Aşağıdaki kesirleri ortak en düşük paydalarına azaltın. Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Boyama
27.09.2019

Kesirleri en küçüğüne indirgemek için ortak payda 1) bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulmanız gerekir; bu, en küçük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydayı her kesrin paydasına bölerek her kesir için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

Örnekler. Aşağıdaki kesirleri en küçük ortak paydalarına azaltın.

Paydaların en küçük ortak katını buluyoruz: LCM(5; 4) = 20, çünkü 20 hem 5'e hem de 4'e bölünebilen en küçük sayıdır. 1. kesir için ek bir 4 çarpanı bulun (20) : 5=4). 2. kesir için ek faktör 5'tir (20 : 4=5). 1. kesrin pay ve paydasını 4 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 20 ).

8, 4'e ve kendisine bölünebildiği için bu kesirlerin en küçük ortak paydası 8'dir. 1. kesir için ek faktör olmayacak (ya da bire eşit diyebiliriz), 2. kesir için ek çarpan 2 (8) : 4=2). 2. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 8 ).

Bu kesirler indirgenemez.

1. kesri 4, 2. kesri ise 2 azaltalım. ( sıradan kesirlerin azaltılmasına ilişkin örneklere bakın: Site Haritası → 5.4.2. Ortak kesirleri azaltma örnekleri). LOC'yi bulun(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 1. kesrin ek çarpanı 5'tir (80 : 16=5). 2. kesrin ek çarpanı 4'tür (80 : 20=4). 1. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 4 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya ( 80 ).

En düşük ortak paydayı buluyoruz: BOH(5 ; 6 ve 15)=NOK(5 ; 6 ve 15)=30. 1. kesrin ek çarpanı 6'dır (30 : 5=6), 2. kesrin ek çarpanı 5'tir (30 : 6=5), 3. kesrin ek çarpanı 2'dir (30 : 15=2). 1. kesrin pay ve paydasını 6 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 3. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 30 ).

Sayfa 1/1 1


Bu makale açıklıyor en düşük ortak payda nasıl bulunur Ve Kesirler ortak paydaya nasıl indirgenir. Öncelikle kesirlerin ortak paydası ve en küçük ortak paydasının tanımları verilmiş, kesirlerin ortak paydasının nasıl bulunacağı gösterilmiştir. Aşağıda kesirleri ortak bir paydaya indirgemek için bir kural verilmiştir ve bu kuralın uygulama örnekleri ele alınmıştır. Sonuç olarak üç veya daha fazla kesirin ortak paydaya getirilmesine ilişkin örnekler ele alınmıştır.

Sayfada gezinme.

Kesirleri ortak paydaya indirgemeye ne denir?

Artık kesirleri ortak paydaya indirmenin ne demek olduğunu söyleyebiliriz. Kesirleri ortak paydaya indirgemek- Verilen kesirlerin pay ve paydalarının, paydaları aynı olan kesirler elde edecek şekilde ek faktörlerle çarpılmasıdır.

Ortak payda, tanım, örnekler

Şimdi kesirlerin ortak paydasını belirlemenin zamanı geldi.

Başka bir deyişle, belirli bir dizi sıradan kesirin ortak paydası herhangi bir değerdir. doğal sayı, bu kesirlerin tüm paydalarına bölünebilir.

Belirtilen tanımdan, belirli bir kesir kümesinin sonsuz sayıda ortak paydaya sahip olduğu sonucu çıkar, çünkü orijinal kesir kümesinin tüm paydalarının sonsuz sayıda ortak katı vardır.

Kesirlerin ortak paydasını belirlemek, verilen kesirlerin ortak paydalarını bulmanızı sağlar. Örneğin 1/4 ve 5/6 kesirleri verildiğinde paydaları sırasıyla 4 ve 6 olsun. 4 ve 6 sayılarının pozitif ortak katları 12, 24, 36, 48, ... sayılarıdır. Bu sayılardan herhangi biri 1/4 ve 5/6 kesirlerinin ortak paydasıdır.

