Trigonometrinin ana formülleri. Trigonometrik denklemler - formüller, çözümler, örnekler

Makale, temel trigonometrik özdeşlikleri ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bu eşitlikler, belirli bir açının sin, cos, t g, c t g arasındaki ilişkiyi kurar. Bir işlev biliniyorsa, onun aracılığıyla başka bir işlev bulunabilir.

Trigonometrik kimlikler Bu makalede dikkate alınması için. Aşağıda bir açıklama ile bunların türetilmesinin bir örneğini gösteriyoruz.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α çünkü α , c t g α = çünkü α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 çünkü 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 a

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometrinin temeli sayılan önemli bir trigonometrik özdeşlikten bahsedelim.

günah 2 α + çünkü 2 α = 1

Verilen t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α eşitlikleri, her iki parçanın da sin 2 α ve cos 2 α'ya bölünmesiyle ana eşitlikten türetilir. Bundan sonra t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ve t g α · c t g α = 1 elde ederiz - bu sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının bir sonucudur.

Sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitliği ana trigonometrik özdeşliktir. Bunu kanıtlamak için birim çember konusuna dönmeniz gerekiyor.

α açısı kadar döndürüldükten sonra A 1 noktası haline gelen A (1, 0) noktasının koordinatları verilsin. Sin ve cos tanımı gereği, A 1 noktası koordinatları alacaktır (cos α, sin α). A 1 birim çemberin içinde yer aldığından bu, koordinatların bu çemberin x 2 + y 2 = 1 koşulunu sağlaması gerektiği anlamına gelir. cos 2 α + sin 2 α = 1 ifadesi geçerli olmalıdır. Bunu yapmak için, tüm dönme açıları α için ana trigonometrik özdeşliğin kanıtlanması gerekir.

Trigonometride sin 2 α + cos 2 α = 1 ifadesi trigonometride Pisagor teoremi olarak kullanılır. Bunu yapmak için ayrıntılı bir kanıtı düşünün.

Birim çember kullanarak, koordinatları (1, 0) olan A noktasını O merkezi noktası etrafında α açısı kadar döndürürüz. Döndürmeden sonra nokta koordinatları değiştirir ve A 1 (x, y)'ye eşit olur. A 1 H dik çizgisini A 1 noktasından Ox'e indiriyoruz.

Şekil açıkça göstermektedir ki formasyon dik üçgen O A 1 N. O A 1 N ve O N bacaklarının modülü eşittir, giriş aşağıdaki formu alacaktır: | A 1H | = | y | , | AÇIK | = | x | . Hipotenüs O A 1 birim çemberin yarıçapına eşit bir değere sahiptir, | Ç A 1 | = 1. Bu ifadeyi kullanarak Pisagor teoremini kullanarak eşitliği yazabiliriz: | A1 N | 2 + | AÇIK | 2 = | Ç A 1 | 2. Bu eşitliği | olarak yazalım. y | 2 + | x | 2 = 1 2, yani y 2 + x 2 = 1.

sin α = y ve cos α = x tanımını kullanarak noktaların koordinatları yerine açı verilerini koyarız ve sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitsizliğine geçeriz.

Bir açının günah ve kosinüsleri arasındaki temel bağlantı bu trigonometrik özdeşlik sayesinde mümkündür. Böylece, bir açının günahını bilinen bir cos ile hesaplayabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir. Bunu yapmak için, sin 2 α + cos 2 = 1'i sin ve cos'a göre çözmek gerekir, ardından sin α = ± 1 - cos 2 α ve cos α = ± 1 - sin 2 α formunun ifadelerini elde ederiz. , sırasıyla. α açısının büyüklüğü ifadenin kökünün önündeki işareti belirler. Detaylı anlatım için trigonometrik formüller kullanılarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hesaplamaları bölümünü okumanız gerekmektedir.

Çoğu zaman temel formül, trigonometrik ifadeleri dönüştürmek veya basitleştirmek için kullanılır. Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını 1 ile değiştirmek mümkündür. Kimlik ikamesi doğrudan ya da Ters sipariş: birim, sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının ifadesi ile değiştirilir.

Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant

Kosinüs ve sinüs, teğet ve kotanjant tanımından birbirleriyle ilişkili oldukları açıktır, bu da gerekli miktarları ayrı ayrı dönüştürmenize olanak tanır.

t g α = sin α çünkü α c t g α = çünkü α sin α

Tanıma göre sinüs, y'nin ordinatıdır ve kosinüs, x'in apsisidir. Teğet ordinat ve apsis arasındaki ilişkidir. Böylece elimizde:

t g α = y x = sin α cos α ve kotanjant ifadesi zıt anlama sahiptir, yani

c t g α = x y = çünkü α sin α .

