Kemerdekaan acara. Teorem pendaraban kebarangkalian. Teori kebarangkalian. Kebarangkalian sesuatu peristiwa, peristiwa rawak (teori kebarangkalian). Peristiwa bebas dan tidak serasi dalam teori kebarangkalian

Peristiwa yang berlaku secara realiti atau dalam imaginasi kita boleh dibahagikan kepada 3 kumpulan. Ini adalah peristiwa tertentu yang pasti akan berlaku, peristiwa mustahil dan peristiwa rawak. Teori kebarangkalian mengkaji peristiwa rawak, i.e. peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak. Artikel ini akan dibentangkan dalam secara ringkas formula teori kebarangkalian dan contoh penyelesaian masalah dalam teori kebarangkalian yang akan berada dalam tugasan 4 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (peringkat profil).

Mengapa kita memerlukan teori kebarangkalian?

Dari segi sejarah, keperluan untuk mengkaji masalah ini timbul pada abad ke-17 berkaitan dengan pembangunan dan profesionalisasi perjudian dan kemunculan kasino. Ini adalah fenomena sebenar yang memerlukan kajian dan penyelidikan sendiri.

Bermain kad, dadu dan rolet mencipta situasi di mana mana-mana bilangan terhingga peristiwa yang sama kemungkinan boleh berlaku. Terdapat keperluan untuk memberikan anggaran berangka tentang kemungkinan berlakunya peristiwa tertentu.

Pada abad ke-20, menjadi jelas bahawa sains yang kelihatan remeh ini memainkan peranan penting dalam memahami proses asas yang berlaku dalam mikrokosmos. Telah dicipta teori moden kebarangkalian.

Konsep asas teori kebarangkalian

Objek kajian teori kebarangkalian ialah peristiwa dan kebarangkaliannya. Jika sesuatu peristiwa itu kompleks, maka ia boleh dipecahkan kepada komponen mudah, yang kebarangkaliannya mudah dicari.

Jumlah peristiwa A dan B dipanggil peristiwa C, yang terdiri daripada fakta bahawa sama ada peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa A dan B berlaku secara serentak.

Hasil darab peristiwa A dan B ialah peristiwa C, yang bermaksud kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B berlaku.

Peristiwa A dan B dipanggil tidak serasi jika ia tidak boleh berlaku serentak.

Peristiwa A dipanggil mustahil jika ia tidak boleh berlaku. Peristiwa sedemikian ditunjukkan oleh simbol.

Sesuatu peristiwa A dipanggil pasti jika ia pasti berlaku. Peristiwa sedemikian ditunjukkan oleh simbol.

Biarkan setiap peristiwa A dikaitkan dengan nombor P(A). Nombor P(A) ini dipanggil kebarangkalian kejadian A jika syarat berikut dipenuhi dengan surat-menyurat ini.

Kes khas yang penting ialah keadaan apabila terdapat kemungkinan hasil asas yang sama, dan hasil ini secara sewenang-wenangnya membentuk peristiwa A. Dalam kes ini, kebarangkalian boleh dimasukkan menggunakan formula. Kebarangkalian yang diperkenalkan dengan cara ini dipanggil kebarangkalian klasik. Ia boleh dibuktikan bahawa dalam kes ini sifat 1-4 berpuas hati.

Masalah teori kebarangkalian yang muncul pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik adalah berkaitan terutamanya dengan kebarangkalian klasik. Tugas sedemikian boleh menjadi sangat mudah. Masalah teori kebarangkalian dalam versi demonstrasi adalah sangat mudah. Adalah mudah untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan; bilangan semua hasil ditulis betul-betul dalam keadaan.

Kami mendapat jawapan menggunakan formula.

Contoh masalah daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk menentukan kebarangkalian

Terdapat 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan epal dan 8 dengan nasi. Marina mahu mengambil pai. Apakah kebarangkalian dia akan mengambil kuih beras itu?

Penyelesaian.

Terdapat 20 kemungkinan hasil asas yang sama, iaitu, Marina boleh mengambil mana-mana daripada 20 pai. Tetapi kita perlu menganggarkan kebarangkalian bahawa Marina akan mengambil pai nasi, iaitu, di mana A adalah pilihan pai nasi. Ini bermakna bilangan hasil yang menggalakkan (pilihan pai dengan nasi) hanya 8. Kemudian kebarangkalian akan ditentukan oleh formula:

Peristiwa Bebas, Bertentangan dan Sewenang-wenangnya

Walau bagaimanapun, dalam balang terbuka Tugas yang lebih kompleks mula dihadapi. Oleh itu, marilah kita menarik perhatian pembaca kepada isu-isu lain yang dikaji dalam teori kebarangkalian.

Peristiwa A dan B dikatakan bebas jika kebarangkalian setiap satu tidak bergantung kepada sama ada peristiwa lain berlaku.

Peristiwa B ialah peristiwa A tidak berlaku, i.e. peristiwa B adalah bertentangan dengan peristiwa A. Kebarangkalian peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu tolak kebarangkalian peristiwa langsung, i.e. .

Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian, rumus

Untuk peristiwa A dan B sewenang-wenangnya, kebarangkalian jumlah peristiwa ini adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka tanpa kebarangkalian peristiwa bersama mereka, i.e. .

Bagi peristiwa bebas A dan B, kebarangkalian berlakunya peristiwa ini adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya, i.e. dalam kes ini.

2 pernyataan terakhir dipanggil teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Mengira bilangan hasil tidak selalu begitu mudah. Dalam sesetengah kes, formula kombinatorik perlu digunakan. Perkara yang paling penting ialah mengira bilangan acara yang memenuhi syarat tertentu. Kadangkala pengiraan jenis ini boleh menjadi tugas bebas.

Dalam berapa banyak cara 6 orang pelajar boleh duduk di 6 tempat duduk kosong? Pelajar pertama akan mengambil mana-mana daripada 6 tempat. Setiap pilihan ini sepadan dengan 5 cara untuk pelajar kedua mengambil tempat. Terdapat 4 tempat percuma lagi untuk pelajar ketiga, 3 untuk pelajar keempat, 2 untuk pelajar kelima, dan tempat keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tinggal. Untuk mencari nombor semua pilihan, anda perlu mencari produk, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan berbunyi "enam faktorial".

Dalam kes umum, jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan pilih atur unsur n. Dalam kes kita.

Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi kes dengan pelajar kita. Dalam berapa banyak cara 2 orang pelajar boleh duduk di 6 tempat duduk kosong? Pelajar pertama akan mengambil mana-mana daripada 6 tempat. Setiap pilihan ini sepadan dengan 5 cara untuk pelajar kedua mengambil tempat. Untuk mencari bilangan semua pilihan, anda perlu mencari produk.

