Azonos gyökerű számok összeadása. Vissza az iskolába. Gyökerek hozzáadása

A matematikában minden cselekvésnek megvan az ellentétpárja - lényegében ez a dialektika hegeli törvényének egyik megnyilvánulása: „az ellentétek egysége és harca”. Egy ilyen „párban” az egyik cselekvés a szám növelésére irányul, a másik, ellentéte pedig annak csökkentésére. Például az összeadás ellentéte a kivonás, az osztás pedig a szorzás ellentéte. A hatványozásnak is megvan a maga dialektikus ellentétpárja. A gyökér kinyeréséről beszélünk.

Egy számból kivonni egy ilyen és ilyen hatvány gyökerét azt jelenti, hogy kiszámítjuk, melyik számot kell a megfelelő hatványra emelni, hogy egy adott számra kerüljön. A két fokozatnak külön neve van: a második fokot „négyzet”, a harmadikat „kocka”-nak nevezik. Ennek megfelelően jó ezeknek a hatványoknak a gyökereit négyzet- és köbgyöknek nevezni. A kockagyökerű műveletek külön megbeszélés témája, de most beszéljünk az összeadásról négyzetgyök.

Kezdjük azzal a ténnyel, hogy bizonyos esetekben egyszerűbb először négyzetgyököket kivonni, majd hozzáadni az eredményeket. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő kifejezés értékét:

Végül is egyáltalán nem nehéz kiszámítani, hogy 16 négyzetgyöke 4, 121 pedig 11. Ezért

√16+√121=4+11=15

Ez azonban a legegyszerűbb eset - itt arról beszélünk a tökéletes négyzetekről, pl. azokról a számokról, amelyeket egész számok négyzetre emelésével kapunk. De ez nem mindig történik meg. Például a 24-es szám nem tökéletes négyzet (nincs olyan egész szám, amely a második hatványra emelve 24-et eredményezne). Ugyanez vonatkozik az 54-hez hasonló számokra... Mi van, ha össze kell adnunk ezeknek a számoknak a négyzetgyökét?

Ebben az esetben a válaszban nem egy számot, hanem egy másik kifejezést kapunk. A legtöbb, amit itt tehetünk, hogy az eredeti kifejezést a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsítjük. Ehhez ki kell venni a négyzetgyök alól a tényezőket. Nézzük meg, hogyan történik ez a fent említett számok példájával:

Először is faktorozzuk be a 24-et faktorokba, hogy az egyiket könnyen ki lehessen vonni négyzetgyökként (azaz tökéletes négyzet legyen). Van egy ilyen szám – ez 4:

Most tegyük ugyanezt az 54-gyel. Összetételében ez a szám 9 lesz:

Így a következőket kapjuk:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Most vegyük ki a gyökereket abból, amiből kivonhatjuk őket: 2*√6+3*√6

Van egy közös tényező, amelyet a zárójelekből kivehetünk:

(2+3)* √6=5*√6

Ez lesz az összeadás eredménye – itt nem lehet többet kivonni.

Igaz, számológépet is használhat - az eredmény azonban hozzávetőleges lesz, és rengeteg tizedesjegyet tartalmaz:

√6=2,449489742783178

Fokozatosan felfelé kerekítve körülbelül 2,5-öt kapunk. Ha az előző példa megoldását mégis a logikus végkifejletig szeretnénk hozni, akkor ezt az eredményt megszorozzuk 5-tel - és 12,5-öt kapunk. Ilyen kezdeti adatokkal nem lehet pontosabb eredményt elérni.

A négyzetgyökről szóló témakör kötelező iskolai tananyag matematika tanfolyam. A másodfokú egyenletek megoldása során nem nélkülözheti őket. És később szükségessé válik nemcsak a gyökerek kinyerése, hanem más műveletek elvégzése is velük. Köztük meglehetősen összetettek: hatványozás, szorzás és osztás. De vannak egészen egyszerűek is: a gyökök kivonása és összeadása. Mellesleg csak első pillantásra tűnnek annak. Nem mindig könnyű ezeket hibamentesen végrehajtani annak, aki csak most kezdi ismerkedni velük.

