Bu makaledeki materyal denklem sistemleriyle ilk tanışma amaçlıdır. Burada bir denklem sisteminin tanımını ve çözümlerini tanıtacağız ve ayrıca en yaygın denklem sistemi türlerini ele alacağız. Her zamanki gibi açıklayıcı örnekler vereceğiz.

Sayfada gezinme.

Denklem sistemi nedir?

Denklem sisteminin tanımına yavaş yavaş yaklaşacağız. İlk olarak, iki noktayı belirterek bunu vermenin uygun olduğunu söyleyelim: birincisi, kaydın türü ve ikincisi, bu kaydın içerdiği anlam. Şimdi sırasıyla bunlara bakalım ve ardından akıl yürütmeyi denklem sistemlerinin tanımına genelleyelim.

Önümüzde birkaç tane olsun. Örneğin iki denklemi ele alalım: 2 x+y=−3 ve x=5. Bunları alt alta yazalım ve solda küme paranteziyle birleştirelim:

Bir sütun halinde düzenlenmiş ve solda küme ayracı ile birleştirilmiş çeşitli denklemlerden oluşan bu tür kayıtlar, denklem sistemlerinin kayıtlarıdır.

Bu tür girişler ne anlama geliyor? Her denklemin çözümü olan sistem denklemlerinin tüm bu tür çözümlerinin kümesini tanımlarlar.

Başka bir deyişle anlatmaktan zarar gelmez. İlk denklemin bazı çözümlerinin sistemin diğer tüm denklemlerinin çözümü olduğunu varsayalım. Yani sistem kaydı sadece onları ifade ediyor.

Artık bir denklem sisteminin tanımını yeterince kabul etmeye hazırız.

Tanım.

Denklem sistemleri Sol tarafta küme ayracı ile birleştirilen ve aynı zamanda sistemin her denkleminin çözümü olan denklemlerin tüm çözümlerinin kümesini gösteren, birbirinin altında yer alan denklemlerden oluşan çağrı kayıtları.

Ders kitabında da benzer bir tanım verilmiştir, ancak orada genel durum için değil, iki değişkenli iki rasyonel denklem için verilmiştir.

Ana türler

Sonsuz sayıda farklı denklemin olduğu açıktır. Doğal olarak bunları kullanarak derlenen sonsuz sayıda denklem sistemi de vardır. Bu nedenle, denklem sistemlerini incelemenin ve onlarla çalışmanın kolaylığı için, bunları benzer özelliklere göre gruplara ayırmak ve ardından bireysel türdeki denklem sistemlerini dikkate almak mantıklıdır.

İlk bölüm, sisteme dahil edilen denklemlerin sayısıyla kendini göstermektedir. İki denklem varsa, iki denklemli bir sistemimiz olduğunu söyleyebiliriz, üç varsa o zaman üç denklemli bir sistemimiz var vb. Tek denklemli bir sistemden bahsetmenin hiçbir anlamı olmadığı açıktır, çünkü bu durumda özünde sistemle değil denklemin kendisiyle ilgileniyoruz.

Bir sonraki bölüm, sistemin denklemlerinin yazılmasında yer alan değişkenlerin sayısına dayanmaktadır. Bir değişken varsa, o zaman bir değişkenli (aynı zamanda bir bilinmeyenli) bir denklem sistemiyle, iki varsa, o zaman iki değişkenli (iki bilinmeyenli) vb. bir denklem sistemiyle uğraşıyoruz. Örneğin, iki değişken x ve y olan bir denklem sistemidir.

Bu, kayıtta yer alan tüm farklı değişkenlerin sayısını ifade eder. Hepsinin aynı anda her denklemin kaydına dahil edilmesi gerekmez; en az bir denklemde bulunmaları yeterlidir. Örneğin, x, y ve z olmak üzere üç değişkenli bir denklem sistemidir. İlk denklemde x değişkeni açıkça mevcut, y ve z örtülü (bu değişkenlerin sıfıra sahip olduğunu varsayabiliriz), ikinci denklemde ise x ve z var, ancak y değişkeni açıkça sunulmuyor. Başka bir deyişle, ilk denklem şu şekilde görülebilir: , ve ikincisi – x+0·y−3·z=0 olarak.

Denklem sistemlerinin farklılık gösterdiği üçüncü nokta denklemlerin türüdür.

Okulda denklem sistemlerinin incelenmesi şu şekilde başlar: iki kişilik sistemler doğrusal denklemler iki değişkenli. Yani bu tür sistemler iki doğrusal denklem oluşturur. Burada bir çift örnek var: Ve . Denklem sistemleriyle çalışmanın temellerini öğrenirler.

