Mivel egyenlő a szinusz alfa? Alapvető trigonometrikus azonosságok

A trigonometria a matematikai tudomány egyik ága, amely tanulmányokat folytat trigonometrikus függvényekés felhasználásuk a geometriában. A trigonometria fejlődése az ókori Görögországban kezdődött. A középkor során a Közel-Kelet és India tudósai jelentősen hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk annak szentelt alapfogalmakés a trigonometria definíciói. Az alapvető trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányában fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és a hipotenusz aránya.

A szög koszinusza (cos α) - a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezeket a definíciókat a hegyesszög derékszögű háromszög!

Adjunk egy illusztrációt.

BAN BEN ABC háromszög C derékszög esetén az A szög szinusza egyenlő a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékeinek kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között. .

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Amikor döntenek gyakorlati példák ne mondd, hogy "az α forgásszög szinusza". A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bárki valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kiindulási pont megy, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szögnyi elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szögargumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus meghatározásai teljes mértékben összhangban vannak a derékszögű háromszög oldalarányai által adott geometriai definíciókkal. Mutassuk meg.

Vegyünk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy középpontos egységkört. Forgassuk el az A kezdőpontot (1, 0) legfeljebb 90 fokos szöggel, és rajzoljunk merőlegest az abszcissza tengelyére a kapott A 1 (x, y) pontból. A kapott derékszögű háromszög az A 1 O H szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az O H szár hossza egyenlő az A 1 (x, y) pont abszcisszán. A szöggel szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenuzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a képarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert rengeteg bonyolult képletet kell összezsúfolni, amelyek tele vannak szinuszokkal, koszinuszokkal, érintőkkel és kotangensekkel. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt legegyszerűbbet szilárdan ismerni trigonometrikus képletek, a többiről pedig megvan alapgondolatés hozd ki őket menet közben. Ez olyan, mint a DNS-nél: a molekula nem tárolja a kész élőlény teljes tervrajzát. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból történő összeállításhoz. Tehát a trigonometriában, ismerve néhányat Általános elvek, az összes szükséges képletet megkapjuk azok egy kis halmazából, amelyeket szem előtt kell tartani.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képletét hasonló módon kapjuk meg:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Egy diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz viszonyítja. Ennek levezetéséhez a fő trigonometrikus azonosságot vesszük: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1 és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki a következőképpen:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszögek szinusz és koszinusz képletét. Ehhez a dupla szög koszinusz képlet bal oldalán:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezése kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőt kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldaláról levonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül, hogy a trigonometrikus függvények összegét szorzattá konvertáljuk, a következő technikát használjuk. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Akkor
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . Ezért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy önállóan gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatainak összegre való felosztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.

Trigonometrikus azonosságok- ezek olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot hoznak létre egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát, és fordítva. .

A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi, hogy egy szög koszinusza és szinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítse, és elvégezze a helyettesítési műveletet fordított sorrendben.

Érintő és kotangens keresése szinusz és koszinusz segítségével

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézzük, akkor értelemszerűen az y ordináta szinusz, az x abszcissza pedig koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.

Tegyük hozzá, hogy csak olyan \alpha szögek esetén érvényesek az azonosságok, amelyeknél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek különböznek a \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.

Az érintő és a kotangens kapcsolata

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.

A fenti pontok alapján azt kapjuk, hogy tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Ebből következik, hogy tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen inverz számok.

Az érintő és a koszinusz, a kotangens és a szinusz összefüggései

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és az \alpha szög kotangensének négyzete egyenlő a szinusz inverz négyzetével adott szög. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, amely különbözik a \pi z-től.

Példák problémák megoldására trigonometrikus identitások használatával

1. példa

Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12És \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Megoldás megjelenítése

Megoldás

A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

A tan \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2. példa

Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 adott szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan kell adni Szög és szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásai a trigonometriában. Itt szó lesz a jelölésekről, példákat adunk a bejegyzésekre és grafikus illusztrációkat adunk. Végezetül vonjunk párhuzamot a trigonometria és geometria szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói között.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciója

Nézzük meg, hogyan alakul ki a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalma egy iskolai matematika tanfolyamon. A geometria órákon egy derékszögű háromszögben adott hegyesszög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciója. Később pedig a trigonometriát tanulmányozzák, amely a forgásszög és a szám szinuszáról, koszinuszáról, tangenséről és kotangenséről beszél. Mutassuk be mindezeket a definíciókat, mondjunk példákat és tegyük meg a szükséges megjegyzéseket.