Secara umum, jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan peletakan n unsur ke atas unsur k

Dalam kes kita.

Dan kes terakhir dalam siri ini. Dalam berapa banyak cara anda boleh memilih tiga pelajar daripada 6 orang? Pelajar pertama boleh dipilih dalam 6 cara, yang kedua - dalam 5 cara, yang ketiga - dalam empat cara. Tetapi antara pilihan ini, tiga pelajar yang sama muncul 6 kali. Untuk mencari bilangan semua pilihan, anda perlu mengira nilai: . Secara umum, jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan gabungan unsur mengikut unsur:

Dalam kes kita.

Contoh penyelesaian masalah daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk menentukan kebarangkalian

Tugasan 1. Daripada koleksi yang disunting oleh. Yashchenko.

Terdapat 30 pai di atas pinggan: 3 dengan daging, 18 dengan kubis dan 9 dengan ceri. Sasha memilih satu pai secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa dia berakhir dengan ceri.

.

Jawapan: 0.3.

Tugasan 2. Daripada koleksi yang disunting oleh. Yashchenko.

Dalam setiap kumpulan 1000 mentol lampu, secara purata, 20 adalah rosak. Cari kebarangkalian bahawa mentol yang diambil secara rawak daripada satu kelompok akan berfungsi.

Penyelesaian: Bilangan mentol yang berfungsi ialah 1000-20=980. Kemudian kebarangkalian bahawa mentol lampu yang diambil secara rawak daripada kumpulan akan berfungsi:

Jawapan: 0.98.

Kebarangkalian pelajar U akan menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul semasa ujian matematik ialah 0.67. Kebarangkalian bahawa U. akan menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul ialah 0.73. Cari kebarangkalian bahawa U akan menyelesaikan tepat 9 masalah dengan betul.

Jika kita membayangkan garis nombor dan menandakan titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahawa keadaan “U. akan menyelesaikan tepat 9 masalah dengan betul” disertakan dalam syarat “U. akan menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul”, tetapi tidak terpakai kepada syarat “U. akan menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul.”

Bagaimanapun, syarat “U. akan menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul” terkandung dalam syarat “U. akan menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul.” Oleh itu, jika kita menetapkan peristiwa: “U. akan menyelesaikan tepat 9 masalah dengan betul" - melalui A, "U. akan menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul" - melalui B, "U. akan menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul” melalui C. Penyelesaian itu akan kelihatan seperti ini:

Jawapan: 0.06.

Dalam peperiksaan geometri, seorang pelajar menjawab satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan Trigonometri ialah 0.2. Kemungkinannya adalah bahawa ini adalah soalan mengenai topik " Sudut luar", adalah sama dengan 0.15. Tiada soalan yang berkaitan secara serentak dengan kedua-dua topik ini. Cari kebarangkalian bahawa seorang pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Mari kita fikirkan apa acara yang kita ada. Kami diberi dua peristiwa yang tidak serasi. Iaitu, sama ada soalan itu akan berkaitan dengan topik "Trigonometri" atau dengan topik "Sudut luar". Mengikut teorem kebarangkalian, kebarangkalian peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian setiap peristiwa, kita mesti mencari jumlah kebarangkalian peristiwa ini, iaitu:

Jawapan: 0.35.

Bilik itu diterangi oleh tanglung dengan tiga lampu. Kebarangkalian satu lampu terbakar dalam tempoh setahun ialah 0.29. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu lampu tidak akan terbakar sepanjang tahun itu.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan kejadian. Kami mempunyai tiga mentol lampu, setiap satunya mungkin terbakar atau tidak secara bebas daripada mana-mana mentol lampu lain. Ini adalah acara bebas.

Kemudian kami akan menunjukkan pilihan untuk acara tersebut. Mari gunakan notasi berikut: - mentol menyala, - mentol terbakar. Dan segera seterusnya kita mengira kebarangkalian kejadian itu. Sebagai contoh, kebarangkalian peristiwa di mana tiga peristiwa bebas "mentol lampu terbakar", "mentol menyala", "mentol menyala" berlaku: , di mana kebarangkalian kejadian "mentol lampu dihidupkan” dikira sebagai kebarangkalian peristiwa bertentangan dengan peristiwa “mentol lampu tidak menyala”, iaitu: .

Tidak mungkin ramai orang berfikir sama ada mungkin untuk mengira peristiwa yang lebih atau kurang rawak. Secara ringkasnya dalam kata mudah, adakah benar-benar mungkin untuk mengetahui bahagian mana kiub akan muncul pada masa akan datang? Persoalan inilah yang ditanya oleh dua saintis hebat kepada diri mereka sendiri, siapa yang meletakkan asas untuk sains seperti teori kebarangkalian, di mana kebarangkalian sesuatu kejadian dikaji dengan agak meluas.

asal usul

Jika anda cuba mentakrifkan konsep sedemikian sebagai teori kebarangkalian, anda akan mendapat perkara berikut: ini adalah salah satu cabang matematik yang mengkaji ketekalan peristiwa rawak. Sudah tentu, konsep ini tidak benar-benar mendedahkan keseluruhan intipati, jadi perlu untuk mempertimbangkannya dengan lebih terperinci.

Saya ingin bermula dengan pencipta teori. Seperti yang dinyatakan di atas, terdapat dua daripadanya, dan mereka adalah salah seorang yang pertama cuba mengira hasil peristiwa ini atau itu menggunakan formula dan pengiraan matematik. Secara umum, permulaan sains ini muncul pada Zaman Pertengahan. Pada masa itu, pelbagai pemikir dan saintis cuba menganalisis permainan perjudian, seperti rolet, craps, dan sebagainya, dengan itu mewujudkan corak dan peratusan nombor tertentu yang jatuh. Asas itu diletakkan pada abad ketujuh belas oleh saintis yang disebutkan di atas.

Pada mulanya, karya mereka tidak boleh dianggap sebagai pencapaian hebat dalam bidang ini, kerana semua yang mereka lakukan hanyalah fakta empirikal, dan eksperimen dilakukan secara visual, tanpa menggunakan formula. Dari masa ke masa, adalah mungkin untuk mencapai keputusan yang hebat, yang muncul sebagai hasil daripada memerhatikan lontaran dadu. Alat inilah yang membantu menghasilkan formula pertama yang boleh difahami.

