Getaran paksa. Resonans. Persamaan ayunan paksa dan penyelesaiannya. Resonans Boleh ayunan paksa

Ayunan paksa ialah ayunan yang berlaku dalam sistem apabila daya perubahan secara berkala memaksa luaran, dipanggil daya penggerak, bertindak ke atasnya.

Sifat (pergantungan masa) daya penggerak mungkin berbeza. Ini boleh menjadi daya yang berubah mengikut undang-undang harmonik. Sebagai contoh, gelombang bunyi, yang sumbernya adalah garpu tala, mengenai gegendang telinga atau membran mikrofon. Daya tekanan udara yang berubah secara harmoni mula bertindak pada membran.

Daya penggerak boleh berbentuk hentakan atau impuls pendek. Sebagai contoh, orang dewasa mengayunkan kanak-kanak di atas buaian, secara berkala menolak mereka pada saat apabila buaian itu mencapai salah satu kedudukannya yang melampau.

Tugas kami adalah untuk mengetahui bagaimana sistem ayunan bertindak balas terhadap pengaruh daya penggerak yang berubah secara berkala.

§ 1 Daya penggerak berubah mengikut undang-undang harmonik

F menentang = - rv x dan kekuatan yang memaksa F keluar = F 0 dosa wt.

Hukum kedua Newton akan ditulis sebagai:

Penyelesaian kepada persamaan (1) dicari dalam bentuk , di manakah penyelesaian kepada persamaan (1) jika ia tidak mempunyai sisi kanan. Ia boleh dilihat bahawa tanpa sebelah kanan, persamaan bertukar menjadi persamaan terkenal ayunan lembap, penyelesaian yang kita sedia maklum. Dalam jangka masa yang cukup lama, ayunan bebas yang timbul dalam sistem apabila ia dialihkan daripada kedudukan keseimbangan secara praktikal akan pupus, dan hanya sebutan kedua akan kekal dalam penyelesaian persamaan. Kami akan mencari penyelesaian ini dalam bentuk
Mari kumpulkan istilah secara berbeza:

Kesamaan ini mesti benar pada bila-bila masa t, yang hanya mungkin jika pekali sinus dan kosinus adalah sama dengan sifar.

Jadi, jasad yang digerakkan oleh daya penggerak, berubah mengikut undang-undang harmonik, melakukan gerakan berayun dengan frekuensi daya penggerak.

Mari kita periksa dengan lebih terperinci persoalan amplitud ayunan paksa:

1 Amplitud ayunan paksa keadaan mantap tidak berubah dari semasa ke semasa. (Bandingkan dengan amplitud ayunan terlembap bebas).

2 Amplitud ayunan paksa adalah berkadar terus dengan amplitud daya penggerak.

3 Amplitud bergantung pada geseran dalam sistem (A bergantung pada d, dan pekali redaman d, seterusnya, bergantung pada pekali seret r). Lebih besar geseran dalam sistem, lebih kecil amplitud ayunan paksa.

4 Amplitud ayunan paksa bergantung pada frekuensi daya penggerak w. Bagaimana? Mari kita kaji fungsi A(w).

Pada w = 0 (daya malar bertindak ke atas sistem ayunan), anjakan badan adalah malar dari semasa ke semasa (perlu diingat bahawa ini merujuk kepada keadaan mantap, apabila ayunan semula jadi hampir mati).

· Apabila w ® ¥, maka, seperti yang mudah dilihat, amplitud A cenderung kepada sifar.

· Adalah jelas bahawa pada frekuensi tertentu daya penggerak, amplitud ayunan paksa akan mengambil nilai yang paling besar (untuk d tertentu). Fenomena peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa pada nilai tertentu frekuensi daya penggerak dipanggil resonans mekanikal.

Adalah menarik bahawa faktor kualiti sistem ayunan dalam kes ini menunjukkan berapa kali amplitud resonans melebihi anjakan jasad dari kedudukan keseimbangan di bawah tindakan daya malar F 0 .

Kami melihat bahawa kedua-dua frekuensi resonan dan amplitud resonan bergantung pada pekali redaman d. Apabila d menurun kepada sifar, frekuensi resonans meningkat dan cenderung kepada frekuensi ayunan semula jadi sistem w 0 . Dalam kes ini, amplitud resonans meningkat dan pada d = 0 ia pergi ke infiniti. Sudah tentu, dalam praktiknya amplitud ayunan tidak boleh tidak terhingga, kerana dalam sistem ayunan sebenar daya rintangan sentiasa bertindak. Jika sistem mempunyai pengecilan rendah, maka kita boleh mengandaikan bahawa resonans berlaku pada frekuensi ayunannya sendiri:

di mana dalam kes yang sedang dipertimbangkan ialah peralihan fasa antara daya penggerak dan anjakan jasad daripada kedudukan keseimbangan.

Adalah mudah untuk melihat bahawa peralihan fasa antara daya dan anjakan bergantung pada geseran dalam sistem dan kekerapan daya penggerak luaran. Pergantungan ini ditunjukkan dalam rajah. Jelas bahawa apabila< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positif.

Mengetahui pergantungan pada sudut, seseorang boleh memperoleh pergantungan pada kekerapan daya penggerak.

Pada frekuensi daya luar yang jauh lebih rendah daripada daya semula jadi, anjakan ketinggalan sedikit di belakang daya penggerak dalam fasa. Apabila kekerapan daya luaran meningkat, kelewatan fasa ini bertambah. Pada resonans (jika kecil), peralihan fasa menjadi sama dengan . Apabila >> ayunan dan daya ayunan berlaku dalam antifasa. Pergantungan ini mungkin kelihatan pelik pada pandangan pertama. Untuk memahami fakta ini, mari kita beralih kepada transformasi tenaga dalam proses ayunan paksa.

§ 2 Transformasi tenaga

Seperti yang kita sedia maklum, amplitud ayunan ditentukan oleh jumlah tenaga sistem ayunan. Sebelum ini telah ditunjukkan bahawa amplitud ayunan paksa kekal tidak berubah dari semasa ke semasa. Ini bermakna bahawa jumlah tenaga mekanikal sistem ayunan tidak berubah dari semasa ke semasa. kenapa? Lagipun, sistem tidak ditutup! Dua daya - daya berubah secara berkala luaran dan daya rintangan - melakukan kerja yang sepatutnya mengubah jumlah tenaga sistem.

Mari cuba fikirkan apa yang berlaku. Kuasa daya penggerak luaran boleh didapati seperti berikut:

Kami melihat bahawa kuasa daya luaran yang memberi makan sistem ayunan dengan tenaga adalah berkadar dengan amplitud ayunan.

Disebabkan oleh kerja daya rintangan, tenaga sistem ayunan harus berkurangan, bertukar menjadi dalaman. Kuasa daya rintangan:

Jelas sekali, kuasa daya rintangan adalah berkadar dengan kuasa dua amplitud. Mari kita plot kedua-dua kebergantungan pada graf.