Mi az a matematikai gyök?

Ez az akció a hatványozás ellenében jött létre. A matematika két ellentétes műveletet javasol. Az összeadáshoz van kivonás. A szorzás ellentétes az osztással. Fordított művelet fok a megfelelő gyökér kinyerése.

Ha a fokszám kettő, akkor a gyök négyzetes lesz. Az iskolai matematikában a leggyakoribb. Még csak nincs is rajta jelzés, hogy négyzet, vagyis nincs mellette 2. Ennek az operátornak (gyöknek) a matematikai jelölése látható az ábrán.

Meghatározása simán a leírt műveletből következik. Egy szám négyzetgyökének kivonásához meg kell találnia, hogy mit ad a gyök kifejezés, ha megszorozzuk önmagával. Ez a szám lesz a négyzetgyök. Ha ezt matematikailag felírjuk, a következőt kapjuk: x*x=x 2 =y, ami azt jelenti, hogy √y=x.

Milyen műveleteket végezhetsz velük?

Magában a gyökér az tört hatvány, amelynek számlálójában egy szerepel. A nevező pedig bármi lehet. Például a négyzetgyöknek kettő van. Ezért minden hatalommal végrehajtható művelet a gyökérre is érvényes lesz.

És ezeknek a műveleteknek a követelményei ugyanazok. Ha a szorzás, osztás és hatványozás nem okoz nehézséget a tanulóknak, akkor a gyökök összeadása, akárcsak a kivonás, néha zavart okoz. És mindezt azért, mert ezeket a műveleteket a gyökér jele nélkül akarom végrehajtani. És itt kezdődnek a hibák.

Mik az összeadás és a kivonás szabályai?

Először emlékeznie kell két kategorikus „nem”-re:

• lehetetlen a gyökök összeadását és kivonását végrehajtani, mint a prímszámoknál, vagyis lehetetlen az összeg gyöknyi kifejezéseit egy jel alá írni és matematikai műveleteket végrehajtani velük;
• Nem adhat hozzá és vonhat ki különböző kitevőkkel rendelkező gyököket, például négyzetet és köböst.

Világos példa az első tilalomra: √6 + √10 ≠ √16, de √(6 + 10) = √16.

A második esetben jobb, ha a gyökerek egyszerűsítésére korlátozzuk magunkat. Az összegüket pedig hagyd a válaszban.

Most pedig a szabályokhoz

1. Keresse meg és csoportosítsa a hasonló gyökereket. Vagyis akik nem csak ugyanazok a számok a radikális alatt, de maguknak van egy mutatójuk.
2. Az első műveletben hajtsa végre az egy csoportba egyesített gyökerek hozzáadását. Könnyen megvalósítható, mert csak a gyökök előtt megjelenő értékeket kell hozzáadni.
3. Vonja ki azoknak a kifejezéseknek a gyökereit, amelyekben a gyök kifejezés egy egész négyzetet alkot. Más szóval, ne hagyj semmit a radikális jele alatt.
4. A radikális kifejezések egyszerűsítése. Ehhez prímtényezőkbe kell őket beszámítani, és meg kell nézni, hogy megadják-e bármely szám négyzetét. Nyilvánvaló, hogy ez igaz, ha négyzetgyökről beszélünk. Ha a kitevő három vagy négy, akkor a prímtényezőknek meg kell adniuk a kockát vagy a szám negyedik hatványát.
5. Távolítsuk el a radikális jele alól azt a tényezőt, amely a teljes erőt adja.
6. Hátha újra megjelenik hasonló kifejezések. Ha igen, hajtsa végre újra a második lépést.

Abban az esetben, ha a feladat nem igényli a gyökér pontos értékét, számológéppel ki lehet számítani. Kerekítse az ablakában megjelenő végtelen tizedes törtet. Leggyakrabban ez századrészekre történik. Ezután hajtsa végre az összes műveletet a tizedes törtekre.

Ez az összes információ a gyökerek hozzáadásával kapcsolatban. Az alábbi példák illusztrálják a fentieket.

