Yıldız haberleri
Farklı paydalara sahip doğal kesirlerin eklenmesi. Farklı paydalara sahip kesirler nasıl eklenir?
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesinde matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar yer aldı ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve atlamayın. karşılıklılar. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...
Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma
Kesirleri kullanarak toplama ve çıkarma farklı paydalar
NOC Kavramı
Kesirleri aynı paydaya indirgemek
Tam sayı ve kesir nasıl eklenir?
1 Paydaları Benzer Kesirlerde Toplama ve Çıkarma
Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını eklemeniz gerekir, ancak paydayı aynı bırakmalısınız, örneğin:
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikinci kesirin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir, örneğin:
Karışık kesirleri eklemek için önce tüm kısımlarını ayrı ayrı toplayıp, sonra kesirli kısımlarını toplayıp sonucu karışık kesir olarak yazmanız gerekir,
Kesirli parçaları eklerken uygunsuz bir kesir elde ederseniz, ondan tüm parçayı seçin ve onu tam parçaya ekleyin, örneğin:
2 Farklı paydalara sahip kesirlerle toplama ve çıkarma
Paydaları farklı olan kesirleri toplamak veya çıkarmak için önce bunları aynı paydaya indirgemeniz, ardından bu makalenin başında belirtildiği gibi ilerlemeniz gerekir. Birkaç kesirin ortak paydası LCM'dir (en küçük ortak kat). Her fraksiyonun payı için, LCM'nin bu fraksiyonun paydasına bölünmesiyle ek faktörler bulunur. NOC'nin ne olduğunu anladıktan sonra bir örneğe daha sonra bakacağız.
3 En küçük ortak kat (LCM)
İki sayının en küçük ortak katı (LCM), her iki sayıya da kalan bırakmadan bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Bazen NOC sözlü olarak seçilebilir, ancak daha sıklıkla, özellikle de büyük sayılar, aşağıdaki algoritmayı kullanarak LOC'yi yazılı olarak bulmanız gerekir:
Birkaç sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- Bu sayıları asal faktörlere ayırın
- En büyük açılımı alın ve bu sayıları çarpım olarak yazın
- Diğer ayrıştırmalarda, en büyük ayrıştırmada görünmeyen (veya daha az kez ortaya çıkan) sayıları seçin ve bunları çarpıma ekleyin.
- Çarpımdaki tüm sayıları çarpın, bu LCM olacaktır.
Örneğin 28 ve 21 sayılarının LCM'sini bulalım:
4 Kesirleri aynı paydaya indirgemek
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamaya dönelim.
Kesirleri aynı paydaya, her iki paydanın LCM'sine eşit olacak şekilde indirgediğimizde, bu kesirlerin paylarını şu şekilde çarpmamız gerekir: ek çarpanlar. Bunları, LCM'yi karşılık gelen kesirin paydasına bölerek bulabilirsiniz, örneğin:
Bu nedenle kesirleri aynı üsse indirgemek için önce LCM'yi bulmanız gerekir (yani, en küçük sayı(her iki paydaya da bölünebilen) bu kesirlerin paydalarına eklenir, ardından kesirlerin paylarına ek faktörler eklenir. Bunları, ortak paydayı (CLD) ilgili kesrin paydasına bölerek bulabilirsiniz. Daha sonra her kesrin payını ek bir faktörle çarpmanız ve LCM'yi payda olarak koymanız gerekir.
5Tam sayı ve kesir nasıl eklenir?
Bir tam sayı ve bir kesir eklemek için, bu sayıyı kesirden önce eklemeniz yeterlidir; bu, örneğin karışık bir kesirle sonuçlanacaktır.
Makalede göstereceğiz kesirler nasıl çözülür basit açık örnekler. Kesrin ne olduğunu bulalım ve düşünelim kesirleri çözme!
Konsept kesirler Ortaokul 6. sınıftan itibaren matematik derslerine dahil edilmektedir.
Kesirler ±X/Y şeklindedir, burada Y paydadır, bütünün kaç parçaya bölündüğünü, X pay ise bu parçalardan kaç tanesinin alındığını anlatır. Anlaşılır olması için pastayla ilgili bir örnek alalım:
İlk durumda pasta eşit şekilde kesilerek yarısı alındı. 1/2. İkinci durumda pasta 7 parçaya bölündü, bunun 4 parçası alındı, yani. 4/7.