Agar ayunan menjadi stabil (amplitud tidak berubah dari semasa ke semasa), kerja daya luaran semasa tempoh itu mesti mengimbangi kehilangan tenaga sistem akibat kerja daya rintangan. Titik persilangan graf kuasa betul-betul sepadan dengan rejim ini. Mari kita bayangkan bahawa atas sebab tertentu amplitud ayunan paksa telah berkurangan. Ini akan membawa kepada fakta bahawa kuasa serta-merta kuasa luar akan lebih besar daripada kuasa kerugian. Ini akan membawa kepada peningkatan tenaga sistem ayunan, dan amplitud ayunan akan memulihkan nilai sebelumnya.

Dengan cara yang sama, seseorang boleh diyakinkan bahawa dengan peningkatan rawak dalam amplitud ayunan, kehilangan kuasa akan melebihi kuasa daya luaran, yang akan membawa kepada penurunan tenaga sistem, dan, akibatnya, untuk penurunan dalam amplitud.

Mari kita kembali kepada persoalan peralihan fasa antara anjakan dan daya penggerak pada resonans. Kami telah menunjukkan bahawa anjakan ketinggalan, dan oleh itu daya mendahului anjakan, dengan . Sebaliknya, unjuran halaju dalam proses ayunan harmonik sentiasa mendahului koordinat dengan . Ini bermakna semasa resonans, daya penggerak luaran dan kelajuan berayun dalam fasa yang sama. Ini bermakna mereka diarahkan bersama pada bila-bila masa! Kerja kuasa luar dalam kes ini sentiasa positif, ia semua pergi untuk menambah sistem ayunan dengan tenaga.

§ 3 Pengaruh berkala bukan sinusoidal

Ayunan paksa pengayun adalah mungkin di bawah sebarang pengaruh luaran berkala, bukan hanya sinusoidal. Dalam kes ini, ayunan yang ditetapkan, secara amnya, tidak akan menjadi sinusoidal, tetapi ia akan mewakili pergerakan berkala dengan tempoh yang sama dengan tempoh pengaruh luaran.

Pengaruh luar boleh, sebagai contoh, kejutan berturut-turut (ingat bagaimana orang dewasa "membuai" kanak-kanak yang duduk di atas buaian). Jika tempoh kejutan luaran bertepatan dengan tempoh ayunan semula jadi, maka resonans mungkin berlaku dalam sistem. Ayunan akan hampir sinusoidal. Tenaga yang diberikan kepada sistem pada setiap tolakan mengisi semula jumlah tenaga sistem yang hilang akibat geseran. Adalah jelas bahawa dalam kes ini, pilihan adalah mungkin: jika tenaga yang diberikan semasa tolakan adalah sama dengan atau melebihi kehilangan geseran setiap tempoh, maka ayunan sama ada akan stabil atau skopnya akan meningkat. Ini jelas kelihatan dalam rajah fasa.

Adalah jelas bahawa resonans juga mungkin berlaku dalam kes apabila tempoh pengulangan kejutan adalah gandaan daripada tempoh ayunan semula jadi. Ini adalah mustahil dengan sifat sinusoidal pengaruh luaran.

Sebaliknya, walaupun kekerapan kejutan bertepatan dengan frekuensi semula jadi, resonans mungkin tidak diperhatikan. Jika hanya kehilangan geseran dalam tempoh melebihi tenaga yang diterima oleh sistem semasa tolakan, maka jumlah tenaga sistem akan berkurangan dan ayunan akan menjadi lembap.

§ 4 resonans parametrik

Pengaruh luaran pada sistem ayunan boleh dikurangkan kepada perubahan berkala dalam parameter sistem ayunan itu sendiri. Ayunan yang teruja dengan cara ini dipanggil parametrik, dan mekanisme itu sendiri dipanggil resonans parametrik .

Pertama sekali, kami akan cuba menjawab soalan: adakah mungkin untuk menggoncang ayunan kecil yang sedia ada dalam sistem dengan menukar beberapa parameternya secara berkala dengan cara tertentu.

Sebagai contoh, pertimbangkan seseorang yang berayun di atas buaian. Dengan membongkok dan meluruskan kakinya pada saat "kanan", dia sebenarnya mengubah panjang bandul. Dalam kedudukan yang melampau, seseorang mencangkung, dengan itu merendahkan sedikit pusat graviti sistem ayunan; di kedudukan tengah, seseorang meluruskan, menaikkan pusat graviti sistem.

Untuk memahami mengapa seseorang berayun pada masa yang sama, pertimbangkan model seseorang yang sangat mudah di atas buaian - bandul kecil biasa, iaitu berat kecil pada benang yang ringan dan panjang. Untuk mensimulasikan kenaikan dan penurunan pusat graviti, kita akan melepasi hujung atas benang melalui lubang kecil dan akan menarik benang pada saat-saat apabila bandul melepasi kedudukan keseimbangan, dan menurunkan benang dengan jumlah yang sama apabila bandul melepasi kedudukan yang melampau.

Kerja daya tegangan benang setiap tempoh (dengan mengambil kira bahawa beban diangkat dan diturunkan dua kali setiap tempoh dan D l << l):

Sila ambil perhatian bahawa dalam kurungan tidak ada yang lebih daripada tiga kali ganda tenaga sistem ayunan. Dengan cara ini, kuantiti ini adalah positif, oleh itu, kerja daya ketegangan (kerja kami) adalah positif, ia membawa kepada peningkatan dalam jumlah tenaga sistem, dan oleh itu kepada ayunan bandul.

Menariknya, perubahan relatif tenaga dalam satu tempoh tidak bergantung pada sama ada bandul berayun lemah atau kuat. Ini sangat penting, dan inilah sebabnya. Jika bandul tidak "dipam" dengan tenaga, maka untuk setiap tempoh ia akan kehilangan bahagian tertentu tenaganya disebabkan oleh daya geseran, dan ayunan akan mati. Dan untuk julat ayunan meningkat, adalah perlu bahawa tenaga yang diperolehi melebihi yang hilang untuk mengatasi geseran. Dan keadaan ini, ternyata, adalah sama - baik untuk amplitud kecil dan untuk yang besar.

Sebagai contoh, jika dalam satu tempoh tenaga ayunan bebas berkurangan sebanyak 6%, maka agar ayunan bandul sepanjang 1 m tidak lembap, cukup untuk mengurangkan panjangnya sebanyak 1 cm di kedudukan tengah, dan meningkatkan ia dengan jumlah yang sama dalam kedudukan yang melampau.

Kembali ke ayunan: jika anda mula berayun, maka tidak perlu mencangkung lebih dalam dan lebih dalam - mencangkung dengan cara yang sama sepanjang masa, dan anda akan terbang lebih tinggi dan lebih tinggi!

*** Kualiti lagi!

Seperti yang telah kita katakan, untuk pembentukan parametrik ayunan, keadaan DE > A geseran setiap tempoh mesti dipenuhi.

Mari kita cari kerja yang dilakukan oleh daya geseran sepanjang tempoh tersebut

Dapat dilihat bahawa jumlah relatif pengangkatan bandul untuk mengayunkannya ditentukan oleh faktor kualiti sistem.