Sonuçta ortaya çıkan t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α kimliklerinin sin ve cos açıları kullanılarak belirlendiği sonucu çıkar. Teğet, sinüsün aralarındaki açının kosinüsüne oranı olarak kabul edilir ve kotanjant bunun tersidir.

Değerleri aralığa dahil olan herhangi bir α açısı değeri için t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α'nın doğru olduğuna dikkat edin. t g α = sin α cos α formülünden α açısının değeri π 2 + π · z'den farklıdır ve c t g α = cos α sin α, α açısının değerini π · z'den farklı alır, z, herhangi bir tam sayının değeri.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

Açılar arasındaki ilişkiyi teğet ve kotanjant yoluyla gösteren bir formül vardır. Bu trigonometrik özdeşlik trigonometride önemlidir ve t g α · c t g α = 1 olarak gösterilir. α için π 2 · z dışında herhangi bir değere sahip olmak anlamlıdır, aksi takdirde fonksiyonlar tanımlanmayacaktır.

t g α · c t g α = 1 formülünün ispatta kendine has özellikleri vardır. Tanımdan t g α = y x ve c t g α = x y elde ederiz, dolayısıyla t g α · c t g α = y x · x y = 1 elde ederiz. İfadeyi dönüştürüp t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α'yı değiştirerek, t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 elde ederiz.

O zaman teğet ve kotanjant ifadesi, sonuçta karşılıklı olarak ters sayılar elde ettiğimiz anlamına gelir.

Tanjant ve kosinüs, kotanjant ve sinüs

Ana kimlikleri dönüştürdükten sonra, tanjantın kosinüs aracılığıyla, kotanjantın da sinüs aracılığıyla ilişkili olduğu sonucuna varıyoruz. Bu, t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α formüllerinden görülebilir.

Tanım şu şekildedir: bir açının tanjantının karesinin ve 1'in toplamı bir kesire eşittir; burada payda 1 var ve paydada belirli bir açının kosinüsünün karesi ve toplamı açının kotanjantının karesinin tersidir. Trigonometrik özdeşlik sin 2 α + cos 2 α = 1 sayesinde, karşılık gelen tarafları cos 2 α'ya bölebilir ve t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α elde edebiliriz; burada cos 2 α'nın değeri sıfır olmamalıdır. Sin 2 α'ya böldüğümüzde, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α kimliğini elde ederiz; burada sin 2 α'nın değeri sıfıra eşit olmamalıdır.

Yukarıdaki ifadelerden t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α özdeşliğinin, π 2 + π · z'ye ait olmayan α açısının tüm değerleri ve 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 için doğru olduğunu bulduk. α, π · z aralığına ait olmayan α değerleri için.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu son ve en ana ders, problemleri çözmek için gerekli B11. Açıları radyan ölçüsünden derece ölçüsüne nasıl dönüştüreceğimizi zaten biliyoruz (“Bir açının radyan ve derece ölçüsü” dersine bakın) ve ayrıca koordinat çeyreklerine odaklanarak bir trigonometrik fonksiyonun işaretini nasıl belirleyeceğimizi de biliyoruz ( “Trigonometrik fonksiyonların işaretleri” dersine bakın).

Yapılacak tek şey, fonksiyonun değerini, yani cevapta yazılan sayıyı hesaplamaktır. Temel trigonometrik özdeşliğin kurtarmaya geldiği yer burasıdır.

Temel trigonometrik özdeşlik. Herhangi bir α açısı için aşağıdaki ifade doğrudur:

günah 2 α + cos 2 α = 1.

Bu formül bir açının sinüsü ve kosinüsünü ilişkilendirir. Artık sinüsü bildiğimiz için kosinüsü kolayca bulabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir. Karekökünü almak yeterlidir:

Köklerin önündeki "±" işaretine dikkat edin. Gerçek şu ki, temel trigonometrik özdeşlikten orijinal sinüs ve kosinüsün ne olduğu açık değildir: pozitif veya negatif. Sonuçta, kare alma, tüm eksileri (varsa) "yakan" bir eşit fonksiyondur.

Bu nedenle matematikte Birleşik Devlet Sınavında bulunan tüm B11 problemlerinde, işaretlerle belirsizlikten kurtulmaya yardımcı olan ek koşullar mutlaka vardır. Genellikle bu, işaretin belirlenebileceği koordinat çeyreğinin bir göstergesidir.