Hegyesszög derékszögű háromszögben

A geometria tantárgyból ismerjük a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Ezek egy derékszögű háromszög oldalainak arányaként vannak megadva. Adjuk meg megfogalmazásukat.

Meghatározás.

Hegyesszög szinusza derékszögű háromszögben az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya.

Meghatározás.

Egy derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Meghatározás.

Hegyesszög érintője derékszögű háromszögben– ez az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Meghatározás.

Hegyesszög kotangense derékszögű háromszögben- ez a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens megnevezése szintén itt található - sin, cos, tg és ctg.

Például, ha ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű, akkor az A hegyesszög szinusza egyenlő a BC szemközti oldal és az AB hipotenusz arányával, azaz sin∠A=BC/AB.

Ezek a definíciók lehetővé teszik egy hegyesszög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek kiszámítását a derékszögű háromszög oldalainak ismert hosszából, valamint ismert értékek keresse meg a többi oldal hosszát szinusz, koszinusz, érintő, kotangens és az egyik oldal hosszának segítségével. Például, ha tudnánk, hogy egy derékszögű háromszögben az AC szár egyenlő 3-mal és az AB hipotenusz egyenlő 7-tel, akkor az A hegyesszög koszinuszának értékét definíció szerint kiszámíthatjuk: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Forgatási szög

A trigonometriában elkezdik tágabban nézni a szöget - bevezetik a forgásszög fogalmát. Az elforgatási szög nagysága a hegyesszöggel ellentétben nincs korlátozva 0 és 90 fok között, a fokban (és radiánban) megadott elforgatási szög bármely –∞ és +∞ közötti valós számmal kifejezhető.

Ebben a megvilágításban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói nem hegyesszöget, hanem tetszőleges méretű szöget - a forgásszöget - adnak meg. Az A 1 pont x és y koordinátáin keresztül vannak megadva, amelyhez az úgynevezett A(1, 0) kezdőpont az O pont körüli α szöggel történő elforgatása után megy – a derékszögű derékszögű koordinátarendszer kezdete. és az egységkör középpontja.

Meghatározás.

A forgási szög szinuszaα az A 1 pont ordinátája, azaz sinα=y.

Meghatározás.

A forgási szög koszinuszaα-t az A 1 pont abszcisszájának nevezzük, azaz cosα=x.

Meghatározás.

A forgási szög érintőjeα az A 1 pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya, azaz tanα=y/x.

Meghatározás.

Az elforgatási szög kotangenseα az A 1 pont abszcisszán az ordinátához viszonyított aránya, azaz ctgα=x/y.

A szinusz és a koszinusz bármely α szögre definiálható, mivel mindig meg tudjuk határozni a pont abszcisszáját és ordinátáját, amit a kezdőpont α szöggel történő elforgatásával kapunk. De az érintő és a kotangens nincs definiálva egyetlen szöghez sem. Az érintő nincs meghatározva olyan α szögeknél, amelyeknél a kezdőpont egy nulla abszcissza (0, 1) vagy (0, −1) pontba megy, és ez 90°+180° k, k∈Z (π) szögeknél fordul elő. /2+π·k rad). Valójában ilyen forgási szögeknél nincs értelme a tgα=y/x kifejezésnek, mivel nullával való osztást tartalmaz. Ami a kotangenst illeti, az α szögekre nincs definiálva, ahol a kezdőpont a nulla ordinátájú ponthoz (1, 0) vagy (−1, 0) megy, és ez a 180° k, k ∈Z szögeknél fordul elő. (π·k rad).

Tehát a szinusz és a koszinusz minden elforgatási szögre definiálva, az érintő minden szögre van definiálva, kivéve 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), és a kotangens minden szögre definiálva, kivéve 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

A definíciók között szerepelnek az általunk már ismert sin, cos, tg és ctg elnevezések, ezek a forgásszög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens jelölésére is szolgálnak (esetenként tangensnek és kotangensnek megfelelő tan és cot megjelölések is megtalálhatók) . Tehát egy 30 fokos elforgatási szög szinusza sin30°-nak írható fel, a tg(−24°17′) és ctgα bejegyzések megfelelnek a −24° 17 perc elforgatási szög tangensének és az α elforgatási szög kotangensének. . Emlékezzünk vissza, hogy egy szög radiánmértékének írásakor a „rad” megjelölés gyakran kimarad. Például egy három pi rad elforgatási szög koszinuszát általában cos3·π-nek jelöljük.