Bir sayının diğerine bölünen kısmı tam sayı değilse kesir olarak yazılır.
Örneğin 4:2 = 2 ifadesi bir tamsayı verir ancak 4:7 bir tama bölünemediğinden bu ifade 4/7 kesir olarak yazılır.
Başka bir deyişle kesir iki sayının veya ifadenin bölünmesini ifade eden ve kesirli eğik çizgi kullanılarak yazılan bir ifadedir.
Pay, paydadan küçükse kesir doğru, tersi ise yanlış kesirdir. Bir kesir bir tam sayı içerebilir.
Örneğin 5 tam 3/4.
Bu giriş, 6'nın tamamını elde etmek için dört parçadan birinin eksik olduğu anlamına gelir.
Hatırlamak istersen 6. sınıf için kesirler nasıl çözülür? bunu anlamalısın kesirleri çözme, temel olarak birkaç basit şeyi anlamaya gelir.
- Kesir aslında bir kesrin ifadesidir. Yani sayısal ifade hangi kısım verilen değer bir bütünden. Örneğin 3/5 kesri, bir bütünü 5 parçaya böldüğümüzde ve bu bütünün pay veya parça sayısının üç olduğunu ifade eder.
- Kesir 1'den küçük olabilir, örneğin 1/2 (veya esas olarak yarısı), o zaman doğrudur. Kesir 1'den büyükse, örneğin 3/2 (üç yarım veya bir buçuk), o zaman yanlıştır ve çözümü basitleştirmek için parçanın tamamını 3/2 = 1 tam 1 olarak seçmek bizim için daha iyidir. /2.
- Kesirler 1, 3, 10 ve hatta 100 ile aynı sayılardır, yalnızca sayılar tam sayı değil kesirdir. Sayılarla yapılan işlemlerin aynısını onlarla da gerçekleştirebilirsiniz. Kesirleri saymak artık zor değil ve daha da ileri giderek spesifik örnekler göstereceğiz.
Kesirler nasıl çözülür? Örnekler.
Kesirlere çok çeşitli aritmetik işlemler uygulanabilir.
Bir kesri ortak paydaya indirgemek
Örneğin 3/4 ve 4/5 kesirlerini karşılaştırmanız gerekir.
Sorunu çözmek için önce en düşük ortak paydayı buluyoruz, yani. kesirlerin paydalarından her birine kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayı
En küçük ortak payda(4.5) = 20
Daha sonra her iki kesrin paydası en küçüğüne indirgenir. ortak payda
Cevap: 15/20
Kesirleri toplama ve çıkarma
İki kesrin toplamını hesaplamak gerekiyorsa, önce bunlar ortak bir paydaya getirilir, ardından paylar eklenir, payda değişmeden kalır. Kesirler arasındaki fark da aynı şekilde hesaplanır, tek fark payların çıkarılmasıdır.
Örneğin 1/2 ve 1/3 kesirlerinin toplamını bulmanız gerekiyor
Şimdi 1/2 ve 1/4 kesirleri arasındaki farkı bulalım
Kesirlerde Çarpma ve Bölme
Burada kesirleri çözmek zor değil, burada her şey oldukça basit:
- Çarpma - kesirlerin payları ve paydaları birlikte çarpılır;
- Bölme - önce ikinci kesrin tersini elde ederiz, yani. Payını ve paydasını değiştiririz, ardından elde edilen kesirleri çarparız.
Örneğin:
bu kadar kesirler nasıl çözülür, Tüm. Hala sorularınız varsa kesirleri çözme, belirsiz bir şey varsa yorumlara yazın, size kesinlikle cevap vereceğiz.
Öğretmen iseniz sunumu indirebilirsiniz. ilkokul(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) işinize yarayacaktır.