Malzemeyi birleştirmek için aşağıdaki örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

2/3, 23/6 ve 7/12 kesirleri ortak paydası 150'ye indirgenebilir mi?

Çözüm.

Soruyu cevaplamak için 150 sayısının 3, 6 ve 12 paydalarının ortak katı olup olmadığını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, 150'nin bu sayıların her birine bölünebilir olup olmadığını kontrol edelim (gerekirse doğal sayıları bölme kuralları ve örneklerinin yanı sıra doğal sayıları kalanla bölme kuralları ve örneklerine de bakın): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (kalan 6) .

Bu yüzden, 150, 12'ye tam olarak bölünemediğinden 150, 3, 6 ve 12'nin ortak katı değildir. Bu nedenle 150 sayısı orijinal kesirlerin ortak paydası olamaz.

Cevap:

Yasaktır.

En düşük ortak payda, nasıl bulunur?

Verilen kesirlerin ortak paydası olan sayılar kümesinde en küçük ortak payda adı verilen en küçük bir doğal sayı vardır. Bu kesirlerin en küçük ortak paydasının tanımını formüle edelim.

Tanım.

En düşük ortak payda bu kesirlerin tüm ortak paydalarının en küçük sayısıdır.

En küçüğün nasıl bulunacağı sorusuyla ilgilenmeye devam ediyor ortak bölen.

En küçük pozitif ortak bölen olduğundan bu set sayılar, bu kesirlerin paydalarının LCM'si, bu kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.

Böylece kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak, o kesirlerin paydalarına iner. Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

3/10 ve 277/28 kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları 10 ve 28'dir. İstenilen en düşük ortak payda 10 ve 28 sayılarının LCM'si olarak bulunur. Bizim durumumuzda bu kolay: 10=2·5 ve 28=2·2·7 olduğundan LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Cevap:

140 .

Kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir? Kural, örnekler, çözümler

Genellikle ortak kesirler en düşük ortak paydaya ulaşır. Şimdi kesirleri en küçük ortak paydaya nasıl indireceğimizi açıklayan bir kural yazacağız.

Kesirleri en düşük ortak paydaya indirgeme kuralıüç adımdan oluşur:

  • Öncelikle kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.
  • İkinci olarak, en küçük ortak paydanın her kesrin paydasına bölünmesiyle her kesir için ek bir faktör hesaplanır.
  • Üçüncüsü, her kesrin pay ve paydası ek faktörüyle çarpılır.

Aşağıdaki örneği çözmek için belirtilen kuralı uygulayalım.

Örnek.

5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydalarına düşürün.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için algoritmanın tüm adımlarını gerçekleştirelim.

Öncelikle 14 ve 18 sayılarının en küçük ortak katına eşit olan en küçük ortak paydayı buluyoruz. 14=2·7 ve 18=2·3·3 olduğundan, LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Şimdi 5/14 ve 7/18 kesirlerinin payda 126'ya düşürüleceği ek faktörleri hesaplıyoruz. 5/14 kesri için ek çarpan 126:14=9, 7/18 kesri için ek çarpan 126:18=7'dir.

5/14 ve 7/18 kesirlerinin pay ve paydalarını sırasıyla 9 ve 7 ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor. Biz varız ve .

Böylece 5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydaya indirgemek tamamlandı. Ortaya çıkan fraksiyonlar 45/126 ve 49/126 idi.

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye ve bu konudaki problemleri çözmeye bakacağız. Ortak payda kavramını ve ek bir faktörü tanımlayalım, ortak paydayı hatırlayalım. asal sayılar. En düşük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir takım problemleri çözelim.

Konu: Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri farklı paydalar

Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek

Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Kesri elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşümü gerçekleştirebilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdiğimizi söylüyoruz. 2 sayısına ek faktör denir.

Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için pay ve paydası ek bir faktörle çarpılır.