§ 5 Maksud resonans

Ayunan paksa dan resonans digunakan secara meluas dalam teknologi, terutamanya dalam akustik, kejuruteraan elektrik, dan kejuruteraan radio. Resonans digunakan terutamanya apabila, dari satu set besar ayunan frekuensi yang berbeza, seseorang ingin mengasingkan ayunan frekuensi tertentu. Resonans juga digunakan dalam kajian kuantiti berulang secara berkala yang sangat lemah.

Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes resonans adalah fenomena yang tidak diingini, kerana ia boleh menyebabkan ubah bentuk besar dan pemusnahan struktur.

§ 6 Contoh penyelesaian masalah

Masalah 1 Ayunan paksa bandul spring di bawah tindakan daya sinusoidal luar.

Satu beban berjisim m = 10 g digantung dari spring dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem diletakkan dalam medium likat dengan pekali rintangan r = 0.1 kg/s. Bandingkan frekuensi semula jadi dan resonan sistem. Tentukan amplitud ayunan bandul pada resonans di bawah tindakan daya sinusoidal dengan amplitud F 0 = 20 mN.

Penyelesaian:

1 Kekerapan semula jadi sistem ayunan ialah kekerapan getaran bebas tanpa ketiadaan geseran. Kekerapan kitaran semula jadi adalah sama dengan frekuensi ayunan.

2 Kekerapan resonan ialah kekerapan daya penggerak luaran di mana amplitud ayunan paksa meningkat dengan mendadak. Kekerapan kitaran resonan adalah sama dengan , di mana adalah pekali redaman, sama dengan .

Oleh itu, frekuensi resonans ialah . Adalah mudah untuk melihat bahawa frekuensi resonans adalah kurang daripada frekuensi semula jadi! Ia juga jelas bahawa semakin rendah geseran dalam sistem (r), semakin hampir frekuensi resonans dengan frekuensi semula jadi.

3 Amplitud resonan ialah

Tugasan 2 Amplitud resonans dan faktor kualiti sistem ayunan

Satu beban berjisim m = 100 g digantung dari spring dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem diletakkan dalam medium likat dengan pekali rintangan

r = 0.02 kg/s. Tentukan faktor kualiti sistem ayunan dan amplitud ayunan bandul pada resonans di bawah tindakan daya sinusoidal dengan amplitud F 0 = 10 mN. Cari nisbah amplitud resonans kepada sesaran statik di bawah pengaruh daya malar F 0 = 20 mN dan bandingkan nisbah ini dengan faktor kualiti.

Penyelesaian:

1 Faktor kualiti sistem berayun adalah sama dengan , di mana ialah penurunan redaman logaritma.

Penurunan redaman logaritma adalah sama dengan .

Mencari faktor kualiti sistem ayunan.

2 Amplitud resonan ialah

3 Sesaran statik di bawah tindakan daya malar F 0 = 10 mN adalah sama dengan .

4 Nisbah amplitud resonans kepada sesaran statik di bawah tindakan daya malar F 0 adalah sama dengan

Adalah mudah untuk melihat bahawa nisbah ini bertepatan dengan faktor kualiti sistem ayunan

Masalah 3 Getaran resonan bagi rasuk

Di bawah pengaruh berat motor elektrik, tangki julur di mana ia dipasang dibengkokkan oleh . Pada berapakah kelajuan angker motor boleh terdapat bahaya resonans?

Penyelesaian:

1 Perumah motor dan rasuk di mana ia dipasang mengalami kejutan berkala daripada angker berputar motor dan, oleh itu, melakukan ayunan paksa pada kekerapan hentakan.

Resonans akan diperhatikan apabila kekerapan hentakan bertepatan dengan frekuensi semula jadi getaran rasuk dengan motor. Ia adalah perlu untuk mencari frekuensi semula jadi getaran sistem rasuk-motor.

2 Analog sistem ayunan rasuk-motor boleh menjadi pendulum spring menegak, yang jisimnya sama dengan jisim motor. Kekerapan semula jadi ayunan bandul spring adalah sama dengan . Tetapi kekakuan spring dan jisim motor tidak diketahui! Apa patut saya buat?

3 Dalam kedudukan keseimbangan pendulum spring, daya graviti beban diimbangi oleh daya kenyal spring.

4 Cari putaran angker motor, i.e. kekerapan kejutan

Masalah 4 Ayunan paksa bandul spring di bawah pengaruh hentakan berkala.

Berat berjisim m = 0.5 kg digantung dari spring lingkaran dengan kekakuan k = 20 N/m. Penurunan redaman logaritma sistem ayunan adalah sama dengan . Mereka mahu mengayunkan berat dengan tolakan pendek, bertindak ke atas berat dengan daya F = 100 mN untuk satu masa τ = 0.01 s. Apakah kekerapan pukulan yang sepatutnya supaya amplitud berat menjadi paling besar? Pada titik manakah dan ke arah manakah anda harus menolak kettlebell? Apakah amplitud yang mungkin untuk mengayunkan berat dengan cara ini?

Penyelesaian:

1 Getaran paksa boleh berlaku di bawah sebarang pengaruh berkala. Dalam kes ini, ayunan keadaan mantap akan berlaku dengan kekerapan pengaruh luaran. Jika tempoh kejutan luaran bertepatan dengan kekerapan ayunan semula jadi, maka resonans berlaku dalam sistem - amplitud ayunan menjadi paling besar. Dalam kes kami, untuk resonans berlaku, tempoh kejutan mesti bertepatan dengan tempoh ayunan bandul spring.

Penurunan redaman logaritma adalah kecil, oleh itu, terdapat sedikit geseran dalam sistem, dan tempoh ayunan bandul dalam medium likat secara praktikalnya bertepatan dengan tempoh ayunan bandul dalam vakum:

2 Jelas sekali, arah tolakan mestilah bertepatan dengan kelajuan berat. Dalam kes ini, kerja daya luaran yang mengisi semula sistem dengan tenaga akan menjadi positif. Dan getaran akan bergoyang. Tenaga yang diterima oleh sistem semasa proses impak

akan menjadi paling besar apabila beban melepasi kedudukan keseimbangan, kerana dalam kedudukan ini kelajuan bandul adalah maksimum.

Jadi, sistem akan berayun paling cepat di bawah tindakan hentakan ke arah pergerakan beban semasa ia melalui kedudukan keseimbangan.

3 Amplitud ayunan berhenti berkembang apabila tenaga yang diberikan kepada sistem semasa proses hentaman adalah sama dengan kehilangan tenaga akibat geseran dalam tempoh: .

Kami akan mencari kehilangan tenaga dalam satu tempoh melalui faktor kualiti sistem ayunan

di mana E ialah jumlah tenaga sistem ayunan, yang boleh dikira sebagai .

Daripada tenaga yang hilang, kami menggantikan tenaga yang diterima oleh sistem semasa impak:

Kelajuan maksimum semasa proses ayunan ialah . Dengan mengambil kira perkara ini, kami mendapat .

§7 Tugas untuk penyelesaian bebas

Uji "Getaran paksa"

1 Apakah ayunan yang dipanggil paksa?

A) Ayunan yang berlaku di bawah pengaruh kuasa luaran yang berubah secara berkala;

B) Ayunan yang berlaku dalam sistem selepas kejutan luaran;

2 Antara berikut, ayunan yang manakah dipaksa?

A) Ayunan beban yang digantung dari spring selepas sisihan tunggalnya daripada kedudukan keseimbangan;

B) Ayunan kon pembesar suara semasa operasi penerima;

B) Ayunan beban yang digantung dari spring selepas hentaman tunggal pada beban dalam kedudukan keseimbangan;

D) Getaran perumah motor elektrik semasa operasinya;

D) Getaran gegendang telinga seseorang yang mendengar muzik.