Orang yang berfikiran sama

Adalah mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christiaan Huygens dalam proses mengkaji topik yang dipanggil "teori kebarangkalian" (kebarangkalian sesuatu peristiwa diliputi dengan tepat dalam sains ini). Orang ini sangat menarik. Dia, seperti para saintis yang dibentangkan di atas, mencuba dalam bentuk formula matematik menghasilkan corak peristiwa rawak. Perlu diperhatikan bahawa dia tidak melakukan ini bersama Pascal dan Fermat, iaitu, semua karyanya tidak bersilang dengan fikiran ini. Huygens menyimpulkan

Fakta menarik ialah kerjanya keluar jauh sebelum hasil kerja penemu, atau lebih tepatnya, dua puluh tahun lebih awal. Antara konsep yang dikenal pasti, yang paling terkenal ialah:

• konsep kebarangkalian sebagai nilai peluang;
• jangkaan matematik untuk kes diskret;
• teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian.

Ia juga mustahil untuk tidak mengingati siapa yang turut memberi sumbangan besar kepada kajian masalah tersebut. Menjalankan ujiannya sendiri, bebas daripada sesiapa pun, dia dapat memberikan bukti undang-undang bilangan yang besar. Sebaliknya, saintis Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, dapat membuktikan teorem asal. Dari saat inilah teori kebarangkalian mula digunakan untuk menganalisis ralat dalam pemerhatian. Para saintis Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, tidak boleh mengabaikan sains ini. Mereka, berdasarkan kerja yang dilakukan oleh jenius yang hebat, selamat barang ini sebagai cabang matematik. Angka-angka ini telah bekerja pada akhir abad kesembilan belas, dan terima kasih kepada sumbangan mereka, fenomena berikut telah terbukti:

• hukum bilangan besar;
• teori rantai Markov;
• teorem had pusat.

Jadi, dengan sejarah kelahiran sains dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya lebih kurang jelas. Kini tiba masanya untuk menjelaskan semua fakta.

Konsep asas

Sebelum menyentuh undang-undang dan teorem, adalah wajar untuk mengkaji konsep asas teori kebarangkalian. Acara itu memainkan peranan utama di dalamnya. Topik ini agak besar, tetapi tanpa itu tidak mungkin untuk memahami segala-galanya.

Peristiwa dalam teori kebarangkalian ialah sebarang set hasil eksperimen. Terdapat beberapa konsep tentang fenomena ini. Oleh itu, saintis Lotman, yang bekerja di kawasan ini, berkata dalam kes ini kita bercakap tentang tentang apa yang "berlaku, walaupun ia mungkin tidak berlaku."

Peristiwa rawak (teori kebarangkalian memberi tumpuan kepada mereka Perhatian istimewa) ialah konsep yang membayangkan secara mutlak sebarang fenomena yang berpeluang berlaku. Atau, sebaliknya, senario ini mungkin tidak berlaku jika banyak syarat dipenuhi. Ia juga bernilai mengetahui bahawa ia adalah peristiwa rawak yang menangkap keseluruhan volum fenomena yang telah berlaku. Teori kebarangkalian menunjukkan bahawa semua keadaan boleh diulang secara berterusan. Kelakuan merekalah yang dipanggil "pengalaman" atau "ujian".

Peristiwa yang boleh dipercayai ialah fenomena yang seratus peratus mungkin berlaku dalam ujian tertentu. Sehubungan itu, peristiwa yang mustahil adalah satu peristiwa yang tidak akan berlaku.

Gabungan sepasang tindakan (bersyarat, kes A dan kes B) adalah fenomena yang berlaku serentak. Mereka ditetapkan sebagai AB.

Jumlah pasangan peristiwa A dan B ialah C, dengan kata lain, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku (A atau B), maka C akan diperolehi. Formula untuk fenomena yang diterangkan ditulis seperti berikut: C = A + B.

Peristiwa yang tidak selaras dalam teori kebarangkalian membayangkan bahawa dua kes adalah saling eksklusif. Dalam keadaan apa pun ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Peristiwa bersama dalam teori kebarangkalian adalah antipodanya. Apa yang dimaksudkan di sini ialah jika A berlaku, maka ia tidak menghalang B sama sekali.

Peristiwa bertentangan (teori kebarangkalian menganggapnya secara terperinci) mudah difahami. Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan perbandingan. Ia hampir sama dengan peristiwa tidak serasi dalam teori kebarangkalian. Tetapi perbezaan mereka terletak pada fakta bahawa salah satu daripada banyak fenomena mesti berlaku dalam apa jua keadaan.

Peristiwa yang berkemungkinan sama ialah tindakan yang pengulangannya sama. Untuk menjadikannya lebih jelas, anda boleh bayangkan melambung syiling: kehilangan salah satu sisinya berkemungkinan sama-sama jatuh dari sisi yang lain.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan acara bertuah dengan contoh. Katakan terdapat episod B dan episod A. Yang pertama ialah balingan dadu dengan nombor ganjil muncul, dan yang kedua ialah penampilan nombor lima pada dadu. Kemudian ternyata A memihak kepada B.

Peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian diunjurkan hanya kepada dua atau lebih kes dan membayangkan kebebasan sebarang tindakan daripada yang lain. Sebagai contoh, A ialah kehilangan kepala apabila melambung syiling, dan B ialah lukisan bicu dari geladak. Ia adalah peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian. Pada ketika ini ia menjadi lebih jelas.

Peristiwa bersandar dalam teori kebarangkalian juga dibenarkan hanya untuk satu set daripadanya. Mereka membayangkan pergantungan antara satu sama lain, iaitu, fenomena B boleh berlaku hanya jika A telah berlaku atau, sebaliknya, tidak berlaku, apabila ini adalah syarat utama untuk B.

Keluaran eksperimen rawak, yang terdiri daripada satu komponen, adalah peristiwa asas. Teori kebarangkalian menjelaskan bahawa ini adalah fenomena yang berlaku sekali sahaja.

Formula asas

Jadi, konsep "peristiwa" dan "teori kebarangkalian" telah dibincangkan di atas; definisi istilah asas sains ini juga diberikan. Kini tiba masanya untuk berkenalan secara langsung formula penting. Ungkapan ini secara matematik mengesahkan semua konsep utama dalam subjek yang kompleks seperti teori kebarangkalian. Kebarangkalian acara memainkan peranan yang besar di sini juga.

Adalah lebih baik untuk bermula dengan yang asas. Dan sebelum anda bermula dengannya, anda perlu mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik adalah terutamanya cabang matematik; ia berkaitan dengan kajian sejumlah besar integer, serta pelbagai pilih atur kedua-dua nombor itu sendiri dan unsur-unsurnya, pelbagai data, dsb., yang membawa kepada kemunculan beberapa kombinasi. Selain teori kebarangkalian, cabang ini penting untuk statistik, sains komputer dan kriptografi.

Jadi, sekarang kita boleh meneruskan untuk membentangkan formula itu sendiri dan definisinya.

Yang pertama daripadanya ialah ungkapan untuk bilangan pilih atur, ia kelihatan seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan digunakan hanya jika unsur-unsur berbeza hanya dalam susunan susunannya.