Kimya, fizik ve hatta biyoloji gibi disiplinlerde de uygulaması görülen en önemli bilimlerden biri de matematiktir. Bu bilimi incelemek bazı zihinsel nitelikleri geliştirmenize ve konsantre olma yeteneğinizi geliştirmenize olanak tanır. Matematik dersinde özel önem verilmesi gereken konulardan biri de kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleridir. Birçok öğrenci ders çalışmayı zor buluyor. Belki makalemiz bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
Paydaları aynı olan kesirler nasıl çıkarılır
Kesirler, çeşitli işlemleri gerçekleştirebileceğiniz aynı sayılardır. Tam sayılardan farkı paydanın varlığında yatmaktadır. Bu nedenle kesirlerle işlemler yaparken bazı özelliklerini ve kurallarını incelemeniz gerekir. En basit durum, paydaları aynı sayı olarak gösterilen sıradan kesirlerin çıkarılmasıdır. Basit bir kural biliyorsanız, bu eylemi gerçekleştirmek zor olmayacaktır:
- Bir kesirden bir saniye çıkarmak için, çıkarılan kesrin payını, azaltılan kesrin payından çıkarmak gerekir. Bu sayıyı farkın payına yazıp paydayı aynı bırakıyoruz: k/m - b/m = (k-b)/m.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma örnekleri
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
“7” kesirinin payından, çıkarılacak kesirin “3” payını çıkarırsak “4” elde ederiz. Bu sayıyı cevabın payına yazıyoruz ve paydaya birinci ve ikinci kesirlerin paydalarındaki sayının aynısını - “19” koyuyoruz.
Aşağıdaki resimde birkaç benzer örnek daha gösterilmektedir.
Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarıldığı daha karmaşık bir örneği ele alalım:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
“29” kesirinin payından, sonraki tüm kesirlerin paylarının sırasıyla çıkarılmasıyla azaltılır - “3”, “8”, “2”, “7”. Sonuç olarak cevabın payına yazdığımız “9” sonucunu elde ediyoruz ve paydaya da tüm bu kesirlerin paydalarındaki sayıyı - “47” yazıyoruz.
Paydaları aynı olan kesirleri toplama
Sıradan kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması aynı prensibi izler.
- Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için payları eklemeniz gerekir. Ortaya çıkan sayı toplamın payıdır ve payda aynı kalacaktır: k/m + b/m = (k + b)/m.
Bir örnek kullanarak bunun neye benzediğini görelim:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Kesirin ilk teriminin payına - “1” - kesirin ikinci teriminin payına - “2” ekleyin. Sonuç - "3" - toplamın payına yazılır ve payda, kesirlerde mevcut olan "4" ile aynı kalır.
Paydaları farklı kesirler ve bunların çıkarılması
Paydası aynı olan kesirlerle işlemi daha önce düşünmüştük. Gördüğümüz gibi bilerek Basit kurallar, bu tür örnekleri çözmek oldukça kolaydır. Peki ya farklı paydalara sahip kesirlerle bir işlem yapmanız gerekiyorsa? Birçok ortaokul öğrencisinin kafası bu tür örneklerle karıştırılıyor. Ancak burada bile çözümün prensibini biliyorsanız örnekler artık sizin için zor olmayacaktır. Burada ayrıca bu tür kesirleri çözmenin imkansız olduğu bir kural var.
- 2/3 - paydada bir üç ve bir iki eksik:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 veya 7/(3 x 3) - paydada iki eksik:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 veya 5/(2 x 3) - paydada üç eksik:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - 18 sayısı 3x2x3'ten oluşur.
- 15 sayısı 5x3'ten oluşur.
- Ortak kat şu çarpanlar olacaktır: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 bölü 15. Ortaya çıkan “6” sayısı 3/15'in çarpanı olacaktır.
- 90 bölü 18. Ortaya çıkan “5” sayısı 4/18'in çarpanı olacaktır.
- Tamsayı kısmı olan tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Konuşuyorum basit kelimelerle, parçanın tamamını çıkarın. Bunu yapmak için, tamsayı kısmının sayısını kesrin paydasıyla çarpın ve elde edilen ürünü paya ekleyin. Bu işlemlerden sonra ortaya çıkan sayı bileşik kesrin payıdır. Payda değişmeden kalır.
- Paydaları farklı olan kesirler aynı paydaya indirilmelidir.
