Yıldız haberleri
Özel trigonometri formülleri. Trigonometrinin temel formülleri
Makalede temel trigonometrik özdeşlikler ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.Bu eşitlikler sin, cos, t g, c t g arasındaki ilişkiyi kurar. verilen açı. Bir işlev biliniyorsa, onun aracılığıyla başka bir işlev bulunabilir.
Trigonometrik kimlikler Bu makalede dikkate alınması için. Aşağıda bir açıklama ile bunların türetilmesinin bir örneğini gösteriyoruz.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α çünkü α , c t g α = çünkü α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 çünkü 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 a
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trigonometrinin temeli sayılan önemli bir trigonometrik özdeşlikten bahsedelim.
günah 2 α + çünkü 2 α = 1
Verilen t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α eşitlikleri, her iki parçanın da sin 2 α ve cos 2 α'ya bölünmesiyle ana eşitlikten elde edilir. Bundan sonra t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ve t g α · c t g α = 1 elde ederiz - bu sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının bir sonucudur.
Sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitliği ana trigonometrik özdeşliktir. Bunu kanıtlamak için birim çember konusuna dönmeniz gerekiyor.
α açısı kadar döndürüldükten sonra A 1 noktası haline gelen A (1, 0) noktasının koordinatları verilsin. Sin ve cos tanımı gereği, A 1 noktası koordinatları alacaktır (cos α, sin α). A 1 birim çemberin içinde yer aldığından bu, koordinatların bu çemberin x 2 + y 2 = 1 koşulunu sağlaması gerektiği anlamına gelir. cos 2 α + sin 2 α = 1 ifadesi geçerli olmalıdır. Bunu yapmak için, tüm dönme açıları α için ana trigonometrik özdeşliğin kanıtlanması gerekir.
Trigonometride sin 2 α + cos 2 α = 1 ifadesi trigonometride Pisagor teoremi olarak kullanılır. Bunu yapmak için ayrıntılı bir kanıtı düşünün.
Birim çember kullanarak, koordinatları (1, 0) olan A noktasını O merkezi noktası etrafında α açısı kadar döndürürüz. Döndürmeden sonra nokta koordinatları değiştirir ve A 1 (x, y)'ye eşit olur. A 1 H dik çizgisini A 1 noktasından Ox'e indiriyoruz.
Şekil açıkça göstermektedir ki formasyon dik üçgen O A 1 N. O A 1 N ve O N bacaklarının modülü eşittir, giriş aşağıdaki formu alacaktır: | A 1 H | = | y | , | AÇIK | = | x | . Hipotenüs O A 1 birim çemberin yarıçapına eşit bir değere sahiptir, | Ç A 1 | = 1. Bu ifadeyi kullanarak Pisagor teoremini kullanarak eşitliği yazabiliriz: | A1 N | 2 + | AÇIK | 2 = | Ç A 1 | 2. Bu eşitliği | olarak yazalım. y | 2 + | x | 2 = 1 2, yani y 2 + x 2 = 1.
sin α = y ve cos α = x tanımını kullanarak noktaların koordinatları yerine açı verilerini koyarız ve sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitsizliğine geçeriz.
Bir açının günah ve kosinüsleri arasındaki temel bağlantı bu trigonometrik özdeşlik sayesinde mümkündür. Böylece, bir açının günahını bilinen bir cos ile hesaplayabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir. Bunu yapmak için, sin 2 α + cos 2 = 1'i sin ve cos'a göre çözmek gerekir, ardından sin α = ± 1 - cos 2 α ve cos α = ± 1 - sin 2 α formunun ifadelerini elde ederiz. , sırasıyla. α açısının büyüklüğü ifadenin kökünün önündeki işareti belirler. Detaylı anlatım için trigonometrik formüller kullanılarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hesaplamaları bölümünü okumanız gerekmektedir.
Çoğu zaman temel formül, trigonometrik ifadeleri dönüştürmek veya basitleştirmek için kullanılır. Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını 1 ile değiştirmek mümkündür. Kimlik ikamesi doğrudan ya da Ters sipariş: birim, sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının ifadesi ile değiştirilir.
Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant
Kosinüs ve sinüs, teğet ve kotanjantın tanımından, bunların birbirleriyle bağlantılı olduğu açıktır, bu da gerekli miktarları ayrı ayrı dönüştürmenize olanak tanır.
t g α = sin α çünkü α c t g α = çünkü α sin α
Tanıma göre sinüs, y'nin ordinatıdır ve kosinüs, x'in apsisidir. Teğet ordinat ve apsis arasındaki ilişkidir. Böylece elimizde:
t g α = y x = sin α cos α ve kotanjant ifadesi zıt anlama sahiptir, yani
c t g α = x y = çünkü α sin α .
Sonuçta ortaya çıkan t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α kimliklerinin sin ve cos açıları kullanılarak belirlendiği sonucu çıkar. Teğet, sinüsün aralarındaki açının kosinüsüne oranı olarak kabul edilir ve kotanjant bunun tersidir.
Değerleri aralığa dahil olan herhangi bir α açısı değeri için t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α'nın doğru olduğuna dikkat edin. t g α = sin α cos α formülünden α açısının değeri π 2 + π · z'den farklıdır ve c t g α = cos α sin α, α açısının değerini π · z'den farklı alır, z, herhangi bir tam sayının değeri.
Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
Açılar arasındaki ilişkiyi teğet ve kotanjant yoluyla gösteren bir formül vardır. Bu trigonometrik özdeşlik trigonometride önemlidir ve t g α · c t g α = 1 olarak gösterilir. α için π 2 · z dışında herhangi bir değere sahip olmak anlamlıdır, aksi takdirde fonksiyonlar tanımlanmayacaktır.
t g α · c t g α = 1 formülünün ispatta kendine has özellikleri vardır. Tanımdan t g α = y x ve c t g α = x y elde ederiz, dolayısıyla t g α · c t g α = y x · x y = 1 elde ederiz. İfadeyi dönüştürüp t g α = sin α cos α ve c t g α = cos α sin α'yı değiştirerek, t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 elde ederiz.
O zaman teğet ve kotanjant ifadesi, sonuçta karşılıklı olarak ters sayılar elde ettiğimiz anlamına gelir.
Tanjant ve kosinüs, kotanjant ve sinüs
Ana kimlikleri dönüştürdükten sonra, tanjantın kosinüs aracılığıyla, kotanjantın da sinüs aracılığıyla ilişkili olduğu sonucuna varıyoruz. Bu, t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α formüllerinden görülebilir.
Tanım şu şekildedir: bir açının tanjantının karesinin ve 1'in toplamı bir kesire eşittir; burada payda 1 var ve paydada belirli bir açının kosinüsünün karesi ve toplamı açının kotanjantının karesinin tersidir. Trigonometrik özdeşlik sin 2 α + cos 2 α = 1 sayesinde, karşılık gelen kenarları cos 2 α'ya bölebilir ve t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α elde edebiliriz; burada cos 2 α'nın değeri şuna eşit olmamalıdır: sıfır. Sin 2 α'ya böldüğümüzde, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α kimliğini elde ederiz; burada sin 2 α'nın değeri sıfıra eşit olmamalıdır.
Yukarıdaki ifadelerden t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α özdeşliğinin, π 2 + π · z'ye ait olmayan α açısının tüm değerleri ve 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 için doğru olduğunu bulduk. π · z aralığına ait olmayan α değerleri için α.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Sipariş verebilirsiniz detaylı çözüm Senin görevin!!!
Trigonometrik bir fonksiyonun ("sin x, cos x, tan x" veya "ctg x") işareti altında bilinmeyen içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve daha sonra bunların formüllerini ele alacağız.
En basit denklemler "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a"dır; burada "x" bulunacak açıdır, "a" ise herhangi bir sayıdır. Her birinin kök formüllerini yazalım.
1. Denklem 'sin x=a'.
`|a|>1` için çözümü yoktur.
Ne zaman `|a| \leq 1`'in sonsuz sayıda çözümü vardır.
Kök formülü: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Denklem 'çünkü x=a'
`|a|>1` için - sinüs durumunda olduğu gibi, aralarındaki çözümler gerçek sayılar bulunmamaktadır.
