

Kesukaran terbesar dalam menyelesaikan masalah timbul dengan tepat dengan mencari nombor k dan n.

Sudah tentu, seperti apabila menyelesaikan sebarang masalah, apabila menyelesaikan masalah pada teori kebarangkalian Anda perlu membaca syarat dengan teliti untuk memahami dengan betul apa yang diberikan dan apa yang anda perlu cari.

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah daripada daripada Buka Bank tugasan untuk .

Contoh 1. Dalam eksperimen rawak, dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 8 mata. Bundarkan keputusan kepada perseratus terdekat.

Biarkan dadu pertama melancarkan satu mata, kemudian dadu kedua boleh melancarkan 6 pelbagai pilihan. Oleh itu, oleh kerana dadu pertama mempunyai 6 sisi yang berbeza, jumlah bilangan pilihan yang berbeza ialah 6x6=36.

Tetapi kami tidak berpuas hati dengan segala-galanya. Mengikut syarat masalah, jumlah mata yang dikeluarkan hendaklah sama dengan 8. Mari kita buat jadual hasil yang menggalakkan:

Kami melihat bahawa bilangan hasil yang sesuai dengan kami ialah 5.

Oleh itu, kebarangkalian bahawa sejumlah 8 mata akan muncul ialah 5/36=0.13(8).

Sekali lagi kita membaca persoalan masalah: kita perlu membundarkan hasilnya kepada perseratus.

Mari kita ingat peraturan pembundaran.

Kita perlu membundarkan kepada perseratus yang terdekat. Jika di tempat seterusnya selepas perseratus (iaitu, di tempat perseribu) terdapat nombor yang lebih besar daripada atau sama dengan 5, maka kita tambahkan 1 pada nombor di tempat perseratus jika nombor ini kurang daripada 5, maka kita biarkan nombor di tempat perseratus tidak berubah.

Dalam kes kami, nombor di tempat perseribu ialah 8, jadi kami menambah nombor 3, iaitu di tempat perseratus, sebanyak 1.

Jadi, p=5/36 ≈0.14

Jawapan: 0.14

Contoh 2. 20 atlet menyertai kejohanan gimnastik: 8 dari Rusia, 7 dari Amerika Syarikat, selebihnya dari China. Urutan persembahan gimnas ditentukan oleh undian. Cari kebarangkalian bahawa atlet yang bertanding dahulu adalah dari China.

Dalam masalah ini, bilangan hasil yang mungkin adalah 20 - ini adalah bilangan semua atlet.

Mari kita cari bilangan hasil yang menggalakkan. Ia sama dengan jumlah atlet wanita dari China.

Oleh itu,

Jawapan: 0.25

Contoh 3: Secara purata, daripada 1000 pam taman yang dijual, 5 kebocoran. Cari kebarangkalian bahawa satu pam yang dipilih secara rawak untuk kawalan tidak bocor.

Dalam masalah ini n=1000.

Kami berminat dengan pam yang tidak bocor. Nombor mereka ialah 1000-5=995. Itu.

Tugasan untuk kebarangkalian dadu tidak kurang popular daripada masalah lambungan syiling. Keadaan masalah sedemikian biasanya berbunyi seperti ini: apabila membuang satu atau lebih dadu(2 atau 3), apakah kebarangkalian bahawa jumlah mata akan sama dengan 10, atau bilangan mata ialah 4, atau hasil darab bilangan mata, atau hasil darab bilangan mata dibahagikan dengan 2, dan seterusnya.

Penggunaan formula kebarangkalian klasik adalah kaedah utama untuk menyelesaikan masalah jenis ini.

Satu mati, kebarangkalian.

Keadaannya agak mudah dengan satu dadu. ditentukan oleh formula: P=m/n, di mana m ialah bilangan hasil yang menguntungkan acara itu, dan n ialah bilangan semua hasil asas yang sama kemungkinan eksperimen dengan membaling tulang atau kubus.

Masalah 1. Dadu dibaling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat mata genap?