Sekarang formula peletakan akan dipertimbangkan, ia kelihatan seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini digunakan bukan sahaja pada susunan peletakan elemen, tetapi juga pada komposisinya.

Persamaan ketiga daripada kombinatorik, dan ia juga yang terakhir, dipanggil formula untuk bilangan gabungan:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Gabungan merujuk kepada pilihan yang tidak dipesan; oleh itu, peraturan ini terpakai kepada mereka.

Mudah untuk memahami formula kombinatorik; kini anda boleh beralih kepada takrifan klasik kebarangkalian. Ungkapan ini kelihatan seperti ini:

Dalam formula ini, m ialah bilangan keadaan yang sesuai untuk peristiwa A, dan n ialah bilangan mutlak semua hasil asas dan kemungkinan yang sama.

Terdapat sejumlah besar ungkapan; artikel itu tidak akan merangkumi kesemuanya, tetapi yang paling penting akan disentuh, seperti, sebagai contoh, kebarangkalian jumlah peristiwa:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorem ini adalah untuk menambah peristiwa yang tidak serasi sahaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini adalah untuk menambah yang serasi sahaja.

Kebarangkalian kejadian berlaku:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorem ini adalah untuk peristiwa bebas;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini adalah untuk tanggungan.

Senarai acara akan dilengkapkan dengan formula acara. Teori kebarangkalian memberitahu kita tentang teorem Bayes, yang kelihatan seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Dalam formula ini, H 1, H 2, ..., H n ialah kumpulan hipotesis yang lengkap.

Contoh

Jika anda mengkaji dengan teliti mana-mana bahagian matematik, ia tidak lengkap tanpa latihan dan penyelesaian sampel. Begitu juga teori kebarangkalian: peristiwa dan contoh di sini adalah komponen penting yang mengesahkan pengiraan saintifik.

Formula untuk bilangan pilih atur

Katakan terdapat tiga puluh kad dalam dek kad, bermula dengan nilai satu. Soalan seterusnya. Berapa banyak cara yang ada untuk menyusun dek supaya kad dengan nilai satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugasan telah ditetapkan, sekarang mari kita teruskan untuk menyelesaikannya. Mula-mula anda perlu menentukan bilangan pilih atur tiga puluh elemen, untuk ini kami mengambil formula yang dibentangkan di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan peraturan ini, kita mengetahui berapa banyak pilihan yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeza, tetapi kita perlu menolak daripada mereka yang mana kad pertama dan kedua bersebelahan antara satu sama lain. Untuk melakukan ini, mari kita mulakan dengan pilihan apabila yang pertama berada di atas yang kedua. Ternyata kad pertama boleh mengambil dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kad kedua dari yang kedua hingga yang ketiga puluh, menjadikan jumlah keseluruhan dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kad. Sebaliknya, selebihnya boleh menerima dua puluh lapan tempat, dan dalam sebarang susunan. Iaitu, untuk menyusun semula dua puluh lapan kad, terdapat dua puluh lapan pilihan P_28 = 28!

Akibatnya, ternyata jika kita mempertimbangkan penyelesaian apabila kad pertama berada di atas yang kedua, akan ada 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Menggunakan kaedah yang sama, anda perlu mengira bilangan pilihan berlebihan untuk kes apabila kad pertama berada di bawah yang kedua. Ia juga ternyata 29 ⋅ 28! = 29!

Ia berikutan daripada ini bahawa terdapat 2 ⋅ 29 pilihan tambahan!, manakala cara yang perlu mengumpul dek 30! - 2 ⋅ 29!. Yang tinggal hanyalah mengira.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang anda perlu mendarab semua nombor daripada satu hingga dua puluh sembilan, dan kemudian pada akhirnya darab semuanya dengan 28. Jawapannya ialah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh penyelesaian. Formula untuk nombor penempatan

Dalam masalah ini, anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan lima belas jilid pada satu rak, tetapi dengan syarat terdapat tiga puluh jilid secara keseluruhan.

Penyelesaian untuk masalah ini sedikit lebih mudah daripada yang sebelumnya. Menggunakan formula yang telah diketahui, adalah perlu untuk mengira jumlah susunan tiga puluh jilid lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7007 3

Jawapannya, sewajarnya, akan sama dengan 202,843,204,931,727,360,000.

Sekarang mari kita ambil tugas yang lebih sukar. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun tiga puluh buku pada dua rak buku, dengan syarat hanya lima belas jilid boleh diletakkan pada satu rak.

Sebelum memulakan penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahawa beberapa masalah boleh diselesaikan dalam beberapa cara, dan ini mempunyai dua kaedah, tetapi kedua-duanya menggunakan formula yang sama.

Dalam masalah ini, anda boleh mengambil jawapan dari yang sebelumnya, kerana di sana kami mengira berapa kali anda boleh mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeza. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kami akan mengira rak kedua menggunakan formula pilih atur, kerana lima belas buku boleh diletakkan di dalamnya, manakala hanya lima belas yang tinggal. Kami menggunakan formula P_15 = 15!.

Ternyata jumlahnya ialah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi, sebagai tambahan kepada ini, hasil darab semua nombor dari tiga puluh hingga enam belas perlu didarab dengan hasil darab nombor dari satu hingga lima belas, pada akhirnya anda akan mendapat hasil darab semua nombor daripada satu hingga tiga puluh, iaitu jawapannya bersamaan dengan 30!

Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain - lebih mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh bayangkan bahawa terdapat satu rak untuk tiga puluh buku. Kesemuanya diletakkan di atas kapal terbang ini, tetapi oleh kerana syaratnya memerlukan dua rak, kami melihat satu panjang dalam separuh, jadi kami mendapat dua daripada lima belas. Daripada ini ternyata terdapat P_30 = 30 pilihan untuk susunan!.

Contoh penyelesaian. Formula untuk nombor gabungan

Sekarang kita akan mempertimbangkan versi masalah ketiga dari kombinatorik. Adalah perlu untuk mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun lima belas buku, dengan syarat anda perlu memilih daripada tiga puluh buku yang sama sekali.

Untuk menyelesaikan, sudah tentu, formula untuk bilangan gabungan akan digunakan. Dari syarat itu menjadi jelas bahawa susunan lima belas buku yang sama adalah tidak penting. Oleh itu, anda perlu mengetahui terlebih dahulu jumlah nombor gabungan tiga puluh buku daripada lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Itu sahaja. menggunakan formula ini, V masa paling singkat berjaya menyelesaikan masalah ini, jawapannya, sewajarnya, ialah 155,117,520.