- Aynı paydalarla toplama veya çıkarma işlemi yapın.
- Uygunsuz bir kesir alırken tüm kısmı seçin.
Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için bunların aynı en küçük paydaya indirgenmesi gerekir.
Bunun nasıl yapılacağı hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız.
Kesirin özelliği
Birkaç kesiri aynı paydaya getirmek için, çözümde kesirin ana özelliğini kullanmanız gerekir: pay ve paydayı böldükten veya çarptıktan sonra aynı numara Verilen kesre eşit bir kesir elde edersiniz.
Yani örneğin 2/3 kesirinin “6”, “9”, “12” gibi paydaları olabilir, yani “3”ün katı olan herhangi bir sayı biçiminde olabilir. Pay ve paydayı “2” ile çarptığımızda 4/6 kesirini elde ederiz. Orijinal kesrin pay ve paydasını “3” ile çarptığımızda 6/9, benzer işlemi “4” sayısı ile yaparsak 8/12 elde ederiz. Bir eşitlik şu şekilde yazılabilir:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Birden fazla kesir aynı paydaya nasıl dönüştürülür?
Birden fazla kesri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakalım. Örneğin aşağıdaki resimde gösterilen kesirleri ele alalım. Öncelikle hangi sayının hepsinin paydası olabileceğini belirlemeniz gerekir. İşleri kolaylaştırmak için mevcut paydaları çarpanlarına ayıralım.
1/2 kesirinin ve 2/3 kesirinin paydası çarpanlarına ayrılamaz. Payda 7/9'un iki çarpanı vardır: 7/9 = 7/(3 x 3), kesrin paydası 5/6 = 5/(2 x 3). Şimdi bu dört kesir için hangi faktörlerin en küçük olacağını belirlememiz gerekiyor. Birinci kesirin paydasında “2” sayısı bulunduğu için tüm paydalarda bulunması gerektiği, 7/9 kesirinde ise iki üçlü olması, yani her ikisinin de paydada bulunması gerektiği anlamına gelir. Yukarıdakileri dikkate alarak paydanın üç faktörden oluştuğunu belirleriz: 3, 2, 3 ve 3 x 2 x 3 = 18'e eşittir.
İlk kesri ele alalım - 1/2. Paydasında “2” var ama tek bir “3” rakamı yok ama iki olması lazım. Bunu yapmak için paydayı iki üçlüyle çarpıyoruz, ancak kesirin özelliğine göre payı iki üçlüyle çarpmamız gerekiyor:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Kalan kesirlerle aynı işlemleri yapıyoruz.
Hep birlikte şuna benziyor:
Paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır ve eklenir?
Yukarıda belirtildiği gibi, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için, bunların aynı paydaya indirgenmesi ve ardından daha önce tartışılan aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasına yönelik kuralların kullanılması gerekir.
Örnek olarak şuna bakalım: 4/18 - 3/15.
18 ve 15 sayılarının katlarını bulma:
Payda bulunduktan sonra, her kesir için farklı olacak faktörü, yani sadece paydayı değil payı da çarpmanın gerekli olacağı sayıyı hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için bulduğumuz sayıyı (ortak kat), ek faktörlerin belirlenmesi gereken kesrin paydasına bölün.
Çözümümüzün bir sonraki aşaması her kesri “90” paydasına indirgemektir.
Bunun nasıl yapılacağından daha önce bahsetmiştik. Bunun bir örnekte nasıl yazıldığını görelim:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Kesirlerin sayıları küçükse aşağıdaki resimde gösterilen örnekte olduğu gibi ortak paydayı belirleyebilirsiniz.
Aynı şey farklı paydalara sahip olanlar için de geçerlidir.
Çıkarma ve tam sayı kısımlara sahip olma
Kesirlerin çıkarılması ve eklenmesi işlemlerini daha önce ayrıntılı olarak tartışmıştık. Ancak kesir varsa nasıl çıkarılacağı Bütün parça? Yine birkaç kural kullanalım:
Kesirleri tam parçalarla toplayıp çıkarmanın başka bir yolu daha var. Bunun için işlemler tam parçalarla ayrı ayrı, kesirli işlemler ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar birlikte kaydedilir.