Első feladat

Számítsa ki a kifejezések értékét:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ha követi a fenti algoritmust, láthatja, hogy ebben a példában nincs semmi az első két művelethez. De leegyszerűsíthet néhány radikális kifejezést.

Például bontsa fel a 32-t két tényezőre: 2 és 16; 18 egyenlő lesz 9 és 2 szorzatával; A 128 2 a 64-hez képest. Ennek alapján a kifejezés így lesz írva:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Most el kell távolítania a gyökjel alól azokat a tényezőket, amelyek a szám négyzetét adják. Ez 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. A kifejezés a következő formában lesz:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Kicsit le kell egyszerűsítenünk a felvételt. Ehhez szorozza meg az együtthatókat a gyökérjelek előtt:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Ebben a kifejezésben minden kifejezés hasonlónak bizonyult. Ezért csak össze kell hajtania őket. A válasz: 5√2.

b) Hasonló előző példa, a gyökerek hozzáadása azok egyszerűsítésével kezdődik. A 75, 147, 48 és 300 gyökkifejezések a következő párokban jelennek meg: 5 és 25, 3 és 49, 3 és 16, 3 és 100. Mindegyik tartalmaz egy-egy számot, amely a gyökjel alól kivehető. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Egyszerűsítés után a válasz: 5√5 - 5√3. Meghagyható ebben a formában, de jobb, ha az 5-ös közös tényezőt zárójelből kivesszük: 5 (√5 - √3).

c) És ismét a faktorizálás: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Miután eltávolítottuk a faktorokat a gyökérjel alól, a következőt kapjuk:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Hasonló kifejezések hozása után a következő eredményt kapjuk: 7√11.

Példa törtkifejezésekkel

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

A következő számokat kell faktorálnia: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. A már tárgyalthoz hasonlóan el kell távolítania a gyökérjel alól a tényezőket. és egyszerűsítse a kifejezést:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Ez a kifejezés megköveteli, hogy a nevezőben megszabaduljunk az irracionalitástól. Ehhez meg kell szoroznia a második tagot √2/√2-vel:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

A műveletek befejezéséhez ki kell választania a tényezők teljes részét a gyökerek előtt. Az elsőnél 1, a másodiknál ​​2.

Az x szám négyzetgyöke egy a szám, amelyet önmagával megszorozva x számot kapunk: a * a = a^2 = x, ?x = a. Mint minden számnál, vége négyzetgyök Lehetőség van az összeadás és a kivonás aritmetikai műveleteinek végrehajtására.

Utasítás

1. Először is, ha négyzetgyököket ad hozzá, próbálja meg kivonni ezeket a gyökereket. Ez akkor elfogadható, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Tegyük fel, hogy a megadott kifejezés ?4 + ?9. Az első 4-es szám a 2-es négyzete. A második 9-es szám a 3-as szám négyzete. Így kiderül, hogy: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ha nincsenek teljes négyzetek a gyökérjel alatt, akkor próbálja meg a szám szorzóját áthelyezni a gyökérjel alól. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott?24 +?54. Tényezőzd a számokat: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. A 24-es szám 4-es tényezője, a négyzetgyök jel alól átvihető tényező. Az 54-es szám tényezője 9. Így kiderül, hogy: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Ebben a példában a gyökjel alól a szorzó eltávolítása eredményeként lehetőség nyílt az adott kifejezés egyszerűsítésére.

3. Legyen 2 négyzetgyök összege egy tört nevezője, mondjuk A / (?a + ?b). És legyen a feladata, hogy „megszabaduljon az irracionalitástól a nevezőben”. Ezután használhatja a következő módszert. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét az ?a - ?b kifejezéssel. Így a nevező a rövidített szorzási képletet tartalmazza: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Hasonlóan, ha a nevező tartalmazza a gyökök közötti különbséget: ?a - ?b, akkor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni az ?a + ?b kifejezéssel. Például legyen a 4 / (?3 + ?5) tört = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2* (?5 - ?3).