3 Sistem ayunan dengan frekuensinya sendiri digerakkan oleh daya penggerak luaran yang berbeza mengikut undang-undang. Pekali redaman dalam sistem ayunan adalah sama dengan . Menurut undang-undang apakah koordinat badan berubah mengikut masa?

C) Amplitud ayunan paksa akan kekal tidak berubah, kerana tenaga yang hilang oleh sistem akibat geseran akan dikompensasikan oleh keuntungan tenaga akibat kerja daya penggerak luaran.

5 Sistem melakukan ayunan paksa di bawah tindakan daya sinusoidal. Nyatakan Semua faktor yang bergantung kepada amplitud ayunan ini.

A) Daripada amplitud daya penggerak luaran;

B) Kehadiran tenaga dalam sistem ayunan pada saat daya luar mula bertindak;

C) Parameter sistem ayunan itu sendiri;

D) Geseran dalam sistem ayunan;

D) Kewujudan ayunan semula jadi dalam sistem pada masa kuasa luar mula bertindak;

E) Masa penubuhan ayunan;

G) Kekerapan daya penggerak luaran.

6 Bongkah berjisim m melakukan ayunan harmonik paksa di sepanjang satah mengufuk dengan kala T dan amplitud A. Pekali geseran μ. Apakah kerja yang dilakukan oleh daya penggerak luaran dalam masa yang sama dengan tempoh T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Adalah mustahil untuk memberikan jawapan, kerana magnitud daya penggerak luaran tidak diketahui.

7 Buat pernyataan yang betul

Resonans adalah fenomena...

A) Kebetulan kekerapan daya luaran dengan frekuensi semula jadi sistem berayun;

B) Peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa.

Resonans diperhatikan di bawah keadaan

A) Mengurangkan geseran dalam sistem ayunan;

B) Meningkatkan amplitud daya penggerak luaran;

C) Kebetulan frekuensi daya luaran dengan frekuensi semula jadi sistem ayunan;

D) Apabila frekuensi daya luar bertepatan dengan frekuensi resonans.

8 Fenomena resonans boleh diperhatikan dalam...

A) Dalam mana-mana sistem berayun;

B) Dalam sistem yang melakukan ayunan bebas;

B) Dalam sistem berayun sendiri;

D) Dalam sistem yang mengalami ayunan paksa.

9 Rajah menunjukkan graf pergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak. Resonans berlaku pada frekuensi...

10 Tiga bandul yang sama terletak dalam media likat yang berbeza melakukan ayunan paksa. Rajah menunjukkan lengkung resonans untuk bandul ini. Bandul yang manakah mengalami rintangan terbesar daripada medium likat semasa ayunan?

A) 1; B) 2; PADA 3;

D) Adalah mustahil untuk memberikan jawapan, kerana amplitud ayunan paksa, sebagai tambahan kepada kekerapan daya luaran, juga bergantung pada amplitudnya. Keadaan ini tidak menyatakan apa-apa tentang amplitud daya penggerak luaran.

11 Tempoh ayunan semula jadi sistem ayunan adalah sama dengan T 0. Apakah tempoh kejutan supaya amplitud ayunan meningkat dengan mendadak, iaitu, resonans timbul dalam sistem?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Buaian boleh digoyang dengan tolakan pada sebarang frekuensi.

12 Adik lelaki anda duduk di atas buaian, anda menghayun dia dengan tolakan pendek. Apakah tempoh penggantian kejutan untuk proses berlaku dengan paling cekap? Tempoh ayunan semula jadi ayunan T 0.

D) Buaian boleh digoyang dengan tolakan pada sebarang frekuensi.

13 Adik lelaki anda duduk di atas buaian, anda menghayun dia dengan tolakan pendek. Dalam kedudukan hayunan apakah tolakan harus dibuat dan ke arah mana tolakan harus dibuat supaya proses berlaku dengan paling cekap?

A) Tolak pada kedudukan paling atas hayunan ke arah kedudukan keseimbangan;

B) Tolak pada kedudukan paling atas ayunan dalam arah dari kedudukan keseimbangan;

B) Tolak dalam kedudukan seimbang mengikut arah pergerakan hayunan;

D) Anda boleh menolak dalam mana-mana kedudukan, tetapi sentiasa dalam arah pergerakan hayunan.

14 Nampaknya dengan menembak dari katapel di jambatan tepat pada masanya dengan getarannya sendiri dan membuat banyak pukulan, anda boleh menghayunkannya dengan kuat, tetapi ini tidak mungkin berjaya. kenapa?

A) Jisim jambatan (inersianya) adalah besar berbanding dengan jisim "peluru" dari katapel; jambatan tidak akan dapat bergerak di bawah pengaruh hentaman tersebut;

B) Daya hentaman "peluru" daripada katapel adalah sangat kecil sehingga jambatan tidak akan dapat bergerak di bawah pengaruh hentaman tersebut;

C) Tenaga yang disalurkan ke jambatan dalam satu pukulan adalah lebih kurang daripada kehilangan tenaga akibat geseran sepanjang tempoh tersebut.

15 Kamu membawa sebaldi air. Air dalam baldi berayun dan memercik keluar. Apakah yang boleh dilakukan untuk mengelakkan perkara ini daripada berlaku?

A) Ayunkan tangan di mana baldi terletak mengikut irama dengan berjalan;

B) Tukar kelajuan pergerakan, biarkan panjang langkah tidak berubah;

C) Berhenti secara berkala dan tunggu sehingga getaran air reda;

D) Pastikan semasa pergerakan tangan dengan baldi diposisikan secara menegak.

Tugasan

1 Sistem melakukan ayunan terlembap dengan frekuensi 1000 Hz. Tentukan Kekerapan v 0 getaran semula jadi, jika frekuensi resonans

2 Tentukan dengan nilai D v frekuensi resonan berbeza daripada frekuensi semula jadi v 0= 1000 Hz sistem ayunan, dicirikan oleh pekali redaman d = 400s -1.

3 Satu beban berjisim 100 g, digantung pada spring dengan kekakuan 10 N/m, melakukan ayunan paksa dalam medium likat dengan pekali rintangan r = 0.02 kg/s. Tentukan pekali redaman, frekuensi resonans dan amplitud. Nilai amplitud daya penggerak ialah 10 mN.

4 Amplitud ayunan harmonik paksa pada frekuensi w 1 = 400 s -1 dan w 2 = 600 s -1 adalah sama. Tentukan frekuensi resonans.