Ne zaman `|a| \leq 1`'in sonsuz sayıda çözümü vardır.
Kök formülü: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar. 
3. Denklem 'tg x=a'
'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.
Kök formülü: `x=arctg a + \pi n, n \in Z'
4. Denklem 'ctg x=a'
Ayrıca 'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüm vardır.
Kök formülü: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller
Sinüs için: 
Kosinüs için: 
Teğet ve kotanjant için: 
Tersleri içeren denklemleri çözmek için formüller trigonometrik fonksiyonlar:
Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri
Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:
- en basitine dönüştürmenin yardımıyla;
- Yukarıda yazılan kök formülleri ve tabloları kullanarak elde edilen en basit denklemi çözer.
Örnekler kullanarak ana çözüm yöntemlerine bakalım.
Cebirsel yöntem.
Bu yöntem, bir değişkeni değiştirmeyi ve onu bir eşitlikle değiştirmeyi içerir.
Örnek. Denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
değiştirmeyi yapın: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ardından `2y^2-3y+1=0`,
kökleri buluyoruz: `y_1=1, y_2=1/2`, bundan iki durum çıkıyor:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Cevap: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizasyon.
Örnek. Denklemi çözün: 'sin x+cos x=1'.
Çözüm. Eşitliğin tüm terimlerini sola taşıyalım: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak sol tarafı dönüştürür ve çarpanlara ayırırız:
'sin x — 2sin^2 x/2=0',
'2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0',
'2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',
- "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , 'x_2=\pi/2+ 2\pi n'.
Cevap: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Homojen bir denkleme indirgeme
Öncelikle bu trigonometrik denklemi iki biçimden birine indirgemeniz gerekir:
'a sin x+b cos x=0' (birinci derecenin homojen denklemi) veya 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0' (ikinci derecenin homojen denklemi).
Daha sonra her iki parçayı da ilk durum için "cos x \ne 0"a, ikinci durum için "cos^2 x \ne 0"a bölün. Bilinen yöntemler kullanılarak çözülmesi gereken "tg x": "a tg x+b=0" ve "a tg^2 x + b tg x +c =0" denklemlerini elde ederiz.
Örnek. Denklemi çözün: "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1".
Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` olarak yazalım:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
"sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0".
Bu ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, sol ve sağ taraflarını 'cos^2 x \ne 0'a bölersek şunu elde ederiz:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
"tg^2 x+tg x — 2=0". Şimdi "t^2 + t - 2=0" sonucunu veren "tg x=t" yerine geçen ifadeyi tanıtalım. Bu denklemin kökleri "t_1=-2" ve "t_2=1"dir. Daha sonra:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Cevap. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `Z'de n \', `x_2=\pi/4+\pi n`, `Z'de n \'.
Yarım Açıya Geçiş
Örnek. Denklemi çözün: '11 sin x - 2 cos x = 10'.
Çözüm. Çift açı formüllerini uygulayalım ve şunu elde edelim: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 çünkü^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulayarak şunları elde ederiz:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Cevap. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \Z'de`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z'de`.
Yardımcı açının tanıtılması
a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu "a sin x + b cos x =c" trigonometrik denkleminde, her iki tarafı da "sqrt (a^2+b^2)"'ye bölün:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) çünkü x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))'.
Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliğindedir yani karelerinin toplamı 1'e eşit ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları şu şekilde gösterelim: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, o zaman:
`çünkü \varphi sin x + sin \varphi çünkü x =C`.
Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:
Örnek. Denklemi çözün: '3 sin x+4 cos x=2'.
Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını da "sqrt (3^2+4^2)"ye bölersek şunu elde ederiz:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'
'3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5'.
`3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi` olsun. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, yardımcı açı olarak `\varphi=arcsin 4/5` alıyoruz. Daha sonra eşitliğimizi şu şekilde yazıyoruz:
`çünkü \varphi sin x+sin \varphi çünkü x=2/5`
Sinüs açılarının toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:
'sin (x+\varphi)=2/5',
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Kesirli rasyonel trigonometrik denklemler
Bunlar pay ve paydaları trigonometrik fonksiyonlar içeren kesirli eşitliklerdir.