Daha fazlasına karar verirken karmaşık görevler Ayrıca üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemiyle de karşılaşabilirsiniz.

9. sınıfta ayrıca, iki değişkenli iki denklem sistemlerine, çoğunlukla ikinci dereceden denklemlerin tamamı, daha az sıklıkla - daha fazla doğrusal olmayan denklemler eklenir. yüksek dereceler. Bu sistemlere doğrusal olmayan denklem sistemleri adı verilir; gerekirse denklemlerin ve bilinmeyenlerin sayısı belirtilir. Bu tür doğrusal olmayan denklem sistemlerine örnekler gösterelim: Ve .

Ve ayrıca sistemlerde örneğin . Hangi denklemlerin olduğu belirtilmeden genellikle basit denklem sistemleri olarak adlandırılırlar. Burada, çoğu zaman bir denklem sisteminin basitçe "denklem sistemi" olarak anıldığını ve açıklamaların yalnızca gerektiğinde eklendiğini belirtmekte fayda var.

Lisede materyal incelenirken irrasyonel, trigonometrik, logaritmik ve üstel denklemler : , , .

Üniversitenin birinci sınıf müfredatına daha da derinlemesine bakarsak, asıl vurgu, doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE'ler), yani sol taraflarında birinci dereceden polinomlar içeren denklemlerin incelenmesi ve çözümü üzerinedir. ve sağ taraflarda belirli sayılar bulunur. Ancak orada, okuldan farklı olarak, artık iki değişkenli iki doğrusal denklem değil, keyfi sayıda değişkenli, çoğu zaman denklem sayısıyla çakışmayan rastgele sayıda denklem alıyorlar.

Bir denklem sisteminin çözümü nedir?

“Denklem sisteminin çözümü” terimi doğrudan denklem sistemlerini ifade eder. Okulda iki değişkenli bir denklem sistemini çözmenin tanımı verilmektedir. :

Tanım.

İki değişkenli bir denklem sistemini çözme sistemin her denklemini doğruya çeviren, diğer bir deyişle sistemin her denkleminin çözümü olan bu değişkenlerin değer çiftine denir.

Örneğin, x=5, y=2 değişken değerleri çifti ((5, 2) olarak yazılabilir), tanım gereği bir denklem sisteminin çözümüdür, çünkü sistemin denklemleri x= olduğunda 5, y=2 yerine konulursa sırasıyla 5+2=7 ve 5−2=3 doğru sayısal eşitliklere dönüşür. Ancak x=3, y=0 değer çifti bu sistem için bir çözüm değildir, çünkü bu değerleri denklemlerde yerine koyarken bunlardan ilki yanlış 3+0=7 eşitliğine dönüşecektir.

Benzer tanımlar tek değişkenli sistemler için olduğu gibi üç, dört vb. değişkenli sistemler için de formüle edilebilir. değişkenler.

Tanım.

Tek değişkenli denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerinin kökü olan, yani tüm denklemleri doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenin bir değeri olacaktır.

Bir örnek verelim. t şeklinde tek değişkenli bir denklem sistemi düşünün . Hem (−2) 2 =4 hem de 5·(−2+2)=0 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan, −2 sayısı bunun çözümüdür. Ve t=1 sistemin bir çözümü değildir, çünkü bu değerin yerine koymak iki yanlış eşitlik verecektir: 1 2 =4 ve 5·(1+2)=0.

Tanım.

Üçlü, dörtlü vb. bir sistemi çözme. değişkenlerüç, dört vb. denir. değişkenlerin değerleri sırasıyla sistemin tüm denklemlerini gerçek eşitliklere dönüştürür.

Yani tanım gereği x=1, y=2, z=0 değişkenlerinin değerlerinin üçlüsü sistemin bir çözümüdür 2·1=2, 5·2=10 ve 1+2+0=3 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan. Ve (1, 0, 5) bu sistemin çözümü değildir, çünkü değişkenlerin bu değerleri sistem denklemlerinde yerine konulduğunda ikincisi yanlış 5·0=10 eşitliğine dönüşür ve üçüncüsü yanlış eşitliğe dönüşür. da 1+0+5=3.

Denklem sistemlerinin çözümleri olmayabilir, sonlu sayıda çözümü olabilir, örneğin bir, iki, ... veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Konuyu derinlemesine incelediğinizde bunu göreceksiniz.

Bir denklem sisteminin tanımlarını ve çözümlerini dikkate alarak, bir denklem sisteminin çözümünün, tüm denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz.

Sonuç olarak, ilgili birkaç tanımı burada bulabilirsiniz:

Tanım.

ortak olmayanÇözümü yoksa sistem çağrılır eklem yeri.

