A trigonometria fő képletei. Trigonometrikus egyenletek - képletek, megoldások, példák

A cikk részletesen ismerteti az alapvető trigonometrikus azonosságokat, amelyek egy adott szög sin, cos, t g, c t g közötti kapcsolatát állapítják meg. Ha egy függvény ismert, azon keresztül egy másik is megtalálható.

Trigonometrikus azonosságok megfontolásra ebben a cikkben. Az alábbiakban ezek származtatására mutatunk példát magyarázattal.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α g, 1 + α c α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Beszéljünk egy fontos trigonometrikus azonosságról, amelyet a trigonometria alapjának tekintenek.

sin 2 α + cos 2 α = 1

A megadott t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α egyenlőségeket a főből úgy vezetjük le, hogy mindkét részt elosztjuk sin 2 α-val és cos 2 α-val. Ez után megkapjuk a t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α és a t g α · c t g α = 1 -et - ez a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióinak következménye.

A sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőség a fő trigonometrikus azonosság. Ennek bizonyításához az egységkör témájához kell fordulni.

Adjuk meg az A pont koordinátáit (1, 0), amely α szöggel történő elforgatás után A 1 ponttá válik. A sin és cos definíciója szerint az A 1 pont koordinátákat kap (cos α, sin α). Mivel A 1 az egységkörön belül található, ez azt jelenti, hogy a koordinátáknak ki kell elégíteniük ennek a körnek az x 2 + y 2 = 1 feltételét. A cos 2 α + sin 2 α = 1 kifejezésnek érvényesnek kell lennie. Ehhez minden α elforgatási szögre be kell bizonyítani a fő trigonometrikus azonosságot.

A trigonometriában a sin 2 α + cos 2 α = 1 kifejezést Pitagorasz-tételként használják a trigonometriában. Ehhez vegye figyelembe a részletes bizonyítékot.

Egy egységkör segítségével α szöggel elforgatjuk az A pontot (1, 0) koordinátákkal az O középpont körül. Az elforgatás után a pont megváltoztatja a koordinátákat, és egyenlővé válik A 1 (x, y) értékkel. Leengedjük az A 1 H merőleges egyenest O x-re az A 1 pontból.

Az ábrán jól látható, hogy a formáció derékszögű háromszög O A 1 N. Az O A 1 N és az O N lábak modulusa egyenlő, a bejegyzés a következő formában lesz: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Az O A 1 hipotenusz értéke megegyezik az egységkör sugarával, | O A 1 | = 1. Ezzel a kifejezéssel felírhatjuk az egyenlőséget a Pitagorasz-tétel segítségével: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Írjuk ezt az egyenlőséget | y | 2 + | x | 2 = 1 2, ami azt jelenti, hogy y 2 + x 2 = 1.

A sin α = y és cos α = x definícióját felhasználva a pontok koordinátái helyett a szögadatokat helyettesítjük, és továbblépünk a sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőtlenségre.

Ezen a trigonometrikus azonosságon keresztül lehetséges az alapvető kapcsolat egy szög sin és cos között. Így ki tudjuk számolni egy ismert cos-szal rendelkező szög sinét és fordítva. Ehhez fel kell oldani a sin 2 α + cos 2 = 1-et a sin és cos vonatkozásában, majd megkapjuk a sin α = ± 1 - cos 2 α és cos α = ± 1 - sin 2 α alakú kifejezéseket. , ill. Az α szög nagysága határozza meg a kifejezés gyöke előtti előjelet. A részletes magyarázathoz el kell olvasnia a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus képletekkel történő kiszámításáról szóló részt.

Leggyakrabban az alapképletet a trigonometrikus kifejezések átalakítására vagy egyszerűsítésére használják. A szinusz és a koszinusz négyzetösszegét 1-gyel helyettesíthetjük. Az identitáshelyettesítés lehet közvetlen vagy fordított sorrendben: egység helyébe a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege kerül.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

A koszinusz és a szinusz, az érintő és a kotangens definíciójából világos, hogy ezek egymással összefüggenek, ami lehetővé teszi a szükséges mennyiségek külön-külön történő átszámítását.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

A definícióból a szinusz az y ordinátája, a koszinusz pedig az x abszcisszán. Az érintő az ordináta és az abszcissza kapcsolata. Így rendelkezünk:

t g α = y x = sin α cos α , és a kotangens kifejezés ellenkező jelentésű, azaz

c t g α = x y = cos α sin α .

