A függvény legkisebb és legnagyobb értékének keresése egy szegmensen egy lenyűgöző repülésre emlékeztet egy objektum körül (függvénygrafikon) egy helikopterben, bizonyos pontokra lövöldözve egy nagy hatótávolságú ágyúból, és nagyon különleges pontokat választanak ki. ezekből a pontokból a kontrolllövésekhez. A pontokat meghatározott módon és szabályok szerint választják ki. milyen szabályok szerint? Erről még fogunk beszélni.

Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ a, b] , akkor eléri ezt a szegmenst legkevésbé És legmagasabb értékeket . Ez akár bent is megtörténhet szélsőséges pontok, vagy a szegmens végén. Ezért megtalálni legkevésbé És a függvény legnagyobb értékei , folyamatos a [ a, b] értékét összességében ki kell számítania kritikus pontokés a szegmens végein, majd ezek közül válassza ki a legkisebbet és a legnagyobbat.

Legyen például meg kell határoznia legmagasabb érték funkciókat f(x) a szegmensen [ a, b] . Ehhez meg kell találnia minden kritikus pontját a [ a, b] .

Kritikus pont nevezték azt a pontot, ahol függvény meghatározott, és ő derivált vagy egyenlő nullával, vagy nem létezik. Ezután ki kell számítania a függvény értékeit a kritikus pontokon. És végül össze kell hasonlítani a függvény értékeit a kritikus pontokban és a szegmens végén ( f(a) És f(b)). E számok közül a legnagyobb lesz a függvény legnagyobb értéke a szegmensen [a, b] .

A megtalálás problémái legkisebb függvényértékek .

Együtt keressük a függvény legkisebb és legnagyobb értékét

1. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen [-1, 2] .

Megoldás. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját. Tegyük egyenlővé a derivált nullával () és kapjunk két kritikus pontot: és . Egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megtalálásához egy adott szegmensen elegendő az értékeit a szegmens végén és a ponton kiszámítani, mivel a pont nem tartozik a szegmenshez [-1, 2]. Ezek a függvényértékek a következők: , , . Ebből következik, hogy legkisebb függvényérték(az alábbi grafikonon pirossal jelölve), -7 értékkel egyenlő, a szegmens jobb végén - a pontban érhető el, és legnagyobb(a grafikonon is piros), egyenlő 9, - a kritikus ponton.

Ha egy függvény folytonos egy bizonyos intervallumban, és ez az intervallum nem szegmens (hanem pl. intervallum; intervallum és szakasz különbsége: az intervallum határpontjai nem szerepelnek az intervallumban, hanem a a szegmens határpontjai szerepelnek a szegmensben), akkor a függvény értékei között előfordulhat, hogy nem lehet a legkisebb és a legnagyobb. Így például az alábbi ábrán látható függvény ]-∞, +∞[ pontokon folytonos, és nem a legnagyobb értéke.

Azonban bármely intervallumra (zárt, nyitott vagy végtelen) igaz a folytonos függvények következő tulajdonsága.

4. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen [-1, 3] .

Megoldás. Ennek a függvénynek a deriváltját a hányados származékaként találjuk:

.

A deriváltot nullával egyenlővé tesszük, ami egy kritikus pontot ad: . A [-1, 3] szegmenshez tartozik. Egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megkereséséhez az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk:

Hasonlítsuk össze ezeket az értékeket. Következtetés: egyenlő -5/13, az és pontban legmagasabb érték pontban egyenlő 1-gyel.

Továbbra is közösen keressük a függvény legkisebb és legnagyobb értékét

Vannak tanárok, akik egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megtalálása témájában nem adnak a tanulóknak olyan megoldási példákat, amelyek bonyolultabbak az imént tárgyaltaknál, vagyis olyanokat, amelyekben a függvény polinom vagy egy tört, melynek számlálója és nevezője polinomok. De nem korlátozzuk magunkat az ilyen példákra, hiszen a tanárok között vannak olyanok, akik szeretik a tanulókat teljes gondolkodásra kényszeríteni (a származékok táblázata). Ezért a logaritmus és a trigonometrikus függvény kerül felhasználásra.

6. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen .

Megoldás. Ennek a függvénynek a deriváltját így találjuk a termék származéka :

A deriváltot nullával egyenlővé tesszük, ami egy kritikus pontot ad: . A szegmenshez tartozik. Egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megkereséséhez az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk:

Az összes művelet eredménye: a függvény eléri a minimális értékét, egyenlő 0, a pontban és a pontban és legmagasabb érték, egyenlő e², azon a ponton.

7. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen .

Megoldás. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját:

A deriváltot nullával egyenlővé tesszük:

Az egyetlen kritikus pont a szegmenshez tartozik. Egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megkereséséhez az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk:

Következtetés: a függvény eléri a minimális értékét, egyenlő , pontban és legmagasabb érték, egyenlő , a ponton .

Alkalmazott extrém problémákban egy függvény legkisebb (maximális) értékének megtalálása általában a minimum (maximum) megtalálásáig vezet. De nem maguk a minimumok vagy maximumok a nagyobb gyakorlati érdekek, hanem az érvelés azon értékei, amelyek mellett ezeket elérik. Az alkalmazott problémák megoldása során további nehézség adódik - a vizsgált jelenséget vagy folyamatot leíró függvények összeállítása.

8. példa. A 4 űrtartalmú, négyzet alakú, felül nyitott, paralelepipedon alakú tartályt ónozni kell. Milyen méretű legyen a tartály, hogy a legkevesebb anyag kerüljön a fedésére?

Megoldás. Hadd x- alapoldal, h- tartály magassága, S- burkolat nélküli felülete, V- a térfogata. A tartály felületét a képlet fejezi ki, pl. két változó függvénye. Kifejezni S egy változó függvényében azt a tényt használjuk, hogy , honnan . A talált kifejezés behelyettesítése h a képletbe S:

Vizsgáljuk meg ezt a függvényt a szélsőségéig. ]0, +∞[ és mindenhol definiálható és differenciálható

.

A deriváltot nullával () egyenlővé tesszük, és megkeressük a kritikus pontot. Ezenkívül, ha a derivált nem létezik, de ez az érték nem szerepel a definíciós tartományban, és ezért nem lehet szélsőpont. Tehát ez az egyetlen kritikus pont. Ellenőrizzük, hogy van-e extrémum a második elégséges jel segítségével. Keressük a második származékot. Ha a második derivált nagyobb, mint nulla (). Ez azt jelenti, hogy amikor a függvény eléri a minimumot . Ettől kezdve minimum ennek a függvénynek az egyetlen szélső értéke, ez a legkisebb értéke. Tehát a tartály aljának oldala 2 m legyen, magassága pedig legyen.

9. példa. Pontból A vasútvonalon található, a pontig VAL VEL, amely tőle távolabb található l, rakományt kell szállítani. Egy súlyegység egységnyi távolságra jutó szállítási költsége vasúton egyenlő, autópályán pedig egyenlő. Milyen pontig M vonalak vasúti autópályát kellene építeni a rakomány szállítására A V VAL VEL volt a leggazdaságosabb (szakasz AB a vasút egyenesnek tekinthető)?

Hagyja a függvényt y =f(X) folyamatos a [ a, b]. Mint ismeretes, egy ilyen függvény ezen a szegmensen éri el maximális és minimális értékét. A függvény ezeket az értékeket a szegmens belső pontjában is felveheti [ a, b], vagy a szakasz határán.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása a szegmensen [ a, b] szükséges:

1) keresse meg a függvény kritikus pontjait a ( a, b);

2) kiszámítja a függvény értékeit a talált kritikus pontokon;

3) számítsa ki a függvény értékeit a szegmens végén, azaz mikor x=Aés x = b;

4) a függvény összes számított értékéből válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Példa. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

a szegmensen.

Kritikus pontok keresése:

Ezek a pontok a szakaszon belül helyezkednek el; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

azon a ponton x= 3 és a ponton x= 0.

Konvexitási és inflexiós pont függvényének vizsgálata.

Funkció y = f (x) hívott domború közte (a, b) , ha a gráfja az intervallum bármely pontján megrajzolt érintő alatt helyezkedik el, és ezt hívjuk lefelé domború (konkáv), ha a grafikonja az érintő felett helyezkedik el.

Azt a pontot nevezzük, amelyen keresztül a konvexitást homorúság váltja fel, vagy fordítva inflexiós pont.

Algoritmus a konvexitás és az inflexiós pont vizsgálatára:

1. Keresse meg a második típusú kritikus pontokat, vagyis azokat a pontokat, ahol a második derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik.

2. Rajzolja fel a kritikus pontokat a számegyenesen, intervallumokra bontva! Keresse meg minden intervallumon a második derivált előjelét; ha, akkor a függvény felfelé konvex, ha, akkor lefelé konvex.