4. Tekintsünk egy bonyolultabb példát a nevező irracionalitásától való megszabadulásra. Legyen megadva a 12 / (?2 + ?3 + ?5) tört. A tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 +?5) * (?2 + ?3-?5)) = 12 * (?2 + ?3-?5) / (2 *?6) =?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. És végül, ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor számológép segítségével kiszámolhatja a négyzetgyököket. Számítsa ki az értékeket a teljes számra külön-külön, és írja le a kívánt pontossággal (mondjuk két tizedesjegyig). És ezt követően hajtsa végre a szükséges számtani műveleteket, mint a közönséges számoknál. Tegyük fel, hogy meg kell találnia a ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Videó a témáról

Jegyzet!
Semmilyen esetben sem adható hozzá négyzetgyök primitív számként, azaz. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Hasznos tanács
Ha egy számot faktorál, hogy a négyzetet a gyökjel alól mozgassa, akkor végezze el a fordított ellenőrzést - szorozza meg az összes kapott tényezőt, és kapja meg az eredeti számot.

Üdv, macskák! Múltkor részletesen megbeszéltük, hogy mik a gyökerek (ha nem emlékszel, javaslom, hogy olvassa el). Fő következtetés az a lecke: a gyökereknek csak egy univerzális definíciója van, ezt kell tudni. A többi hülyeség és időpocsékolás.

Ma tovább megyünk. Megtanulunk gyökérszorozni, áttanulmányozunk néhány szorzással kapcsolatos feladatot (ha ezek a feladatok nem oldódnak meg, végzetessé válhatnak a vizsgán), és megfelelően gyakorolunk. Tehát tölts fel pattogatott kukoricát, helyezkedj el kényelmesen, és kezdjük is. :)

Te sem szívtad még el, ugye?

A lecke elég hosszúra sikerült, így két részre osztottam:

1. Először nézzük meg a szorzás szabályait. A sapka sejteni látszik: ilyenkor két gyökér van, közöttük egy „szorzás” jel – és ezzel akarunk valamit kezdeni.
2. Akkor nézzük a fordított helyzetet: van egy nagy gyökér, hanem két gyökér egyszerűbb szorzata formájában szerettük volna bemutatni. Hogy miért van erre szükség, az egy külön kérdés. Csak az algoritmust elemezzük.

Aki alig várja, hogy azonnal rátérjen a második részre, szeretettel várjuk. Kezdjük sorrendben a többivel.

A szorzás alapszabálya

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a klasszikus négyzetgyökerekkel. Ugyanazok, amelyeket $\sqrt(a)$ és $\sqrt(b)$ jelöl. Minden nyilvánvaló számukra:

Szorzási szabály. Egy négyzetgyök egy másikkal való szorzásához egyszerűen meg kell szorozni a gyök kifejezéseit, és az eredményt a közös gyök alá kell írni:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

A jobb vagy bal oldali számokra nincs további korlátozás: ha a gyökértényezők léteznek, akkor a szorzat is létezik.

Példák. Nézzünk egyszerre négy példát számokkal:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(igazítás)\]

Amint láthatja, ennek a szabálynak a fő jelentése az irracionális kifejezések egyszerűsítése. És ha az első példában mi magunk bontottuk volna ki a 25 és 4 gyökereit minden új szabály nélkül, akkor a helyzet kemény lesz: a $\sqrt(32)$ és a $\sqrt(2)$ nem számít önmagának, hanem szorzatuk tökéletes négyzetnek bizonyul, így gyöke egy racionális számmal egyenlő.

Különösen az utolsó sort szeretném kiemelni. Ott mindkét gyök kifejezés tört. A terméknek köszönhetően sok tényező törlődik, és a teljes kifejezés megfelelő számmá alakul.

Persze a dolgok nem mindig lesznek ilyen szépek. Néha teljes szar lesz a gyökerek alatt - nem világos, hogy mit kell vele csinálni, és hogyan kell átalakítani a szorzás után. Kicsit később, amikor elkezdi a tanulást irracionális egyenletekés egyenlőtlenségek, általában mindenféle változó és függvény lesz. És nagyon gyakran a probléma írói számolnak azzal a ténnyel, hogy felfedeznek néhány érvénytelenítő kifejezést vagy tényezőt, amelyek után a probléma sokszorosára egyszerűsödik.