5 Lori memasuki gudang bijirin di sepanjang jalan tanah di satu sisi, memunggah dan meninggalkan gudang pada kelajuan yang sama, tetapi di sisi lain. Bahagian gudang manakah yang mempunyai lebih banyak jalan berlubang daripada yang lain? Bagaimanakah anda boleh menentukan dari sisi mana gudang adalah pintu masuk dan yang manakah pintu keluar berdasarkan keadaan jalan? Wajarkan jawapannya

Dalam pelajaran ini, semua orang akan dapat mempelajari topik "Transformasi tenaga semasa gerakan berayun. Ayunan teredam. Getaran paksa." Dalam pelajaran ini kita akan melihat apakah perubahan tenaga yang berlaku semasa gerakan berayun. Untuk melakukan ini, kami akan menjalankan eksperimen penting dengan sistem pendulum spring mendatar. Kami juga akan membincangkan isu yang berkaitan dengan ayunan terlembap dan ayunan paksa.

Pelajaran ditumpukan kepada topik "Transformasi tenaga semasa gerakan berayun." Di samping itu, kami akan mempertimbangkan isu yang berkaitan dengan ayunan terlembap dan paksa.

Mari kita mula membiasakan diri dengan isu ini dengan percubaan penting seterusnya. Jasad dilekatkan pada spring, yang boleh melakukan ayunan mendatar. Sistem ini dipanggil pendulum spring mendatar. Dalam kes ini, kesan graviti boleh diabaikan.

nasi. 1. Bandul spring mendatar

Kami akan menganggap bahawa tiada daya geseran atau rintangan dalam sistem. Apabila sistem ini berada dalam keseimbangan dan tiada ayunan berlaku, kelajuan jasad ialah 0 dan tiada ubah bentuk spring. Dalam kes ini, bandul ini tidak mempunyai tenaga. Tetapi sebaik sahaja badan dialihkan relatif kepada titik keseimbangan ke kanan atau ke kiri, dalam kes ini kita akan melakukan kerja berkomunikasi tenaga dalam sistem ayunan ini. Apa yang berlaku dalam kes ini? Perkara berikut berlaku: spring berubah bentuk, panjangnya berubah. Kami memberikan tenaga berpotensi kepada musim bunga. Jika anda kini melepaskan beban tanpa menahannya, ia akan mula bergerak ke arah kedudukan keseimbangan, spring akan mula meluruskan dan ubah bentuk spring akan berkurangan. Kelajuan badan akan meningkat, dan mengikut undang-undang pemuliharaan tenaga, tenaga potensi spring akan ditukar kepada tenaga kinetik pergerakan badan.

nasi. 2. Peringkat ayunan bandul spring

Ubah bentuk∆x spring ditentukan seperti berikut: ∆x = x 0 - x. Setelah mempertimbangkan ubah bentuk, kita boleh mengatakan bahawa semua tenaga berpotensi disimpan pada musim bunga: .

Semasa ayunan, tenaga keupayaan sentiasa ditukar kepada tenaga kinetik bongkah: .

Contohnya, apabila bongkah melepasi titik keseimbangan x 0, ubah bentuk spring ialah 0, i.e. ∆х=0, oleh itu, tenaga keupayaan spring ialah 0 dan semua tenaga keupayaan spring telah bertukar menjadi tenaga kinetik bongkah: E p (di titik B) = E k (di titik A). Ataupun .

Hasil daripada pergerakan tersebut, tenaga keupayaan ditukar kepada tenaga kinetik. Kemudian fenomena inersia yang dipanggil berlaku. Jasad yang mempunyai beberapa jisim melepasi titik keseimbangan dengan inersia. Kelajuan badan mula berkurangan, dan ubah bentuk dan pemanjangan spring meningkat. Kita boleh membuat kesimpulan bahawa tenaga kinetik badan berkurangan, dan tenaga potensi spring mula meningkat semula. Kita boleh bercakap tentang penukaran tenaga kinetik kepada tenaga keupayaan.

Apabila badan akhirnya berhenti, kelajuan badan akan sama dengan 0, dan ubah bentuk spring akan menjadi maksimum, dalam kes ini kita boleh mengatakan bahawa semua tenaga kinetik badan telah bertukar menjadi tenaga potensi spring. Pada masa hadapan, semuanya berulang dari awal. Jika satu syarat dipenuhi, proses ini akan berlaku secara berterusan. Apakah syarat ini? Keadaan ini ialah ketiadaan geseran. Tetapi daya geseran, daya rintangan, terdapat dalam mana-mana sistem. Oleh itu, dengan setiap pergerakan pendulum yang seterusnya, kehilangan tenaga berlaku. Kerja sedang dilakukan untuk mengatasi daya geseran. Daya geseran mengikut undang-undang Coulomb-Amonton: F TP = μ .N.

Bercakap tentang ayunan, kita mesti sentiasa ingat bahawa daya geseran membawa kepada fakta bahawa secara beransur-ansur semua tenaga yang disimpan dalam sistem ayunan tertentu ditukar menjadi tenaga dalaman. Akibatnya, ayunan berhenti, dan sejak ayunan berhenti, ayunan tersebut dipanggil damped.

Ayunan teredam - ayunan, amplitud yang berkurangan disebabkan oleh fakta bahawa tenaga sistem ayunan dibelanjakan untuk mengatasi rintangan dan daya geseran.

nasi. 3. Graf ayunan terlembap

Jenis ayunan seterusnya yang akan kita pertimbangkan ialah apa yang dipanggil. getaran paksa. Getaran paksa dipanggil ayunan sedemikian yang berlaku di bawah pengaruh daya luar berkala yang bertindak ke atas sistem ayunan tertentu.

Jika bandul berayun, maka agar ayunan ini berterusan, daya luar mesti bertindak ke atas bandul setiap kali. Sebagai contoh, kita bertindak di atas bandul dengan tangan kita sendiri, memaksanya untuk bergerak, menolaknya. Adalah penting untuk bertindak dengan sedikit kekuatan dan menambah tenaga yang hilang. Jadi, ayunan paksa ialah ayunan yang berlaku di bawah pengaruh daya penggerak luaran. Kekerapan ayunan tersebut akan bertepatan dengan kekerapan daya bertindak luaran. Apabila daya luar mula bertindak pada bandul, perkara berikut berlaku: pada mulanya ayunan akan mempunyai amplitud kecil, tetapi secara beransur-ansur amplitud ini akan meningkat. Dan apabila amplitud memperoleh nilai malar, kekerapan ayunan juga memperoleh nilai malar, mereka mengatakan bahawa ayunan tersebut telah menjadi mantap. Ayunan paksa diwujudkan.

mantap ayunan paksa menebus kehilangan tenaga dengan tepat terima kasih kepada kerja tenaga penggerak luaran.

Resonans

Terdapat fenomena yang sangat penting yang sering diperhatikan dalam alam semula jadi dan teknologi. Fenomena ini dipanggil resonans. "Resonans" adalah perkataan Latin dan diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia sebagai "tindak balas". Resonans (dari lat.resono - "Saya bertindak balas") ialah fenomena peningkatan dalam amplitud ayunan paksa sistem, yang berlaku apabila kekerapan pengaruh luaran daya menghampiri kekerapan ayunan semula jadi bandul atau sistem ayunan tertentu .

Sekiranya terdapat bandul yang mempunyai panjang, jisim atau kekakuan spring sendiri, maka bandul ini mempunyai ayunannya sendiri, yang dicirikan oleh frekuensi. Jika daya penggerak luaran mula bertindak pada bandul ini dan frekuensi daya ini mula menghampiri frekuensi semula jadi bandul (bertepatan dengannya), maka peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan berlaku. Inilah fenomena resonans.