Dikkatli bir okuyucu muhtemelen şunu soracaktır: "Peki ya teğet ve kotanjant?" Bu fonksiyonları yukarıdaki formüllerden doğrudan hesaplamak mümkün değildir. Ancak halihazırda teğetleri ve kotanjantları içeren temel trigonometrik özdeşliğin önemli sonuçları vardır. Yani:

Önemli bir sonuç: herhangi bir α açısı için temel trigonometrik özdeşlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu denklemler ana özdeşlikten kolayca elde edilir; her iki tarafı cos 2 α'ya (teğeti elde etmek için) veya sin 2 α'ya (kotanjantı elde etmek için) bölmek yeterlidir.

Bütün bunlara bakalım spesifik örnekler. Aşağıda sahte olanlardan alınan gerçek B11 problemleri bulunmaktadır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematik 2012'de.

Kosinüsü biliyoruz ama sinüsü bilmiyoruz. Ana trigonometrik özdeşlik (“saf” haliyle) yalnızca bu işlevleri birbirine bağlar, bu yüzden onunla çalışacağız. Sahibiz:

günah 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ günah 2 α + 99/100 = 1 ⇒ günah 2 α = 1/100 ⇒ günah α = ±1/10 = ±0,1.

Sorunu çözmek için sinüs işaretini bulmak kalıyor. α ∈ (π /2; π ) açısından beri, o zaman derece ölçüsü bu şu şekilde yazılır: α ∈ (90°; 180°).

Bu nedenle, α açısı II'dedir koordinat çeyreği- oradaki tüm sinüsler pozitiftir. Bu nedenle sin α = 0,1.

Yani sinüsü biliyoruz ama kosinüsü bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonların her ikisi de temel trigonometrik özdeşliktedir. yerine koyalım:

günah 2 α + çünkü 2 α = 1 ⇒ 3/4 + çünkü 2 α = 1 ⇒ çünkü 2 α = 1/4 ⇒ çünkü α = ±1/2 = ±0,5.

Geriye kalan tek şey kesrin önündeki işareti bulmaktır. Ne seçilir: artı mı eksi mi? Koşul gereği, α açısı (π 3π /2) aralığına aittir. Açıları radyan ölçülerden dereceye dönüştürelim; şunu elde ederiz: α ∈ (180°; 270°).

Açıkçası bu, tüm kosinüslerin negatif olduğu III koordinat çeyreğidir. Dolayısıyla α = −0,5.

Görev. Aşağıdakiler biliniyorsa tan α'yı bulun:

Teğet ve kosinüs, temel trigonometrik özdeşlikten aşağıdaki denklemle ilişkilidir:

Şunu elde ederiz: tan α = ±3. Teğetin işareti α açısı ile belirlenir. α ∈ (3π /2; 2π ) olduğu bilinmektedir. Açıları radyan ölçülerden dereceye dönüştürelim - α ∈ (270°; 360°) elde ederiz.

Açıkçası bu, tüm teğetlerin negatif olduğu IV koordinat çeyreğidir. Bu nedenle tan α = −3.

Görev. Aşağıdakiler biliniyorsa cos α'yı bulun:

Yine sinüs biliniyor ve kosinüs bilinmiyor. Ana trigonometrik özdeşliği yazalım:

günah 2 α + çünkü 2 α = 1 ⇒ 0,64 + çünkü 2 α = 1 ⇒ çünkü 2 α = 0,36 ⇒ çünkü α = ±0,6.

İşaret açıya göre belirlenir. Elimizde: α ∈ (3π /2; 2π ) var. Açıları dereceden radyana çevirelim: α ∈ (270°; 360°) IV koordinat çeyreğidir, buradaki kosinüsler pozitiftir. Bu nedenle cos α = 0,6.

Görev. Aşağıdakiler biliniyorsa sin α'yı bulun:

Temel trigonometrik özdeşlikten çıkan ve sinüs ile kotanjantı doğrudan bağlayan bir formül yazalım:

Buradan şunu elde ederiz: sin 2 α = 1/25, yani. sin α = ±1/5 = ±0,2. α ∈ (0; π /2) açısının olduğu bilinmektedir. Derece ölçüsünde bu şu şekilde yazılır: α ∈ (0°; 90°) - I koordinat çeyreği.

Yani açı I koordinat çeyreğindedir - oradaki tüm trigonometrik fonksiyonlar pozitiftir, yani sin α = 0,2.