Ezenkívül egyáltalán nem szükséges pontosan két gyökeret szaporítani. Egyszerre szorozhat hármat, négyet vagy akár tízet is! Ez nem változtat a szabályon. Nézd meg:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(igazítás)\]

És ismét egy kis megjegyzés a második példához. Amint láthatja, a gyökér alatti harmadik tényezőben egy tizedes tört található - a számítások során lecseréljük egy normálra, amely után minden könnyen csökkenthető. Tehát: Erősen javaslom, hogy minden irracionális (vagyis legalább egy gyökös szimbólumot tartalmazó) kifejezésben megszabaduljon a tizedes törtektől. Ezzel sok időt és ideget takarít meg a jövőben.

De ez lírai kitérő volt. Most nézzünk meg egy általánosabb esetet - amikor a gyökérkitevő egy tetszőleges $n$ számot tartalmaz, és nem csak a „klasszikus” kettőt.

Egy tetszőleges indikátor esete

Tehát rendeztük a négyzetgyököket. Mit lehet csinálni a köbösekkel? Vagy akár tetszőleges $n$ fokú gyökökkel? Igen, minden ugyanaz. A szabály ugyanaz marad:

Két $n$ fokú gyök szorzásához elég megszorozni a gyökkifejezéseiket, majd az eredményt egy gyök alá írjuk.

Általában semmi bonyolult. Kivéve, hogy a számítások mennyisége nagyobb lehet. Nézzünk pár példát:

Példák. Termékek számítása:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(igazítás)\]

És ismét figyelem a második kifejezésre. Kockagyökereket szaporítunk, megszabadulunk decimálisés ennek eredményeként a nevezőben a 625 és a 25 számok szorzatát kapjuk. Ez egy meglehetősen nagy szám - személy szerint nem tudom azonnal kiszámolni, hogy ez mivel egyenlő.

Ezért egyszerűen elkülönítettük a pontos kockát a számlálóban és a nevezőben, majd felhasználtuk a $n$-edik gyökér egyik kulcstulajdonságát (vagy ha úgy tetszik, definícióját):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\jobbra|. \\ \end(igazítás)\]

Az ilyen „machinációk” sok időt takaríthatnak meg a vizsgán ill próba munka, szóval ne feledd:

Ne rohanjon a számok szorzásával radikális kifejezésekkel. Először ellenőrizze: mi van akkor, ha bármely kifejezés pontos mértéke „titkosított” ott?

Ennek a megjegyzésnek a nyilvánvalósága ellenére el kell ismernem, hogy a legtöbb felkészületlen hallgató nem látja a pontos fokozatokat pontban. Ehelyett direkt mindent megszoroznak, aztán csodálkoznak: miért kaptak ilyen brutális számokat? :)

Mindez azonban bababeszéd ahhoz képest, amit most tanulmányozni fogunk.

Gyökök szorzása különböző kitevőkkel

Oké, most megszorozhatjuk a gyökereket ugyanazokkal a mutatókkal. Mi van, ha a mutatók eltérőek? Tegyük fel, hogyan lehet megszorozni egy közönséges $\sqrt(2)$-t valami olyan baromsággal, mint a $\sqrt(23)$? Egyáltalán lehetséges ez?

Igen persze lehet. Minden a következő képlet szerint történik:

Szabály a gyökerek szaporítására. A $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$-ral való megszorzásához elegendő a következő átalakítást végrehajtani:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ez a képlet azonban csak akkor működik, ha a radikális kifejezések nem negatívak. Ez egy nagyon fontos megjegyzés, amelyre egy kicsit később visszatérünk.

Egyelőre lássunk néhány példát:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(igazítás)\]

Mint látható, semmi bonyolult. Most nézzük meg, honnan jött a negativitás követelménye, és mi történik, ha megszegjük. :)

Miért kell a radikális kifejezéseknek nem negatívnak lenniük?