Akibat fenomena ini, getaran boleh menjadi sangat besar sehingga badan, sistem ayunan itu sendiri, akan musnah. Terdapat satu kes yang diketahui apabila formasi tentera yang berjalan melintasi jambatan hanya meruntuhkan jambatan akibat fenomena sedemikian. Satu lagi kes apabila, akibat pergerakan jisim udara dan tiupan angin yang agak kuat, sebuah jambatan runtuh di AS. Ini juga merupakan fenomena resonans. Getaran jambatan, getarannya sendiri, bertepatan dengan kekerapan tiupan angin, daya penggerak luaran. Ini menyebabkan amplitud meningkat sehingga jambatan itu runtuh.

Mereka cuba mengambil kira fenomena ini apabila mereka bentuk struktur dan mekanisme. Sebagai contoh, apabila kereta api bergerak, perkara berikut mungkin berlaku. Jika gerabak sedang dalam perjalanan dan gerabak ini mula bergoyang mengikut masa dengan pergerakannya, maka amplitud ayunan boleh meningkat dengan banyak sehingga gerabak boleh tergelincir. Akan berlaku kemalangan. Untuk mencirikan fenomena ini, lengkung yang dipanggil lengkung resonans digunakan.

nasi. 4. Keluk resonans. Puncak lengkung - amplitud maksimum

Sudah tentu, resonans bukan sahaja diperangi, tetapi juga digunakan. Ia kebanyakannya digunakan dalam akustik. Di mana terdapat auditorium, dewan teater, dewan konsert, kita mesti mengambil kira fenomena resonans.

Senarai literatur tambahan:

Adakah anda begitu biasa dengan resonans? // Kuantum. - 2003. - No 1. - P. 32-33 Fizik: Mekanik. Darjah 10: Buku teks. untuk kajian fizik yang mendalam / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky dan lain-lain; Ed. G.Ya. Myakisheva. - M.: Bustard, 2002. Buku teks fizik asas. Ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974

Tidak seperti ayunan bebas, apabila sistem menerima hanya sekali (apabila sistem dikeluarkan dari), dalam kes ayunan paksa, sistem menyerap tenaga ini daripada sumber daya berkala luaran secara berterusan. Tenaga ini mengisi semula kerugian yang dibelanjakan untuk mengatasi, dan oleh itu jumlah tidak masih kekal tidak berubah.

Getaran paksa, tidak seperti yang bebas, boleh berlaku pada sebarang frekuensi. bertepatan dengan kekerapan daya luaran yang bertindak ke atas sistem ayunan. Oleh itu, kekerapan ayunan paksa ditentukan bukan oleh sifat sistem itu sendiri, tetapi oleh kekerapan pengaruh luaran.

Contoh getaran paksa ialah getaran hayunan kanak-kanak, getaran jarum dalam mesin jahit, omboh dalam silinder enjin kereta, spring kereta yang bergerak di atas jalan yang kasar, dsb.

Resonans

DEFINISI

Resonans– ini adalah fenomena peningkatan mendadak dalam ayunan paksa apabila frekuensi daya penggerak menghampiri frekuensi semula jadi sistem ayunan.

Resonans timbul disebabkan oleh fakta bahawa apabila daya luaran, bertindak dalam masa dengan getaran bebas, sentiasa mempunyai arah yang sama dari badan berayun dan melakukan kerja positif: tenaga badan berayun meningkat dan menjadi besar. Jika daya luaran bertindak "di luar langkah," maka daya ini secara bergilir-gilir melakukan kerja negatif dan positif dan, akibatnya, tenaga sistem berubah sedikit.

Rajah 1 menunjukkan pergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak. Ia boleh dilihat bahawa amplitud ini mencapai maksimum pada nilai frekuensi tertentu, i.e. pada , di manakah frekuensi semula jadi sistem ayunan. Lengkung 1 dan 2 berbeza dalam magnitud daya geseran. Pada geseran rendah (lengkung 1), lengkung resonans mempunyai maksimum yang tajam; pada daya geseran yang lebih tinggi (lengkung 2), tidak ada maksimum yang tajam.

Kita sering menghadapi fenomena resonans dalam kehidupan seharian. Sekiranya tingkap di dalam bilik mula bergegar apabila trak berat melintas di sepanjang jalan, ini bermakna frekuensi semula jadi getaran kaca adalah sama dengan kekerapan getaran kereta. Jika ombak laut bergema dengan tempoh kapal, gulingan menjadi sangat kuat.

Fenomena resonans mesti diambil kira semasa mereka bentuk jambatan, bangunan dan struktur lain yang mengalami getaran di bawah beban, jika tidak dalam keadaan tertentu struktur ini mungkin musnah. Walau bagaimanapun, resonans juga boleh memberi manfaat. Fenomena resonans digunakan apabila menala penerima radio ke frekuensi siaran tertentu, serta dalam banyak kes lain.

Contoh penyelesaian masalah

CONTOH 1

Senaman	Hujung spring bandul mengufuk, yang bebannya mempunyai jisim 1 kg, digerakkan oleh daya pembolehubah yang frekuensi ayunannya ialah 16 Hz. Adakah resonans akan diperhatikan jika kekakuan spring ialah 400 N/m?
Penyelesaian	Mari kita tentukan frekuensi semula jadi sistem ayunan menggunakan formula: Hz Oleh kerana kekerapan daya luaran tidak sama dengan frekuensi semula jadi sistem, fenomena resonans tidak akan diperhatikan.
Jawab	Fenomena resonans tidak akan diperhatikan.

CONTOH 2

Senaman	Sebiji bola kecil digantung pada benang sepanjang 1 m dari siling kereta. Pada kelajuan kereta berapakah bola akan bergetar dengan kuat di bawah pengaruh roda yang mengenai sambungan rel? Panjang rel 12.5 m.
Penyelesaian	Bola melakukan ayunan paksa dengan frekuensi yang sama dengan kekerapan hentaman roda pada sambungan rel: Jika dimensi bola adalah kecil berbanding dengan panjang benang, maka sistem boleh dianggap mempunyai frekuensi ayunan semula jadi: amplitud ayunan tak teredam paksa adalah maksimum dalam kes resonans, i.e. Bila . Oleh itu kita boleh menulis:

1. Mari kita ketahui apakah perubahan tenaga yang berlaku semasa ayunan bandul spring (lihat Rajah 80). Apabila spring diregangkan, tenaga keupayaannya meningkat dan pada regangan maksimum ia mempunyai nilai E n = .

Apabila beban bergerak ke arah kedudukan keseimbangan, tenaga potensi spring berkurangan, dan tenaga kinetik beban bertambah. Dalam kedudukan keseimbangan, tenaga kinetik beban adalah maksimum E k = , dan tenaga keupayaan spring ialah sifar.

Apabila spring dimampatkan, tenaga keupayaannya meningkat dan tenaga kinetik beban berkurangan. Pada mampatan maksimum, tenaga potensi spring adalah maksimum, dan tenaga kinetik beban adalah sifar.