Verilen örnek paydaları aynı olan kesirlerden oluşmaktadır. Paydaların farklı olması durumunda aynı değere getirilmesi ve ardından örnekte gösterildiği gibi işlemlerin yapılması gerekir.
Tam Sayılardan Kesirleri Çıkarma
Kesirlerle yapılan diğer bir işlem türü ise kesirden çıkarma yapılması gereken durumdur.İlk bakışta böyle bir örneğin çözülmesi zor görünmektedir. Ancak burada her şey oldukça basit. Bunu çözmek için, tamsayıyı kesirlere ve çıkarılmış kesirdeki paydaya dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, aynı paydalarla çıkarma işlemine benzer bir çıkarma işlemi gerçekleştiriyoruz. Bir örnekte şöyle görünür:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Bu makalede sunulan kesirlerin çıkarılması (6. sınıf) daha fazlasını çözmenin temelidir karmaşık örnekler Bunlar sonraki derslerde tartışılacaktır. Bu konunun bilgisi daha sonra fonksiyonları, türevleri vb. çözmek için kullanılır. Bu nedenle yukarıda tartışılan kesirlerle yapılan işlemleri anlamak ve anlamak çok önemlidir.
Cevrimici hesap makinesi.
Sayısal kesirlerle bir ifadeyi değerlendirin.
Paydaları farklı olan kesirlerle çarpma, çıkarma, bölme, toplama ve azaltma.
Kullanarak bu hesap makinesiçevrimiçi olarak yapabilirsin paydaları farklı olan kesirleri çarpma, çıkarma, bölme, toplama ve azaltma.
Program düzenli, bileşik ve karışık sayılı kesirler ile çalışmaktadır.
Bu program (çevrimiçi hesap makinesi) şunları yapabilir:
- farklı paydalara sahip karışık kesirlerin eklenmesini gerçekleştirin
- farklı paydalara sahip karışık kesirlerin çıkarılmasını gerçekleştirin
- karışık kesirleri farklı paydalara bölmek
- farklı paydalara sahip karışık kesirleri çarpın
- kesirleri ortak bir paydaya indirgemek
- Karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün
- kesirleri azalt
Ayrıca kesirli bir ifade değil, tek bir kesir girebilirsiniz.
Bu durumda kesir azaltılacak ve sonuçtan tamamı ayrılacaktır.
Sayısal kesirli ifadeleri hesaplamak için kullanılan çevrimiçi bir hesap makinesi yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda detaylı çözüm açıklamalarla, yani çözüm bulma sürecini gösterir.
Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.
Sayısal kesirlerle ifade girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.
Sayısal kesirli ifadeleri girme kuralları
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Giriş: -2/3 + 7/5
Sonuç: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: -1&2/3 * 5&8/3
Sonuç: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
Kesirlerin bölünmesi iki nokta üst üste işaretiyle tanıtılır: :
Giriş: -9&37/12: -3&5/14
Sonuç: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Sıfıra bölünemeyeceğini unutmayın!
Sayısal kesirli ifadeleri girerken parantez kullanabilirsiniz.
Giriş: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Sonuç: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Sıradan kesirler. Kalanlı bölme
497'yi 4'e bölmemiz gerekirse, bölerken 497'nin 4'e tam olarak bölünemediğini görürüz. bölümün geri kalanı kalır. Bu gibi durumlarda tamamlandı denir. kalanla bölme ve çözüm şu şekilde yazılır:
497: 4 = 124 (1 kalan).
Eşitliğin sol tarafındaki bölme bileşenlerine kalansız bölme işleminde olduğu gibi aynı ad verilir: 497 - kâr payı, 4 - bölücü. Bir kalana bölündüğünde elde edilen sonuca denir tamamlanmamış özel. Bizim durumumuzda bu 124 sayısıdır. Ve son olarak sıradan bölme işleminde olmayan son bileşen ise kalan. Kalanın olmadığı durumlarda bir sayının diğerine bölündüğü söylenir. iz bırakmadan veya tamamen. Böyle bir bölmeyle kalanın sıfır olduğuna inanılmaktadır. Bizim durumumuzda kalan 1'dir.