Oleh kerana dadu ialah kubus (atau ia juga dipanggil dadu biasa, dadu akan mendarat pada semua sisi dengan kebarangkalian yang sama, kerana ia seimbang), dadu mempunyai 6 sisi (bilangan mata dari 1 hingga 6, iaitu biasanya ditunjukkan dengan titik), ini bermakna masalah mempunyai jumlah hasil: n=6. Acara digemari hanya oleh hasil di mana bahagian dengan mata genap 2,4 dan 6 muncul mempunyai sisi berikut: m=3. Sekarang kita boleh menentukan kebarangkalian dadu yang dikehendaki: P=3/6=1/2=0.5.

Tugasan 2. Dadu dibaling sekali. Apakah kebarangkalian anda akan mendapat sekurang-kurangnya 5 mata?

Masalah ini diselesaikan dengan analogi dengan contoh yang diberikan di atas. Apabila membaling dadu, jumlah hasil yang sama mungkin ialah: n=6, dan hanya 2 hasil yang memenuhi keadaan masalah (sekurang-kurangnya 5 mata digulung, iaitu 5 atau 6 mata dilancarkan), yang bermaksud m =2. Seterusnya, kita dapati kebarangkalian yang diperlukan: P=2/6=1/3=0.333.

Dua dadu, kebarangkalian.

Apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan balingan 2 dadu, adalah sangat mudah untuk menggunakan jadual pemarkahan khas. Di atasnya, bilangan mata yang jatuh pada dadu pertama dipaparkan secara mendatar, dan bilangan mata yang jatuh pada dadu kedua dipaparkan secara menegak. Bahan kerja kelihatan seperti ini:

Tetapi persoalan timbul, apakah yang akan ada dalam sel kosong meja? Ia bergantung kepada masalah yang perlu diselesaikan. Jika masalahnya adalah mengenai jumlah mata, maka jumlahnya ditulis di sana, dan jika ia mengenai perbezaan, maka perbezaan itu ditulis, dan seterusnya.

Masalah 3. 2 dadu dibaling serentak. Apakah kebarangkalian mendapat kurang daripada 5 mata?

Mula-mula, anda perlu memikirkan jumlah bilangan hasil percubaan itu. Semuanya jelas apabila membaling satu dadu 6 muka kubus - 6 hasil eksperimen. Tetapi apabila sudah ada dua dadu, kemungkinan hasil boleh diwakili sebagai pasangan tertib nombor dalam bentuk (x, y), di mana x menunjukkan berapa banyak mata yang dilemparkan pada dadu pertama (dari 1 hingga 6), dan y - berapa banyak mata yang dilempar pada dadu kedua (dari 1 hingga 6). Akan ada jumlah pasangan nombor sedemikian: n=6*6=36 (dalam jadual hasil ia sepadan dengan tepat dengan 36 sel).

Sekarang anda boleh mengisi jadual; untuk melakukan ini, bilangan mata yang jatuh pada dadu pertama dan kedua dimasukkan dalam setiap sel. Jadual yang lengkap kelihatan seperti ini:

Menggunakan jadual, kami akan menentukan bilangan hasil yang memihak kepada acara "jumlah kurang daripada 5 mata akan muncul." Mari kita hitung bilangan sel, nilai jumlah yang akan ada kurang bilangan 5 (ini ialah 2, 3 dan 4). Untuk kemudahan, kami melukis di atas sel tersebut akan ada m=6 daripadanya:

Memandangkan data jadual, kebarangkalian dadu sama dengan: P=6/36=1/6.

Masalah 4. Dua dadu dibaling. Tentukan kebarangkalian bahawa hasil darab bilangan mata akan dibahagikan dengan 3.

Untuk menyelesaikan masalah, mari kita buat jadual hasil darab mata yang jatuh pada dadu pertama dan kedua. Di dalamnya, kami segera menyerlahkan nombor yang merupakan gandaan 3:

Kami menuliskan jumlah bilangan hasil eksperimen n=36 (penaakulan adalah sama seperti dalam masalah sebelumnya) dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel yang berlorek dalam jadual) m=20. Kebarangkalian kejadian itu ialah: P=20/36=5/9.