Ennek a pontnak a végén érdemes megjegyezni, hogy amikor a forgásszög szinuszáról, koszinuszáról, tangenséről és kotangenséről beszélünk, a „forgásszög” vagy a „forgás” szó gyakran kimarad. Vagyis az „alfa forgási szög szinusza” kifejezés helyett általában az „alfa szög szinusza” vagy még rövidebben a „szinusz alfa” kifejezést használják. Ugyanez vonatkozik a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre is.

Azt is elmondjuk, hogy a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciói összhangban vannak a 0 és 90 fok közötti forgásszög szinuszára, koszinuszára, érintőjére és kotangensére adott definíciókkal. Ezt meg fogjuk indokolni.

Számok

Meghatározás.

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy szám, amely megegyezik az elforgatási szög szinuszával, koszinuszával, tangensével és kotangensével t radiánban.

Például a 8·π szám koszinusza definíció szerint egy olyan szám, amely egyenlő a 8·π rad szög koszinuszával. És a 8·π rad szög koszinusza egyenlő eggyel, ezért a 8·π szám koszinusza egyenlő 1-gyel.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Abból áll, hogy minden t valós szám az egységkör egy pontjához van társítva, amelynek középpontja a téglalap alakú koordinátarendszer origójában van, és a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg. Nézzük ezt részletesebben.

Mutassuk meg, hogyan jön létre megfeleltetés a valós számok és a kör pontjai között:

• a 0 számhoz az A(1, 0) kezdőpontot rendeljük;
• pozitív szám t az egységkör pontjához kapcsolódik, amelyhez akkor jutunk el, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával ellentétes irányba haladunk, és egy t hosszúságú utat járunk be;
• negatív szám t az egységkör pontjához kötjük, amelyhez akkor jutunk el, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával megegyező irányban haladunk, és egy |t| .

Most áttérünk a t szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definícióira. Tegyük fel, hogy a t szám megfelel az A 1 (x, y) kör egy pontjának (például a &pi/2; szám az A 1 (0, 1) pontnak felel meg).

Meghatározás.

A szám szinusza t a t számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája, azaz sint=y.

Meghatározás.

A szám koszinusza t-t a t számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszájának nevezzük, azaz költség=x.

Meghatározás.

A szám érintője t a t számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának az abszcisszánhoz viszonyított aránya, azaz tgt=y/x. Egy másik ekvivalens megfogalmazásban a t szám tangense e szám szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, azaz tgt=sint/cost.

Meghatározás.

A szám kotangense t az abszcissza és a t számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájához viszonyított aránya, azaz ctgt=x/y. Egy másik megfogalmazás a következő: a t szám tangense a t szám koszinuszának a t szám szinuszához viszonyított aránya: ctgt=cost/sint.

Itt megjegyezzük, hogy az imént megadott definíciók összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással. Valóban, az egységkör t számnak megfelelő pontja egybeesik azzal a ponttal, amelyet a kezdőpont t radiános szöggel történő elforgatásával kapunk.

Ezt a pontot még érdemes tisztázni. Tegyük fel, hogy megvan a sin3 bejegyzés. Hogyan érthetjük meg, hogy a 3-as szám szinuszáról vagy 3 radián elfordulási szögének szinuszáról beszélünk? Ez általában egyértelmű a szövegkörnyezetből, különben valószínűleg nem alapvető fontosságú.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az előző bekezdésben megadott definíciók szerint minden α elfordulási szög egy nagyon specifikus sinα értéknek felel meg, valamint a cosα értéknek. Ezen túlmenően a 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) elforgatási szögek tgα értékeknek, és a 180°k-tól eltérő értékeknek, k∈Z (πk rad ) – értékeknek felelnek meg. of ctgα . Ezért sinα, cosα, tanα és ctgα az α szög függvényei. Más szóval, ezek a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk egy numerikus argumentum szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényeiről. Valójában minden t valós szám egy nagyon konkrét sint értéknek és költségnek felel meg. Ezenkívül a π/2+π·k, k∈Z kivételével minden szám a tgt értéknek, a π·k, k∈Z számoknak pedig a ctgt értéknek felel meg.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvényeket nevezzük alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy szögargumentum trigonometrikus függvényeivel vagy numerikus argumentumokkal van dolgunk. Egyébként a független változót a szög mértékének (szögargumentum) és numerikus argumentumnak is tekinthetjük.