Bu makalenin en başında kavramı inceledik. trigonometrik fonksiyonlar. Temel amaçları trigonometrinin temellerini incelemek ve periyodik süreçleri incelemektir. Ve trigonometrik daireyi çizmemiz boşuna değildi, çünkü çoğu durumda trigonometrik fonksiyonlar bir üçgenin kenarlarının veya bir birim çemberdeki belirli bölümlerinin oranı olarak tanımlanır. Ayrıca trigonometrinin yadsınamaz derecede büyük öneminden de bahsettim. modern hayat. Ancak bilim yerinde durmuyor, sonuç olarak trigonometrinin kapsamını önemli ölçüde genişletebilir ve hükümlerini gerçek ve bazen karmaşık sayılara aktarabiliriz.

Trigonometri formülleri Birkaç türü var. Sırasıyla bunlara bakalım.

1. Aynı açının trigonometrik fonksiyonlarının oranları

Burada şöyle bir kavramı ele almaya geldik: temel trigonometrik kimlikler.

Trigonometrik özdeşlik, trigonometrik ilişkilerden oluşan ve içerdiği açıların tüm değerleri için geçerli olan bir eşitliktir.

En önemli trigonometrik özdeşliklere ve bunların kanıtlarına bakalım:

İlk özdeşlik teğetin tanımından kaynaklanır.

olan bir dik üçgen alın keskin köşe A köşe noktasındaki x.



Kimlikleri kanıtlamak için Pisagor teoremini kullanmanız gerekir:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Şimdi eşitliğin her iki tarafını da (AB) 2'ye bölerek sin ve cos açısının tanımlarını hatırlayarak ikinci özdeşliği elde ederiz:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

günah x = (BC)/(AB)

çünkü x = (AC)/(AB)

günah 2 x + çünkü 2 x = 1

Üçüncü ve dördüncü özdeşlikleri kanıtlamak için önceki kanıtı kullanacağız.

Bunu yapmak için ikinci özdeşliğin her iki tarafını cos 2 x'e bölün:

günah 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

günah 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

İlk özdeşliğe dayanarak tg x = sin x /cos x üçüncüyü elde ederiz:

1 + ten rengi 2 x = 1/cos 2 x

Şimdi ikinci özdeşliği sin 2 x'e bölelim:

günah 2 x/ günah 2 x + çünkü 2 x/ günah 2 x = 1/ günah 2 x

1+ çünkü 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

çünkü 2 x/ sin 2 x, 1/tg 2 x'ten başka bir şey değildir, dolayısıyla dördüncü özdeşliği elde ederiz:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Toplam teoremini hatırlamanın zamanı geldi iç köşelerÜçgenin iç açılarının toplamının = 180 0 olduğunu ifade eden üçgen. Üçgenin B köşesinde değeri 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x olan bir açı olduğu ortaya çıktı.



Sin ve cos tanımlarını tekrar hatırlayalım ve beşinci ve altıncı özdeşlikleri elde edelim:

günah x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Şimdi aşağıdakileri yapalım:

çünkü x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

günah(90 0 – x) = çünkü x

Gördüğünüz gibi burada her şey basit.

Matematiksel kimliklerin çözümünde kullanılan başka kimlikler de var, bunları basitçe şu şekilde vereceğim: referans bilgisiçünkü hepsi yukarıdan kaynaklanıyor.



2. Trigonometrik fonksiyonların birbirleri aracılığıyla ifade edilmesi

   (Kökün önündeki işaretin seçimi köşenin dairenin hangi çeyreğinde olduğuna göre belirlenir?)







3. Açıları toplama ve çıkarma formülleri şunlardır:



4. İkili, üçlü ve yarım açı formülleri.

   Hepsinin önceki formüllerden kaynaklandığını not ediyorum.

günah 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Trigonometrik ifadeleri dönüştürmek için formüller:

Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.

Bu yazıda tüm ana konuları sırayla listeleyeceğiz. trigonometrik formüller trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmek için yeterlidir. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.

Sayfada gezinme.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanmaktadır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca kayma özelliğini yansıtırlar. verilen açı. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.

Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.

Toplama formülleri

Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesinde temel görevi görür.

İkili, üçlü vb. formüller. açı

İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.

Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.

Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.

Derece azaltma formülleri

Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller geçişi kolaylaştırmayı amaçlamaktadır. doğal dereceler trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüslere birinci dereceye kadar, ancak birden fazla açıya sahiptir. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller

Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.

Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller

Trigonometrik fonksiyonların ürününden bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.sitenin hiçbir kısmı dahil iç malzemeler Ve dış tasarım telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz ve kullanılamaz.