Contoh penyelesaian. Takrif klasik kebarangkalian

Menggunakan formula di atas, anda boleh mencari jawapan kepada masalah mudah. Tetapi ini akan membantu untuk melihat dengan jelas dan menjejaki kemajuan tindakan.

Masalahnya menyatakan bahawa terdapat sepuluh bola yang benar-benar serupa dalam urn. Daripada jumlah ini, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari urn. Anda perlu mengetahui kebarangkalian mendapat warna biru.

Untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menetapkan mendapatkan bola biru sebagai peristiwa A. Percubaan ini boleh mempunyai sepuluh hasil, yang seterusnya, adalah asas dan sama mungkin. Pada masa yang sama, daripada sepuluh, enam memihak kepada peristiwa A. Kami menyelesaikan menggunakan formula:

P(A) = 6: 10 = 0.6

Menggunakan formula ini, kami mengetahui bahawa kebarangkalian untuk mendapatkan bola biru ialah 0.6.

Contoh penyelesaian. Kebarangkalian jumlah peristiwa

Pilihan kini akan dibentangkan yang diselesaikan menggunakan formula kebarangkalian jumlah peristiwa. Jadi, syarat diberi bahawa terdapat dua kotak, yang pertama mengandungi satu bola kelabu dan lima bola putih, dan yang kedua mengandungi lapan bola kelabu dan empat bola putih. Akibatnya, mereka mengambil salah satu daripadanya dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mengetahui apakah peluang bahawa bola yang anda dapat akan menjadi kelabu dan putih.

Untuk menyelesaikan tugasan ini, peristiwa mesti dikenal pasti.

• Jadi, A - mengambil bola kelabu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
• A’ - mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A") = 5/6.
• B - bola kelabu dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
• B’ - mengambil bola kelabu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk salah satu fenomena berlaku: AB’ atau A’B. Dengan menggunakan formula, kita dapat: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang formula untuk mendarab kebarangkalian telah digunakan. Seterusnya, untuk mengetahui jawapannya, anda perlu menggunakan persamaan penambahan mereka:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Inilah cara anda boleh menyelesaikan masalah yang sama menggunakan formula.

Pokoknya

Artikel tersebut membentangkan maklumat mengenai topik "Teori Kebarangkalian", di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa dimainkan peranan penting. Sudah tentu, tidak semuanya diambil kira, tetapi, berdasarkan teks yang dibentangkan, anda secara teorinya boleh membiasakan diri dengan bahagian matematik ini. Sains yang dimaksudkan boleh berguna bukan sahaja dalam kerja profesional, tetapi juga dalam Kehidupan seharian. Dengan bantuannya, anda boleh mengira sebarang kemungkinan sebarang peristiwa.

Teks itu juga menyentuh tarikh penting dalam sejarah pembentukan teori kebarangkalian sebagai sains, dan nama orang yang kerjanya dilaburkan di dalamnya. Ini adalah bagaimana rasa ingin tahu manusia membawa kepada fakta bahawa orang belajar mengira walaupun peristiwa rawak. Pada suatu masa dahulu mereka hanya berminat dengan perkara ini, tetapi hari ini semua orang sudah tahu mengenainya. Dan tiada siapa yang akan mengatakan apa yang menanti kita pada masa hadapan, apakah penemuan cemerlang lain yang berkaitan dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tetapi satu perkara yang pasti - penyelidikan tidak berdiam diri!

"Kemalangan bukan kebetulan"... Bunyinya seperti kata ahli falsafah, tetapi sebenarnya, mengkaji kemalangan adalah takdir. ilmu yang hebat matematik. Dalam matematik, peluang ditangani dengan teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi utama sains ini akan dibentangkan dalam artikel.

Apakah teori kebarangkalian?

Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melemparkan syiling ke atas, ia boleh mendarat di kepala atau ekor. Semasa syiling berada di udara, kedua-dua kebarangkalian ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian kemungkinan akibat nisbah ialah 1:1. Jika seseorang diambil daripada dek 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan di sini, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.

Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam nilai berangka.

Dari lembaran sejarah

Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.

Pada mulanya, teori kebarangkalian tiada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian untuk masa yang lama dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.

Teknik yang sama telah dicipta oleh Christiaan Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan olehnya.

Karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson juga tidak penting. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas menerima bentuk semasa mereka terima kasih kepada aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian menjadi salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori kebarangkalian. Peristiwa

Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Terdapat tiga jenis acara:

• Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
• Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam apa jua keadaan (syiling akan kekal tergantung di udara).
• rawak. Yang akan berlaku atau tidak akan berlaku. Mereka mungkin terjejas pelbagai faktor, yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka faktor rawak yang boleh mempengaruhi hasilnya: ciri fizikal syiling, bentuknya, kedudukan awal, kuasa melontar, dsb.

Semua peristiwa dalam contoh ditunjukkan dalam huruf besar dengan huruf Latin, kecuali P, yang mempunyai peranan yang berbeza. Sebagai contoh:

• A = "pelajar datang untuk bersyarah."
• Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah."

DALAM tugas amali Peristiwa biasanya direkodkan dalam perkataan.

Satu daripada ciri yang paling penting peristiwa - kemungkinan sama mereka. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua varian kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi sesuatu hasil. Contohnya, "dilabelkan" bermain kad atau dadu di mana pusat graviti dianjak.

Acara juga boleh serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian satu sama lain. Sebagai contoh:

• A = "pelajar datang ke kuliah."
• B = "pelajar datang ke kuliah."

Peristiwa ini adalah bebas antara satu sama lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak menjejaskan kejadian yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu tidak termasuk kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa boleh didarab dan ditambah; oleh itu, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlahnya ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A atau B, atau dua, boleh berlaku serentak. Jika ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil; sama ada A atau B akan dilancarkan.

Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.

Sekarang kita boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.

Latihan 1: Syarikat mengambil bahagian dalam pertandingan untuk menerima kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:

• A = "firma akan menerima kontrak pertama."
• A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
• B = "firma akan menerima kontrak kedua."
• B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
• C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
• C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."

Menggunakan tindakan pada acara, kami akan cuba menyatakan situasi berikut:

• K = "syarikat akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematik, persamaan akan mempunyai bentuk berikut: K = ABC.

• M = "syarikat tidak akan menerima satu kontrak pun."

M = A 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugas: H = "syarikat akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh syarikat (pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan siri peristiwa yang mungkin:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin telah direkodkan menggunakan kaedah yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menandakan penghubung "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau yang kedua, atau yang pertama. Dengan cara yang sama, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kebarangkalian

Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:

• klasik;
• statistik;
• geometri.

Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (gred 9) terutamanya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

• Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.

Formulanya kelihatan seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya satu peristiwa. Jika kes bertentangan dengan A muncul, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.

n - semua peristiwa yang boleh berlaku.