Tanım.

Denklem sisteminin adı belirsiz sonsuz sayıda çözümü varsa ve kesin Sonlu sayıda çözümü varsa veya hiç yoksa.

Bu terimler, örneğin bir ders kitabında tanıtılmaktadır, ancak okulda oldukça nadiren kullanılırlar; yüksek öğretim kurumlarında daha sık duyulurlar.

Kaynakça.

1. Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkoviç A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Derece 11. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (profil düzeyi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Yüksek cebir dersi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometri: Ders Kitabı: Üniversiteler için. – 5. baskı. – M.: Bilim. Fizmatlit, 1999. – 224 s. - (Kuyu yüksek Matematik ve mat. fizik). – ISBN 5-02-015234 – X (Sayı 3)

Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.

İkame yöntemi

Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta iki basamaklı sayı probleminin bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol açtığı durumlarda kullanmıştık. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).

İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.

1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.

4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülüne yazın. Eğer o zaman
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.

Cevap: (2; 1);

Cebirsel toplama yöntemi

Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.

Örnek 2. Denklem sistemini çözme

Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım:
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:

Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor

Eğer x = 2 ise

Böylece sisteme iki çözüm bulduk:

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi

8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için bu yöntemin özü aynıdır, ancak teknik nokta Aşağıdaki örneklerde tartışacağımız görmenin bazı özellikleri vardır.

Örnek 3. Denklem sistemini çözme

Yeni bir değişken tanıtalım.Daha sonra sistemin ilk denklemi daha fazla şekilde yeniden yazılabilir. basit biçimde: Bu denklemi t değişkeni için çözelim:

Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla köklerdir rasyonel denklem t değişkenli. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlaştırmayı" başardık:

x = 2 y; y - 2x.

Sıradaki ne? Ve sonra ikisinin her biri aldı basit denklemler henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde tek tek ele alınması gerekir. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:

Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:

Burada her şey hazır olduğuna göre, yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini koyalım. Aldık

x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:

Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık

Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

İki yeni değişkeni tanıtalım:

O zaman şunu dikkate alalım

Bu, verilen sistemi çok daha basit bir biçimde yeniden yazmanıza olanak tanır, ancak yeni a ve b değişkenlerine göre:

a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:

X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:

Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik konuşmayla bitirelim. Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için eşdeğerlik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.

Tanım.

X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sistemi, çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer olarak adlandırılır.

Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (yer değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani bildiklerinizi tekrarlayalım grafiksel yöntemçözümler.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak çözme yöntemi, belirli bir sisteme dahil olan ve bir arada bulunan belirli denklemlerin her biri için bir grafiğin oluşturulmasıdır. koordinat uçağı ve ayrıca bu grafiklerin noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yer. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).

Şunu unutmamak gerekir ki grafik sistemi denklemler ya tek bir taneye sahip olma eğilimindedir doğru karar Ya sonsuz sayıda çözüm var ya da hiç çözüm yok.

Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Dolayısıyla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan doğrular kesişmesi durumunda benzersiz bir çözümü olabilir. Eğer bu çizgiler paralelse, o zaman böyle bir denklem sisteminin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.

Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:

Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:

Denklemleri çözme

1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.

Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.

2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.

Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.

3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.

Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.

Peki sonuç olarak ne elde ederiz?

Doğrunun daireyi kesmesi durumunda elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.

Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu çiftlerin her birine denir sistem çözümü.

Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)

Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)

Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).

Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:

1. İkame yöntemi.

\(\begin(case)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(case)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)

   İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)

   Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) yazalım.
   

   \(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.

   Öncelikle parantezleri açalım.
   

   \(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)

   \(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.

   \(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.

   \(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)

   Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Cevabını yazalım.

Talimatlar

Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rasgele seçilen (sistemden) denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı x=116, y=11'dir.

Grafik yöntemi.
Bir denklem sisteminde doğruların matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarını pratik olarak bulmayı içerir. Her iki doğrunun grafiği aynı koordinat sisteminde ayrı ayrı çizilmelidir. Genel görünüm: – y=khx+b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x – y=4

Y=-3x+1.
İlki kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur, kolaylık olması açısından yazılmalıdır: y=2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün ve y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde ediyoruz. (resmi görmek)
x 0 1

y -4 -2
İkinci denklem kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur: y=-3x+1.
Ayrıca düz bir çizgi oluşturun. (resmi görmek)

1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).

Kaynaklar:

• 8. sınıf cebir
• iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
• İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem denklemler her biri bir dizi değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.

İhtiyacın olacak

• -Cetvel ve kalem;
• -hesap makinesi.