3. Ha egy második típusú kritikus ponton áthaladva az előjel megváltozik és ezen a ponton a második derivált nulla, akkor ez a pont az inflexiós pont abszcisszája. Keresse meg az ordinátáját.

Egy függvény gráfjának aszimptotái. Függvény vizsgálata aszimptotákra.

Meghatározás. Egy függvény gráfjának aszimptotáját ún egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy a gráf bármely pontja és az egyenes közötti távolság nullára hajlik, amikor a gráf pontja korlátlanul elmozdul az origótól.

Háromféle aszimptota létezik: függőleges, vízszintes és ferde.

Meghatározás. Az egyenest ún függőleges aszimptota funkciógrafika y = f(x), ha a függvénynek legalább az egyik oldalhatára egyenlő a végtelennel,

ahol a függvény megszakítási pontja, azaz nem tartozik a definíció tartományába.

Példa.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – töréspont.

Meghatározás. Egyenes y =A hívott vízszintes aszimptota funkciógrafika y = f(x) at , ha

Példa.

Meghatározás. Egyenes y =kx +b (k≠ 0) hívják ferde aszimptota funkciógrafika y = f(x) hol

Függvénytanulmányozás és gráfok felépítésének általános sémája.

Funkciókutatási algoritmusy = f(x) :

1. Keresse meg a függvény tartományát D (y).

2. Keresse meg (ha lehetséges) a gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjait (ha x= 0 és at y = 0).

3. Vizsgálja meg a függvény egyenletességét és páratlanságát ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritás; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ páratlan).

4. Keresse meg a függvény grafikonjának aszimptotáit!

5. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumait!

6. Keresse meg a függvény szélsőértékét!

7. Határozza meg a függvénygráf konvexitási (konkávsági) és inflexiós pontjait!

8. Az elvégzett kutatások alapján készítse el a függvény grafikonját!

Példa. Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját.

1) D (y) =

x= 4 – töréspont.

2) Mikor x = 0,

(0; ‒ 5) – metszéspont vele ó.

Nál nél y = 0,

3) y(‒ x)= funkció Általános nézet(sem páros, sem páratlan).

4) Megvizsgáljuk az aszimptotákat.

a) függőleges

b) vízszintes

c) keresse meg a ferde aszimptotákat, ahol

‒ferde aszimptota egyenlet

5) Ebben az egyenletben nem szükséges a függvény monotonitási intervallumait megtalálni.

6)

Ezek a kritikus pontok a függvény teljes definíciós tartományát (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) és (10; +∞) intervallumra osztják. A kapott eredményeket célszerű az alábbi táblázat formájában bemutatni.

Adott egy függvény, amely meghatározott és folytonos egy bizonyos intervallumon. Ezen az intervallumon meg kell találnia a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét.

Elméleti alap.
Tétel (második Weierstrass-tétel):

Ha egy függvény egy zárt intervallumban definiált és folytonos, akkor ebben az intervallumban éri el maximális és minimális értékét.

A függvény a legnagyobb és legkisebb értékeit akár az intervallum belső pontjain, akár annak határain érheti el. Mutatjuk az összes lehetséges lehetőséget.

Magyarázat:
1) A függvény a legnagyobb értékét az intervallum bal határán a pontban éri el, a legkisebb értékét pedig az intervallum jobb szélén a pontban.
2) A függvény a legnagyobb értékét a pontban éri el (ez a maximum pont), a legkisebb értékét pedig az intervallum jobb határán a pontban.
3) A függvény a maximális értékét az intervallum bal határán pontban éri el, a minimális értékét pedig a pontban (ez a minimumpont).
4) A függvény az intervallumon állandó, azaz. az intervallum bármely pontján eléri minimális és maximális értékét, és a minimális és maximális értékek megegyeznek egymással.
5) A függvény a pontban éri el legnagyobb értékét, pontban a legkisebb értékét (annak ellenére, hogy a függvénynek ezen az intervallumon van maximuma és minimuma is).
6) A függvény a legnagyobb értékét egy pontban éri el (ez a maximum pont), a legkisebb értékét pedig egy pontban (ez a minimumpont).
Megjegyzés:

A „maximális” és a „maximális érték” különböző dolgok. Ez a maximum definíciójából és a „maximális érték” kifejezés intuitív megértéséből következik.

Algoritmus a 2. feladat megoldásához.