1. Kesri payda 35'e düşürün.

35 sayısı 7'nin katıdır, yani 35 sayısı 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına geliyor. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e düşürün.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için yeni paydayı orijinal paydaya bölün. 3 elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri paydası 60 olacak şekilde azaltın.

60'ı 15'e bölmek ek bir faktör verir. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri paydaya düşürün 24

Basit durumlarda, yeni bir paydaya indirgeme zihinsel olarak gerçekleştirilir. Yalnızca ek faktörün, orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde bir parantez arkasında belirtilmesi gelenekseldir.

Bir kesirin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik açısından kesirler en küçük ortak paydalarına indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına azaltın ve .

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulalım. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirlere ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. Üç, ilk kesir için ek bir faktör, iki ise ikinci için ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye getirelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydası aynı olan eşit kesirler bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için şunları yapmalısınız:

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun; bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en düşük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

a) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En düşük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikinci için ise 3'tür. Kesirleri payda 24'e indiririz.

b) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde edilir. Kesirleri payda 45'e indiririz.

c) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını sözlü olarak bulmak zor olabilir. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımda eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını toplayalım. 60'ı 14 ile çarpalım ve ortak paydası 840 olsun. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak paydası olan 840'a getirelim.

Kaynakça

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. -ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri Matematik: 5-6. Sınıflar için ders kitabı-muhatap lise. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ev ödevi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)

Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.

Diğer görevler: No. 270, No. 290

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece, faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşitlenecektir - bu işleme ortak paydaya indirgeme denir. Ve paydaları "eşleştiren" gerekli sayılara ek faktörler denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

  1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
  2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
  3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda etkililik sırasına göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Tek dezavantajı Bu method- çok saymanız gerekir, çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük olabilir büyük sayılar. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

  1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
  2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
  3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72:12=6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. Eğer ilgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu sayı çok daha az ürün 8 12 = 96.

En küçük sayı Paydaların her birine bölünebilen, en küçük ortak katları (LCM) olarak adlandırılır.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a ; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 3. Faktör 2 ve 3 eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve faktör 117 ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 ortak asaldır ve faktör 5 ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

  1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
  2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Kesirler ortak bir paydaya nasıl azaltılır

Adi kesirlerin paydaları aynı ise bunlara denir. kesirler ortak bir paydaya indirgenir.

örnek 1

Örneğin, $\frac(3)(18)$ ve $\frac(20)(18)$ kesirleri aynı paydalara sahiptir. Ortak paydalarının 18$ olduğu söyleniyor. $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ ve $\frac(100)(29)$ kesirleri de aynı paydalara sahiptir. Ortak paydalarının 29$ olduğu söyleniyor.

Kesirlerin paydaları farklıysa ortak paydaya indirgenebilirler. Bunu yapmak için pay ve paydalarını belirli ek faktörlerle çarpmanız gerekir.

Örnek 2

İki kesir $\frac(6)(11)$ ve $\frac(2)(7)$ ortak bir paydaya nasıl indirgenir?

Çözüm.

$\frac(6)(11)$ ve $\frac(2)(7)$ kesirlerini sırasıyla $7$ ve $11$ ek çarpanlarıyla çarpalım ve bunları $77$ ortak paydasına getirelim:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

Böylece, kesirleri ortak paydaya getirmek verilen kesirlerin pay ve paydasının ek faktörlerle çarpılması sonucu aynı paydalara sahip kesirlerin elde edilmesidir.

Ortak payda

Tanım 1

Bazı kesirler kümesinin tüm paydalarının herhangi bir pozitif ortak katına denir. ortak payda.

Başka bir deyişle, verilen adi kesirlerin ortak paydası, verilen kesirlerin tüm paydalarına bölünebilen herhangi bir doğal sayıdır.

Tanım, belirli bir kesir kümesi için sonsuz sayıda ortak paydayı ima eder.