Sebagai contoh, A = "lukis kad sut hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:

P(A)=9/36=0.25.

Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad sut jantung akan diambil dari dek ialah 0.25.

Ke arah matematik yang lebih tinggi

Kini telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah yang ditemui dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya ia beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.

Teori kebarangkalian sangat menarik. Formula dan contoh ( matematik yang lebih tinggi) adalah lebih baik untuk mula belajar kecil - dengan definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.

Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan kebarangkalian kejadian akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan formula klasik:

Jika formula klasik dikira untuk ramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?

A = "penampilan produk berkualiti."

W n (A)=97/100=0.97

Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda dapat 97? Daripada 100 produk yang disemak, 3 didapati tidak berkualiti. Kami menolak 3 daripada 100 dan mendapat 97, ini adalah jumlah barangan berkualiti.

Sedikit tentang kombinatorik

Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan tertentu A boleh dibuat m cara yang berbeza, dan pilihan B adalah dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dilakukan dengan pendaraban.

Sebagai contoh, terdapat 5 jalan raya dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Dalam berapa banyak cara anda boleh pergi dari bandar A ke bandar C?

Ia mudah: 5x4=20, iaitu, dalam dua puluh cara berbeza anda boleh mendapatkan dari titik A ke titik C.

Mari kita rumitkan tugas. Berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan kad dalam solitaire? Terdapat 36 kad dalam dek - ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad pada satu masa dari titik permulaan dan darab.

Iaitu, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditetapkan 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab bersama.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.

Set tertib unsur-unsur set dipanggil susunan. Peletakan boleh diulang, iaitu satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila elemen tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa pengulangan akan kelihatan seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik ia kelihatan seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m ialah sebatian yang pentingnya unsur-unsur itu dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula Bernoulli

Dalam teori kebarangkalian, serta dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik cemerlang dalam bidang mereka yang membawanya ke tahap baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kejadian A dalam eksperimen tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam percubaan awal atau seterusnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) adalah tetap bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.

Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.

Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) di bawah.

Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat secara bebas memasuki kedai. Apakah kemungkinan pelawat akan membuat pembelian?

Penyelesaian: Oleh kerana tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kebarangkalian yang mungkin menggunakan formula Bernoulli.

A = "pelawat akan membuat pembelian."

Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (memandangkan terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m berbeza daripada 0 (tiada seorang pelanggan yang akan membuat pembelian) hingga 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.

Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.

Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana perginya C dan r. Relatif kepada p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C = 1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari cuba ketahui apakah kebarangkalian dua pelawat membeli barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.

Formula Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak kebarangkalian rendah.

Formula asas:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam kes ini λ = n x p. Berikut ialah formula Poisson mudah (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah di bawah.

Tugasan 3: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kejadian bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?

Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas lain dalam disiplin; kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula yang diberikan:

A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."

p = 0.0001 (mengikut syarat tugas).

n = 100000 (bilangan bahagian).

m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data ke dalam formula dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang menggunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui. Malah, ia boleh didapati dengan formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.

Teorem De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri ujian boleh didapati dengan Formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh masalah adalah di bawah untuk membantu.

Mula-mula, mari cari X m, gantikan data (semuanya disenaraikan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ(0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data ke dalam formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Oleh itu, kebarangkalian bahawa risalah akan berfungsi tepat 267 kali ialah 0.03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian masalah dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula asas adalah seperti berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B ialah peristiwa yang pasti.

P(A|B) ialah kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku dengan syarat peristiwa B adalah benar.

P (B|A) - kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B.

Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian kepada masalah yang ada di bawah.

Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, bahagian telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Anda perlu mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.

A = "telefon yang dipilih secara rawak."

B 1 - telefon yang dihasilkan oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).

Hasilnya kami mendapat:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - dengan itu kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.

Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam syarikat:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

Sekarang mari kita gantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Kepada orang biasa Sukar untuk menjawab, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangi jackpot lebih daripada sekali.

Teori kebarangkalian ialah cabang matematik yang mengkaji corak fenomena rawak: peristiwa rawak, pembolehubah rawak, sifat dan operasinya padanya.

Untuk masa yang lama, teori kebarangkalian tidak mempunyai definisi yang jelas. Ia dirumuskan hanya pada tahun 1929. Kemunculan teori kebarangkalian sebagai sains bermula sejak Zaman Pertengahan dan percubaan pertama dalam analisis matematik perjudian (serpihan, dadu, rolet). Ahli matematik Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, semasa mengkaji ramalan kemenangan dalam perjudian, menemui corak kebarangkalian pertama yang timbul apabila membaling dadu.

Teori kebarangkalian timbul sebagai sains daripada kepercayaan bahawa peristiwa rawak jisim adalah berdasarkan corak tertentu. Teori kebarangkalian mengkaji corak ini.

Teori kebarangkalian berkaitan dengan kajian tentang peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui dengan pasti. Ia membolehkan anda menilai tahap kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa berbanding yang lain.

Sebagai contoh: adalah mustahil untuk menentukan dengan jelas hasil "kepala" atau "ekor" akibat melambung syiling, tetapi apabila melambungnya beberapa kali, hasilnya adalah lebih kurang nombor yang sama"kepala" dan "ekor", yang bermaksud bahawa kebarangkalian mendapat "kepala" atau "ekor" ialah 50%.

Ujian dalam kes ini, pelaksanaan set syarat tertentu dipanggil, iaitu, dalam kes ini, lambungan syiling. Cabaran boleh dimainkan tanpa had bilangan kali. Dalam kes ini, set syarat termasuk faktor rawak.

Keputusan ujian ialah peristiwa. Peristiwa itu berlaku:

1. Boleh dipercayai (sentiasa berlaku hasil daripada ujian).
2. Mustahil (tidak pernah berlaku).
3. Rawak (mungkin atau mungkin tidak berlaku akibat ujian).

Sebagai contoh, apabila melambung syiling, peristiwa yang mustahil - syiling akan mendarat di tepinya, peristiwa rawak - penampilan "kepala" atau "ekor". Keputusan ujian khusus dipanggil acara asas. Hasil daripada ujian, hanya peristiwa asas berlaku. Set semua kemungkinan, berbeza, hasil ujian khusus dipanggil ruang peristiwa asas.

Konsep asas teori

Kebarangkalian- tahap kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin.

Nilai rawak- ini ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Contohnya: bilangan setiap balai bomba setiap hari, bilangan pukulan dengan 10 tembakan, dsb.

Pembolehubah rawak boleh dibahagikan kepada dua kategori.