4) Válassza ki a kapott értékek közül a legnagyobbat (legkisebbet), és írja le a választ.

4. példa:

Határozza meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét! a szegmensen.
Megoldás:
1) Keresse meg a függvény deriváltját!

2) Az egyenlet megoldásával keresse meg a stacionárius (és szélsőértékre gyanított) pontokat! Ügyeljen azokra a pontokra, ahol nincs kétoldali véges derivált.

3) Számítsa ki a függvény értékeit stacioner pontokban és az intervallum határain.

4) Válassza ki a kapott értékek közül a legnagyobbat (legkisebbet), és írja le a választ.

Ezen a szakaszon a függvény a koordinátákkal rendelkező pontban éri el a legnagyobb értékét.

A függvény ezen a szakaszon eléri minimális értékét a koordinátákkal rendelkező pontban.

A számítások helyességét a vizsgált függvény grafikonjának megtekintésével ellenőrizheti.


Megjegyzés: A függvény a legnagyobb értékét a maximális ponton, a minimumát a szakasz határán éri el.

Különleges eset.

Tegyük fel, hogy meg kell találnia egy szegmens valamelyik függvényének maximális és minimális értékét. Az algoritmus első pontjának teljesítése után, azaz. derivált számítás, világossá válik, hogy például csak úgy negatív értékeket a teljes vizsgált szegmensben. Ne feledje, hogy ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken. Azt találtuk, hogy a függvény a teljes szegmensben csökken. Ezt a helyzetet mutatja be a cikk elején található 1. grafikon.

A függvény a szegmensen csökken, azaz. nincs szélső pontja. A képen látható, hogy a függvény a legkisebb értéket a szakasz jobb oldali határán veszi fel, a legnagyobb értéket a bal oldalon. ha a szegmens deriváltja mindenhol pozitív, akkor a függvény növekszik. A legkisebb érték a szegmens bal szélén, a legnagyobb a jobb oldalon található.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke

Egy függvény legnagyobb értéke a legnagyobb, a legkisebb értéke a legkisebb az összes értéke közül.

Egy függvénynek csak egy legnagyobb és egy legkisebb értéke lehet, de lehet, hogy nincs is. A folytonos függvények legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása a függvények következő tulajdonságain alapul:

1) Ha egy bizonyos intervallumban (véges vagy végtelen) az y=f(x) függvény folytonos és csak egy szélsőértéke van, és ha ez egy maximum (minimum), akkor ez lesz a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke. ebben az intervallumban.

2) Ha az f(x) függvény folytonos egy bizonyos szakaszon, akkor szükségszerűen ezen a szakaszon van a legnagyobb és a legkisebb értéke. Ezeket az értékeket vagy a szakaszon belüli szélsőséges pontokon, vagy ennek a szakasznak a határain érjük el.

Egy szegmens legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához ajánlott a következő sémát használni:

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg a függvény kritikus pontjait, ahol =0 vagy nem létezik.

3. Keresse meg a függvény értékeit a kritikus pontokban és a szakasz végén, és válassza ki közülük a legnagyobb f max-ot és a legkisebb f max-ot.

Alkalmazott problémák, különösen optimalizálási problémák megoldása során, fontos feladatuk van egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének (globális maximum és globális minimum) megtalálása az X intervallumon. Az ilyen problémák megoldásához a feltétel alapján ki kell választani egy független változót, és a vizsgált értéket a következőn keresztül kell kifejezni. ezt a változót. Ezután keresse meg az eredményül kapott függvény kívánt legnagyobb vagy legkisebb értékét. Ebben az esetben a feladat feltételeiből meghatározzuk a független változó változási intervallumát is, amely lehet véges vagy végtelen.

Példa. A nyitott felső négyszögletes paralelepipedon alakú tartályt belülről bádoggal kell ónozni. Mekkora legyen a tartály mérete, ha űrtartalma 108 liter? vizet, hogy az ónozás költsége minimális legyen?

Megoldás. A tartály ónnal való bevonásának költsége minimális lesz, ha adott kapacitás mellett a felülete minimális. Jelöljük a dm az alap oldalát, b dm a tartály magasságát. Ekkor felületének S területe egyenlő

ÉS

Az így kapott összefüggés megállapítja a kapcsolatot az S tározó felülete (függvény) és az a alap oldala között (érv). Vizsgáljuk meg az S függvényt szélsőségre. Keressük meg az első deriváltot, egyenlősítsük nullával, és oldjuk meg a kapott egyenletet:

Ezért a = 6. (a) > 0, ha a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Példa. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét az intervallumon.