Örnek 3

$\frac(3)(7)$ ve $\frac(2)(13)$ kesirlerinin ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları sırasıyla 7$ ve 13$'a eşittir. $2$ ve $5$'ın pozitif ortak katları $91, 182, 273, 364$ vb.'dir.

Bu sayılardan herhangi biri $\frac(3)(7)$ ve $\frac(2)(13)$ kesirlerinin ortak paydası olarak kullanılabilir.

Örnek 4

$\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ve $\frac(11)(9)$ kesirlerinin $252$ ortak paydasına indirgenip indirgenemeyeceğini belirleyin.

Çözüm.

Bir kesri $252$ ortak paydasına nasıl dönüştüreceğinizi belirlemek için, $252$ sayısının $2, 7$ ve $9$ paydalarının ortak katı olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Bunu yapmak için $252$ sayısını her bir paydaya bölün:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

$252$ sayısı tüm paydalara bölünebilir; $2, 7$ ve $9$'ın ortak katıdır. Bu, verilen $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ve $\frac(11)(9)$ kesirlerinin $252$ ortak paydasına indirgenebileceği anlamına gelir.

Cevap: Yapabilirsin.

En düşük ortak payda

Tanım 2

Verilen kesirlerin tüm ortak paydaları arasında en küçük doğal sayıyı ayırt edebiliriz. en düşük ortak payda.

Çünkü LCM, belirli bir sayı kümesinin en küçük pozitif ortak böleni olduğundan, verilen kesirlerin paydalarının LCM'si, verilen kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.

Bu nedenle kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak için bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulmanız gerekir.

Örnek 5

Verilen kesirler $\frac(4)(15)$ ve $\frac(37)(18)$'dır. En düşük ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları $15$ ve $18$'dır. $15$ ve $18$ sayılarının LCM'si olarak en küçük ortak paydayı bulalım. Bunu yapmak için sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanırız:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Cevap: 90$.

Kesirleri en düşük ortak paydaya indirgeme kuralı

Çoğu zaman cebir, geometri, fizik vb. problemlerini çözerken. Ortak kesirleri herhangi bir ortak payda yerine en küçük ortak paydaya indirgemek gelenekseldir.

Algoritma:

  1. Verilen kesirlerin paydalarının LCM'sini kullanarak en küçük ortak paydayı bulun.
  2. 2.Verilen kesirler için ek çarpanı hesaplayınız. Bunu yapmak için, bulunan en düşük ortak paydanın her kesrin paydasına bölünmesi gerekir. Ortaya çıkan sayı bu kesirin ek bir faktörü olacaktır.
  3. Her kesrin payını ve paydasını bulunan ek faktörle çarpın.

Örnek 6

$\frac(4)(16)$ ve $\frac(3)(22)$ kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun ve her iki kesri de ona azaltın.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için bir algoritma kullanalım.

    $16$ ve $22$ sayılarının en küçük ortak katını hesaplayalım:

    Paydaları basit faktörlere ayıralım: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

    $NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

    Her kesir için ek faktörleri hesaplayalım:

    $176\div 16=11$ – $\frac(4)(16)$ kesri için;

    $176\div 22=8$ – $\frac(3)(22)$ kesri için.

    $\frac(4)(16)$ ve $\frac(3)(22)$ kesirlerinin pay ve paydalarını sırasıyla $11$ ve $8$ ek çarpanlarıyla çarpalım. Şunu elde ederiz:

    $\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

    $\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

    Her iki kesir de en düşük ortak payda olan $176$'a indirgenir.

Cevap: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Bazen en düşük ortak paydayı bulmak, bir dizi zaman alıcı hesaplama gerektirir ve bu da sorunun çözüm amacını haklı çıkarmayabilir. Bu durumda en çok kullanabilirsiniz basit yol– kesirleri, bu kesirlerin paydalarının çarpımı olan ortak bir paydaya indirgemek.