Ebből következik, hogy a kapott t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α azonosságokat sin és cos szögek segítségével határozzuk meg. Az érintőnek a szinusz és a köztük lévő szög koszinuszának arányát tekintjük, a kotangensnek pedig az ellenkezője.

Vegye figyelembe, hogy t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α igaz az α szög bármely értékére, amelynek értékei benne vannak a tartományban. A t g α = sin α cos α képletből az α szög értéke különbözik π 2 + π · z-től, és c t g α = cos α sin α a π · z-től eltérő α szög értékét veszi fel, z a bármely egész szám értéke.

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Van egy képlet, amely megmutatja a szögek közötti kapcsolatot az érintőn és a kotangensen keresztül. Ez a trigonometrikus azonosság fontos a trigonometriában, és a jelölése t g α · c t g α = 1. Értelmes α-nak bármilyen π 2 · z értéktől eltérő értéke, különben a függvények nem lesznek definiálva.

A t g α · c t g α = 1 képletnek megvannak a maga sajátosságai a bizonyításban. A definícióból azt kapjuk, hogy t g α = y x és c t g α = x y, így t g α · c t g α = y x · x y = 1. A kifejezést átalakítva és a t g α = sin α cos α és a c t g α = cos α sin α behelyettesítésével t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 értéket kapjuk.

Ekkor az érintő és a kotangens kifejezése azt jelenti, hogy mikor kapunk végül kölcsönösen inverz számokat.

Érintő és koszinusz, kotangens és szinusz

A fő azonosságok átalakítása után arra a következtetésre jutunk, hogy az érintő a koszinuszon, a kotangens pedig a szinuszon keresztül kapcsolódik egymáshoz. Ez látható a t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α képletekből.

A definíció a következő: egy szög érintőjének négyzetének és 1 összege törtnek felel meg, ahol a számlálóban 1, a nevezőben pedig egy adott szög koszinuszának négyzete, és az összeg a szög kotangensének négyzetének az ellenkezője. A sin 2 α + cos 2 α = 1 trigonometrikus azonosságnak köszönhetően a megfelelő oldalakat eloszthatjuk cos 2 α-val, és t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α kapjuk, ahol a cos 2 α értéke nem lehet egyenlő nulla. A sin 2 α-val való osztásakor az 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α azonosságot kapjuk, ahol a sin 2 α értéke nem lehet egyenlő nullával.

A fenti kifejezésekből azt találtuk, hogy a t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α azonosság igaz az α szög minden olyan értékére, amely nem tartozik π 2 + π · z-hez, és 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α a π · z intervallumhoz nem tartozó α értékeire.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ez az utolsó és a legtöbb fő lecke, a problémák megoldásához szükséges B11. Már tudjuk, hogyan lehet a szögeket radiánmértékről fokmértékre konvertálni (lásd a „Szög radián és fokmértéke”) leckét, és azt is tudjuk, hogyan határozzuk meg a trigonometrikus függvény előjelét, a koordinátanegyedekre összpontosítva ( lásd a „Trigonometrikus függvények jelei” című leckét).

Már csak magának a függvénynek az értékét kell kiszámolnia - pontosan azt a számot, amely a válaszban szerepel. Itt jön a segítség az alapvető trigonometrikus azonosság.

Alapvető trigonometrikus azonosság. Bármely α szögre igaz a következő állítás:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ez a képlet egy szög szinuszát és koszinuszát viszonyítja. Most már a szinusz ismeretében könnyen megtalálhatjuk a koszinust – és fordítva. Elég a négyzetgyököt venni:

Vegye figyelembe a "±" jelet a gyökerek előtt. A helyzet az, hogy az alapvető trigonometrikus azonosságból nem derül ki, hogy mi volt az eredeti szinusz és koszinusz: pozitív vagy negatív. Hiszen a négyzetesítés egy páros függvény, amely minden mínuszt (ha volt) „eléget”.