Megoldás: Az adott függvény a teljes számegyenesen folytonos. Függvény származéka

Származék a -ra és -ra. Számítsuk ki a függvényértékeket ezeken a pontokon:

.

A függvény értékei az adott intervallum végén egyenlőek. Ezért a függvény legnagyobb értéke egyenlő at -vel, a függvény legkisebb értéke at -vel.

Önellenőrző kérdések

1. Fogalmazza meg L'Hopital szabályát az űrlap bizonytalanságának feltárására. Lista Különféle típusok bizonytalanságok, amelyekre a L'Hopital-szabály használható.

2. Fogalmazza meg a növekvő és csökkenő függvények jeleit!

3. Határozza meg egy függvény maximumát és minimumát.

4. Fogalmazd meg szükséges feltétel szélsőség megléte.

5. Az érvelés mely értékeit (mely pontokat) nevezzük kritikusnak? Hogyan lehet megtalálni ezeket a pontokat?

6. Melyek elegendő jelei egy függvény szélsőértékének létezésére? Vázoljon fel egy sémát egy szélsőértékben lévő függvény tanulmányozásához az első derivált használatával!

7. Vázoljon fel egy sémát egy szélsőséges függvény tanulmányozására a második derivált segítségével!

8. Határozza meg a görbe konvexitását és konkávságát!

9. Mit nevezünk egy függvény grafikonjának inflexiós pontjának? Jelöljön meg egy módszert ezeknek a pontoknak a megtalálására.

10. Fogalmazd meg a szükséges ill elegendő jelek egy görbe konvexitása és konkávsága egy adott szakaszon.

11. Határozza meg a görbe aszimptotáját! Hogyan találjuk meg egy függvény grafikonjának függőleges, vízszintes és ferde aszimptotáját?

12. Vázolja fel egy függvény tanulmányozásának és grafikonjának elkészítésének általános sémáját!

13. Fogalmazzon meg egy szabályt egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására egy adott intervallumon!

Gyakorlati szempontból a legnagyobb érdeklődés az, hogy a derivált segítségével megkeressük egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét. Ez mihez kapcsolódik? A profit maximalizálása, a költségek minimalizálása, a berendezések optimális terhelésének meghatározása... Vagyis az élet számos területén meg kell oldanunk bizonyos paraméterek optimalizálásának problémáit. És ezek egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásának feladatai.

Meg kell jegyezni, hogy egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét általában egy bizonyos X intervallumon kell keresni, amely vagy a függvény teljes tartománya, vagy a definíciós tartomány egy része. Maga az X intervallum lehet szegmens, nyitott intervallum , végtelen intervallum.

Ebben a cikkben egy y=f(x) változó explicit módon meghatározott függvényének legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásáról fogunk beszélni.

Oldalnavigáció.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke - definíciók, illusztrációk.

Nézzük röviden a főbb definíciókat.

A függvény legnagyobb értéke hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

A függvény legkisebb értéke Az X intervallum y=f(x) értékét ilyen értéknek nevezzük hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

Ezek a definíciók intuitívak: egy függvény legnagyobb (legkisebb) értéke a vizsgált intervallum legnagyobb (legkisebb) elfogadott értéke az abszcisszán.

Helyhez kötött pontok– ezek az argumentum értékei, amelyeknél a függvény deriváltja nullává válik.

Miért van szükségünk stacionárius pontokra a legnagyobb és legkisebb értékek megtalálásához? Erre a kérdésre Fermat tétele adja meg a választ. Ebből a tételből az következik, hogy ha egy differenciálható függvénynek van egy extrémuma (lokális minimum vagy lokális maximum), akkor ez a pont stacionárius. Így a függvény gyakran ebből az intervallumból veszi a legnagyobb (legkisebb) értékét az X intervallumon valamelyik stacionárius pontban.

Ezenkívül egy függvény gyakran felveheti a legnagyobb és legkisebb értékeit olyan pontokon, ahol ennek a függvénynek az első deriváltja nem létezik, és maga a függvény definiálva van.