1. Pembolehubah rawak diskret ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil nilai tertentu dengan kebarangkalian tertentu, membentuk set boleh dikira (set yang unsurnya boleh dinomborkan). Set ini boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, bilangan pukulan sebelum pukulan pertama pada sasaran adalah pembolehubah rawak diskret, kerana kuantiti ini boleh mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga, walaupun boleh dikira.
2. Pembolehubah rawak berterusan ialah kuantiti yang boleh mengambil sebarang nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Jelas sekali, bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.

Ruang kebarangkalian- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada 30-an abad ke-20 untuk merasmikan konsep kebarangkalian, yang menimbulkan perkembangan pesat teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik yang ketat.

Ruang kebarangkalian ialah tiga kali ganda (kadang-kadang disertakan dalam kurungan sudut: , di mana

Ini adalah set arbitrari, unsur-unsurnya dipanggil peristiwa asas, hasil atau mata;
- algebra sigma subset yang dipanggil peristiwa (rawak);
- ukuran kebarangkalian atau kebarangkalian, i.e. ukuran terhingga aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorem De Moivre-Laplace- salah satu teorem had teori kebarangkalian, yang ditubuhkan oleh Laplace pada tahun 1812. Ia menyatakan bahawa bilangan kejayaan apabila mengulangi eksperimen rawak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil adalah lebih kurang taburan normal. Ia membolehkan anda mencari nilai kebarangkalian anggaran.

Jika bagi setiap percubaan bebas kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak adalah sama dengan () dan ialah bilangan percubaan di mana ia benar-benar berlaku, maka kebarangkalian ketaksamaan itu benar adalah hampir (untuk nilai besar) dengan nilai kamiran Laplace.

Fungsi taburan dalam teori kebarangkalian- fungsi yang mencirikan taburan pembolehubah rawak atau vektor rawak; kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan x, di mana x adalah arbitrari nombor sebenar. Jika syarat yang diketahui dipenuhi, ia menentukan sepenuhnya pembolehubah rawak.

Nilai yang dijangkakan- nilai purata pembolehubah rawak (ini ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak, dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian). Dalam kesusasteraan bahasa Inggeris ia dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistik, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang kebarangkalian dan pembolehubah rawak yang ditakrifkan di atasnya diberikan. Iaitu, mengikut definisi, fungsi yang boleh diukur. Kemudian, jika terdapat kamiran Lebesgue atas ruang, maka ia dipanggil jangkaan matematik, atau nilai min, dan dilambangkan .

Varians pembolehubah rawak- ukuran sebaran pembolehubah rawak yang diberikan, iaitu sisihan daripada jangkaan matematik. Ia ditetapkan dalam kesusasteraan Rusia dan asing. Dalam statistik, notasi atau sering digunakan. Punca kuasa dua daripada varians dipanggil sisihan piawai, sisihan piawai, atau sebaran piawai.

Biarkan pembolehubah rawak ditakrifkan pada beberapa ruang kebarangkalian. Kemudian

di mana simbol menandakan jangkaan matematik.

Dalam teori kebarangkalian, dua peristiwa rawak dipanggil bebas, jika kejadian salah satu daripada mereka tidak mengubah kebarangkalian kejadian yang lain. Begitu juga, dua pembolehubah rawak dipanggil bergantung, jika nilai salah satu daripadanya mempengaruhi kebarangkalian nilai yang lain.

Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.

Hukum nombor besar dalam teori kebarangkalian menyatakan bahawa min aritmetik bagi sampel terhingga daripada taburan tetap adalah hampir dengan min teori taburan itu. Bergantung pada jenis penumpuan, perbezaan dibuat antara undang-undang lemah nombor besar, apabila penumpuan berlaku dengan kebarangkalian, dan undang-undang kuat nombor besar, apabila penumpuan hampir pasti.

Maksud umum undang-undang nombor besar ialah tindakan bersama sejumlah besar faktor rawak yang sama dan bebas membawa kepada keputusan yang, dalam had, tidak bergantung kepada peluang.

Kaedah untuk menganggar kebarangkalian berdasarkan analisis sampel terhingga adalah berdasarkan sifat ini. Contoh yang jelas ialah ramalan keputusan pilihan raya berdasarkan tinjauan terhadap sampel pengundi.

Teorem had pusat- kelas teorem dalam teori kebarangkalian yang menyatakan bahawa jumlahnya mencukupi Kuantiti yang besar pembolehubah rawak bersandar lemah yang mempunyai kira-kira skala yang sama (tiada satu istilah mendominasi atau membuat sumbangan yang menentukan kepada jumlah) mempunyai taburan hampir kepada normal.

Oleh kerana banyak pembolehubah rawak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor rawak bersandar lemah, taburannya dianggap normal. Dalam kes ini, syarat mesti dipenuhi bahawa tiada faktor yang dominan. Teorem had pusat dalam kes ini mewajarkan penggunaan taburan normal.

Dibentangkan sehingga kini di bank terbuka masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (mathege.ru), penyelesaiannya berdasarkan hanya satu formula, iaitu takrifan klasik kebarangkalian.

Cara paling mudah untuk memahami formula adalah dengan contoh.
Contoh 1. Terdapat 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam bakul. Bola hanya berbeza dalam warna. Kami mengeluarkan salah satu daripadanya secara rawak (tanpa melihat). Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dipilih dengan cara ini akan berwarna biru?

Satu komen. Dalam masalah kebarangkalian, sesuatu berlaku (dalam kes ini, tindakan kita melukis bola) yang boleh berlaku hasil yang berbeza- hasil. Perlu diingatkan bahawa hasilnya boleh dilihat dengan cara yang berbeza. "Kami mengeluarkan beberapa jenis bola" juga merupakan hasil. "Kami mengeluarkan bola biru" - hasilnya. "Kami menarik keluar tepat bola ini dari semua bola yang mungkin" - pandangan yang paling tidak umum mengenai keputusan ini dipanggil hasil asas. Ia adalah hasil asas yang dimaksudkan dalam formula untuk mengira kebarangkalian.