Jika kita mengabaikan daya geseran, maka pada bila-bila masa jumlah tenaga keupayaan dan kinetik kekal tidak berubah.

E = E n + E k = const.

Dengan adanya daya geseran, tenaga dibelanjakan untuk melakukan kerja melawan daya ini, amplitud ayunan berkurangan dan ayunan hilang.

Oleh itu, ayunan bebas bandul, yang berlaku disebabkan oleh bekalan awal tenaga, sentiasa pudar.

2. Timbul persoalan apakah yang perlu dilakukan untuk memastikan turun naik tidak berhenti dari semasa ke semasa. Jelas sekali, untuk mendapatkan ayunan yang tidak terendam adalah perlu untuk mengimbangi kehilangan tenaga. Ini boleh dilakukan dengan cara yang berbeza. Mari kita pertimbangkan salah satu daripada mereka.

Anda tahu betul bahawa getaran buaian tidak akan padam jika anda sentiasa menolaknya, iaitu, bertindak ke atasnya dengan sedikit kekuatan. Dalam kes ini, getaran ayunan tidak lagi bebas, ia akan berlaku di bawah pengaruh daya luaran. Kerja daya luaran ini dengan tepat mengisi semula kehilangan tenaga yang disebabkan oleh geseran.

Mari kita ketahui apakah daya luaran yang sepatutnya? Mari kita anggap bahawa magnitud dan arah daya adalah malar. Jelas sekali, dalam kes ini ayunan akan berhenti, kerana badan, setelah melepasi kedudukan keseimbangan, tidak akan kembali kepadanya. Oleh itu, magnitud dan arah daya luaran mesti berubah secara berkala.

Oleh itu,

ayunan paksa ialah ayunan yang berlaku di bawah pengaruh daya luaran yang berubah secara berkala.

Getaran paksa, tidak seperti yang bebas, boleh berlaku pada sebarang frekuensi. Kekerapan ayunan paksa adalah sama dengan kekerapan perubahan daya yang bertindak ke atas badan, dalam kes ini ia dipanggil memaksa.

3. Jom buat eksperimen. Kami menggantung beberapa bandul dengan panjang yang berbeza dari tali yang dipasang di rak (Rajah 82). Mari kita melencongkan bandul A daripada kedudukan keseimbangan dan biarkan ia sendiri. Ia akan berayun dengan bebas, bertindak dengan beberapa daya berkala pada tali. Tali pula akan bertindak pada bandul yang tinggal. Akibatnya, semua bandul akan mula melakukan ayunan paksa dengan kekerapan ayunan bandul A.

Kita akan melihat bahawa semua bandul akan mula berayun dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi ayunan bandul. A. Walau bagaimanapun, amplitud ayunan mereka, kecuali bandul C, akan kurang daripada amplitud ayunan bandul A. Bandul C, yang panjangnya sama dengan panjang bandul A, akan berayun dengan sangat kuat. Akibatnya, bandul mempunyai amplitud ayunan yang paling besar, frekuensi semula jadi ayunan yang bertepatan dengan frekuensi daya penggerak. Dalam kes ini mereka mengatakan bahawa ia diperhatikan resonans.

Resonans adalah fenomena peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa apabila frekuensi daya penggerak bertepatan dengan frekuensi semula jadi sistem ayunan (pendulum).

Resonans boleh diperhatikan apabila ayunan berayun. Kini anda boleh menjelaskan bahawa ayunan akan berayun dengan lebih kuat jika ia ditolak mengikut masa dengan getarannya sendiri. Dalam kes ini, kekerapan daya luaran adalah sama dengan kekerapan ayunan ayunan. Sebarang tolakan terhadap pergerakan hayunan akan menyebabkan penurunan amplitudnya.

4 * . Mari kita ketahui perubahan tenaga yang berlaku semasa resonans.

Jika frekuensi daya penggerak berbeza daripada frekuensi semula jadi getaran badan, maka daya penggerak akan diarahkan sama ada ke arah pergerakan badan atau menentangnya. Sehubungan itu, kerja kuasa ini akan sama ada negatif atau positif. Secara umum, kerja penggerak dalam kes ini sedikit mengubah tenaga sistem.

Biarkan sekarang kekerapan daya luaran adalah sama dengan frekuensi semula jadi ayunan badan. Dalam kes ini, arah daya penggerak bertepatan dengan arah halaju badan, dan daya rintangan dikompensasikan oleh daya luaran. Badan bergetar hanya di bawah pengaruh kuasa dalaman. Dalam erti kata lain, kerja negatif terhadap daya rintangan adalah sama dengan kerja positif daya luaran. Oleh itu, ayunan berlaku dengan amplitud maksimum.

5. Fenomena resonans mesti diambil kira dalam amalan. Khususnya, alatan mesin dan mesin mengalami sedikit getaran semasa operasi. Jika kekerapan getaran ini bertepatan dengan frekuensi semula jadi bahagian individu mesin, maka amplitud getaran boleh menjadi sangat besar. Mesin atau sokongan di mana ia berdiri akan runtuh.

Terdapat kes yang diketahui apabila, disebabkan resonans, sebuah kapal terbang jatuh di udara, kipas kapal pecah, dan landasan kereta api runtuh.

Resonans boleh dihalang dengan menukar sama ada frekuensi semula jadi sistem atau kekerapan daya yang menyebabkan ayunan. Untuk tujuan ini, sebagai contoh, tentera yang menyeberangi jambatan tidak berjalan mengikut langkah, tetapi pada kadar yang bebas. Jika tidak, kekerapan langkah mereka mungkin bertepatan dengan kekerapan semula jadi jambatan dan ia akan runtuh. Ini berlaku pada tahun 1750 di Perancis, apabila detasmen askar melintasi jambatan sepanjang 102 m yang tergantung pada rantai. Kejadian serupa berlaku di St. Petersburg pada tahun 1906. Apabila skuadron berkuda melintasi Jambatan Mesir di atas Sungai Fontanka, kekerapan langkah jelas kuda bertepatan dengan frekuensi getaran jambatan.

Untuk mengelakkan resonans, kereta api merentas jambatan pada kelajuan yang perlahan atau sangat laju supaya kekerapan hentaman roda pada sambungan rel secara ketara kurang atau ketara lebih besar daripada frekuensi semula jadi jambatan.

Fenomena resonans tidak selalu berbahaya. Kadang-kadang ia boleh berguna, kerana ia membolehkan anda memperoleh peningkatan besar dalam amplitud getaran dengan bantuan walaupun daya yang kecil.

Tindakan peranti yang membolehkan anda mengukur kekerapan ayunan adalah berdasarkan fenomena resonans. Peranti ini dipanggil meter kekerapan. Kerja beliau boleh digambarkan melalui eksperimen berikut. Model meter frekuensi dipasang pada mesin emparan, yang terdiri daripada satu set plat (lidah) dengan panjang yang berbeza (Rajah 83). Di hujung pinggan terdapat bendera timah yang disalut dengan cat putih. Anda boleh perhatikan bahawa apabila anda menukar kelajuan putaran pemegang mesin, plat yang berbeza mula bergetar. Plat yang frekuensi semula jadinya sama dengan frekuensi putaran mula bergetar.