Éppen ezért minden B11 feladatban, amely a matematika egységes államvizsgájában található, szükségszerűen vannak további feltételek, amelyek segítenek megszabadulni a bizonytalanságtól az előjelekkel. Általában ez a koordinátanegyed jelzése, amely alapján az előjel meghatározható.

Egy figyelmes olvasó valószínűleg megkérdezi: „Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel?” Ezeket a függvényeket nem lehet közvetlenül kiszámítani a fenti képletekből. Az alapvető trigonometrikus azonosságnak azonban vannak fontos következményei, amelyek már érintőket és kotangenseket is tartalmaznak. Ugyanis:

Egy fontos következmény: bármely α szög esetén az alapvető trigonometrikus azonosság a következőképpen írható át:

Ezek az egyenletek könnyen származtathatók a fő azonosságból - elegendő mindkét oldalt cos 2 α-val (az érintő meghatározásához) vagy sin 2 α-val (a kotangenshez) osztani.

Nézzük meg mindezt konkrét példák. Az alábbiakban bemutatjuk a valódi B11-problémákat, amelyek a álproblémákból származnak Egységes államvizsga lehetőségek matematikából 2012.

Ismerjük a koszinuszát, de a szinuszát nem. A fő trigonometrikus identitás (a maga „tiszta” formájában) éppen ezeket a függvényeket kapcsolja össze, így ezzel fogunk dolgozni. Nekünk van:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

A probléma megoldásához meg kell találni a szinusz jelét. Mivel az α ∈ szög (π /2; π ), akkor be fokmérő ezt a következőképpen írjuk: α ∈ (90°; 180°).

Ezért az α szög a II koordinátanegyed- minden szinusz pozitív. Ezért sin α = 0,1.

Tehát ismerjük a szinuszát, de meg kell találnunk a koszinuszát. Mindkét függvény az alapvető trigonometrikus azonosságban található. Cseréljük:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Marad a tört előtti jel kezelése. Mit válasszunk: plusz vagy mínusz? Feltétel szerint az α szög a (π 3π /2) intervallumhoz tartozik. Váltsuk át a szögeket radiánmértékekből fokokra - kapjuk: α ∈ (180°; 270°).

Nyilvánvalóan ez a III. koordinátanegyed, ahol minden koszinusz negatív. Ezért cos α = −0,5.

Feladat. Keresse meg a tan α értéket, ha a következők ismertek:

Az érintő és a koszinusz az alapvető trigonometrikus azonosságból következő egyenlettel van kapcsolatban:

Kapjuk: tan α = ±3. Az érintő előjelét az α szög határozza meg. Ismeretes, hogy α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a radiánmértékekből a szögeket fokokra - α ∈ (270°; 360°) lesz.

Nyilvánvalóan ez a IV koordinátanegyed, ahol minden érintő negatív. Ezért tan α = −3.

Feladat. Keresse meg a cos α értéket, ha a következők ismertek:

A szinusz ismét ismert, a koszinusz pedig ismeretlen. Írjuk fel a fő trigonometrikus azonosságot:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Az előjelet a szög határozza meg. Van: α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket fokról radiánra: α ∈ (270°; 360°) a IV koordinátanegyed, az ottani koszinuszok pozitívak. Ezért cos α = 0,6.

Feladat. Keresse meg a sin α-t, ha a következők ismertek:

Írjunk fel egy olyan képletet, amely az alapvető trigonometrikus azonosságból következik, és közvetlenül összekapcsolja a szinust és a kotangenst:

Innen azt kapjuk, hogy sin 2 α = 1/25, azaz. sin α = ±1/5 = ±0,2. Ismeretes, hogy az α ∈ szög (0; π /2). Fokmértékben ezt a következőképpen írjuk: α ∈ (0°; 90°) - I koordinátanegyed.

Tehát a szög az I koordináta kvadránsban van - ott minden trigonometrikus függvény pozitív, tehát sin α = 0,2.

A cikk legelején megvizsgáltuk a koncepciót trigonometrikus függvények. Fő céljuk a trigonometria alapjainak tanulmányozása és a periodikus folyamatok tanulmányozása. És nem hiába rajzoltuk meg a trigonometrikus kört, mert a legtöbb esetben a trigonometrikus függvényeket úgy definiáljuk, mint egy háromszög oldalainak vagy egyes szakaszainak arányát egy egységkörben. Említettem a trigonometria tagadhatatlanul óriási jelentőségét is modern élet. De a tudomány nem áll meg, ennek eredményeként jelentősen kibővíthetjük a trigonometria hatókörét, és átvihetjük rendelkezéseit valós és néha összetett számokra.