Penyelesaian. Sekarang mari kita kira kebarangkalian memilih bola biru.
Acara A: "bola yang dipilih ternyata berwarna biru"
Jumlah bilangan semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (bilangan semua bola yang boleh kita lukis)
Bilangan hasil yang sesuai untuk peristiwa A: 3 (bilangan hasil sedemikian di mana peristiwa A berlaku - iaitu, bilangan bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Jawapan: 0.25

Untuk masalah yang sama, mari kita kira kebarangkalian memilih bola merah.
Jumlah bilangan hasil yang mungkin akan kekal sama, 12. Bilangan hasil yang menggalakkan: 9. Kebarangkalian dicari: 9/12=3/4=0.75

Kebarangkalian sebarang peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1.
Kadangkala dalam pertuturan harian (tetapi bukan dalam teori kebarangkalian!) kebarangkalian kejadian dianggarkan sebagai peratusan. Peralihan antara markah matematik dan perbualan dicapai dengan mendarab (atau membahagi) sebanyak 100%.
Jadi,
Selain itu, kebarangkalian adalah sifar untuk peristiwa yang tidak boleh berlaku - luar biasa. Sebagai contoh, dalam contoh kami ini akan menjadi kebarangkalian untuk menarik bola hijau dari bakul. (Bilangan hasil yang menggalakkan ialah 0, P(A)=0/12=0, jika dikira menggunakan formula)
Kebarangkalian 1 mempunyai peristiwa yang benar-benar pasti berlaku, tanpa pilihan. Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa "bola yang dipilih akan sama ada merah atau biru" adalah untuk tugas kami. (Bilangan hasil yang menggalakkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kami telah menyemak contoh klasik, menggambarkan definisi kebarangkalian. Semua masalah serupa Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam teori kebarangkalian diselesaikan dengan menggunakan formula ini.
Sebagai ganti bola merah dan biru mungkin terdapat epal dan pear, lelaki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak dipelajari, tiket yang mengandungi dan tidak mengandungi soalan mengenai beberapa topik (prototaip,), beg atau pam taman yang rosak dan berkualiti tinggi (prototaip. ,) - prinsipnya tetap sama.

Mereka berbeza sedikit dalam perumusan masalah teori kebarangkalian Peperiksaan Negeri Bersepadu, di mana anda perlu mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku pada hari tertentu. ( , ) Seperti dalam masalah sebelumnya, anda perlu menentukan apakah hasil asas, dan kemudian menggunakan formula yang sama.

Contoh 2. Persidangan itu berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua terdapat 15 penceramah, pada hari ketiga - 20. Apakah kebarangkalian laporan Profesor M. akan jatuh pada hari ketiga jika susunan laporan ditentukan melalui undian?

Apakah hasil asas di sini? – Menugaskan laporan profesor satu daripada semua yang mungkin nombor siri untuk persembahan. 15+15+20=50 orang menyertai cabutan. Oleh itu, laporan Profesor M. mungkin menerima satu daripada 50 keluaran. Ini bermakna hanya terdapat 50 hasil asas.
Apakah hasil yang menggalakkan? - Mereka yang ternyata profesor akan bercakap pada hari ketiga. Iaitu, 20 nombor terakhir.
Mengikut formula, kebarangkalian P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Jawapan: 0.4

Cabutan lot di sini mewakili penubuhan surat-menyurat rawak antara orang dan tempat yang dipesan. Dalam contoh 2, penubuhan surat-menyurat telah dipertimbangkan dari sudut mana satu tempat yang boleh diambil orang yang istimewa. Anda boleh mendekati situasi yang sama dari sisi lain: yang manakah antara orang yang mempunyai kebarangkalian yang boleh sampai ke tempat tertentu (prototaip , , , ):

Contoh 3. Cabutan itu termasuk 5 orang Jerman, 8 orang Perancis dan 3 orang Estonia. Apakah kebarangkalian bahawa yang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak mengapa) akan menjadi orang Perancis.

Bilangan hasil asas ialah bilangan semua orang yang mungkin boleh masuk ke tempat tertentu dengan membuat undian. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menggalakkan - Perancis. 8 orang.
Kebarangkalian yang diperlukan: 8/16=1/2=0.5
Jawapan: 0.5

Prototaipnya sedikit berbeza. Masih terdapat masalah tentang syiling () dan dadu(), agak lebih kreatif. Penyelesaian kepada masalah ini boleh didapati pada halaman prototaip.

Berikut adalah beberapa contoh melambung syiling atau dadu.

Contoh 4. Apabila kita melemparkan syiling, apakah kebarangkalian untuk mendarat di atas kepala?
Terdapat 2 hasil - kepala atau ekor. (adalah dipercayai bahawa syiling tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menggalakkan ialah ekor, 1.
Kebarangkalian 1/2=0.5
Jawapan: 0.5.

Contoh 5. Bagaimana jika kita membaling syiling dua kali? Apakah kebarangkalian mendapat kepala kedua-dua kali?
Perkara utama ialah menentukan hasil asas yang akan kita pertimbangkan apabila melambung dua syiling. Selepas melambung dua syiling, salah satu daripada keputusan berikut boleh berlaku:
1) PP - kedua-dua kali ia muncul di kepala
2) PO – kepala kali pertama, kepala kali kedua
3) OP – kepala kali pertama, ekor kali kedua
4) OO - kepala muncul dua kali
Tiada pilihan lain. Ini bermakna terdapat 4 hasil asas. Hanya yang pertama, 1, adalah baik.
Kebarangkalian: 1/4=0.25
Jawapan: 0.25

Apakah kebarangkalian bahawa dua lambungan syiling akan menghasilkan ekor?
Bilangan hasil asas adalah sama, 4. Hasil yang menggalakkan ialah kedua dan ketiga, 2.
Kebarangkalian mendapat satu ekor: 2/4=0.5

Dalam masalah sedemikian, formula lain mungkin berguna.
Jika semasa satu lambungan syiling pilihan yang mungkin kita mempunyai 2 keputusan, maka untuk dua lontaran keputusannya ialah 2 2 = 2 2 = 4 (seperti dalam contoh 5), untuk tiga lontaran 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... untuk lontaran N keputusan yang mungkin ialah 2·2·...·2=2 N .

Jadi, anda boleh mencari kebarangkalian mendapat 5 kepala daripada 5 lambungan syiling.
Jumlah bilangan hasil asas: 2 5 =32.
Hasil yang menggalakkan: 1. (RRRRRR – kepala semua 5 kali)
Kebarangkalian: 1/32=0.03125

Perkara yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lontaran, terdapat 6 keputusan yang mungkin. Jadi, untuk dua balingan: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dsb.

Contoh 6. Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian nombor genap akan digulung?

Jumlah hasil: 6, mengikut bilangan sisi.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kebarangkalian: 3/6=0.5

Contoh 7. Kami baling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 10? (bundarkan kepada perseratus terdekat)

Untuk satu kematian terdapat 6 kemungkinan hasil. Ini bermakna bahawa untuk dua, mengikut peraturan di atas, 6·6=36.
Apakah hasil yang akan menguntungkan untuk jumlah keseluruhan untuk melancarkan 10?
10 mesti diuraikan menjadi hasil tambah dua nombor dari 1 hingga 6. Ini boleh dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Ini bermakna pilihan berikut adalah mungkin untuk kiub:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Jumlah, 3 pilihan. Kebarangkalian yang diperlukan: 3/36=1/12=0.08
Jawapan: 0.08

Jenis masalah B6 lain akan dibincangkan dalam artikel Cara Menyelesaikan akan datang.