Kalan her zaman bölenden küçüktür.
Bölme çarpma ile kontrol edilebilir. Örneğin, 64: 32 = 2 eşitliği varsa, kontrol şu şekilde yapılabilir: 64 = 32 * 2.
Çoğu zaman kalanla bölme işleminin yapıldığı durumlarda eşitliği kullanmak uygundur.
a = b * n + r,
burada a bölünen, b bölen, n kısmi bölüm, r ise kalandır.
Bölümü böl doğal sayılar kesirli olarak yazılabilir.
Bir kesrin payı böleni, paydası ise böleni ifade eder.
Bir kesrin payı bölen, paydası da bölen olduğuna göre; kesir çizgisinin bölme eylemi anlamına geldiğine inanıyorum. Bazen bölmeyi ":" işaretini kullanmadan kesir olarak yazmak daha uygun olur.
M ve n doğal sayılarının bölümünün bölümü \(\frac(m)(n)\) kesri olarak yazılabilir; burada m payı bölendir ve payda n de bölendir:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Aşağıdaki kurallar doğrudur:
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için, birimi n eşit parçaya (paylara) bölmeniz ve bu tür parçaları almanız gerekir.
\(\frac(m)(n)\) kesrini elde etmek için m sayısını n sayısına bölmeniz gerekir.
Bir bütünün parçasını bulmak için bütüne karşılık gelen sayıyı paydaya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin payı ile çarpmanız gerekir.
Parçasından bir bütün bulmak için bu parçaya karşılık gelen sayıyı paya bölüp çıkan sonucu bu parçayı ifade eden kesrin paydasıyla çarpmanız gerekir.
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla (sıfır hariç) çarpılırsa kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya (sıfır hariç) bölünürse kesrin değeri değişmez:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Bu özelliğe denir bir kesrin temel özelliği.
Son iki dönüşüme denir bir fraksiyonu azaltmak.
Kesirlerin aynı paydaya sahip kesirler olarak gösterilmesi gerekiyorsa bu işleme denir. kesirleri ortak paydaya getirmek.
Doğru ve yanlış kesirler. Karışık sayılar
Bir bütünü eşit parçalara bölerek ve bu parçalardan birkaçını alarak bir kesrin elde edilebileceğini zaten biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(3)(4)\) kesri birin dörtte üçü anlamına gelir. Önceki paragraftaki problemlerin çoğunda kesirler bir bütünün parçalarını temsil etmek için kullanıldı. Sağduyu, parçanın her zaman bütünden daha az olması gerektiğini belirtir, peki ya \(\frac(5)(5)\) veya \(\frac(8)(5)\) gibi kesirler? Bunun artık birimin bir parçası olmadığı açıktır. Muhtemelen payı paydadan büyük veya paydaya eşit olan kesirlere bu nedenle denilmektedir. uygunsuz kesirler. Geriye kalan kesirlere yani payı paydasından küçük olan kesirlere denir. kesirleri düzelt.
Bildiğiniz gibi herhangi ortak kesir Hem doğru hem de yanlış, payın paydaya bölünmesi sonucu düşünülebilir. Dolayısıyla matematikte, sıradan dilden farklı olarak "uygunsuz kesir" terimi, yanlış bir şey yaptığımız anlamına gelmez, yalnızca bu kesrin payının paydadan büyük veya ona eşit olduğu anlamına gelir.
Bir sayı bir tam sayı ve bir kesirden oluşuyorsa, o zaman böyle kesirlere karışık denir.
Örneğin:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 tam sayı kısmıdır ve \(\frac(2)(3) \) kesirli kısımdır.
\(\frac(a)(b) \) kesirinin payı bir n doğal sayısıyla bölünebiliyorsa, bu kesri n'ye bölmek için payının bu sayıya bölünmesi gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
\(\frac(a)(b)\) kesirinin payı n doğal sayısıyla bölünemiyorsa, bu kesri n'ye bölmek için paydasını bu sayıyla çarpmanız gerekir:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Pay n'ye bölünebildiğinde ikinci kuralın da geçerli olduğunu unutmayın. Bu nedenle, bir kesrin payının n'ye bölünüp bölünemeyeceğini ilk bakışta belirlemenin zor olduğu durumlarda bunu kullanabiliriz.