Soalan ujian kendiri

1. Apakah yang menentukan amplitud ayunan bebas bandul spring?

2. Adakah amplitud ayunan bandul dikekalkan tetap dengan kehadiran daya geseran?

3. Apakah perubahan tenaga yang berlaku apabila bandul spring berayun?

4. Mengapa ayunan bebas diredam?

5. Apakah getaran yang dipanggil paksa? Berikan contoh ayunan paksa.

6. Apakah resonans?

7. Berikan contoh manifestasi berbahaya resonans. Apakah yang perlu dilakukan untuk mengelakkan resonans?

8. Berikan contoh penggunaan fenomena resonans.

Tugasan 26

1. Isikan jadual 14, tuliskan daya yang bertindak ke atas sistem ayunan jika ia melakukan ayunan bebas atau paksa; apakah kekerapan dan amplitud ayunan ini; sama ada ia dilembapkan atau tidak.

Jadual 14

Ciri-ciri ayunan	Jenis getaran
	Tersedia	Terpaksa
Kuasa bertindak
Kekerapan
Amplitud
Pelemahan

2 e.Cadangkan satu eksperimen untuk memerhati ayunan paksa.

3 e.Kaji secara eksperimen fenomena resonans menggunakan bandul matematik yang telah anda buat.

4. Pada kelajuan tertentu putaran roda mesin jahit, meja di mana ia berdiri kadangkala bergoyang dengan kuat. kenapa?

Untuk membolehkan sistem melakukan ayunan tanpa lembap, adalah perlu untuk mengimbangi kehilangan tenaga ayunan akibat geseran dari luar. Untuk memastikan tenaga ayunan sistem tidak berkurangan, daya biasanya diperkenalkan yang bertindak secara berkala pada sistem (kami akan memanggil daya memaksa, dan ayunan dipaksa).

DEFINISI: terpaksa Ini adalah ayunan yang berlaku dalam sistem berayun di bawah pengaruh daya luaran yang berubah secara berkala.

Daya ini biasanya memainkan peranan ganda:

Pertama, ia menggegarkan sistem dan membekalkannya dengan sejumlah tenaga;

Kedua, ia secara berkala menambah kehilangan tenaga (penggunaan tenaga) untuk mengatasi daya rintangan dan geseran.

Biarkan kuasa penggerak berubah mengikut masa mengikut undang-undang:

Mari kita susun persamaan gerakan untuk sistem yang berayun di bawah pengaruh daya sedemikian. Kami menganggap bahawa sistem ini juga dipengaruhi oleh daya seakan-akan anjal dan daya rintangan medium (yang benar di bawah andaian ayunan kecil).

Kemudian persamaan gerakan sistem akan kelihatan seperti:

Ataupun .

Setelah membuat penggantian , , - kekerapan semula jadi ayunan sistem, kami memperoleh persamaan pembezaan linear tidak homogen bagi urutan ke-2:

Daripada teori persamaan pembezaan diketahui bahawa penyelesaian umum bagi persamaan tak homogen adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen dan penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.

Penyelesaian umum persamaan homogen diketahui:

,

di mana ; a 0 dan a- konst sewenang-wenangnya.

.

Menggunakan gambar rajah vektor, anda boleh mengesahkan bahawa andaian ini adalah benar, dan juga menentukan nilai " a"Dan" j”.

Amplitud ayunan ditentukan oleh ungkapan berikut:

.

Maksudnya " j”, iaitu magnitud ketinggalan fasa ayunan paksa daripada daya penggerak yang menentukannya, juga ditentukan daripada rajah vektor dan berjumlah:

.

Akhirnya, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen akan mengambil bentuk:

(8.18)

Fungsi ini, digabungkan dengan

(8.19)

memberikan penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tak homogen yang menerangkan kelakuan sistem di bawah ayunan paksa. Istilah (8.19) memainkan peranan penting dalam peringkat awal proses, semasa apa yang dipanggil penubuhan ayunan (Rajah 8.10).

Dari masa ke masa, disebabkan oleh faktor eksponen, peranan sebutan kedua (8.19) semakin berkurangan, dan selepas masa yang mencukupi ia boleh diabaikan, mengekalkan hanya istilah (8.18) dalam penyelesaian.

Oleh itu, fungsi (8.18) menerangkan ayunan paksa keadaan mantap. Mereka mewakili ayunan harmonik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi daya penggerak. Amplitud ayunan paksa adalah berkadar dengan amplitud daya penggerak. Untuk sistem ayunan tertentu (ditakrifkan oleh w 0 dan b), amplitud bergantung pada kekerapan daya penggerak. Ayunan paksa ketinggalan di belakang daya penggerak dalam fasa, dan magnitud lag "j" juga bergantung pada kekerapan daya penggerak.

Kebergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak membawa kepada fakta bahawa pada frekuensi tertentu yang ditentukan untuk sistem tertentu, amplitud ayunan mencapai nilai maksimum. Sistem ayunan ternyata sangat responsif terhadap tindakan daya penggerak pada frekuensi ini. Fenomena ini dipanggil resonans, dan frekuensi yang sepadan ialah frekuensi resonans.

DEFINISI: fenomena di mana peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa diperhatikan dipanggil resonans.

Kekerapan resonans ditentukan daripada keadaan maksimum untuk amplitud ayunan paksa:

. (8.20)

Kemudian, menggantikan nilai ini ke dalam ungkapan untuk amplitud, kita dapat:

. (8.21)

Jika tiada rintangan sederhana, amplitud ayunan pada resonans akan bertukar kepada infiniti; frekuensi resonans di bawah keadaan yang sama (b = 0) bertepatan dengan frekuensi semula jadi ayunan.

Kebergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak (atau, apa yang sama, pada frekuensi ayunan) boleh diwakili secara grafik (Rajah 8.11). Lengkung individu sepadan dengan nilai "b" yang berbeza. Lebih kecil "b", lebih tinggi dan ke kanan maksimum lengkung ini terletak (lihat ungkapan untuk w res.). Dengan redaman yang sangat besar, resonans tidak diperhatikan - dengan peningkatan kekerapan, amplitud ayunan paksa berkurangan secara monoton (lengkung bawah dalam Rajah 8.11).

Set graf yang dibentangkan sepadan dengan nilai b yang berbeza dipanggil lengkung resonans.

Nota mengenai lengkung resonans:

Sebagai w®0 cenderung, semua lengkung datang kepada nilai bukan sifar yang sama, sama dengan . Nilai ini mewakili anjakan daripada kedudukan keseimbangan yang diterima sistem di bawah pengaruh daya malar. F 0 .

Untuk w®¥, semua lengkung secara asimptotik cenderung kepada sifar, kerana pada frekuensi tinggi, daya mengubah arahnya dengan cepat sehingga sistem tidak mempunyai masa untuk beralih dengan ketara daripada kedudukan keseimbangannya.

Lebih kecil b, lebih banyak amplitud berhampiran resonans berubah dengan kekerapan, "lebih tajam" maksimum.

Contoh:

Fenomena resonans sering menjadi berguna, terutamanya dalam kejuruteraan akustik dan radio.