Talimatlar

a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2 formuna sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını ele alalım. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest terimlerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarını temsil eder. Başlamak için her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemde yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, ortaya çıkan noktaları işaretleyin ve içinden bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Oluşturulan doğruların kesişmesi ve tek bir ortak noktaya sahip olması durumunda sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Birbirine paralel ise uyumsuzdur. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.

Bu methodçok görsel olarak kabul edilir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Cebirsel yöntemler denilen yöntemlerle daha doğru sonuçlar elde edilir.

Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için değişkenler yerine ortaya çıkan değerleri değiştirin. Çözümünü çeşitli yöntemler kullanarak da bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.

Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için bu sayılarla belirli bir dizi eylemi hatırlamanız ve gerçekleştirmeniz gerekir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - kalem veya kurşun kalem.

Talimatlar

Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Bir düşünün, her tavşanın bir tane alması için yine de daha fazla havuç almanız gerekiyor.

Bu problemi bir denklem şeklinde sunalım: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım, aslında 5 + 3 = 8.

X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5'i çıkardığınızda yaptığınız şeyin aynısını yapmış olursunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi telafi edelim. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Anlamı bulunması gereken harflere denir. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşan problemimizi çözerken şu denklemi elde ederiz: 5 + x = 20.

20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azaltılan sayıdır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani x = 20 – 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekiyor.

Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğru çözülmüştür. Tabii ne zaman Hakkında konuşuyoruz bu kadar basit olanlar için kontrol yapılmasına gerek yoktur. Ancak elinizde üç basamaklı, dört basamaklı vb. rakamlardan oluşan denklemler varsa, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Bilinmeyen eksiği bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

İpucu 4: Bir sistem nasıl çözülür? üç denklemüç bilinmeyenli

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmenize olanak tanır.

Talimatlar

Yerine koyma yöntemi, bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene kadar sırayla ardışık olarak elde edilen sonucun sistem denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Üç denklemden oluşan bir sistem verilsin Genel görünüm:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geriye" gidin: ikinci denklemde z'yi değiştirin ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi birinci denklemde yerine koyun ve x'i bulun. Süreç genel olarak z bulunmadan önceki şekilde gösterilmektedir. Genel biçimde daha fazla yazmak çok hantal olacaktır; pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.

Cramer'in yöntemi, bir sistem matrisi oluşturmak ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistem matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerinin katsayılarından oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren bir sütun, sağ taraflarındaki bir sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.

Konuyla ilgili video

Not

Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.

Yararlı tavsiye

Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın, büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda, serbest terimler matrisini, yani A*X=B elde edeceğinizi lütfen unutmayın.

Önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmeye başladığınızda bunların ne tür denklemler olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri oldukça iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm tekniklerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.

Bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet, paylar da yapılarında bazı modeller gösteriyor. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü öğrenmelisin genel sistem n denklemden denklemler.

n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde, аij sistemin katsayılarıdır,
xj – bilinmeyenler, bi – serbest terimler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistem katsayılarının matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayı matrisinin determinantına ∆ ana determinant ve ∆i yardımcı olarak adlandırılır. Her bilinmeyen için, yardımcı determinant, ana determinantın i'inci sütununun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.

Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyen içeren iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Lineer denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan birine yöntem, diğerine ise toplama yöntemi denir.

İki denklemli bir sistemin standart formu

Şu tarihte: standart biçim ilk denklem a1*x+b1*y=c1 biçimindedir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2 biçimindedir ve böyle devam eder. Örneğin sistemin iki parçası olması durumunda, her ikisi de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 belirli denklemlerle temsil edilen bazı sayısal katsayılardır. Buna karşılık x ve y, değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenleri temsil eder. Gerekli değerler her iki denklemi aynı anda gerçek eşitliklere dönüştürür.

Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözme

Sistemi çözmek, yani x ve y'nin onları gerçek eşitliklere dönüştürecek değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayılarının büyüklüğü aynı, ancak işareti farklı olacak şekilde denklemlerden birini dönüştürmektir.

Örneğin iki denklemden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 katsayısıyla çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru seçim katsayı, bir sistemi toplama yoluyla çözme sürecindeki temel görevlerden biridir, çünkü bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirler.

Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, katsayıları eşit değerde ancak işareti zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi -10x=-4 formunun oluşmasına yol açacaktır. Bundan sonra, x = 0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.

Son adımÇözüm sürecinde değişkenlerden birinin bulunan değerinin, sistemdeki mevcut başlangıç ​​eşitliklerinden herhangi biriyle değiştirilmesidir. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnek sistemin kökleridir.

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durumda 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde ederiz ki bu doğrudur.

Konuyla ilgili video