Örnek. Denklemi çözün. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Çözüm. Eşitliğin sağ tarafını '(1+cos x)' ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Paydanın sıfıra eşit olamayacağını düşünürsek, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.
Kesrin payını sıfıra eşitleyelim: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Daha sonra "sin x=0" veya "1-sin x=0".
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `Z'de n \`
- "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".
` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` olduğu göz önüne alındığında, çözümler `x=2\pi n, n \in Z` ve `x=\pi /2+2\pi n` olur , 'n \ Z'de'.
Cevap. `x=2\pi n`, `Z'de n \`, `x=\pi /2+2\pi n`, `Z'de n \`.
Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Çalışma 10. sınıfta başlıyor, Birleşik Devlet Sınavı için her zaman görevler var, bu yüzden tüm formülleri hatırlamaya çalışın trigonometrik denklemler- kesinlikle sizin için faydalı olacaklar!
Ancak bunları ezberlemenize bile gerek yok, asıl önemli olan özü anlamak ve onu çıkarabilmektir. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesinde matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar yer aldı ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve atlamayın. karşılıklılar. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...
Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Trigonometrik kimlikler- bunlar, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında ilişki kuran ve diğerlerinin bilinmesi koşuluyla bu işlevlerden herhangi birini bulmanızı sağlayan eşitliklerdir.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Bu kimlik, bir açının sinüsünün karesi ile bir açının kosinüsünün karesinin toplamının bire eşit olduğunu söyler; bu, pratikte, kosinüsü bilindiğinde bir açının sinüsünü hesaplamayı mümkün kılar ve bunun tersi de geçerlidir. .
Trigonometrik ifadeleri dönüştürürken, bu kimlik sıklıkla kullanılır; bu, bir açının kosinüs ve sinüsünün karelerinin toplamını bir ile değiştirmenize ve ayrıca değiştirme işlemini ters sırada gerçekleştirmenize olanak tanır.
Sinüs ve kosinüs kullanarak teğet ve kotanjantı bulma
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Bu kimlikler sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından oluşur. Sonuçta, eğer ona bakarsanız, tanım gereği y ordinatı bir sinüstür ve apsis x bir kosinüstür. O zaman teğet orana eşit olacaktır \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ve oran \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bir kotanjant olacaktır.
Şunu da ekleyelim ki, ancak içerdikleri trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu \alpha açıları için özdeşlikler geçerli olacaktır, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Örneğin: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) farklı olan \alpha açıları için geçerlidir \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dışında bir \alpha açısı için z bir tamsayıdır.
Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Bu özdeşlik yalnızca farklı olan \alpha açıları için geçerlidir. \frac(\pi)(2) z. Aksi takdirde kotanjant veya tanjant belirlenmeyecektir.
Yukarıdaki noktalara dayanarak şunu elde ederiz: tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Şunu takip ediyor tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dolayısıyla aynı açının anlamlı olduğu tanjant ve kotanjant karşılıklı olarak ters sayılardır.
Teğet ve kosinüs, kotanjant ve sinüs arasındaki ilişkiler
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alfa açısı ile 1'in tanjantının karesinin toplamı, bu açının kosinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik, dışındaki tüm \alpha için geçerlidir. \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ile \alfa açısının kotanjantının karesinin toplamı, verilen açının sinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik \pi z'den farklı herhangi bir \alpha için geçerlidir.
Trigonometrik kimlikleri kullanan problemlerin çözümlerine örnekler
örnek 1
\sin \alpha ve tg \alpha'yı bulun, eğer \cos \alpha=-\frac12 Ve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Çözümü göster
Çözüm
\sin \alpha ve \cos \alpha fonksiyonları aşağıdaki formülle ilişkilidir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu formülde yerine koyma \cos \alpha = -\frac12, şunu elde ederiz:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Bu denklemin 2 çözümü vardır:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte sinüs pozitiftir, yani \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Tan \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Örnek 2
\cos \alpha ve ctg \alpha if ve'yi bulun \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Çözümü göster
Çözüm
Formülde yerine koyma \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilen numara \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alıyoruz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu denklemin iki çözümü var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte kosinüs negatiftir, yani \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Ctg \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Karşılık gelen değerleri biliyoruz.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