Persze lehetsz ilyen iskolai tanárokés okosan idézzük a tankönyvet:

A nem-negativitás követelménye a páros és páratlan fokú gyökök különböző definícióihoz kapcsolódik (ennek megfelelően a definíciós tartományuk is eltérő).

Nos, világosabb lett? Személy szerint, amikor 8. osztályban olvastam ezt a hülyeséget, valami ilyesmit értettem meg: "A negativitás követelménye a *#&^@(*#@^#)~%-hoz kapcsolódik" - röviden én. Akkoriban egy fenét sem értek. :)

Szóval most mindent normális módon elmagyarázok.

Először is nézzük meg, honnan származik a fenti szorzási képlet. Ehhez hadd emlékeztesselek egy dologra fontos tulajdon gyökér:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Más szóval, a radikális kifejezést könnyen bármelyikre emelhetjük természetes fok$k$ - ebben az esetben a gyökérkitevőt meg kell szorozni ugyanazzal a hatványsal. Emiatt bármely gyököt könnyen redukálhatunk közös kitevőre, majd megszorozhatjuk őket. Innen származik a szorzási képlet:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

De van egy probléma, amely élesen korlátozza mindezen képletek használatát. Vegye figyelembe ezt a számot:

Az imént megadott képlet szerint tetszőleges fokozatot adhatunk hozzá. Próbáljuk meg hozzáadni a $k=2$ értéket:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Pontosan azért távolítottuk el a mínuszt, mert a négyzet a mínuszt égeti (mint minden más páros fokozat). Most hajtsuk végre a fordított transzformációt: „csökkentsük” a kettőt a kitevőben és a hatványban. Végül is minden egyenlőség balról jobbra és jobbról balra is olvasható:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Jobbra \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Jobbra \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(igazítás)\]

De aztán kiderül, hogy ez valami baromság:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ez nem történhet meg, mert $\sqrt(-5) \lt 0$ és $\sqrt(5) \gt 0$. Ez azt jelenti, hogy az egyenletes hatalmak és negatív számok képletünk már nem működik. Ezt követően két lehetőségünk van:

1. Falnak ütni és kijelenteni, hogy a matematika hülye tudomány, ahol „vannak szabályok, de ezek pontatlanok”;
2. További korlátozások bevezetése, amelyek mellett a képlet 100%-ban működik.

Az első lehetőségben folyamatosan „nem működő” eseteket kell elkapnunk - ez nehéz, időigényes és általában csúnya. Ezért a matematikusok a második lehetőséget választották. :)

De ne aggódj! A gyakorlatban ez a korlátozás semmilyen módon nem befolyásolja a számításokat, mert az összes leírt probléma csak páratlan fokú gyököket érint, és mínuszokat lehet venni belőlük.

Ezért fogalmazzunk meg még egy szabályt, amely általában minden gyökeres cselekvésre vonatkozik:

A gyökök szorzása előtt győződjön meg arról, hogy a gyök kifejezések nem negatívak.

Példa. A $\sqrt(-5)$ számban eltávolíthatja a mínuszt a gyökérjel alól - akkor minden normális lesz:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Jobbra \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Érzi a különbséget? Ha hagysz egy mínuszt a gyökér alatt, akkor a gyök kifejezés négyzetbe kerülésekor eltűnik, és elkezdődik a szar. És ha először kiveszed a mínuszt, akkor négyzetre vonhatod/eltávolíthatod, amíg kék nem leszel - a szám negatív marad. :)

Így a gyökerek szaporításának leghelyesebb és legmegbízhatóbb módja a következő:

1. Távolítson el minden negatívumot a gyökökről. A mínuszok csak a páratlan sokaságú gyökökben léteznek - a gyökér elé helyezhetők, és szükség esetén csökkenthetők (például ha kettő van ebből a mínuszból).
2. Hajtsa végre a szorzást a mai leckében fentebb tárgyalt szabályok szerint. Ha a gyökök mutatói megegyeznek, egyszerűen megszorozzuk a gyök kifejezéseket. És ha különböznek, akkor a gonosz képletet használjuk: \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Élvezze az eredményt és a jó osztályzatokat. :)

Jól? Gyakoroljunk?

1. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(igazítás)\]

Ez a legegyszerűbb lehetőség: a gyökerek azonosak és páratlanok, csak az a probléma, hogy a második tényező negatív. Ezt a mínuszt kivesszük a képből, ami után könnyen kiszámolható minden.

2. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \jobbra))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \jobbra))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( igazítsa)\]

Itt sokakat megzavarna az a tény, hogy a kimenet irracionális számnak bizonyult. Igen, előfordul: nem tudtunk teljesen megszabadulni a gyökértől, de legalább jelentősen leegyszerűsítette a kifejezést.

3. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \jobbra))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Erre a feladatra szeretném felhívni a figyelmet. Itt két pont van:

1. A gyökér nem egy adott szám vagy hatvány, hanem az $a$ változó. Első pillantásra ez kicsit szokatlan, de a valóságban a matematikai feladatok megoldása során legtöbbször változókkal kell számolni.
2. Végül sikerült „csökkenteni” a radikális mutatót és a radikális kifejezés mértékét. Ez elég gyakran megtörténik. És ez azt jelenti, hogy jelentősen leegyszerűsítette a számításokat, ha nem az alapképletet használta.

Például megteheti ezt:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \jobbra))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\vége(igazítás)\]

Valójában minden transzformációt csak a második gyökkel hajtottak végre. És ha nem írja le részletesen az összes közbenső lépést, akkor a végén a számítások mennyisége jelentősen csökken.

Valójában fentebb már találkoztunk hasonló feladattal, amikor megoldottuk a $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ példát. Most sokkal egyszerűbben is leírható:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(igazítás)\]

Nos, megoldottuk a gyökerek szorzását. Most nézzük meg a fordított műveletet: mi a teendő, ha a gyökér alatt van egy termék?

A matematikában a gyökök lehetnek négyzetesek, köbösek, vagy bármilyen más kitevővel (hatékonysággal) rendelkeznek, amelyet a gyökjel fölé balra írunk. A gyökérjel alatti kifejezést radikális kifejezésnek nevezzük. A gyökerek hozzáadása olyan, mint a végtagok hozzáadása algebrai kifejezés, vagyis ehhez hasonló gyökerek meghatározása szükséges.

Lépések

A gyökerek kijelölése. A gyökérjel () alatti kifejezés azt jelenti, hogy ebből a kifejezésből ki kell vonni a gyökér bizonyos fokát.

• A gyökeret egy jel jelzi.
• A gyök kitevőjét (fokát) a gyökérjel fölé balra írjuk. Például a 27 kockagyöke így van írva: (27)
• Ha a gyök indexe (fokozata) hiányzik, akkor a kitevőt 2-vel egyenlőnek tekintjük, azaz négyzetgyökről (vagy másodfokú gyökről) van szó.
• A gyökérjel elé írt számot szorzónak nevezzük (vagyis ezt a számot megszorozzuk a gyökérrel), például 5 (2)
• Ha a gyök előtt nincs tényező, akkor az egyenlő 1-gyel (ne felejtsük el, hogy bármely szám 1-gyel szorozva egyenlő önmagával).
• Ha ez az első alkalom, amikor gyökérekkel dolgozik, készítsen megfelelő megjegyzéseket a szorzóról és a gyökérkitevőről, hogy elkerülje a félreértést és jobban megértse a céljukat.

Ne feledje, mely gyökereket lehet hajtogatni, és melyeket nem. Ahogyan egy kifejezéshez nem adhat hozzá különböző kifejezéseket, például 2a + 2b 4ab, úgy nem adhat hozzá különböző gyököket sem.

A hasonló gyökerek azonosítása és csoportosítása. Hasonló gyökök azok a gyökök, amelyeknek ugyanazok a mutatói és ugyanazok a radikális kifejezések. Vegyük például a következő kifejezést:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Először írja át a kifejezést úgy, hogy az azonos indexű gyökök egymás után helyezkedjenek el.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Ezután írja át a kifejezést úgy, hogy az azonos kitevővel és azonos gyökkifejezésű gyökök egymás után helyezkedjenek el.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Egyszerűsítse a gyökereket. Ehhez bontsuk (ahol lehetséges) a gyök kifejezéseket két faktorra, amelyek közül az egyiket a gyökér alól kiemeljük. Ebben az esetben az eltávolított számot és a gyökértényezőt megszorozzuk.