Trigonometriai képletek Több típusa van. Nézzük őket sorban.

1. Azonos szögű trigonometrikus függvények arányai

Itt elérkeztünk egy olyan koncepcióhoz, mint alapvető trigonometrikus azonosságok.

A trigonometrikus azonosság olyan egyenlőség, amely trigonometrikus összefüggésekből áll, és amely a benne szereplő szögek minden értékére teljesül.

Nézzük a legfontosabb trigonometrikus azonosságokat és azok bizonyításait:

Az első azonosság az érintő definíciójából következik.

Vegyünk egy derékszögű háromszöget éles sarok x az A csúcsban.



Az azonosságok bizonyításához a Pitagorasz-tételt kell használni:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Most elosztjuk az egyenlőség mindkét oldalát (AB) 2-vel, és felidézzük a sin és a cos szög definícióit, megkapjuk a második azonosságot:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

A harmadik és negyedik azonosság bizonyítására az előző bizonyítást használjuk.

Ehhez osszuk el a második azonosság mindkét oldalát cos 2 x-el:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Az első tg x = sin x /cos x azonosság alapján megkapjuk a harmadikat:

1 + tan 2 x = 1/cos 2 x

Most osszuk el a második azonosságot sin 2x-el:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nem több, mint 1/tg 2 x, így megkapjuk a negyedik azonosságot:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Ideje emlékezni az összegtételre belső sarkok háromszög, amely kimondja, hogy egy háromszög szögeinek összege = 180 0. Kiderül, hogy a háromszög B csúcsában van egy szög, amelynek értéke 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Idézzük fel ismét a bűn és cos definícióit, és kapjuk meg az ötödik és hatodik azonosságot:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Most tegyük a következőket:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Mint látható, itt minden elemi.

Vannak más identitások is, amelyeket a matematikai identitások megoldására használnak, ezeket egyszerűen formában adom meg referencia információk, mert mindegyik a fentiekből fakad.



2. Trigonometrikus függvények kifejezése egymáson keresztül

   (a gyökér előtti jel kiválasztását az határozza meg, hogy a kör melyik negyedében található a sarok?)







3. A következő képletek a szögek összeadására és kivonására:



4. Képletek kettős, hármas és félszögekhez.

   Megjegyzem, hogy mindegyik az előző képletekből származik.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x = cos 2 x -sin 2 x = 1-2sin 2 x = 2 cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3x) /(1 - 3tg 2x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) / (3 tg 2 x - 1)









5. Képletek trigonometrikus kifejezések konvertálásához:

Megadjuk az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti kapcsolatokat. trigonometrikus képletek. És mivel elég sok kapcsolat van a trigonometrikus függvények között, ez magyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek azonos szögű trigonometrikus függvényeket kapcsolnak össze, mások - többszögű függvényeket, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, negyedik - az összes függvényt a félszög érintőjén keresztül fejezik ki, stb.

Ebben a cikkben felsoroljuk az összes főbbet trigonometrikus képletek, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldására. A könnyebb memorizálás és használat érdekében cél szerint csoportosítjuk és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Alapvető trigonometrikus azonosságok Határozza meg a kapcsolatot egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másik függvényben.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat a cikkben talál.

Redukciós képletek

Redukciós képletek a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az eltolódás tulajdonságát. adott szög. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel való munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.

Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei a teljes szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Fokozatcsökkentési képletek

Trigonometrikus képletek a fokok csökkentésére célja, hogy megkönnyítse az átmenetet természetes fokok trigonometrikus függvények szinuszokhoz és koszinuszokhoz az első fokig, de több szögből. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatához kell menni, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják a trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének figyelembevételét.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.

A szerzői jog okosdiákok tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Nem része a www.webhelynek, beleértve belső anyagokÉs külső kialakítás, semmilyen formában nem reprodukálható és nem használható fel a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.