Az iskolában azonban elsősorban numerikus függvényeket tanulunk, vagyis olyan függvényeket, amelyek argumentumai, valamint a hozzájuk tartozó függvényértékek számok. Ezért ha arról beszélünk kifejezetten a függvényekkel kapcsolatban a trigonometrikus függvényeket célszerű numerikus argumentumok függvényeinek tekinteni.

A geometriából és a trigonometriából származó definíciók kapcsolata

Ha figyelembe vesszük az α elforgatási szöget 0 és 90 fok között, akkor a forgásszög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének definíciói a trigonometria kontextusában teljes mértékben összhangban vannak a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens definícióival. hegyesszög egy derékszögű háromszögben, amelyeket a geometria tanfolyamon adunk meg. Indokoljuk meg ezt.

Ábrázoljuk az egységkört az Oxy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Jelöljük ki a kezdőpontot A(1, 0) . Forgassuk el 0 és 90 fok közötti α szöggel, az A 1 (x, y) pontot kapjuk. Dobjuk az A 1 H merőlegest az A 1 pontból az Ox tengelyre.

Könnyen belátható, hogy egy derékszögű háromszögben az A 1 OH szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az e szöggel szomszédos OH szár hossza megegyezik az A 1 pont abszcisszajával, azaz |OH |=x, a szöggel ellentétes A 1 H szár hossza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz |A 1 H|=y, az OA 1 befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara. Ekkor a geometriai definíció szerint egy α hegyesszög szinusza egy A 1 OH derékszögű háromszögben egyenlő a szemközti szár és a hipotenusz arányával, azaz sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. És a trigonometria definíciója szerint az α elforgatási szög szinusza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz sinα=y. Ez azt mutatja, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ha α 0 és 90 fok között van.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy az α hegyesszög koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciói összhangban vannak az α elforgatási szög koszinuszának, tangensének és kotangensének definícióival.

Bibliográfia.

1. Geometria. 7-9 évfolyam: tankönyv általános műveltségre intézmények / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev stb.]. - 20. kiadás M.: Oktatás, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. V. Pogorelov. - 2. kiadás - M.: Oktatás, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra és elemi függvények : Tankönyv 9. osztályos tanulóknak Gimnázium/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Szerkesztette: a fizikai és matematikai tudományok doktora O. N. Golovin – 4. kiadás. M.: Oktatás, 1969.
4. Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky. - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 old.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-es fokozat. 14:00 1. rész: oktatóanyag a számára oktatási intézmények(profilszint)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. kiadás, add. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebraés a matematikai elemzés kezdete. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; szerkesztette A. B. Zsizscsenko. - 3. kiadás - I.: Oktatás, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk rá. Alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségeket képviselnek, amelyek kapcsolatot létesítenek az egyik szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik ezen trigonometrikus függvények bármelyikének megtalálását egy ismert másik szögön keresztül.

Azonnal soroljuk fel a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Írjuk le őket egy táblázatba, és az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a kimenetét és a szükséges magyarázatokat.

Oldalnavigáció.

Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat

Néha nem a fenti táblázatban felsorolt ​​főbb trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlenegyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves . Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket a fő trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk a, illetve az egyenlőségekkel. És a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Azaz az egyenlőség különösen érdekes, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta.

A fő trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be.

Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják, amikor trigonometrikus kifejezések konvertálása. Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem ritkábban az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben használjuk: az egységet bármely szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegével helyettesítjük.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

Az érintőt és a kotangenst egy látószög szinuszával és koszinuszával összekötő azonosságok és azonnal következik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz , a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz .

A személyazonosságok ilyen egyértelműségének köszönhetően és Az érintőt és a kotangenst gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül határozzák meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.

E bekezdés zárásaként meg kell jegyezni, hogy a személyazonosságok és minden olyan szögre érvényesül, amelynél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet bármely -re érvényes, kivéve (különben a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - mindenre , különbözik attól , ahol z tetszőleges .

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. . Nyilvánvaló, hogy ez minden más szögre érvényes, mint , különben sem az érintő, sem a kotangens nincs meghatározva.

A képlet bizonyítéka Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan . A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel , Azt .

Tehát ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, .