Kesirli eylemler. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirli sayılarla, doğal sayılarda olduğu gibi şunları yapabilirsiniz: Aritmetik işlemler. Önce kesirleri toplamaya bakalım. Paydaları benzer olan kesirleri toplamak kolaydır. Örneğin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3)(7)\) toplamını bulalım. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) olduğunu anlamak kolaydır
Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfleri kullanarak, paydaları benzer olan kesirleri toplama kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamanız gerekiyorsa, öncelikle bunların ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir. Örneğin:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Doğal sayılarda olduğu gibi kesirler için de toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri geçerlidir.
Karışık kesirlerin eklenmesi
\(2\frac(2)(3)\) gibi gösterimlere denir karışık kesirler. Bu durumda 2 sayısı çağrılır. Bütün parça karışık kesir ve \(\frac(2)(3)\) sayısı onun kesirli kısım. \(2\frac(2)(3)\) girdisi şu şekilde okunur: “iki ve iki üçte biri.”
8 sayısını 3 sayısına böldüğünüzde iki cevap alabilirsiniz: \(\frac(8)(3)\) ve \(2\frac(2)(3)\). Aynı kesirli sayıyı ifade ederler, yani \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Dolayısıyla, uygunsuz kesir \(\frac(8)(3)\) karışık bir kesir \(2\frac(2)(3)\) olarak temsil edilir. Bu gibi durumlarda uygunsuz bir kesirden şunu söylüyorlar tüm kısmı vurguladım.
Kesirlerde çıkarma (kesirli sayılar)
Kesirli sayıların çıkarılması, doğal sayılar gibi, toplama işlemine göre belirlenir: bir sayıdan bir başkasını çıkarmak, ikinciye eklendiğinde birinciyi veren bir sayı bulmak anlamına gelir. Örneğin:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) çünkü \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Paydaları benzer olan kesirleri çıkarma kuralı, bu tür kesirleri toplama kuralına benzer:
Paydaları aynı olan kesirler arasındaki farkı bulmak için, birinci kesrin payından ikincinin payını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Harfler kullanılarak bu kural şu şekilde yazılır:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Kesirlerin Çarpılması
Bir kesri bir kesirle çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinciyi payda olarak yazmanız gerekir.
Harfleri kullanarak kesirleri çarpma kuralı şu şekilde yazılabilir:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Formüle edilmiş kuralı kullanarak, bir kesri bir doğal sayıyla çarpabilirsiniz: karışık fraksiyon ve ayrıca karışık kesirleri çarpın. Bunu yapmak için, paydası 1 olan bir doğal sayıyı, karışık bir kesir - uygunsuz bir kesir olarak yazmanız gerekir.
Çarpmanın sonucu, kesir azaltılarak ve bileşik kesrin tamamı izole edilerek (mümkünse) basitleştirilmelidir.
Doğal sayılarda olduğu gibi kesirler için de çarpmanın değişme ve birleşimsel özellikleri ile çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği geçerlidir.
Kesirlerin bölünmesi
\(\frac(2)(3)\) kesrini alalım ve pay ve paydayı değiştirerek onu "çevirelim". \(\frac(3)(2)\) kesirini elde ederiz. Bu kesir denir tersi kesirler \(\frac(2)(3)\).
Şimdi \(\frac(3)(2)\) kesirini "tersine çevirirsek", orijinal kesir \(\frac(2)(3)\) elde ederiz. Bu nedenle \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(3)(2)\) gibi kesirlere denir karşılıklı ters.
Örneğin, \(\frac(6)(5) \) ve \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ve \(\frac (18) kesirleri )(7)\).
Harfler kullanılarak karşılıklı kesirler şu şekilde yazılabilir: \(\frac(a)(b) \) ve \(\frac(b)(a) \)
Açıktır ki karşılıklı kesirlerin çarpımı 1'e eşittir. Örneğin: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Karşılıklı kesirleri kullanarak kesirlerin bölünmesini çarpmaya azaltabilirsiniz.
Bir kesri bir kesre bölmenin kuralı şudur:
Bir kesri diğerine bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