Azonnal válaszoljunk az egyik leggyakoribb kérdésre ebben a témában: „Mindig meg lehet határozni egy függvény legnagyobb (legkisebb) értékét”? Nem mindig. Néha az X intervallum határai egybeesnek a függvény definíciós tartományának határaival, vagy az X intervallum végtelen. És egyes függvények a végtelenben és a definíciós tartomány határain végtelenül nagy és végtelenül kicsi értékeket is felvehetnek. Ezekben az esetekben semmit nem lehet mondani a függvény legnagyobb és legkisebb értékéről.

Az érthetőség kedvéért grafikus illusztrációt adunk. Nézd meg a képeket, és sok minden világosabb lesz.

A szegmensen

Az első ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és legkisebb (min y) értéket veszi fel a szakaszon belüli stacionárius pontokon [-6;6].

Tekintsük a második ábrán látható esetet. Változtassuk meg a szegmenst erre: . Ebben a példában a függvény legkisebb értékét a következőnél érjük el álló pont, és a legnagyobb - az intervallum jobb határának megfelelő abszcissza pontban.

A 3. ábrán a [-3;2] szakasz határpontjai a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megfelelő pontok abszcisszái.

Nyílt időközönként

A negyedik ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és a legkisebb (min y) értéket veszi fel a nyitott intervallumon belüli stacionárius pontokon (-6;6).

Az intervallumon a legnagyobb értékre nem lehet következtetéseket levonni.

A végtelenben

A hetedik ábrán bemutatott példában a függvény a legnagyobb értéket (max y) egy x=1 abszcissza értékű stacionárius pontban veszi fel, és a legkisebb értéket (min y) az intervallum jobb határán éri el. Mínusz végtelennél a függvényértékek aszimptotikusan megközelítik az y=3-at.

Az intervallum alatt a függvény nem éri el sem a legkisebb, sem a legnagyobb értéket. Ahogy az x=2 jobbról közeledik, a függvényértékek mínusz végtelenbe hajlanak (az x=2 egyenes egy függőleges aszimptota), és ahogy az abszcissza a végtelen plusz felé tart, a függvényértékek aszimptotikusan közelítenek az y=3-hoz. A példa grafikus illusztrációja a 8. ábrán látható.

Algoritmus egy szegmensen lévő folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására.

Írjunk egy algoritmust, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.

1. Megkeressük a függvény definíciós tartományát, és ellenőrizzük, hogy az tartalmazza-e a teljes szegmenst.
2. Megtaláljuk az összes olyan pontot, ahol az első derivált nem létezik, és amelyeket a szegmens tartalmaz (általában az ilyen pontok a modulusjel alatti argumentummal rendelkező függvényekben találhatók teljesítmény függvények tört-racionális kitevővel). Ha nincsenek ilyen pontok, akkor lépjen tovább a következő pontra.
3. Meghatározzuk a szakaszon belüli összes stacionárius pontot. Ehhez nullával egyenlővé tesszük, megoldjuk a kapott egyenletet és kiválasztjuk a megfelelő gyököket. Ha nincsenek álló pontok, vagy egyik sem esik a szakaszba, akkor lépjen tovább a következő pontra.
4. Kiszámítjuk a függvény értékeit a kiválasztott stacionárius pontokban (ha vannak), olyan pontokban, ahol az első derivált nem létezik (ha van), valamint x=a és x=b esetén.
5. A függvény kapott értékei közül kiválasztjuk a legnagyobbat és a legkisebbet - ezek lesznek a függvény szükséges legnagyobb és legkisebb értékei.

Elemezzük a példa megoldásának algoritmusát, hogy megtaláljuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.

Példa.

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

• a szegmensen ;
• a [-4;-1] szakaszon.

Megoldás.

Egy függvény tartománya a teljes halmaz valós számok, kivéve a nullát, azaz . Mindkét szegmens a definíciós tartományba esik.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Nyilvánvaló, hogy a függvény deriváltja a szegmensek minden pontjában létezik és [-4;-1].

Az egyenletből stacionárius pontokat határozunk meg. Az egyetlen valódi gyök az x=2. Ez az állópont az első szegmensbe esik.

Az első esetben kiszámítjuk a függvény értékeit a szakasz végén és a stacionárius pontban, azaz x=1, x=2 és x=4 esetén:

Ezért a függvény legnagyobb értéke x=1, és a legkisebb értéknél érhető el – x=2-nél.

A második esetben a függvényértékeket csak a [-4;-1] szakasz végein számítjuk ki (mivel egyetlen stacionárius pontot sem tartalmaz):

« Hogyan készítsünk mandulás sütiket: receptek, fotók

Zöldségsaláták minden napra »