Masalah 5. Dadu dibaling dua kali. Apakah kebarangkalian bahawa perbezaan bilangan mata pada dadu pertama dan kedua adalah dari 2 hingga 5?

Untuk menentukan kebarangkalian dadu Mari tuliskan jadual perbezaan mata dan pilih di dalamnya sel-sel yang nilai perbezaannya adalah antara 2 dan 5:

Bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel berlorek dalam jadual) ialah m=10, jumlah bilangan hasil asas yang sama mungkin ialah n=36. Menentukan kebarangkalian kejadian: P=10/36=5/18.

Dalam kes acara mudah dan apabila membaling 2 dadu, anda perlu membina jadual, kemudian pilih sel yang diperlukan di dalamnya dan bahagikan nombornya dengan 36, ini akan dianggap sebagai kebarangkalian.

Masalah 1.4 - 1.6

Keadaan masalah 1.4

Nyatakan ralat dalam "penyelesaian" masalah: dua dadu dilempar; cari kebarangkalian bahawa jumlah mata yang dilukis ialah 3 (peristiwa A). "Penyelesaian". Terdapat dua kemungkinan hasil ujian: jumlah mata yang dikeluarkan ialah 3, jumlah mata yang dikeluarkan adalah tidak sama dengan 3. Peristiwa A digemari oleh satu hasil, jumlah bilangan hasil ialah dua. Oleh itu, kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan P(A) = 1/2.

Penyelesaian Masalah 1.4

Kesilapan dalam "penyelesaian" ini ialah hasil yang dipersoalkan tidak mungkin sama. Penyelesaian yang betul: Jumlah bilangan hasil yang sama mungkin adalah sama (setiap bilangan mata yang digulung pada satu dadu boleh digabungkan dengan semua bilangan mata yang digulung pada dadu yang lain). Di antara hasil ini, hanya dua hasil yang memihak kepada acara: (1; 2) dan (2; 1). Ini bermakna kebarangkalian yang diperlukan

Jawapan:

Keadaan masalah 1.5

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: a) jumlah mata yang dikeluarkan ialah tujuh; b) jumlah mata yang dikeluarkan ialah lapan, dan perbezaannya ialah empat; c) jumlah mata yang dikeluarkan ialah lapan, jika diketahui perbezaannya ialah empat; d) jumlah mata yang digulung ialah lima, dan hasil darabnya ialah empat.

Penyelesaian masalah 1.5

a) Enam pilihan pada mata pertama, enam pada mata kedua. Jumlah pilihan: (mengikut peraturan produk). Pilihan untuk jumlah yang sama dengan 7: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - enam pilihan secara keseluruhan. Bermaksud,

b) Hanya dua pilihan yang sesuai: (6.2) dan (2.6). Bermaksud,

c) Hanya terdapat dua pilihan yang sesuai: (2,6), (6,2). Tetapi secara keseluruhan pilihan yang mungkin 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Bermaksud, .

d) Untuk jumlah yang sama dengan 5, pilihan berikut adalah sesuai: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produk ini adalah 4 untuk dua pilihan sahaja. Kemudian

Jawapan: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Keadaan masalah 1.6

Sebuah kiub, yang semua tepinya berwarna, digergaji menjadi seribu kiub dengan saiz yang sama, yang kemudiannya dicampur dengan teliti. Cari kebarangkalian bahawa kubus yang dilukis oleh tuah mempunyai muka berwarna: a) satu; b) dua; pada pukul tiga.

Penyelesaian kepada masalah 1.6

Sebanyak 1000 kiub telah dibentuk. Kiub dengan tiga muka berwarna: 8 (ini ialah kiub penjuru). Dengan dua muka berwarna: 96 (kerana terdapat 12 tepi kubus dengan 8 kiub pada setiap tepi). Dadu dengan tepi berwarna: 384 (kerana terdapat 6 muka dan terdapat 64 kiub pada setiap muka). Yang tinggal hanyalah membahagikan setiap kuantiti yang ditemui dengan 1000.

Jawapan: a) 0.384; b) 0.096 c) 0.008