Adja hozzá a hasonló gyökerek tényezőit. Példánkban a 2-nek hasonló négyzetgyökei vannak (összeadhatók) és a 3-nak hasonló négyzetgyökei (ezeket is össze lehet adni). A 3 kockagyökének nincsenek ilyen gyökerei.

• Nincsenek általánosan elfogadott szabályok arra vonatkozóan, hogy a gyökök milyen sorrendben íródnak egy kifejezésbe. Ezért a gyököket mutatóik növekvő sorrendjében és a gyök kifejezések növekvő sorrendjében írhatja.

Minden érdekes

A gyökjel alatt lévő szám gyakran zavarja az egyenlet megoldását, és kényelmetlen vele dolgozni. Még akkor is, ha hatványra, törtszámra emeljük, vagy nem ábrázolható egész számként egy bizonyos hatványhoz, megpróbálhatja származtatni a következőből...

Az x szám gyöke olyan szám, amely a gyök hatványára emelve egyenlő x-szel. A szorzó a szorzandó szám. Vagyis az x*ª-&radic-y formájú kifejezésben x-et kell beírni a gyökér alá. Utasítások 1 Határozza meg a fokozatot...

Ha egy gyökkifejezés változós matematikai műveletek halmazát tartalmazza, akkor esetenként egyszerűsítése eredményeként viszonylag egyszerű értéket kaphatunk, amelynek egy része a gyökér alól kivehető. Ez az egyszerűsítés hasznos lehet...

A különböző fokú gyökökkel végzett aritmetikai műveletek jelentősen leegyszerűsíthetik és pontosabbá tehetik a fizika és a technológia számításait. Szorzásnál és osztásnál kényelmesebb, ha nem az egyes tényezők vagy osztó és osztó gyökerét vonjuk ki, hanem előbb...

Az x szám négyzetgyöke egy a szám, amelyet önmagával megszorozva x számot kapunk: a * a = a^2 = x, x = a. Mint minden számnál, itt is elvégezheti az összeadás és a kivonás számtani műveleteit négyzetgyökkel. Utasítás...

A matematikában egy gyöknek két jelentése lehet: ez egy aritmetikai művelet, és egy egyenlet megoldása, algebrai, parametrikus, differenciális vagy bármilyen más. Utasítások 1 Az a n-edik gyöke egy olyan szám, amelyre...

Amikor különféle aritmetikai műveletek A gyökök esetében gyakran szükséges a gyökös kifejezések átalakításának képessége. A számítások egyszerűsítése érdekében előfordulhat, hogy a szorzót a gyökjelen kívülre kell helyeznie, vagy hozzá kell adnia a gyökjelhez. Ez a művelet...

A gyökér egy olyan ikon, amely egy szám megtalálásának matematikai műveletét jelöli, amelyet a gyökérjel előtt jelzett hatványra emelve pontosan ez alatt a jel alatt jelzett számot kell adni. Gyakran olyan problémák megoldására, amelyek...

A gyökér jelét a matematikai tudományokban ún szimbólum a gyökerekhez. A gyökjel alatti számot radikális kifejezésnek nevezzük. Ha nincs kitevő, akkor a gyök négyzetgyök, ellenkező esetben a számjegy...

Számtan n-edik gyök foktól valós szám a egy nem negatív x szám, n-edik fokozat amely egyenlő az a számmal. Azok. (n) a = x, x^n = a. Létezik különböző módokon számtani gyök és racionális szám hozzáadása...

Az a valós szám n-edik gyöke egy olyan b szám, amelyre teljesül a b^n = a egyenlőség. A negatív és páratlan gyökök léteznek pozitív számok, és a páros fokok gyökerei csak a pozitívaké.…